Giải gần đúng phương trình đa thức

1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này ñược thực hiện và hoàn thành tại trường ðại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sư – Tiến sĩ Tạ Duy Phượng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất ñối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ðại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau ðại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các thày cô ñã tạo mọi ñiều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các ñồng nghiệp, gia ñình, người thân, bạn bè, …, ñã ñộng viên và tạo mọi ñiều kiện thuận lợi ñể tác giả hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 7 năm 2012 Tác giả ðỗ Thị Huyền 2 LỜI CAM ðOAN Tôi xin cam ñoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các ñề tài khác. Tôi cũng xin cam ñoan rằng mọi sự giúp ñỡ cho việc thực hiện luận văn này ñã ñược cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn ñã ñược chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 7 năm 2012 Tác giả ðỗ Thị Huyền 3 MỤC LỤC MỞ ðẦU 4 NỘI DUNG 6 Chương 1. ðánh giá nghiệm của phương trình ña thức 6 1.1. Số nghiệm của phương trình ña thức 6 1.1.1.Số nghiệm của phương trình ña thức trong một khoảng………… 6 1.1.2.Số nghiệm của phương trình ña thức trong một miền………… 14 1.2.ðánh giá khoảng (miền) chứa nghiệm của phương trình ña thức 19 1.2.1.ðánh giá khoảng chứa nghiệm của phương trình ña thức………. 19 1.2.2.ðánh giá miền chứa nghiệm của phương trình ña thức…………. 20 1.2.3.ðánh giá cận trên và cận dưới nghiệm dương của phương trình ña thức…………………………………………………………………… 27 Chương 2. Các phương pháp giải gần ñúng phương trình ña thức 32 2.1. Các phương pháp chung 32 2.1.1. Phương pháp Horner ………………………………… 32 2.1.2. Phương pháp Lagrange…………………………………………. 36 2.1.3. Phương pháp Bernoulli…………………………………………. 39 2.1.4. Phương pháp Lobasepskii-Graeffe…………………………… 42 2.1.5. Phương pháp Laguerre……………………………… 47 2.1.6. Phương pháp Lehmer-Schur……………………………………. 51 2.1.7. Phương pháp Baistow………………………………………… 53 2.2.Các phương pháp lặp tính tất cả các nghiệm của ña thức………. 57 2.2.1. Phương pháp lặp không sử dụng ñạo hàm 57 2.2.2. Phương pháp lặp có sử dụng ñạo hàm……………… 64 2.2.3. Trường hợp nghiệm bội……………………………………… 71 KẾT LUẬN ……………… 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 4 MỞ ðẦU 1. Lí do chọn ñề tài Xét ña thức ( ) 1 0 1 1 0 0 ( 0). n n n n n f x a x a x a x a a − − = + + + + = ≠ V ớ i 1 n = và 2 n = ta có công th ứ c nghi ệ m ñể gi ả i ph ươ ng trình ( ) 0. n f x = V ớ i 3 n = và 4 n = ta c ũ ng có công th ứ c nghi ệ m ñể gi ả i ph ươ ng trình ( ) 0 n f x = (công th ứ c Cardano ho ặ c công th ứ c Ferrari), nh ư ng các công th ứ c ấ y khá c ồ ng k ề nh, ch ứ a nhi ề u c ă n th ứ c, vì v ậ y không thu ậ n l ợ i trong s ử d ụ ng, và c ũ ng ch ỉ tính ñượ c g ầ n ñ úng nghi ệ m thông qua tính g ầ n ñ úng c ă n th ứ c. V ớ i n ≥ 5 thì nói chung ph ươ ng trình ( ) 0 n f x = không gi ả i ñượ c (không có công th ứ c bi ể u di ễ n nghi ệ m qua các h ệ s ố 0 1 , , , n a a a và các phép toán s ố h ọ c c ơ b ả n. Vì v ậ y ph ả i xây d ự ng các ph ươ ng pháp gi ả i g ầ n ñ úng ph ươ ng trình ñ a th ứ c ( ) 0 n f x = (không c ầ n qua công th ứ c nghi ệ m). M ặ c dù ñ ã có các ph ươ ng pháp chung gi ả i g ầ n ñ úng ph ươ ng trình phi tuy ế n ( ) 0 f x = (ph ươ ng pháp chia ñ ôi, ph ươ ng pháp dây cung, ph ươ ng pháp l ặ p, ph ươ ng pháp ti ế p tuy ế n và các c ả i biên), nh ư ng ñ a th ứ c có nh ữ ng ñặ c thù riêng, vì v ậ y c ầ n xây d ự ng các ph ươ ng pháp gi ả i s ố riêng cho ñ a th ứ c. H ơ n n ữ a, b ở i vì không gian các hàm ñ a th ứ c trù m ậ t trong không gian các hàm liên t ụ c, nên nghiên c ứ u các tính ch ấ t c ủ a ñ a th ứ c và ph ươ ng pháp gi ả i chúng c ũ ng có ý ngh ĩ a quan tr ọ ng trong nghiên c ứ u các tính ch ấ t và ph ươ ng pháp gi ả i ph ươ ng trình phi tuy ế n ( ) 0. f x = 2. Mục ñích nghiên cứu Tìm hi ể u và trình bày các ph ươ ng pháp gi ả i g ầ n ñ úng ph ươ ng trình ñ a th ứ c ( ) 0. n f x = 5 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hi ể u các ph ươ ng pháp gi ả i g ầ n ñ úng ph ươ ng trình ñ a th ứ c ( ) 0. n f x = 4. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu ðố i t ượ ng nghiên c ứ u: ð a th ứ c ( ) 0. n f x = Ph ạ m vi nghiên c ứ u: Các bài báo và các tài li ệ u trong và ngoài n ướ c liên quan ñế n gi ả i g ầ n ñ úng ph ươ ng trình ñ a th ứ c. 5. Phương pháp nghiên cứu S ử d ụ ng ph ươ ng pháp nghiên c ứ u tài li ệ u. S ử d ụ ng các ki ế n th ứ c và công c ụ c ủ a gi ả i tích và gi ả i tích s ố ñể ti ế p c ậ n và gi ả i quy ế t v ấ n ñề . 6. Dự kiến ñóng góp của luận văn Xây d ự ng lu ậ n v ă n thành m ộ t tài li ệ u t ổ ng quan và tham kh ả o t ố t cho sinh viên và h ọ c viên cao h ọ c v ề gi ả i g ầ n ñ úng ph ươ ng trình ñ a th ứ c. C ộ ng tác v ớ i Thày h ướ ng d ẫ n, b ổ sung và hoàn ch ỉ nh b ả n th ả o cu ố n sách Phương trình ña thức . 6 NỘI DUNG Chương 1 ðÁNH GIÁ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ðA THỨC 1.1. Số nghiệm của phương trình ña thức 1.1.1. Số nghiệm của phương trình ña thức trong một khoảng Xét bài toán tìm s ố nghi ệ m th ự c c ủ a ph ươ ng trình ñ a th ứ c v ớ i các h ệ s ố th ự c ( ) 1 2 0 1 2 1 0 0 n n n n n i n n i i f x a x a x a x a x a a x − − − − = = + + + + + = = ∑ (1.1.1) trên ñ o ạ n [ ] , . a b N ă m 1690, trong bài báo Traite d’Algebre c ủ a mình, Rolle ñ ã ch ứ ng minh r ằ ng, gi ữ a hai nghi ệ m liên ti ế p c ủ a (1.1.1), ñ a th ứ c ñạ o hàm ( ) f x ′ có nghi ệ m. T ừ ñ ây suy ra, n ế u ph ươ ng trình (1.1.1) có m nghi ệ m trên ñ o ạ n [ ] , a b thì