Ứng dụng phương trình sai phân trong xử lý tín hiệu và lọc số

Một số ứng dụng của phương trình sai phân trong xử lý tín hiệu và lọc số 3.1.3.. Qua luận văn này tôi hy vọng bước đầu làm quen với việc nghiên cứu ứng dụng của toán học vào các ngành

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình, chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô Phòng Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, bạn bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 9 năm 2011

Tác giả

Trần Thị Thắm

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo , đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình và chu đáo của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng

Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Luận văn với đề tài “Ứng dụng phương trình sai phân trong xử lí tín hiệu và lọc số” không có sự trùng lặp

Người cam đoan

Trần Thị Thắm

Chương 2 Phương trình sai phân tuyến tính

2.2 Dạng tổng quát của phương trình sai phân 24 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số 26 2.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số 26 2.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng số 31

Chương 3 Một số ứng dụng của phương trình sai phân

trong xử lý tín hiệu và lọc số

3.1.3 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính 36

3.3 Hệ thống tuyến tính và nhân quả

3.9 Phân tích hệ thống LTI trong miềm Z 65

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan tới phương trình sai phân Vì vậy việc nghiên cứu phương trình sai phân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học và toán học ứng dụng Nhiều hiện tượng khoa học và kĩ thuật dẫn đến các bài toán phương trình sai phân,

giải các bài toán đó dẫn đến giải các phương trình sai phân

Chúng ta đều biết rằng việc số hóa các thiết bị Điện tử - Viễn thông đã

và đang được thực hiện rất mạnh mẽ trên toàn thế giới cũng như ở Việt Nam Chính vì vậy mà xử lý thông tin và lọc số đã trở thành một ngành khoa học và

kĩ thuật Để tiếp cận với ngành khoa học này chúng ta cần được trang bị

những kiến thức cơ bản không thể thiếu được của xử lý tín hiệu và lọc số

Vấn đề này đã được PGS TS Nguyễn Quốc Trung đề cập đến trong cuốn sách: “Xử lý tín hiệu và lọc số” nhưng trong luận văn của mình tôi muốn

đề cập và đi sâu hơn về ứng dụng của phương trình sai phân trong xử lý tín hiệu và lọc số

Qua luận văn này tôi hy vọng bước đầu làm quen với việc nghiên cứu ứng dụng của toán học vào các ngành khoa học và kĩ thuật mới trong đó có ngành xử lý tín hiệu và lọc số

Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô!

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương trình sai phân và ứng dụng của phương trình sai phân trong xử lý tín hiệu và lọc số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Các cách giải phương trình sai phân

Dựa vào phương trình sai phân để xét tính đệ quy hay không đệ quy của hệ thống, tìm đáp ứng xung và sự ổn định của hệ thống, tìm hàm truyền đạt của hệ thống, xét tính nhân quả của hệ thống, xét sự tương quan của hai hệ thống

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Cách giải các dạng phương trình sai phân và các ứng dụng của trong xử lý

tín hiệu và lọc số

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về phương trình sai phân và ứng dụng của nó trong xử lý tín hiệu và lọc số

6 Giả thuyết khoa học (hoặc Dự kiến đóng góp mới, nếu đề tài không

thuộc chuyên ngành Giáo dục học)

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.Dãy số

Gọi M là tập hợp n  số tự nhiên đầu tiên: 1 M 0,1, 2, ,n Một hàm

số x xác định trên tập M được gọi là một dãy số hữu hạn và tập giá trị của

dãy số hữu hạn này là:

x(0)x x0, (1)x1, , ( )x n  x n

Một hàm số x xác định trên tập N được gọi là dãy số vô hạn ( gọi tắt là

dãy số) và tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử là:

1 1 0

Đây là vế phải của (1.2) Suy ra (1.2) đúng  k N*

Vậy công thức (1.1) đúng với *

Đây là điều phải chứng minh

Tính chất 3 Sai phân cấp k của đa thức bậc m là:

i) Đa thức bậc m  , nếu k k m

ii) Hằng số, nếu k m

iii) Bằng 0 , nếu km Chứng minh: Theo tính chất 2 thì sai phân cấp k cũng là toán tử tuyến tính,

nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức P n m( )n m là đủ



Suy ra

1os

2sin x

2sin2

22sin2

x x

x x

x x

22sin2

x x

1.2.3.2 Tìm số hạng tổng quát của dãy số

Ví dụ 1.2.3.4 Cho dãy số: 1, 2, 2,1, 7,16, 28,   Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó

2

1

a c

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

2.1 Phương trình sai phân tuyến tính

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính

giữa sai phân các cấp

Định nghĩa 2 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm x là một biểu n

thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm x tại các điểm khác nhau n

L x h n a x0 n k a x1 n k 1 a x k n  f n (2.1) trong đó L là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm h x , xác định trên n

lưới có bước lưới h; a i i 0,1, 2, ,k với a0  0,a k  0là các hằng số hoặc các hàm số của n , được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; f n là hàm số

của n được gọi là vế phải; x n là các giá trị cần tìm được gọi ẩn

Phương trình (2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k vì

để tính được tất cả các giá trị x , ta phải cho trước n k giá trị liên tiếp của x n

rồi tính các giá trị còn lại của x theo công thức truy hồi n

Định nghĩa 3 Nếu f  thì (2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính n 0thuần nhất

Nếu f  thì (2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần n 0nhất

Nếu f  và n 0 a a0, , ,1 a là các hằng số với k a0  0,a k  0thì (2.1) gọi là

phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng số:

Định lí 2 Nếu x n1, ,x nk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (2.2) thì

nghiệm tổng quát của (2.2) có dạng:

x n C x1 n1C x2 n2  C x k nk



với C C1, 2, ,C k là các hằng số tùy ý

Chứng minh

   , điều này luôn đúng do tính độc lập

tuyến tính của các vectơ nghiệm x n1,x n2, ,x nk đã cho ở giả thiết

Ta đi tìm nghiệm x n



của (2.2) và *

n

x của (2.1), từ đó ta tìm nghiệm x của n

(2.1) Do phương trình (2.2) luôn có nghiệm x  nên để tìm nghiệm tổng n 0quát ta tìm nghiệm x của (2.2) dưới dạng n x n C  n,C 0, , thay 0

Ta gọi (2.3) là phương trình đặc trưng của (2.2) (cũng là phương trình đặc trưng của (2.1)) Nghiệm x của (2.2) và n x của (2.1) phụ thuộc cốt yếu vào .n

cấu trúc nghiệm của (2.3)

Định lí 3 (Từ các trường hợp về cấu trúc nghiệm của (2.3) cho ta nghiệm

n

x của (2.2))

Trường hợp 1: Nếu (2.3) có k nghiệm thực phân biệt  1, 2, , kthì

nghiệm tổng quát của x của (2.2) có dạng: n

i i i

i i i

Điều phải chứng minh

Trường hợp 2: Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm thực  j bội s

thì ngoài nghiệm  j ta lấy thêm các véc tơ bổ sung n, 2 n, , s 1 n

Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm phức

Ví dụ 2.1.2.1 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sau:

có các nghiệm 1 (bội 3), 1 2   Với nghiệm 2 1 (bội 3 ) ngoài 1

nghiệm 1n ta bổsung thêm nghiệm n 1n n n, 21n n2

Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là:

Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là:

12 ( 1 2 3 2) os ( 1 2 3 2) os

n n

các tham số trong các dạng nghiệm này

Trường hợp 1: f là đa thức bậc n m của n , tức là f n P n m m( ), N

Do tính tuyến tính của phương trình sai phân nên nghiệm riêng x*ni có dạng:

