Tóm tắt giải gần đúng phương trình đa thức

1 MỞ ðẦU Xét ña thức f n ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + + an−1 x + an = (a0 ≠ 0) Với n = n = ta có công thức nghiệm ñể giải phương trình f n ( x ) = Với n = n = ta có công thức nghiệm ñể giải phương trình f n ( x ) = (công thức Cardano công thức Ferrari), công thức cồng kềnh, chứa nhiều thức, không thuận lợi sử dụng, tính ñược gần ñúng nghiệm thông qua tính gần ñúng thức Với n ≥ nói chung phương trình f n ( x ) = không giải ñược (không có công thức biểu diễn nghiệm qua hệ số a0 , a1 , , an phép toán số học Vì phải xây dựng phương pháp giải gần ñúng phương trình ña thức f n ( x ) = (không cần qua công thức nghiệm) Mặc dù ñã có phương pháp chung giải gần ñúng phương trình phi tuyến f ( x ) = (phương pháp chia ñôi, phương pháp dây cung, phương pháp lặp, phương pháp tiếp tuyến cải biên), ña thức có ñặc thù riêng, cần xây dựng phương pháp giải số riêng cho ña thức Hơn nữa, không gian hàm ña thức trù mật không gian hàm liên tục, nên nghiên cứu tính chất ña thức phương pháp giải chúng có ý nghĩa quan trọng nghiên cứu tính chất phương pháp giải phương trình phi tuyến f ( x ) = ðể tìm hiểu phương pháp giải gần ñúng phương trình ña thức f n ( x ) = 0, với hướng dẫn PGS - TS Tạ Duy Phượng ñã chọn ñề tài: “ Giải gần ñúng phương trình ña thức” Luận văn ñã trình bày phương pháp ñánh giá nghiệm phương trình ña thức số phương pháp giải gần ñúng phương trình ña thức Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: ðánh giá nghiệm phương trình ña thức Trình bày số nghiệm phương trình ña thức ñánh giá khoảng (miền) chứa nghiệm phương trình ña thức Chương 2: Các phương pháp giải gần ñúng phương trình ña thức 2 Trình bày phương pháp chung giải gần ñúng phương trình ña thức phương pháp lặp tính tất nghiệm phương trình ña thức 3 NỘI DUNG Chương ðÁNH GIÁ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ðA THỨC 1.1 Số nghiệm phương trình ña thức 1.1.1 Số nghiệm phương trình ña thức khoảng Xét toán tìm số nghiệm thực phương trình ña thức với hệ số thực n f ( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + a2 x n− + + an −1 x + an = ∑ x n−i = (1.1.1) i =0 ñoạn [ a, b ] ðịnh lí 1.1.1.1 (Hermite, 1866; Poulain, 1867) Nếu ña thức (1.1.1) có hệ số thực ña thức n g ( x ) = ∑ ci x n−i , c0cn ≠ 0, i =0 có nghiệm thực, ña thức h ( x ) = c0 f ( n) ( x ) + c1 f ( n−1) ( x ) + + cn f ( x ) có số nghiệm thực tối thiểu nghiệm thực ña thức f ( x ) Nếu f ( x ) có nghiệm thực nghiệm bội h ( x ) = nghiệm bội f ( x ) ðịnh lí 1.1.1.2 (Obreshkov, 1963) Giả sử ña thức f ( x ) g ( x ) có bậc khác tối thiểu bậc nghiệm chung Khi ñiều kiện cần ñủ ñể nghiệm chúng thực, phân biệt tách ña thức h ( x ) = λ f ( x ) + µ g ( x ) có nghiệm thực phân biệt với số thực λ µ ðịnh lí 1.1.1.3 (Descartes) Số N nghiệm dương phương trình (1.1.1) nhỏ số lần ñổi dấu V dãy hệ số Nếu V − N > V – N số chẵn ðịnh lí 1.1.1.4 Nếu tất nghiệm phương trình (1.1.1) thực, số nghiệm dương số lần ñổi dấu dãy hệ số f ( x ) Số nghiệm âm số lần ñổi dấu dãy hệ số f ( − x ) ðịnh lí 1.1.1.5 Giả sử α > , số nghiệm dương phương trình (1.1.1) lớn số α không lớn số lần ñổi dấu V dãy f (α ) = α , f1 (α ) = a0α + a1 , f (α ) = a0α + a1α + a2 , … f n (α ) = f (α ) = a0α n + a1α n−1 + + an , V − N số chẵn Giả sử phương trình (1.1.1) có hệ số thực Dãy f ( x ) , f ′ ( x ) , , f ( n) ( x), (1.1.2) ñược gọi dãy hàm Fourier Ký hiệu V ( x ) số lần ñổi dấu hệ số dãy (1.1.2) ðịnh lí 1.1.1.6 (Budan, 1826; Fourier, 1831) Cho hai số thực tùy ý α β , α < β Số nghiệm N phương trình (1.1.1) nằm khoảng (α , β ) thỏa mãn ñiều kiện N ≤ V (α ) − V ( β ) Nếu V (α ) − V ( β ) − N > , hiệu V (α ) − V ( β ) − N số chẵn Ví dụ 1.1.1.1 Số nghiệm