Giải gần đúng phương trình đa thức

Vì vậy phải xây dựng các phương pháp giải gần ñúng phương trình ña thức f n x =0 không cần qua công thức nghiệm.. Mặc dù ñã có các phương pháp chung giải gần ñúng phương trình phi tuyến

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này ñược thực hiện và hoàn thành tại trường ðại học Sư phạm Hà

Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sư – Tiến sĩ Tạ Duy

Phượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất ñối với

thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ðại học sư phạm Hà

Nội 2, phòng Sau ðại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các thày cô ñã tạo

mọi ñiều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc chương trình cao học và hoàn

thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các ñồng nghiệp, gia ñình, người thân, bạn

bè, …, ñã ñộng viên và tạo mọi ñiều kiện thuận lợi ñể tác giả hoàn thành bản

luận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2012 Tác giả

ðỗ Thị Huyền

LỜI CAM ðOAN

Tôi xin cam ñoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các ñề tài khác

Tôi cũng xin cam ñoan rằng mọi sự giúp ñỡ cho việc thực hiện luận văn này ñã ñược cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn ñã ñược chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2012 Tác giả

ðỗ Thị Huyền

MỤC LỤC

MỞ đẦU 4

NỘI DUNG 6

Chương 1 đánh giá nghiệm của phương trình ựa thức 6

1.1 Số nghiệm của phương trình ựa thức 6

1.1.1.Số nghiệm của phương trình ựa thức trong một khoảngẦẦẦẦ 6

1.1.2.Số nghiệm của phương trình ựa thức trong một miềnẦẦẦẦ 14

1.2.đánh giá khoảng (miền) chứa nghiệm của phương trình ựa thức 19 1.2.1.đánh giá khoảng chứa nghiệm của phương trình ựa thứcẦẦẦ 19

1.2.2.đánh giá miền chứa nghiệm của phương trình ựa thứcẦẦẦẦ 20

1.2.3.đánh giá cận trên và cận dưới nghiệm dương của phương trình ựa thứcẦẦẦ 27

Chương 2 Các phương pháp giải gần ựúng phương trình ựa thức 32

2.1 Các phương pháp chung 32

2.1.1 Phương pháp Horner ẦẦẦ 32

2.1.2 Phương pháp LagrangeẦẦẦ 36

2.1.3 Phương pháp BernoulliẦẦẦ 39

2.1.4 Phương pháp Lobasepskii-GraeffeẦẦẦ 42

2.1.5 Phương pháp LaguerreẦẦẦ 47

2.1.6 Phương pháp Lehmer-SchurẦẦẦ 51

2.1.7 Phương pháp BaistowẦẦẦ 53

2.2.Các phương pháp lặp tắnh tất cả các nghiệm của ựa thứcẦẦẦ 57

2.2.1 Phương pháp lặp không sử dụng ựạo hàm 57

2.2.2 Phương pháp lặp có sử dụng ựạo hàmẦẦẦ 64

2.2.3 Trường hợp nghiệm bộiẦẦẦ 71

KẾT LUẬN ẦẦẦ 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

f x = (công thức Cardano hoặc công thức Ferrari), nhưng các công thức

ấy khá cồng kềnh, chứa nhiều căn thức, vì vậy không thuận lợi trong sử dụng,

và cũng chỉ tính ñược gần ñúng nghiệm thông qua tính gần ñúng căn thức Với n ≥ 5 thì nói chung phương trình f n( )x =0 không giải ñược (không có công thức biểu diễn nghiệm qua các hệ số a a0, , ,1 a n và các phép toán số học

cơ bản Vì vậy phải xây dựng các phương pháp giải gần ñúng phương trình ña thức f n( )x =0 (không cần qua công thức nghiệm)