2.2 Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính

Mọi phương trình sai phân tuyến tính đều có thể đưa về dạng chính tắc:

y n1 A y  n f y n, 0

cho trước trong đó y n



là một vectơ có các thành phần là các giá trị của hàm lưới x ; n f n

là vectơ của n ; A là một toán tử tuyến tính

Cách làm như sau: Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k k  3

x n+k = a x 1 n+k -1 + a x 2 n+k -2 +…+ a x + f k n n

với a a1, 2, ,a klà các hằng số; x xn, n1,  , xn k là ẩn, cùng các giá trị ban

đầu là x x0, , ,1 x k1

Với k  ta kí hiệu: 3

1 2

n k

n k n

n

x x y x

n

x x y

f f

0

k k

x x y x

n

x y

Véctơ:

000

Nhận xét: Viết phương trình sai phân dưới dạng chính tắc có thể thuận lợi

trong việc giải phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân

2.3 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số

2.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số

2.3.1.1 Định nghĩa

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số có dạng như sau: ax n1bx n  f a b n( , ¹0)hoặc x n1qx n f q n( 0) (2.5) Trong đó: a b q là các hằng số; , , f là hàm của n ; n x là ẩn n

2.3.1.2 Nghiệm

Nghiệm của (2.5) có dạng:

x n xnx n

Trong đó x là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất n

2.3.1.3 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x *n

Để tìm nghiệm riêng x của (2.5) với *n f  ta dùng các phương pháp sau: n 0

a)Phương pháp chọn (phương pháp hệ số bất định)

Theo mục 2.1.2.2 ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: f n  P n m , (mN), P n m là đa thức bậc m của n

x y

x y

Trường hợp 3: f n sinnxcosnx,22 0,xk ,kZ

Khi đó ta có : x*n  Asinnx  Bcosnx

Chứng minh:

Thay f , n x vào phương trình ta được: *n

a Asin n 1 x cosx B cos n  1x b Asinnx B cosnx 

Ta có nghiệm của phương trình đặc trưng:  2;  3 x*n C3n

Thay vàophương trình ta được:

Có f =-n 1 sinnπ, nên x = Acos* nπ sinnπ

1 n k

Ta có  3 x*n C n.3n thay vào phương trình ta được

  1

1

3n C n C n 2.3n Suy ra DC n  2 2D 2n C n  2n

a

) ( )

( (2.6)

trong đó, Nvà M là các số nguyên dương; N được gọi là bậc của phương trình sai phân; a , k b là các hằng số r

2.3.2.2 Nghiệm của phương trình sai phân truyến tính hệ số hằng

Tương tự như phương trình vi tích phân tuyến tính hệ số hằng của hệ thống liên tục theo thời gian Trước tiên, ta tìm nghiệm của phương trình sai

phân thuần nhất, đó là phương trình (2.6) với vế phải bằng 0 Cuối cùng,

nghiệm tổng quát của phương trình sai phân với hệ số hằng (2.6) là tổng nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất với nghiệm riêng của nó Thủ tục tìm nghiệm như sau:

a) Tìm nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất

Phương trình sai phân thuần nhất có dạng:

Thông thường nhất ta tìm nghiệm dưới dạng dãy hàm mũ như sau:

đa thức đặc trưng, đa thức này có bậc là N

Phương trình đặc trưng (2.8) sẽ có N nghiệm, kí hiệu là  1, 2, ,  N Các nghiệm này có thể thực hoặc phức Nếu các nghiệm này không trùng nhau thì ta có nghiệm đơn Nếu các hệ số a a1, , , 2 a là thực (trong thực tế N

thường là vậy) thì nghiệm phức là các cặp liên hợp phức

Giả sử chúng ta có các nghiệm đơn, ta sẽ có nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất dưới dạng như sau:

b) Nghiệm riêng của phương trình sai phân

Tương tự như cách tìm nghiệm của phương trình thuần nhất, để tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân khi tín hiệu vào x n  , ta đoán   0rằng nghiệm của phương trình có một dạng nào đó, và thế vào phương trình sai phân truyến tính hệ số hằng đã cho để tìm một nghiệm riêng, ký hiệu