phương trình nằm khoảng f ( x ) = x4 − 3x2 + = ( −∞,0 ) , ( 0,2 ) , ( 2,3) , ( 3, +∞ ) có hai nghiệm nằm khoảng ( −∞,0 ) , khoảng ( 0,2 ) ( 2,3) có nghiệm, nghiệm nằm khoảng ( 3, +∞ ) ðịnh lí 1.1.1.7 (Laguerre) Giả sử chuỗi f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n + với hệ số thực hội tụ x < α Khi số không ñiểm f ( x ) khoảng [0,α ) vượt số lần ñổi dấu dãy hệ số Nếu số lần ñổi dấu hữu hạn chuỗi hội tụ x = α , hiệu số lần ñổi dấu dãy hệ số số không ñiểm hàm f ( x ) số nguyên chẵn ðịnh lí 1.1.1.8 (Laguerre) Giả sử f ( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + a2 x n −2 + + an−1 x + an ña thức với hệ số thực, giả sử với α > ta có f ( x) f (α ) = b0 x n −1 + b1 x n−2 + + bn −1 + x −α x −α Khi số nghiệm f ( x ) lớn α số lần ñổi dấu dãy b0 , b1 , , bn −1 , f (α ) nhỏ số nguyên chẵn Lập họ hàm số f ( x ) , f ′ ( x ) , R1 ( x ) , , Rk −1 ( x ) , Rk ( x ) = const, (1.1.3) Họ hàm số (1.1.3) ñược gọi họ hàm Sturm Những hàm số (1.1.3) ñược gọi hàm Sturm ðịnh lí 1.1.1.9 (Sturm,1829) Giả sử phương trình (1.1.1) có nghiệm ñơn Số nghiệm nằm khoảng ( a, b ) V (a) − V (b), ñó V (a) V (b) số lần ñổi dấu dãy (1.1.3) x = a x = b ðịnh lí 1.1.1.10 Số nghiệm ña thức (1.1.1) khoảng ( a, b ) tối thiểu V ( a) − V (b) , ñó V (a) V (b) số lần ñổi dấu dãy (1.1.3) x = a x = b ðịnh lí 1.1.1.11 Cho ña thức f ( x ) với hệ số thực, V ( x ) số lần ñổi dấu dãy f ( x ) , ∆ h f ( x ) , ∆ 2h f ( x ) , , ∆ nh f ( x ) , ñó ∆ h f ( x ) = f ( x + h ) − f ( x ) , ∆ kh f ( x ) = ∆ k −1 f ( x + h ) − ∆ k −1 f ( x ) , k = 1,2, , Số nghiệm dương khoảng ( a, b ) f ( x) không vượt V ( a1 ) − V ( b ) , ñó b − a = mh, m số nguyên a1 = a − ( n − 1) h Ví dụ 1.1.1.2 Tính giá trị hàm số f ( x ) = x − 61x + 60 , số ñiểm, ta ñược x f ( x ) = x − 61x + 60 60 10 20 Bảng 1.2 Theo Bảng 1.2 ta khẳng ñịnh ñược rằng, khoảng (1;2) chứa nghiệm hay 3 không Tính f   = − ta thấy khoảng (1;2) chứa nghiệm 2 Hơn nữa, < x1 < 3 < x2 < 2 Nhận xét x − 61x + 60 = ( x + 3) ( x − 27 x + 20 ) nên phương trình x − 61x + 60 = có ba nghiệm x1 = −3; x2 = ; x3 = 3 1.1.2 Số nghiệm phương trình ña thức miền Nguyên lý Argument khẳng ñịnh N−P= Var Argf ( z ) , 2π C ñó N P số không ñiểm cực ñiểm hàm f miền mở D mặt phẳng phức, C ñường cong Jordan biên D; Var Argf ( z ) thay C ñổi Argf ( z ) dọc theo ñường cong C với ñịnh hướng dương Cauchy người ñầu tiên áp dụng nguyên lí Argumen ñể xác ñịnh số nghiệm n ña thức f ( z ) = ∑ z n −i = (1.1.4) i =0 miền phức ñã cho Do ña thức cực nên nguyên lí Argumen ñược ñơn giản hóa Thật vậy, giả sử ña thức (1.1.4) nghiệm ñường cong ñóng C số nghiệm nằm bên C u1 , u2 , , uk nghiệm bên C v1 , v2 , , vm Kí hiệu z − u p = rp ( cos ϕ p + isin ϕ p ) , z − v p = t p ( cosψ p + isinψ p ) , p = 1, 2, , k ; p = 1,2, , m; f ( z ) = R ( cos φ + sin φ ) = P ( x ) + iQ ( x ) , k m s =1 s =1 f ( z ) = a0 ∏ ( z − us )∏ ( z − vs ) = R ( cosφ + sin φ ) , Từ ñẳng thức a0 = r ( cosϕ + isin ϕ ) , ta có k m s =1 s =1 φ = ϕ + ∑ϕ s + ∑ψ s Vì f ( z ) = R ( cosφ + isin φ ) = P ( x ) + iQ ( x ) nên P ( x ) = Rcosφ ; Q ( x ) = R sin φ ; tan φ = P ( x) Q( x) Khi z chạy ñường cong C , góc ϕi , i = 1,2, , k tăng theo 2π góc ψ i , i = 1,2, , m không thay ñổi giá trị (xem Hình 1.1) ðiều có nghĩa sau vòng quay z C , argument f ( z ) tăng 2kπ y ψs ϕp vs up x Hình 1.1 ðịnh lí 1.1.2.1 Số nghiệm ña thức f ( z ) = P ( z ) + iQ ( z ) nằm miền giới hạn ñường cong ñơn giản ñóng C nửa hiệu số lần thay ñổi Q từ âm sang P dương từ dương sang âm z quay vòng quanh C Hệ Nếu ña thức f ( z ) g(z) thỏa mãn bất ñẳng thức | f ( z ) |>|g(z)| ñường cong ñóng C phương trình f ( z ) = f ( z ) + g ( z ) = có số nghiệm bên C Hệ Nghiệm phương trình ñại số f ( z ) = hàm liên tục theo hệ số Hệ Nếu lim aim = , i = 0,1, , n, nghiệm ña thức m→∞ f m ( z ) = a0 m z n + a1m z n−1 + a2 m z n −2 + + anm , hội tụ tới nghiệm ña thức f ( z ) = a0 z n + a1 z n −1 + a2 z n −2 + + an , nghiệm ña thức f m ( z ) số thực nghiệm ña thức f ( z ) số thực Hệ Giả sử hệ số ña thức f ( z ) = an z n + an −1 z n−1 + an−2 z n −2 + + a0 thỏa mãn ñiều kiện a p > a0 + a1 + + a p −1 + a p +1 + + an Khi ñó ña thức f ( z ) có ñúng p nghiệm nằm ñĩa ñơn vị C ( 0;1) = { z : z < 1} Hệ (Pellet, 1924) Xét phương trình ña thức f ( z ) = an z n + an−1 z n −1 + + a0 Giả sử phương trình F ( z ) = a0 + a1 z + + a p −1 z p −1 + a p +1 z p +1 + + an z n = có hai nghiệm dương α , β , α < β , ñó ña thức f ( z ) có ñúng p nghiệm ñĩa z ≤ α nghiệm miền α < z < β ðịnh lí 1.1.2.2 (Biehler, 1879, Hermite, 1879) Nếu phương trình f ( z ) = U ( z ) + iV ( z ) có nghiệm nằm phía trục thực, ñó U(z) V(z) ña thức thực, nghiệm phương trình U(z)=0 V(z)=0 thực ñôi tách Nếu nghiệm ña thức thực U(z) V(z) có nghiệm thực ñôi tách nghiệm phương trình f ( z ) = U ( z ) + iV ( z ) nằm phía trục thực 1.2 ðánh giá khoảng (miền) chứa nghiệm ña thức 1.2.1 ðánh giá khoảng chứa nghiệm ña thức ðịnh lí 1.2.1.1 f ( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + a2 x n −2 + + an−1 x + an Giả sử ña thức có hệ số thực, giả sử (1.2.1) a0 > 0, a1 ≥ 0, a2 ≥, , am−1 ≥ 0, am < Nếu −a0α số lớn theo giá trị tuyệt ñối hệ số âm ña thức (1.2.1), chọn 1+α m làm cận nghiệm thực ðịnh lí 1.2.1.2 Giả sử ña thức với hệ số thực (1.2.1) có hệ số a0 = m hệ số âm −α i ; −α j ; −α k ; Khi chọn 1   max ( mα ) i , ( mα ) j ,  làm cận   nghiệm thực dương 1.2.2 ðánh giá miền chứa nghiệm ña thức ðịnh lí 1.2.2.1 (Cauchy, 1829) Giả sử f ( z ) = a0 z n + a1 z n−1 + a2 z n−2 + + an−1 z + an , a0 ≠ (1.2.2) ña thức Khi không ñiểm nằm ñĩa tròn có tâm gốc tọa ñộ bán kính nghiệm thực ñơn dương phương trình | a0 | r n = a1 r n−1 + a2 r n−2 + + an−1 r + an ðịnh lí 1.2.2.2 (Cauchy, 1829) Mọi nghiệm ña thức (1.2.2) thỏa mãn bất ñẳng thức 10 z ≤ + max ðặt a = max { a1 , , an } , a0 a′ = { a0 , , an−1 } ðịnh lí 1.2.2.3 Mọi nghiệm ña thức (1.2.2) thỏa mãn bất ñẳng thức an a ≤ z ≤1+ a′ + an a0 ðịnh lí 1.2.2.4 Nếu hệ số ña thức (1.2.2) ñều dương nghiệm z ña thức thỏa a a a a a  a  mãn α ≤ z ≤ β , ñó α =  , , , n  , β = m ax  , , , n  an−1  an−1   a0 a1  a0 a1 ðịnh lí 1.2.2.5 Giả sử d i > 0, i = 0,1, , n, d n ≥ a1 d n−1 + a2 d n− + + an d Khi ñó nghiệm phương trình ña thức (1.2.2) (với a0 = ) có 1   n     d d d  n  n n môñun lớn max  ,  , ,     d0    d n−1  d n −2    ðịnh lí 1.2.2.6 Không có nghiệm z phương trình ña thức (1.2.2) (với a0 = ) có  môñun lớn max n a1 , ( n a2  ) , , ( n an ) n    k  −1 max  ak  , k = 1,2, , n Cnk   n ðịnh lí 1.2.2.7 (Joyal, Labelle Rahman, 1967) ( ) Nếu B = max a j : ≤ j < n − nghiệm ña thức f ( z ) = z n + an−1 z n −1 + + a0 chứa hình tròn 1 z ≤ 1 + an−1 + 2 (1 − a ) n −1  + 4B   (1.2.3) 11 Hệ Mọi nghiệm ña thức (1.2.3) nằm hình tròn z≤ ( ) 1 + + B′ , ñó B′ = max an−1ak − ak −1 , a−1 = 0< k ≤ n −1 Hệ Mọi nghiệm ña thức (1.2.3) chứa hình tròn z ≤ + ( B′ ′) , ñó B′ ′= max (1 − an−1 ) ak + ak −1 , a−1 = 0< k ≤ n −1 ðịnh lí 1.2.2.8 (Joyal, Labelle, Rahman, 1967)  n −2 p  p ðặt B =  ∑ a j  , p > Mọi nghiệm ña thức (1.2.2) chứa hình tròn  j =0  z ≤ k , ñó k ≥ max (1, an−1 ) nghiệm phương trình (z −a ) n −1 q ( z − 1) − B q q = 0, 1 + = q p ðịnh lí 1.2.2.9 (Joyal, Labelle, Rahman, 1967) Nếu an ≥ an−1 ≥ ≥ a0 , nghiệm ña thức f ( z ) = an z n + an−1 z n−1 + + a0 chứa hình tròn z ≤ (1.2.4) an − a0 + a0 an Hệ Nếu an ≥ an−1 ≥ ≥ a0 ≥ 0, nghiệm ña thức (1.2.4) chứa hình tròn ñơn vị ðịnh lí 1.2.2.10 Giả sử A =  aij  ma trận phức n × n giả sử Ri tổng môñun phần tử ñường chéo dòng thứ i Khi