Mặc dù ñã có các phương pháp chung giải gần ñúng phương trình phi tuyến

( ) 0

f x = (phương pháp chia ñôi, phương pháp dây cung, phương pháp lặp, phương pháp tiếp tuyến và các cải biên), nhưng ña thức có những ñặc thù riêng, vì vậy cần xây dựng các phương pháp giải số riêng cho ña thức Hơn nữa, bởi vì không gian các hàm ña thức trù mật trong không gian các hàm liên tục, nên nghiên cứu các tính chất của ña thức và phương pháp giải chúng cũng

có ý nghĩa quan trọng trong nghiên cứu các tính chất và phương pháp giải phương trình phi tuyến f x( )=0

2 Mục ñích nghiên cứu

Tìm hiểu và trình bày các phương pháp giải gần ñúng phương trình

ña thức fn( ) x = 0.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các phương pháp giải gần ñúng phương trình ña thức f n( )x =0

4 ðối tượng và phạm vi nghiên cứu

ðối tượng nghiên cứu: ða thức f n( )x =0

Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan ñến giải gần ñúng phương trình ña thức

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu

Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích và giải tích số ñể tiếp cận và giải quyết vấn ñề

6 Dự kiến ñóng góp của luận văn

Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về giải gần ñúng phương trình ña thức

Cộng tác với Thày hướng dẫn, bổ sung và hoàn chỉnh bản thảo cuốn sách

Phương trình ña thức

NỘI DUNG

Chương 1 ðÁNH GIÁ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ðA THỨC

1.1 Số nghiệm của phương trình ña thức

1.1.1 Số nghiệm của phương trình ña thức trong một khoảng

Xét bài toán tìm số nghiệm thực của phương trình ña thức với các hệ số thực

Năm 1690, trong bài báo Traite d’Algebre của mình, Rolle ñã chứng minh

rằng, giữa hai nghiệm liên tiếp của (1.1.1), ña thức ñạo hàm f′( )x có

nghiệm Từ ñây suy ra, nếu phương trình (1.1.1) có m nghiệm trên ñoạn

[ ]a b thì phương trình , f′( )x =0 có ít nhất m−1 nghiệm trên ñoạn [ ]a b ,

có số nghiệm thực tối thiểu bằng nghiệm thực của ña thức f x Nếu ( ) f x ( )

chỉ có nghiệm thực thì mỗi nghiệm bội của h x( )=0cũng là nghiệm bội của

( )

f x

ðịnh lí Hermite-Poulain là một công cụ quan trọng ñể chứng minh sự tồn

tại nghiệm trong một số trường hợp Ví dụ:

(a) Giả sử ña thức

x

n =∑= i = cũng chỉ có các nghiệm thực

(c) Ký hiệu toán tử vi phân Df := f′ Khi ấy ña thức h x trong ðịnh lí ( )

Hermite-Poulain có thể viết dưới dạng toán tử

tỏ rằng ña thức ϕ( )x =b f x0 ( )+b f1 ′( )x + + b f n ( )n ( )x có ít hơn hoặc bằng

số nghiệm của ña thức f x Thật vậy, chỉ cần áp dụng ðịnh lí Hermite- ( ).Poulain cho ña thức ϕ( )x và sử dụng ñẳng thức f x( ) ( ) ( )= g D ϕ x

(d) Với mỗi số thực bất kỳ α∉ −( n,0 ,) ña thức α f x( )+xf′( )x có không

ít hơn số nghiệm của ña thức bậc n với các hệ số thực

ðịnh lí 1.1.1.2 (Obreshkov, 1963)

Giả sử ña thức f x và ( ) g x có bậc khác nhau tối thiểu là một bậc và ( )

không có nghiệm chung Khi ấy ñiều kiện cần và ñủ ñể các nghiệm của chúng

là thực, phân biệt và tách nhau là ña thức h x( )=λf x( )+µg x( ) chỉ có nghiệm thực phân biệt với mọi số thực λ và µ

Descartes ñã ñưa ra phương pháp (qui tắc dấu Descartes) xác ñịnh cận trên của số nghiệm dương của một phương trình ña thức với hệ số thực

Với một ña thức với hệ số thực bậc ,n ta nói rằng, giữa hai hệ số liên tiếp

có một lần ñổi dấu, nếu hai hệ số ñó trái dấu nhau Ví dụ, số lần ñổi dấu của các hệ số trong ña thức x5+3x4−6x3+ =9 0 là 2

ðịnh lí 1.1.1.3 (Descartes)

Số N nghiệm dương của phương trình (1.1.1) nhỏ hơn hoặc bằng số lần ñổi dấu V trong dãy các hệ số của nó Nếu V − >N 0 thì V – N là một số chẵn

của phương trình f x( )=0 nằm trong khoảng ( )0;α α, >0, không lớn hơn

số lần ñổi dấu V của dãy

ñược gọi là dãy hàm Fourier

Ký hiệu ( )V x là số lần ñổi dấu của các hệ số trong dãy (1.1.2)

ðịnh lí 1.1.1.6 (Budan, 1826; Fourier, 1831)

Cho hai số thực tùy ý α và β, α β< Số nghiệm N của phương trình

(1.1.1) nằm trong khoảng (α β, ) thỏa mãn ñiều kiện N ≤V( ) ( )α −V β Nếu V( ) ( )α −V β − >N 0, thì hiệu V( ) ( )α −V β −N là một số chẵn

ðịnh lí 1.1.1.3 là hệ quả của ðịnh lí 1.1.1.6 Thật vậy, dãy (1.1.2) tại x=0

là a a n, n−1, 2!a n−2, 3!a n−3, ,(n−1 ! , ! ) a n a1 0

(số lần ñổi dấu của họ hàm này bằng số lần ñổi dấu của dãy các hệ số

0, ,1 2, , n1, n

a a a a − a trong ñịnh lí Descartes)

Khi x→ ∞, dấu của mọi hàm trong dãy (1.1.2) ñều trùng với dấu của a0,nghĩa là V( )∞ =0,V =V( )0 Số nghiệm dương của (1.1.1) là số nghiệm nằm trong khoảng ( )0,∞ và số lần ñổi dấu V của f x là ( ) V =V( ) ( )0 −V ∞

Laguerre ñã mở rộng ñịnh lí về dấu các nghiệm của Descartes

khoảng [0, )α không thể vượt quá số lần ñổi dấu trong dãy các hệ số Nếu số lần ñổi dấu là hữu hạn và chuỗi hội tụ tại x=α, thì hiệu giữa số lần ñổi dấu của dãy hệ số và số không ñiểm của hàm f x là một số nguyên chẵn ( )

Giả sử phương trình (1.1.1) chỉ có nghiệm ñơn

Lập họ hàm số

( ) ( ) ( ), , 1 , , k 1( ) ( ), k const,

f x f′ x R x R − x R x = (1.1.3) theo qui tắc sau ñây:

Chia f x cho ( ) f′( )x và ký hiệu phần dư là −R x1( ) Sau ñó chia f′( )x

cho R x ñược phần dư là 1( ) −R x2( )

Tiếp tục quá trình này cho tới khi ñược R k( )x =const

Quá trình trên thực chất là quá trình tìm ước chung lớn nhất của f x và ( ) ( )

f′ x

Vì phương trình (1.1.1) ñược giả thiết là chỉ có nghiệm ñơn nên f x và ( ) ( )

f′ x nguyên tố cùng nhau, nghĩa là ước chung lớn nhất của chúng, hay phần

dư cuối cùng R k( )x trong quá trình chia ở trên sẽ là một số khác không Giả

sử quá trình chia kết thúc sau k bước, ta ký hiệu phần dư cuối cùng là

Họ hàm số (1.1.3) ñược gọi là họ hàm Sturm Những hàm số trong (1.1.3) ñược gọi là hàm Sturm

Chúng ta cũng gọi các họ hàm nhận ñược từ họ hàm (1.1.3) khi nhân với một số dương là họ hàm Sturm