ph ươ ng trình ( ) 0 f x ′ = có ít nh ấ t 1 m − nghi ệ m trên ñ o ạ n [ ] , . a b ðịnh lí 1.1.1.1 (Hermite, 1866; Poulain, 1867) N ế u ñ a th ứ c (1.1.1) có các h ệ s ố th ự c và ñ a th ứ c ( ) 0 0 , 0, n n i i n i g x c x c c − = = ≠ ∑ ch ỉ có các nghi ệ m th ự c, thì ñ a th ứ c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 n n n h x c f x c f x c f x − = + + + có s ố nghi ệ m th ự c t ố i thi ể u b ằ ng nghi ệ m th ự c c ủ a ñ a th ứ c ( ) . f x N ế u ( ) f x ch ỉ có nghi ệ m th ự c thì m ỗ i nghi ệ m b ộ i c ủ a ( ) 0 h x = c ũ ng là nghi ệ m b ộ i c ủ a ( ) . f x ðị nh lí Hermite-Poulain là m ộ t công c ụ quan tr ọ ng ñể ch ứ ng minh s ự t ồ n t ạ i nghi ệ m trong m ộ t s ố tr ườ ng h ợ p. Ví d ụ : 7 (a) Gi ả s ử ñ a th ứ c 0 ( ) 0 n n i n i i g x a x − = = = ∑ ch ỉ có nghi ệ m th ự c. Gi ả s ử 0 0, n a a ≠ t ứ c là ph ươ ng trình ( ) 0 g x = không có nghi ệ m 0. x = ðặ t 1 , y x = ta suy ra ph ươ ng trình 0 ( ) 0 n i i i g x a x = = = ∑ cũng chỉ có các nghiệm thực. (b) ðặt ( ) . n f x x = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) ; 1 ; ; ( ) 1 1 ; n n k n k f x nx f x n n x f x n n n k x − − − ′ ′′ = = − = − − + ( ) ( 2) 2 2 ( 1) ( ) ! ! ( ) 1 3 ; ( ) ; ( ) ! 2! 1! n n n n n f x n n x x f x x f x n − − = − = = = Áp dụng ñịnh lí 1.1.1.1 với 0 ( ) n n i n i i g x a x − = = ∑ ta suy ra, ña thức ( ) 2 1 0 1 2 1 ! ! ! 2! n n n n n h x n a n a x a x na x a x − − = + + + + cũng chỉ có các nghiệm thực. Do ñó ña thức 0 ( ) 0 ! ! n i i i h x a x n i = = = ∑ cũng chỉ có các nghiệm thực. (c) Ký hiệu toán tử vi phân : . Df f ′ = Khi ấy ña thức ( ) h x trong ðịnh lí Hermite-Poulain có thể viết dưới dạng toán tử ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 . n n n h x c D f x c D f x c f x g D f x − = + + + = Vì 0 0 n c c ≠ nên ( ) 0 0 0. g c = ≠ Khai tri ể n ( ) 2 0 1 2 1 b b x b x g x = + + + ch ứ ng t ỏ r ằ ng ñ a th ứ c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 n n x b f x b f x b f x ϕ ′ = + + + có ít h ơ n ho ặ c b ằ ng s ố nghi ệ m c ủ a ñ a th ứ c ( ) . f x Th ậ t v ậ y, ch ỉ c ầ n áp d ụ ng ðị nh lí Hermite- Poulain cho ñ a th ứ c ( ) x ϕ và s ử d ụ ng ñẳ ng th ứ c ( ) ( ) ( ) . f x g D x ϕ = (d) V ớ i m ỗ i s ố th ự c b ấ t k ỳ ( ) ,0 , n α ∉ − ñ a th ứ c ( ) ( ) f x xf x α ′ + có không 8 ít h ơ n s ố nghi ệ m c ủ a ñ a th ứ c b ậ c n v ớ i các h ệ s ố th ự c. ðịnh lí 1.1.1.2 (Obreshkov, 1963) Gi ả s ử ñ a th ứ c ( ) f x và ( ) g x có b ậ c khác nhau t ố i thi ể u là m ộ t b ậ c và không có nghi ệ m chung. Khi ấ y ñ i ề u ki ệ n c ầ n và ñủ ñể các nghi ệ m c ủ a chúng là th ự c, phân bi ệ t và tách nhau là ñ a th ứ c ( ) ( ) ( ) h x f x g x λ µ = + ch ỉ có nghi ệ m th ự c phân bi ệ t v ớ i m ọ i s ố th ự c λ và . µ Descartes ñ ã ñư a ra ph ươ ng pháp (qui t ắ c d ấ u Descartes) xác