 

p

y n Ta thấy cách làm này có vẽ mò mẫm! Nếu tín hiệu vào x n được  

cho bắt đầu từ thời điểm n  (nghĩa là 0 x n  khi   0 n  ), thì dạng của 0nghiệm riêng thường được chọn là:

y p n Kx n  (2.9) với K là một hằng số mà ta sẽ tính

c) Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân

Tính chất tuyến tính của phương trình sai phân truyến tính hệ số hằng cho phép ta cộng nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng để thu được nghiệm tổng quát Ta có nghiệm tổng quát là:

y n  y n h  y p n (2.10)

Vì nghiệm thuần nhất y n chứa một tập các hằng số bất định h   C , nên i

nghiệm tổng quát cũng chứa các hằng số bất định này, để xác định các hằng

số này, ta phải có một tập các điều kiện đầu tương ứng của hệ thống

Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

TRONG XỬ LÍ TÍN HIỆU VÀ LỌC SỐ 3.1 Các hệ thống tuyến tính

3.1.1 Các định nghĩa

Kí hiệu hệ thống:

Kích thích và đáp ứng: Dãy vào được gọi là dãy kích thích ( hoặc kích

thích), dãy ra được gọi là đáp ứng của hệ thống với kích thích đang khảo sát

Đặc trưng của hệ thống: Một hệ thống xử lý số được đặc trưng bởi một

toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi dãy vào x n thành dãy ra   y n Chúng ta  

có thể sử dụng 2 loại ký hiệu toán tử sau đây:

3.1.2 Khái niệm hệ thống tuyến tính

Đối với các hệ thống tuyến tính, toán tử T phải thỏa mãn nguyên lý xếp

chồng, vì thế T đặc trưng cho một hệ thống tuyến tính bắt buộc phải tuân

theo quan hệ sau:

T ax n 1 bx n2   aT x n 1   bT x n 2   ay n1   by2 n

ở đây a và b là hai hằng số bất kỳ

y n là đáp ứng kích thích 1  x n 1 

hệ thống ra vào

y(n)

x(n

T

Vậy hệ thống được đặc trưng bởi toán tử T là hệ thống tuyến tính

3.1.3 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính

Ta thấy rằng một dãy bất kì x n có thể được biểu diễn bằng biểu thức  

Nếu y n là đáp ứng ứng với kích thích   x n thì hệ thống tuyến tính gọi  

là bất biến khi y n k là đáp ứng của kích thích x n k, ở đây k là số nguyên dương hoặc âm

Nếu biến số là thời gian, thì ta nói hệ thống bất biến theo thời gian

3.3.Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả

3.3.1 Định nghĩa

Một hệ thống tuyến tính bất biến gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở một thời điểm bất kì nn0 hoàn toàn độc lập với kích thích của nó ở các thời điểm tương lai nn0

Nói cách khác, đối với một hệ thống nhân quả đáp ứng ra không bao giờ đi trước kích thích của nó

3.3.2 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả

Định lý: Một hệ thống tuyến tính bất biến là nhân quả nếu và chỉ nếu đáp

ứng xung h n của nó thỏa mãn điều kiện sau đây:  

h n  với   0 n  (3.1) 0

Định lý đảo: Nếu đáp ứng xung h n của một hệ thống tuyến tính bất  

biến bằng không với n  thì hệ thống đó là nhân quả 0

Ví dụ 3.3.1 Kiểm tra tính nhân quả của hai hệ thống tuyến tính bất biến

được cho bởi các phương trình sai phân sau:

y n1 2x n 1x n 2

h n  với 1  0 n  0 h n là nhân quả 1 

h n 2  0với n  0 h n là không nhân quả 2 

3.5 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng và đáp ứng xung

Một hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian mà quan hệ giữa tác động

a

) ( )

( (3.2)

rong đó, các hệ số a và k b là các thông số đặc trưng cho hệ thống r