Họ hàm Sturm có thể ñược mở rộng bằng cách thay họ hàm Sturm (1.1.3) bằng họ hàm ña thức bất kỳ (không nhất thiết phải ñược tính qua ñạo hàm như trong họ hàm Sturm):

( ) ( ) ( ), 1 , 2 , , m 1( ) ( ), m ,

f x f x f x … f − x f x (1.1.4) thỏa mãn các tính chất (tương tự các tính chất của họ hàm Sturm(1.1.3)): 1) Hai hàm cạnh nhau không ñồng thời bằng 0 tại một ñiểm;

2) Nếu hàm ở trong dãy bằng 0 tại x=c thì giá trị tại ñó của hàm bên phải

và bên trái phải có dấu ngược nhau;

3) Hàm cuối cùng f m( )x không ñổi dấu

ðịnh lí sau xác ñịnh chính xác số nghiệm thực của phương trình ña thức (1.1.1)

ðịnh lí 1.1.1.9 (Sturm,1829)

Giả sử phương trình (1.1.1) chỉ có nghiệm ñơn Số nghiệm của nó nằm trong khoảng ( )a b bằng ( ), V a −V b( ), trong ñó ( ) V a và ( ) V b là số lần ñổi dấu của dãy (1.1.3) tại x=a và x=b

Theo Bảng 1.2 ta không thể khẳng ñịnh ñược rằng, khoảng (1;2) chứa

nghiệm hay không Tính 3 9

Vì (V −∞ −) V(0) 1= nên phương trình có một nghiệm âm

Vì V(1)−V(2)=2 nên phương trình có hai nghiệm dương trong khoảng (1;2)

π

trong ñó N và P là số không ñiểm và cực ñiểm của hàm f trong miền mở

D của mặt phẳng phức, C là ñường cong Jordan và là biên của D ;

=

=∑ = (1.1.5) trên một miền phức ñã cho Do ña thức không có cực nên nguyên lí Argumen

ñược ñơn giản hóa Thật vậy, giả sử ña thức (1.1.5) không có nghiệm trên

ñường cong ñóng C và số các nghiệm nằm ở bên trong C là u u1, 2, ,u và k

các nghiệm ở bên ngoài C là v v1, , ,2 v m

P x( ) Rcos ; Q x( ) Rsin ; tan P x( ) ( ).

Nhận xét rằng với mỗi thay ñổi của φ theo 2 ,π tanφ ñổi dấu hai lần từ giá

trị âm sang giá trị dương Do ñó, sau khi z chạy trên ñường cong C ñược một

vòng, φ tăng lên 2kπ Kí hiệu p là số lần tanφ triệt tiêu khi φ ñi từ âm sang

dương và kí hiệu q là số lần thay ñổi dấu của tanφ, khi φ ñi từ dương sang

âm Khi ấy p− =q 2 k

ñường cong ñơn giản ñóng C bằng nửa hiệu số lần thay ñổi của Q

P từ âm sang dương và từ dương sang âm khi z quay một vòng quanh C

ðịnh lí này ñược chứng minh trên cơ sở xét sự thay ñổi của Argument và

có một loạt hệ quả sau ñây

Hệ quả 1

Nếu ña thức f z và g(z) thỏa mãn bất ñẳng thức |( ) f z |>|g(z)| trên ( )

ñường cong ñóng C thì phương trình f z( )=0 và f z( ) ( )+g z =0 có cùng

số nghiệm bên trong C

thuộc ñĩa có tâm tại ñiểm (1;0) và bán kính nhỏ hơn 1 Do ñó Arg(1+u)

không thể thay ñổi giá trị của nó sau một vòng quay của z quanh C Theo

Giả sử ( )f α =0 và trong ñĩa Dρ ={z z:| − ≤α ρ| } ña thức f z không có ( )

nghiệm Vì f z( )≠0 trên Cρ ={z z:| − =α ρ| }, nên tồn tại ña thức g z sao ( )

cho f − <g f trên Cρ và các hệ số của g z sai khác các hệ số tương ứng ( )