ñị nh c ậ n trên c ủ a s ố nghi ệ m d ươ ng c ủ a m ộ t ph ươ ng trình ñ a th ứ c v ớ i h ệ s ố th ự c. V ớ i m ộ t ñ a th ứ c v ớ i h ệ s ố th ự c b ậ c , n ta nói r ằ ng, gi ữ a hai h ệ s ố liên ti ế p có m ộ t l ầ n ñổ i d ấ u, n ế u hai h ệ s ố ñ ó trái d ấ u nhau. Ví d ụ , s ố l ầ n ñổ i d ấ u c ủ a các h ệ s ố trong ñ a th ứ c 5 4 3 3 6 9 0 x x x + − + = là 2. ðịnh lí 1.1.1.3 (Descartes) S ố N nghi ệ m d ươ ng c ủ a ph ươ ng trình (1.1.1) nh ỏ h ơ n ho ặ c b ằ ng s ố l ầ n ñổ i d ấ u V trong dãy các h ệ s ố c ủ a nó. N ế u 0 V N − > thì V – N là m ộ t s ố ch ẵ n. ðịnh lí 1.1.1.4 N ế u t ấ t c ả các nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình (1.1.1) là th ự c, thì s ố nghi ệ m d ươ ng b ằ ng s ố l ầ n ñổ i d ấ u trong dãy các h ệ s ố c ủ a ( ) f x . S ố nghi ệ m âm b ằ ng s ố l ầ n ñổ i d ấ u trong dãy các h ệ s ố c ủ a ( ) f x − . ðịnh lí 1.1.1.5 Gi ả s ử 0, α > s ố nghi ệ m d ươ ng c ủ a ph ươ ng trình (1.1.1) l ớ n h ơ n s ố α không l ớ n h ơ n s ố l ầ n ñổ i d ấ u V trong dãy ( ) 0 , f α α = ( ) 1 0 1 , f a a α α = + ( ) 2 2 0 1 2 , f a a a α α α = + + 9 … ( ) ( ) 1 0 1 , n n n n f f a a a α α α α − = = + + + và V N − là m ộ t s ố ch ẵ n. Áp d ụ ng ñị nh lý này vào ph ươ ng trình 1 , n x f n       ta suy ra r ằ ng s ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình ( ) 0 f x = n ằ m trong kho ả ng ( ) 0; , 0, α α > không l ớ n h ơ n s ố l ầ n ñổ i d ấ u V c ủ a dãy , n a 1 , n n a a α − + 2 1 2 , n n n a a a α α − − + + ………. 2 1 2 0 , n n n n a a a a α α α − − + + + + và V N − là m ộ t s ố ch ẵ n. Gi ả s ử ph ươ ng trình (1.1.1) có các h ệ s ố th ự c. Dãy ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , n f x f x f x ′ (1.1.2) ñượ c g ọ i là dãy hàm Fourier. Ký hi ệ u ( ) V x là s ố l ầ n ñổ i d ấ u c ủ a các h ệ s ố trong dãy (1.1.2). ðịnh lí 1.1.1.6 (Budan, 1826; Fourier, 1831) Cho hai s ố th ự c tùy ý α và β , . α β < S ố nghi ệ m N c ủ a ph ươ ng trình (1.1.1) n ằ m trong kho ả ng ( ) , α β th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ( ) ( ) N V V α β ≤ − . N ế u ( ) ( ) 0 V V N α β − − > , thì hi ệ u ( ) ( ) V V N α β − − là m ộ t s ố ch ẵ n. ðị nh lí 1.1.1.3 là h ệ qu ả c ủ a ðị nh lí 1.1.1.6. Th ậ t v ậ y, dãy (1.1.2) t ạ i 0 x = là ( ) 1 2 3 1 0 , , 2! , 3! , , 1 ! , ! . n n n n a a a a n a n a − − − − (s ố l ầ n ñổ i d ấ u c ủ a h ọ hàm này b ằ ng s ố l ầ n ñổ i d ấ u c ủ a dãy các h ệ s ố 0 1 2 1 , , , , , n n a a a a a − trong ñị nh lí Descartes). 