giá trị riêng A nằm hình tròn z − aii ≤ Ri , i = 1, , n ðịnh lí 1.2.2.11 (Ballieu, 1947) Giả sử A1 , A2 , , An−1 dãy số dương bất kỳ, A0 = 0, A1 = Khi nghiệm (1.2.4) thỏa mãn bất ñẳng thức 12  A  z ≤ max  i +  0≤i ≤ n −1 A a A i n i + +   (1.2.5) ðịnh lí 1.2.2.12 (Datt, Govil, 1978) Mọi nghiệm ña thức P ( z ) = z n + an−1 z n −1 + + a0 nằm hình xuyến (1 + A ) a0 n −1 ( An + 1) ≤ z ≤ + Aλ0 , ( x − 1)( Ax + 1) ñó λ0 nghiệm phương trình n +1 = khoảng ( 0,1) A = max a j 0≤ j ≤ n −1 ðịnh lí 1.2.2.13 (Jain,1990) Mọi nghiệm ña thức P ( z ) = z n + an−1 z n−1 + + a0 nằm ñĩa z < + d0 r , (1 + xr ) ñó d0 nghiệm lớn phương trình n −1 (x r 2 + xrb − β ) + β = khoảng [0;1] nhỏ 1, ngoại trừ trường hợp β = Nếu β = d0=1 b = − an−1 , β = max a j , r = 0≤ j ≤ n − ( ðánh giá 1+d0r tốt ñạt ñược cho ña thức P ( z ) = z n − an −1 z n −1 − β ( z n −2 + + z + 1) Ví dụ 1.2.2.1 Xét ña thức P ( z ) = z + a4 z + a3 z + a2 z + a1 z + a0 , với a4 = 0.5; a3 = 0.3; a2 = 0.4; a1 = 0.4; a0 = 0.1 Bảng 1.4 cho ta ñánh giá theo ñịnh lí ðịnh lí ðánh giá ðịnh lí 1.2.2.2 z ≤ 1.5 ðịnh lí 1.2.2.7 z ≤ 1.43 ðịnh lí 1.2.2.12 R1 ≤ z ≤ R , R > 1.43 ðịnh lí 1.2.2.13 z ≤ 1.344 Bảng 1.4 ) −b + b + 4β 13 1.2.3 ðánh giá cận cận nghiệm dương ña thức Xét phương trình ña thức n −1 Pn , p ,q ( s ) = s − ( p + 1) ∑ q i s n−i −1 = 0, p ≥ 0, q > 0, n ≥ n (1.2.7) i =0 ðịnh lí 1.2.3.1 (Herzberger, 1986) Giả sử σ (p ,q ) nghiệm dương phương trình (1.2.7), n +1 n ( p + q + 1) < σ (pn,q) < p + q + 1, n +1 σ (pn,q) < σ (pn,q+1) , với n > (1.2.8) q p +1 Xét phương trình ña thức Pn ,a ,b ,c ( t ) = t − at n n −1 n −1 − b∑ c it n −i −1 = 0, a, b, c > i =1 Kí hiệu nghiệm dương phương trình τ a( ,b),c n ðịnh lí ñây cho ta ñánh giá ñánh giá τ a( ,b),c n ðịnh lí 1.2.3.2 (Herzberger [1986]) ðặt g = ( a + c ) − 4c ( a − b ) , ta có τ a( n,b),c < ( a + c + g ) = τ a ,b , c , τ a ,b ,c > c, limτ a( ,b),c = τ a ,b,c , n n→∞ Với n ≥ n0 ( a, b, c ) ta có bất ñẳng thức ) ( n a ( n + 1) + g n + 4c ( a − b ) < τ a( ,b),c ( n + 1) (1.2.9) ðịnh lí 1.2.3.3 (Petkovic M S, Petkovic L D, 1989) Với n ≥ , ta có τ a( n,b),c > a + b ( S1 + S2 ) , + bS1 (1.2.10) 14 ñó  n ( n − 1) , c = 1;   S1 =  c  n − 1) c n − nc n −1 + 1  ( , c ≠ 1,  c − ( )  ( n − 1) , c = 1;  S2 =  c n − c , c ≠   c −1 ðịnh lí 1.2.3.4 (Deutsch, 1982) Giả sử A = ( aij ) ma trận tối giản không âm cấp n × n giả sử x y vectơ dương thỏa mãn Ax = Dy, AT y = Dy , với ma trận ñường chéo dương D = diag ( d1 , d , , d n ) ñó Nếu x vectơ Perron A, y T Dx ρ ( A) > T , y x (1.2.11) ñó ρ ( A) bán kính phổ ma trận A ðịnh lí 1.2.3.5 (Deutsch, 1982) Sử dụng ký hiệu ðịnh lí 1.2.3.4, ta có xi yi ρ ( A) > t − ∏ ( t − di ) y x > T i y T Dx yT x (1.2.12) với t > ρ ( A ) + max ( d i − aii ) i ðịnh lí 1.2.3.6 (Kjurkchiev, Herzberger, 1992) n Nế u ∑a j =1 > 1, k = 1,2, , n, jk β 1+ β n −1 n  n    z > t1 + 2∑ tk −  ∑ tk  t1 − + 2∑ tk   , ñó β = ∑ ti +1 k =2 k =2 i=k    k =2  n Nhận xét Từ ñánh giá trên, ta nhận ñược ñánh giá cho σ (p ,q) : n σ p ,q > t − ( p + 1) ( q + q + + q (n)  n −1 ) ( t − 1)  γ 1+γ , n −1 ñó t = ( p + 1) (1 + q + q + + q n −1 ) , γ = ( p + 1) ∑ kq k k =1 (1.2.13) 15 Ví dụ 1.2.3.1 ða thức x = x + 0.4 x + 0.05 x + 0.005 x + 0.0005 x + 0.00005, có nghiệm dương σ (pn,q) = 5.1 n = 6, p = 4, q = 0.1 Các cận ñược tính theo ñịnh lí sau (Bảng 1.7): Công thức ðánh giá σ (pn,q) Công thức 1.2.8 σ (pn,q) > 4.371 Công thức 1.2.10 σ (pn,q) > 3.817 Công thức 1.2.13 σ (pn,q) > 4.815 Bảng 1.7 16 Chương CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ðÚNG PHƯƠNG TRÌNH ðA THỨC Trong chương ta tìm gần ñúng nghiệm phương trình ña thức f n ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + + an −1 x + an = (2.1.1) 2.1 Các phương pháp