của f z tương ñối nhỏ Theo ðịnh lí 1.1.2.1, số nghiệm của ( ) g z bên ( )

trong Cρ bằng bội của α Vì ρcó thể chọn tùy ý nên suy ra ñiều phải chứng minh

Từ định lắ 1.1.2.1 suy ra rằng số nghiệm của phương trình f z( )=0 và 0

có hai nghiệm dương , ,α β α β< , khi ựó ựa thức f z có ựúng p nghiệm ( )

trong ựĩa z ≤α và không có nghiệm trong miền α < <z β

Nguyên lắ Argumen cũng ựược áp dụng trong ựịnh lắ sau

định lắ 1.1.2.2 (Biehler, 1879, Hermite, 1879)

Nếu phương trình f z( )=U z( )+iV z( ) có nghiệm chỉ nằm về một phắa của trục thực, trong ựó U(z) và V(z) là các ựa thức thực, thì các nghiệm của phương trình U(z)=0 và V(z)=0 là thực và ựôi một tách nhau

Nếu các nghiệm của ựa thức có các hệ số thực U(z) và V(z) chỉ có nghiệm thực và ựôi một tách nhau thì nghiệm của phương trình f z( )=U z( )+iV z( )

nằm về một phắa của trục thực

1.2 đánh giá khoảng (miền) chứa nghiệm của ựa thức

1.2.1 đánh giá khoảng chứa nghiệm của ựa thức

Cận trên của khoảng chứa nghiệm của phương trình ựa thức với hệ số thực

Xét bài toán tìm cận trên của khoảng chứa nghiệm của phương trình ựa thức với hệ số thực

định lắ 1.2.1.1

Giả sử ựa thức

của nghiệm thực dương

1.2.2 đánh giá miền chứa nghiệm của ựa thức

Miền chứa nghiệm của phương trình ựa thức hệ số bất kỳ

Các ựịnh lắ dưới ựây cho ựánh giá nghiệm của ựa thức bất kỳ (hệ số không nhất thiết phải là các số thực)

ðịnh lí 1.2.2.7 (Joyal, Labelle và Rahman, 1967)

Nếu B=max( a j : 0≤ < −j n 1) thì mọi nghiệm của ña thức

z z

−

− ta ñược

1 1

, 1

j j

hình tròn z ≤k, trong ñó k ≥max 1,( a n−1) là nghiệm của phương trình ( 1) ( )

ðịnh lí 1.2.2.9 (Joyal, Labelle, Rahman, 1967)

Nếu a n ≥a n−1≥ ≥ a0, thì mọi nghiệm của ña thức

Kết quả cũng ñúng nếu ta xét các cột của A

Trong các ứng dụng,ta thường sử dụng các hình tròn lớn hơn

a a a a C

a a

2 1

1

3 2

+ trong ñó n là số nguyên dương và A>0.

Khi ấy nếu nA≤1 thì f x là hàm tăng khi ( ) x≥0. Nếu nA<1 thì tồn tại số

n j

Như vậy, nếu λ0 là nghiệm duy nhất của phương trình

11

(theo Bổ ñề ) trong khoảng ( )0,1 thì mỗi λ λ> 0 thỏa mãn bất ñẳng thức

(1.2.7) và do ñó P z( ) >0 trên hình tròn z = +1 λA, suy ra mọi nghiệm của

<

ðịnh lí ñược chứng minh

đánh giá trên của Cauchy cũng có thể ựược làm mạnh như sau

1.2.3 đánh giá cận trên và cận dưới nghiệm dương của ựa thức

Mục này trình bày phương pháp xác ựịnh ựánh giá trên và ựánh giá dưới nghiệm dương duy nhất của phương trình

Từ các ñịnh lí Cauchy 1.2.2.1-1.2.2.2 ta biết rằng, với phương trình có hệ

số phức, mặc dù biết (1.2.9) có nghiệm dương hoặc biết ñánh giá trên của nó,

ta vẫn chưa thể tách nghiệm này ra khỏi các nghiệm khác ðịnh lí dưới ñây cho ta một ñánh giá cơ bản Xét phương trình ña thức