10 Khi , x → ∞ d ấ u c ủ a m ọ i hàm trong dãy (1.1.2) ñề u trùng v ớ i d ấ u c ủ a 0 , a ngh ĩ a là ( ) 0, V ∞ = ( ) 0 V V = . S ố nghi ệ m d ươ ng c ủ a (1.1.1) là s ố nghi ệ m n ằ m trong kho ả ng ( ) 0, ∞ và s ố l ầ n ñổ i d ấ u V c ủ a ( ) f x là ( ) ( ) 0 . V V V = − ∞ Ví dụ 1.1.1.1 S ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình ( ) 4 2 3 2 0 f x x x = − + = n ằ m trong kho ả ng ( ) ,0 , −∞ ( ) 0,2 , ( ) 2,3 , ( ) 3, +∞ là xác ñị nh theo B ả ng 1.1. x −∞ 0 2 3 +∞ ( ) 4 2 3 2 f x x x = − + + +2 -2 +56 + ( ) ' 3 4 6 f x x x = − - 0 +20 +90 + ( ) '' 2 12 6 f x x = − + -6 +42 +102 + ( ) ''' 24 f x x = - 0 +48 +72 + ( ) ( ) 4 24 f x = +24 +24 +24 +24 +24 ( ) V x 4 2 1 0 0 B ả ng 1.1 T ừ B ả ng 1.1 ta th ấ y r ằ ng có hai nghi ệ m n ằ m trong kho ả ng ( ) ,0 , −∞ trong m ỗ i kho ả ng ( ) 0,2 và ( ) 2,3 có m ộ t nghi ệ m, không có nghi ệ m nào n ằ m trong kho ả ng ( ) 3, . +∞ Laguerre ñ ã m ở r ộ ng ñị nh lí v ề d ấ u các nghi ệ m c ủ a Descartes. ðịnh lí 1.1.1.7 (Laguerre) Gi ả s ử chu ỗ i ( ) 2 0 1 2 n n f x a a x a x a x = + + + + + v ớ i các h ệ s ố th ự c h ộ i t ụ khi . x α < Khi ấ y s ố không ñ i ể m c ủ a ( ) f x trong [...]... (2.1.3) ñưa ta ñ n phương trình có nghi m tương ng y1 = 0, c1c2c3 Sau ñó nh phép ñ i bi n y= Y 10 ta thay phương trình (2.1.2) b ng phương trình (2.1.4) 33 φ1 (Y ) = 0 (2.1.5) có nghi m Y1 = c1 , c2c3c4 Sau khi xác ñ nh ph n nguyên c1 c a Y1 = c1 , c2c3c4 , ta ñ t Y − c1 = z (2.1.6) và bi n ñ i phương trình( 2.1.5) v phương trình Q2 ( z ) = 0 (2.1.7) Phép ñ i bi n z= Z 10 (2.1.8) ñưa phương trình v d ng... cho l p phương trình ña th c 2.1 Các phương pháp chung 2.1.1 Phương pháp Horner Gi s nh m t cách nào ñó, thí d b ng phương pháp b ng ta bi t ph n nguyên c a nghi m c a phương trình (2.1.1) Khi y nh m t phép ñ i bi n ta ñi tìm ph n th p phân th nh t, th hai,…cho t i ñ chính xác c n thi t Gi s , ví d , nh ki m tra ñi u ki n f ( c0 ) f ( c0 + 1) < 0 , ta bi t trong kho ng ( c0 ; c0 + 1) phương trình ña... 1.7 32 Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I G N ðÚNG PHƯƠNG TRÌNH ðA TH C Trong chương này ta s tìm g n ñúng nghi m c a phương trình ña th c f n ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + + an −1 x + an = 0 (2.1.1) Có th coi ña th c như hàm s b t kỳ và áp d ng các phương pháp s gi i g n ñúng phương trình phi tuy n Tuy nhiên, khai thác công th c và các tính ch t ñ c thù c a ña th c, ta có th ñưa ra các phương pháp s gi i... 1.66 < x2 < 1.67 V y phương trình 9 x 3 − 61x + 60 = 0 có hai nghi m dương g n ñúng là x1 ≈ 1.33 và x1 ≈ 1.66 Nh n xét r ng vì phương trình này có ba nghi m chính xác là 4 5 x1 = −3; x2 = ; x3 = (xem Thí d 1.1.1.2) 3 3 2.1.2 Phương pháp Lagrange Phương pháp Horner cho phép ta tìm g n ñúng nghi m c a phương trình nh cách tính chính xác l n lư t các ch s th p phân c a nó, trong khi ñó phương pháp Lagrange... phương trình v i các h s th c f ( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + + an −1 x + an = 0, có nghi m trong kho ng ( q0 ; q0 + 1) , nghĩa là x1 = q0 + α = q0 + (2.1.12) 1 , y trong ñó 0 < α < 1 (và y >1 ) là m t s dương chưa bi t