chung 2.1.1 Phương pháp Horner Giả sử nhờ cách ñó, thí dụ phương pháp bảng ta biết phần nguyên nghiệm phương trình (2.1.1) Khi nhờ phép ñổi biến ta ñi tìm phần thập phân thứ nhất, thứ hai,…cho tới ñộ xác cần thiết Ví dụ 2.1.1.1 Giải phương trình x − 61x + 60 = Phương trình có hai nghiệm < x1 < < x2 < 2 Vậy phương trình x − 61x + 60 = có hai nghiệm dương gần ñúng x1 ≈ 1.33 x1 ≈ 1.66 Nhận xét phương trình có ba nghiệm xác x1 = −3; x2 = ; x3 = (xem Thí dụ 1.1.1.2) 3 2.1.2 Phương pháp Lagrange Phương pháp Horner cho phép ta tìm gần ñúng nghiệm phương trình nhờ cách tính xác chữ số thập phân nó, ñó phương pháp Lagrange cho phép xác ñịnh gần ñúng nghiệm nhờ cách xác ñịnh phần ñầu biểu diễn liên phân số nghiệm Ví dụ 2.1.2.1 f ( x ) = x − 3x + x − 20 = Tìm nghiệm dương phương trình Vì φ ( 3) = nên z1 = Vậy x = + 2+ = 10 17 2.1.3 Phương pháp Bernoulli Một phương pháp Daniel Bernoulli ñể tìm nghiệm phương trình ñại số x n + a1 x n−1 + + an −1 x + an = 0, (2.1.2) dựa sở giải phương trình sai phân uk + a1uk −1 + + an−1uk −n+1 + anuk −n = (2.1.3) 2.1.4 Phương pháp Lobasepskii-Graeffe Phương pháp Lobasepskii-Graeffe dựa kĩ thuật bình phương nghiệm Một ưu ñiểm phương pháp bình phương nghiệm cho phép không cần biết trước khoảng chứa nghiệm thực, số nghiệm thực không cần tách nghiệm Tất toán ñược tự ñộng giải trình tính toán không phức tạp, chủ yếu phép toán cộng, trừ nhân số Phương pháp bình phương nghiệm cho phép tìm tất nghiệm (kể nghiệm phức) phương trình Thí dụ 2.1.4.1 Cho phương trình f ( x ) = x − 15 x + 16 x + 12 = Lập ña thức f1 ( x ) , f ( x ) , f3 ( x ) , f ( x ) lấy xác ñến ba chữ số sau dấu phẩy Nghiệm xác phương trình là: x1 = 6; x2 = 2; x3 = −0.5 2.1.5 Phương pháp Laguerre Dãy lặp giải số phương trình ñại số với nghiệm thực ñơn theo phương pháp Laguerre ñược xác ñịnh ñó φ ( x) = Z ( x) = x − φ ( x), nf ( x ) f ′( x ) ± ( n − 1) ( n − 1) f ′2 ( x ) − nf ( x ) f (′ ′x )  (2.1.4) ðịnh lí 2.1.5.1 Thậm chí trường hợp nghiệm phức, dãy lặp Laguerre xác ñịnh (2.1.4) hội tụ cấp ba tới nghiệm ñơn f ( z ) z0 ñủ gần ðịnh lí 2.1.5.2 (Kahan, 1967) Nếu f ( z ) ña thức bậc n dãy lặp Laguerre tồn 18 nghiệm α thỏa mãn α − zv ≤ n zv +1 − zv ðịnh lí 2.1.5.3 (Obreshkov, 1963) Phương pháp Lagurre hội tụ tuyến tính tới nghiệm α bội p Ký hiệu theo công thức an+1 = an + nf ( an ) − f ′ ( an ) + ε ( n − 1) ( n − 1) f ′2 ( an ) − nf ( an ) f (′ a′ n ) , (2.1.5) ε = ±1, n = 0,1,2, Van der Corput (1946) Obreshkov (1963) xét mở rộng công thức (2.1.5) an+1 = an + nf ( an ) n  − f ′ ( an ) + ε  − 1 ( n − 1) f ′2 ( an ) − nf ( an ) f (′ a′ n )  p  , (2.1.6) ε = ±1, n = 0,1,2, ðịnh lí 2.1.5.4 Dãy an công thức (2.1.6) hội tụ tới nghiệm α bội p ðịnh lí 2.1.5.5 Nếu ϕ ( b ) = , F ( b − x; x ) ≤ , ñó { } F (ξ ; x ) = {( x + ξ ) ξ f ′ ( x ) + xf ( x )} + x s ( x + ξ ) − { } ×  f ′ ′( x ) f ( x ) − f 2′( x )  ξ + f ( x ) , cho giá trị x thực, ña thức F (ξ ; x ) có nghiệm thực 2.1.6 Phương pháp Lehmer-Schur Cho phương trình f ( z ) = an z n + an −1 z n −1 + + a1 z + a0 , 1 Ký hiệu f * ( z ) = z n f   = an + an −1 z + + a1 z n−1 + a0 z n , z ñó a phần tử liên hợp a ðịnh lí 2.1.6.1 (Ralston, 1965) Giả sử f ( ) ≠ Nếu cho số h, < h < k , T h  f ( )  < , f có nghiệm nằm bên ñường tròn ñơn vị Nếu T i  f ( )  > với ≤ i < k T k −1  f ( z )  19 số, f nghiệm nằm bên ñường tròn ñơn vị { } Ở ñây T  f ( z )  = a0 f ( z ) − an f * ( z ) , T i  f ( z )  = T T i −1  f ( z )  Chú ý T  f ( )  = a0 a0 − an an = a0 − an 2.1.7 Phương pháp Baistow Nếu ña thức với hệ số thực f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + + an−1 x + an , (2.1.7) có nghiệm phức ta tìm ñược nghiệm phương pháp Newton Phương pháp Baistow trình bày ñây tránh ñược nhược ñiểm Phương