Kí hiệu nghiệm dương duy nhất của phương trình trên là ( )

n

τ < + + =τ τa b c, , >c, ( )

, , , ,lim a b c n a b c,

n n

c S

c c

Nếu x không phải là vectơ Perron của A, khi ấy

( ) ,

T T

y Dx A

y x

ρ > (1.2.14)

z=ρ A > −t ∏ t −d

1 1

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ðÚNG PHƯƠNG TRÌNH ðA THỨC

Trong chương này ta sẽ tìm gần ñúng nghiệm của phương trình ña thức ( ) 1

2.1 Các phương pháp chung

2.1.1 Phương pháp Horner

Giả sử nhờ một cách nào ñó, thí dụ bằng phương pháp bảng ta biết phần nguyên của nghiệm của phương trình (2.1.1) Khi ấy nhờ một phép ñổi biến ta

ñi tìm phần thập phân thứ nhất, thứ hai,…cho tới ñộ chính xác cần thiết

Giả sử, ví dụ, nhờ kiểm tra ñiều kiện f c( ) (0 f c0 + <1) 0, ta biết trong khoảng (c c0; 0+1) phương trình ña thức (2.1.1) có nghiệm x1 và x1 có dạng

( )

φ = (2.1.5)

có nghiệm Y1=c c c c1, 2 3 4 Sau khi xác ñịnh phần nguyên c1 của Y1=c c c c1, 2 3 4 , ta ñặt

Y − =c1 z (2.1.6)

và biến ñổi phương trình(2.1.5) về phương trình

Q z2( )=0 (2.1.7) Phép ñổi biến

Nếu chúng ta tìm ñược Z1=c c c2, 3 4 chính xác không chỉ ñến hàng ñơn vị

mà ví dụ ñến hàng trăm, tức là nếu khẳng ñịnh ñược

hệ số với 1,10,10 ,10 , (nếu dùng biến ñổi (2.1.11) thì phải nhân các hệ số 2 3

Trước tiên ta ñi tìm 3< <Y1 4 (1.3< <x1 1.4 )

Phân tích φ( )Y theo lũy thừa của Y −3 nhờ sơ ñồ Horner (Bảng 2.3):

Phương pháp Horner cho phép ta tìm gần ñúng nghiệm của phương trình

nhờ cách tính chính xác lần lượt các chữ số thập phân của nó, trong khi ñó

phương pháp Lagrange cho phép xác ñịnh gần ñúng nghiệm nhờ cách xác

ñịnh phần ñầu trong biểu diễn liên phân số của nghiệm

Giả sử ñã biết phương trình với các hệ số thực

F y = có nghiệm dương lớn hơn 1 (Phương trình (2.1.12) có bao nhiêu

nghiệm trong khoảng (q q0; 0+1) thì phương trìnhF y( )=0 có bấy nhiêu

Giả sử q là số nguyên mà 1 q1< < +y1 q1 1 Phép ñổi biến y q1 1

111

q q q

= +

++

sẽ là nghiệm hữu tỉ

Như vậy trong phương pháp Lagrange, nghiệm hữu tỉ ñược xác ñịnh một cách tự ñộng ðây chính là ưu ñiểm của phương pháp Lagrange so với các phương pháp tính gần ñúng nghiệm khác Nếu nghiệm x là vô tỉ thì nó biểu 1

diễn dưới dạng liên phân số vô hạn và ñược tính ñến ñộ chính xác bất kỳ nhờ cắt cụt liên phân số (tức là lần lượt tính ñược q q q0, ,1 2, )

Phân tích f x theo bậc của ( ) x q0 1

y

− = và tìm ñược các hệ số của phân

tích ấy theo sơ ñồ Horner Bởi vì x q0 1

y

− = nên phương trình ña thức với ẩn

là y có các hệ số là hệ số của phương trình vừa tìm theo thứ tự ngược lại

12 19 18 7 0