Phép ñ i bi n x = q0 + 1 ñưa phương trình (2.1.12) v phương trình y F ( y ) = 0 có nghi m dương l n hơn 1 (Phương trình (2.1.12) có bao nhiêu nghi m trong kho ng ( q0 ; q0 + 1) thì phương. .. = 1 nên phương trình có m t nghi m âm Vì V (1) − V (2) = 2 nên phương trình có hai nghi m dương trong kho ng (1;2) Nh n xét r ng vì 9 x 3 − 61x + 60 = ( x + 3) ( 9 x 2 − 27 x + 20 ) nên phương trình 4 5 9 x 3 − 61x + 60 = 0 có ba nghi m x1 = −3; x2 = ; x3 = 3 3 Phương pháp b ng nhi u khi d n ta t i d ñoán sai l m là m t kho ng ch ch a m t nghi m, m c dù có th nó ch a ñ n 3 nghi m K t lu n Phương pháp... như trư c tiên ta phân tích P ( x ) theo b c c a x − c0 , Q1 (Y ) theo b c c a Y − c1 ,… Phương trình (2.1.3) chuy n sang phương trình (2.1.5) ch nh phép nhân các h s v i 1,10,102 ,103 , (n u dùng bi n ñ i (2.1.11) thì ph i nhân các h s 34 v i 1,103 ,106 , ) Ví d 2.1.1.1 Gi i phương trình 9 x 3 − 61x + 60 = 0 Phương trình này có hai nghi m 1 < x1 < ð t x =1+ 3 < x2 < 2 2 Y Phân tích f ( x ) = 9 x 3 −... ≤ a0 + a1 + + a p −1 + a p +1 + + an < a p = a p z p 19 T ð nh lí 1.1.2.1 suy ra r ng s nghi m c a phương trình f ( z ) = 0 và a p z p = 0 trong ñĩa C ( 0;1) = { z : z < 1} b ng nhau, t c là b ng p H qu 5 (Pellet, 1924) Xét phương trình ña th c f ( z ) = an z n + an−1 z n −1 + + a0 Gi s phương trình F ( z ) = a0 + a1 z + + a p −1 z p −1 + a p +1 z p +1 + + an z n = 0 có hai nghi m dương α , β... 1.1.2.2 (Biehler, 1879, Hermite, 1879) N u phương trình f ( z ) = U ( z ) + iV ( z ) có nghi m ch n m v m t phía c a tr c th c, trong ñó U(z) và V(z) là các ña th c th c, thì các nghi m c a phương trình U(z)=0 và V(z)=0 là th c và ñôi m t tách nhau N u các nghi m c a ña th c có các h s th c U(z) và V(z) ch có nghi m th c và ñôi m t tách nhau thì nghi m c a phương trình f ( z ) = U ( z ) + iV ( z ) n m... 1.2.2.13 z ≤ 1.344 B ng 1.4 1.2.3 ðánh giá c n trên và c n dư i nghi m dương c a ña th c M c này trình bày phương pháp xác ñ nh ñánh giá trên và ñánh giá dư i nghi m dương duy nh t c a phương trình 28 n x n = ∑ pk x n−k , pk ≥ 0, k = 1,2, , n (1.2.9) k =1 T các ñ nh lí Cauchy 1.2.2.1-1.2.2.2 ta bi t r ng, v i phương trình có h s ph c, m c dù bi t (1.2.9) có nghi m dương ho c bi t ñánh giá trên c a nó, ta . nghiệm của phương trình ña thức 6 1.1. Số nghiệm của phương trình ña thức 6 1.1.1.Số nghiệm của phương trình ña thức trong một khoảng………… 6 1.1.2.Số nghiệm của phương trình ña thức. nghiệm dương của phương trình ña thức ………………………………………………………………… 27 Chương 2. Các phương pháp giải gần ñúng phương trình ña thức 32 2.1. Các phương pháp chung 32 2.1.1. Phương pháp. (miền) chứa nghiệm của phương trình ña thức 19 1.2.1.ðánh giá khoảng chứa nghiệm của phương trình ña thức ……. 19 1.2.2.ðánh giá miền chứa nghiệm của phương trình ña thức ………. 20 1.2.3.ðánh