pháp Baistow dựa ñịnh lí nói rằng, ña thức ñều phân tích ñược dạng tích thừa số bậc bậc hai 2.2 Các phương pháp lặp tính tất nghiệm ña thức 2.2.1 Phương pháp lặp không sử dụng ñạo hàm Xét ña thức bậc n ≥ 3, f ( x ) = x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 , (2.2.1) với nghiệm thực phức x1 , x2 , , xn Giả sử x1k , x2k , , xnk xấp xỉ phân biệt gần không ñiểm giả sử Q ( x ) = ∏ ( x − x kj ) cho n j =1 x = xik , i = 1,2, , n, ta có Q′ ( xik ) = ∏ ( xik − x kj ) n j ≠1 ðưa vào ký hiệu ∆ i = − f ( xik ) Q′ ( xik ) xik +1 = xik + ∆ i , i = 1,2, , n, nghiệm ña thức dạng k +1 i x , phương pháp cấp hai ñây tìm ñồng thời tất =x − k i f ( xik ) ∏( x n j ≠i k i −x k j ) , i = 1,2, ; k = 0,1,2, , ñó xik +1 dãy xấp xỉ tới nghiệm xi ñối tượng nhiều báo ðịnh lí 2.2.1.1 (Kjurkchev, Markov, 1983) Giả sử < q < , d = i ≠ j xi − x j < c ≤ d , ñó 1+ αn (2.2.2) 20 α = 1.7632283 nghiệm phương trình α = e α Nếu xấp xỉ ban ñầu { xi0 }i =1 n nghiệm { xi }i =1 phương trình (2.2.1) thỏa mãn bất ñẳng thức n xi0 − xi ≤ cq, i = 1,2, , n, (2.2.3) xik − xi ≤ cq k , i = 1,2, , n, bất ñẳng thức (2.2.4) ñúng cho xấp xỉ cho (2.2.2) với k = 1,2, ðịnh lí 2.2.1.2 (Andreev Kjurkchiev, 1989) Giả sử < q < , d = i ≠ j xi − x j c > số cho cq (1 + e ) ( d − e) ≤ 1, 0< Nếu phần tử ban ñầu { xi0 } n i = 1,2, , n; d − cq ( + e ) ) < nghiệm { xi }i =1 phương trình (2.2.1) thỏa mãn n i =1 bất ñẳng thức ( cne xi − xi0 ≤ cq, i = 1,2, , n , ñánh giá xik − xi ≤ cq ( R+2) k , k = 0,1, , ñúng Ví dụ 2.2.1.1 ða thức x + 3x8 − 3x − x + x5 + x + 99 x + 297 x − 100 x − 300 = có nghiệm phân biệt sau x1 = −3, x2,3 = ±1, x4,5 = ±2i, x6,7 = ± i, x8,9 = −2 ± i ðể tìm nghiệm phương pháp số, ta sử dụng xấp xỉ ban ñầu R = 0,1,3,6,9 x10 = −3.2 + 0.2i, x20 = −1.2 − 0.2i, x30 = 0.1 + 1.7i, x40 = −1.9 + 1.3i, x50 = −1.8 − 0.8i, x60 = 2.3 + 1.1i, x70 = 1.9 − 0.7i, x80 = 1.2 + 0.2i, x90 = 0.2 − 2.2i 2.2.2 Phương pháp lặp có sử dụng ñạo hàm ðịnh lí 2.2.2.1 Giả sử < q < 1, d = i ≠ j xi − x j c thỏa mãn bất phương trình d − 2c > 0,0 < cn A1 < 1, ( d − 2c ) 21 ñó A1 nghiệm phương trình A1 = e A1 1+ n Giả sử phương trình ñại số (2.2.15) có nghiệm ñơn Xét dãy lặp xik +1 = xik − H (x k i H (x )= k i ñó, ∆ sR ,k = − f ′ ( xik ) f ( xik ) )− ∑ x n k i β ≠i , − xβk0 − ∆ βR0,k , i = 1, , n; k = 0,1, , n ∑ k k R −1, k l ≠ s xs − xl − ∆ l (2.2.5) , s = 1, , n; k = 0,1, ∆ 0,j k = 0, j = 1, , n; k = 0,1, ðịnh lí 2.2.2.2 (Kjurkchiev Andreev, 1987) Giả sử < q < 1, d = i ≠ j xi − x j c > số cho d > 2c (1 + q ( 2n − 1) ) , −1    3cq c n ( d − c )( d − 2c − 2cq ) 1 − cq ( n − 1)   ≤ ( d − c )( d − 2c − 2cq )    Nếu xấp xỉ ban ñầu { xi0 } n (2.2.6) nghiệm { xi }i =1 thỏa mãn bất ñẳng thức n i =1 xi0 − xi ≤ cq, i = 1,2, , n, ñánh giá sau ñúng xik − xi ≤ cq ( R + 3) k , i = 1, , n; k = 0,1, Ví dụ 2.2.2.1 ða thức x + x8 − x − x + x + x + 99 x + 297 x − 100 x − 300 có nghiệm phân biệt x1 = −3, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 2i, x5 = −2i, x6 = + i, x7 = − i, x8 = −2 + i, x9 = −2 − i ðể tính nghiệm giải số, ta áp dụng phương pháp (2.2.6) với xấp xỉ ban ñầu 22 x10 = −3.2 + 0.2i, x20 = −1.2 − 0.2i, x30 = 0.1 + 1.7i, x40 = −1.9 + 1.3i, x50 = −1.8 − 0.8i, x60 = 2.3 + 1.1i, x70 = 1.9 − 0.7i, x80 = 1.2 + 0.2i, x90 = 0.2 − 2.2i, R = 0,1,3,6,9 2.2.3 Trường hợp nghiệm bội Xét ña thức bậc n , f ( x ) = x + an −1 x n n −1 sj + + a0 = ∏ ( x − x j ) , m (2.2.7) j =1 với nghiệm phức x1 , x2 , , xm có bội s1 , s2 , , sm , ñó s1 + s2 + + sm = n Phương pháp sau ñây Petkovic Stephanovic (1987):   f ( xik ) k +1 k  xi = xi − m sj  k k x − x + N ( ) ∏ i j j   j ≠i ñó N j = s j f ( x kj ) f ′ ( x kj )  si   ,    (2.2.8) Qui trình lặp (2.2.8) tăng tốc xấp xỉ tất nghiệm phương pháp Gauss-Seidel Trong phương pháp này, x j := x kj +1 , ( j < i ) , x j := x kj − N j , ( j > i ) vào ta thu ñược phương pháp bước lặp  m  m sj sj  xik +1 = xik −  f ( xik )  ∏ ( xik − x kj +1 ) ∏ ( xik − x kj + N j )   j >i  j≺i  i = 1, , m; k = 0,1, −1 si   ,  ðịnh lí 2.2.3.1 (Petkovic Stefnovic, 1987) Giả sử xấp xỉ ban ñầu x10 , , xm0 ñủ gần tới nghiệm x1 , , xm cho xi0 − xi ≤ q < 1, i = 1,2, , m Khi ñánh giá sau ñây ñúng cho phương pháp (2.2.9): OR ( ( 2.2.9 ) , x ) > λi ∈ ( 3,4 ) , ñó λi nghiệm dương phương trình gi ( λ ) = ( λ − 1) − ( λ − 1) 2i −1 − 2i −1 = i (2.2.9) 23 Dưới ñây xét hiệu sơ ñồ lặp (2.2.8) (2.2.9) cho ña thức Ví dụ 2.2.3.1 f ( x ) = x13 + x12 + x11 + 40 x10 + 133x + 153 x8 + 496 x +944 x + 755 x + 2239 x + 520 x + 2088 x + 135 x + 675 Nghiệm xác ña thức x1 = −3; x2,3 = ±i; x4,5 = ± 2i với bội s1 = 3; s2 = 3; s3 = 3; s4 = 2; s5 = Áp dụng phương pháp tất bước (2.2.8), sau ba bước lặp ta ñược kết x13 = −2,999999992637 + 1.72 10−8 i, x23 = 3.44 10−7 + 1.0000000768597i, x33 = 3.66 10−8 − 1.0000000539716i, x43 = 1.0000001906934 + 2.0000002663385i, x53 = 1.0000000207791 − 1.999999345501i, Cũng lấy giá trị ñầu trên, phương pháp bước (2.2.9) cho: x13 = −3.0000000008301 − 2.45 10−10 i, x23 = 3.12 10−9 + 0.9999999983808i, x33 = 1.46 10−10 − 1.0000000000997i, x43 = 1.0000000000141 + 1.9999999999943i, x53 = 0.9999999999995 − 2.0000000000002i, ðịnh lí 2.2.3.2 Giả sử nghiệm x1 , x2 , , xm phương trình (2.2.7) có bội tương ứng s1 , s2 , , sm , si > , i = 1,2, , m, s1 + s2 + + sm = n Giả sử d = i ≠ s xs − xi b = i ≠ s xs − xi Giả thiết có số q c ñể c > 0,0 < q < 1, d − 2c >  n  m s − vβ p  sβ   p  r  si  si −t − n sβ − r   c + max ×     b ( cq )  < ∑ ∑ ∑ ∏   ( d − 2c )  d − c i =1,2, ,m si u +∑ u t = s − v + + v + v + + v = t p = r = ≠ i β     p  r   i i −1 i +1 m u > 0,t > vk ≥ 0,k =1, ,i −1,i =1, , m   Nếu xấp xỉ ban ñầu x10 , , xm0 nghiệm x1 , , xm thỏa mãn ñiều kiện xi0 − xi < cq, i=1,2,…,m, với k = 0,1, i = 1,2, , m, bất ñẳng thức xik − xi ≤ cq ñúng, nghĩa k phương pháp (2.2.9) hội tụ bậc hai 24 KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu ñã ñạt ñược kết sau: • Trình bày ñánh giá số nghiệm (thực phức) ña thức khoảng miền ñánh giá khoảng (miền) chứa nghiệm ña thức • Trình bày phương pháp số giải phương trình ña thức, từ kết cổ ñiển (phương pháp Horner, Lagrange, Lobasepskii-Graeffe), ñến kết gần ñây theo tài liệu [4] Do thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ñược ñóng góp quý Thầy Cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! [...]... m, bất ñẳng thức xik − xi ≤ cq 2 ñúng, nghĩa là k phương pháp (2.2.9) hội tụ bậc hai 24 KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu ñã ñạt ñược những kết quả sau: • Trình bày các ñánh giá về số nghiệm (thực hoặc phức) của ña thức trên một khoảng hoặc trên một miền và các ñánh giá về khoảng (miền) chứa nghiệm của ña thức • Trình bày các phương pháp số giải phương trình ña thức, từ các kết quả cổ ñiển (phương pháp... phương trình 9 x 3 − 61x + 60 = 0 Phương trình này có hai nghiệm 1 < x1 < 3 < x2 < 2 2 Vậy phương trình 9 x 3 − 61x + 60 = 0 có hai nghiệm dương gần ñúng là x1 ≈ 1.33 và x1 ≈ 1.66 Nhận xét rằng vì phương trình này có ba nghiệm chính xác là 4 5 x1 = −3; x2 = ; x3 = (xem Thí dụ 1.1.1.2) 3 3 2.1.2 Phương pháp Lagrange Phương pháp Horner cho phép ta tìm gần ñúng nghiệm của phương trình nhờ cách tính chính xác... tìm gần ñúng nghiệm của phương trình ña thức f n ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + + an −1 x + an = 0 (2.1.1) 2.1 Các phương pháp chung 2.1.1 Phương pháp Horner Giả sử nhờ một cách nào ñó, thí dụ bằng phương pháp bảng ta biết phần nguyên của nghiệm của phương trình (2.1.1) Khi ấy nhờ một phép ñổi biến ta ñi tìm phần thập phân thứ nhất, thứ hai,…cho tới ñộ chính xác cần thiết Ví dụ 2.1.1.1 Giải phương trình. .. 1.2.3.1 ða thức x 6 = 5 x 5 + 0.4 x 4 + 0.05 x 3 + 0.005 x 2 + 0.0005 x + 0.00005, có nghiệm dương σ (pn,q) = 5.1 khi n = 6, p = 4, q = 0.1 Các cận dưới ñược tính theo các ñịnh lí là như sau (Bảng 1.7): Công thức ðánh giá σ (pn,q) Công thức 1.2.8 σ (pn,q) > 4.371 Công thức 1.2.10 σ (pn,q) > 3.817 Công thức 1.2.13 σ (pn,q) > 4.815 Bảng 1.7 16 Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ðÚNG PHƯƠNG TRÌNH ðA THỨC Trong... trong quá trình tính toán không phức tạp, chủ yếu là trên các phép toán cộng, trừ nhân các số Phương pháp bình phương nghiệm cho phép tìm tất cả các nghiệm (kể cả nghiệm phức) của phương trình Thí dụ 2.1.4.1 Cho phương trình f ( x ) = 2 x 3 − 15 x 2 + 16 x + 12 = 0 Lập các ña thức f1 ( x ) , f 2 ( x ) , f3 ( x ) , f 4 ( x ) lấy chính xác ñến ba chữ số sau dấu phẩy Nghiệm chính xác của phương trình này... trên cơ sở giải phương trình sai phân uk + a1uk −1 + + an−1uk −n+1 + anuk −n = 0 (2.1.3) 2.1.4 Phương pháp Lobasepskii-Graeffe Phương pháp Lobasepskii-Graeffe dựa trên kĩ thuật bình phương nghiệm Một trong những ưu ñiểm của phương pháp bình phương nghiệm là cho phép không cần biết trước khoảng chứa các nghiệm thực, số nghiệm thực và không cần tách nghiệm Tất cả các bài toán này ñược tự ñộng giải quyết... phân của nó, trong khi ñó phương pháp Lagrange cho phép xác ñịnh gần ñúng nghiệm nhờ cách xác ñịnh phần ñầu trong biểu diễn liên phân số của nghiệm Ví dụ 2.1.2.1 f ( x ) = 7 x 3 − 3x 2 + 4 x − 20 = 0 Tìm nghiệm dương của phương trình Vì φ ( 3) = 0 nên z1 = 3 Vậy x = 1 + 1 2+ 1 3 = 10 7 17 2.1.3 Phương pháp Bernoulli Một phương pháp của Daniel Bernoulli ñể tìm nghiệm của phương trình ñại số x n + a1... an 2.1.7 Phương pháp Baistow Nếu ña thức với các hệ số thực f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + + an−1 x + an , (2.1.7) có nghiệm phức thì ta không thể tìm ñược nghiệm ấy bằng phương pháp Newton Phương pháp Baistow trình bày dưới ñây tránh ñược nhược ñiểm ấy Phương pháp Baistow dựa trên ñịnh lí nói rằng, mọi ña thức ñều phân tích ñược dưới dạng tích của các thừa số bậc nhất và bậc hai 2.2 Các phương pháp... nghiệm dương của ña thức Xét phương trình ña thức n −1 Pn , p ,q ( s ) = s − ( p + 1) ∑ q i s n−i −1 = 0, p ≥ 0, q > 0, n ≥ 2 n (1.2.7) i =0 ðịnh lí 1.2.3.1 (Herzberger, 1986) Giả sử σ (p ,q ) là nghiệm dương duy nhất của phương trình (1.2.7), khi ấy n +1 n ( p + q + 1) < σ (pn,q) < p + q + 1, n +1 σ (pn,q) < σ (pn,q+1) , và với n > (1.2.8) q p +1 Xét phương trình ña thức Pn ,a ,b ,c ( t ) = t − at... 0.8i, x60 = 2.3 + 1.1i, x70 = 1.9 − 0.7i, x80 = 1.2 + 0.2i, x90 = 0.2 − 2.2i 2.2.2 Phương pháp lặp có sử dụng ñạo hàm ðịnh lí 2.2.2.1 Giả sử 0 < q < 1, d = min i ≠ j xi − x j và c thỏa mãn bất phương trình d − 2c > 0,0 < cn A1 < 1, ( d − 2c ) 21 trong ñó A1 là nghiệm của phương trình A1 = e 1 A1 1 1+ n Giả sử phương trình ñại số (2.2.15) có nghiệm ñơn Xét dãy lặp xik +1 = xik − 1 H (x k i H (x )= k ... Trình bày phương pháp chung giải gần ñúng phương trình ña thức phương pháp lặp tính tất nghiệm phương trình ña thức 3 NỘI DUNG Chương ðÁNH GIÁ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ðA THỨC 1.1 Số nghiệm phương. .. Công thức 1.2.8 σ (pn,q) > 4.371 Công thức 1.2.10 σ (pn,q) > 3.817 Công thức 1.2.13 σ (pn,q) > 4.815 Bảng 1.7 16 Chương CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ðÚNG PHƯƠNG TRÌNH ðA THỨC Trong chương ta tìm gần. .. khoảng (miền) chứa nghiệm ña thức • Trình bày phương pháp số giải phương trình ña thức, từ kết cổ ñiển (phương pháp Horner, Lagrange, Lobasepskii-Graeffe), ñến kết gần ñây theo tài liệu [4] Do