Ứng dụng sai phân và phương trình sai phân để giải một số bài toán ở trường phổ thông (LV01742)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THÚY ỨNG DỤNG SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học:  TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI, 2015 1  LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới  sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn và truyền  thụ những kinh nghiệm đồng thời cũng là người khơi nguồn cảm hứng cho tác  giả trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên khích lệ tác giả  vươn lên trong học tập và vượt qua khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày  tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy    Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường  ĐHSP Hà Nội 2, phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp  chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.    Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường  THPT Đông Anh­ Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập  và hoàn thành tốt luận văn.                  Hà Nội, 15  tháng 6  năm 2015                                                                                                                             Tác giả            Nguyễn Thị Thúy 2  LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự  hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng.  Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà  khoa học nghiên cứu và đồng nghiệp với sự trân trọng biết ơn.    Hà Nội, 15 tháng 6  năm 2015                                                        Tác giả          Nguyễn Thị Thúy 3  MỤC LỤC Trang                  Mở đầu……………………………………………………………………………………………….,           5 Chương I: Sai phân, phương trình sai phân hệ phương trình sai phân 1.1. Dãy số …………………………………………………       .7         1.1.1. Dãy số hội tụ, dãy số phân kì……………………………………………….…            7       1.2. Sai phân…………………………………………………… …………………         7        1.2.1. Định nghĩa sai phân…………………………………          7        1.2.2. Một số tính chất của sai phân ………………………………………….        . 8       1.3. Phương trình và hệ phương trình sai phân……………………………………       11        1.3.1.  Phương trình sai phân tuyến tính………………………………………      11        1.3.2. Tuyến tính hóa………………………………………………         29        1.3.3. Phương trình sai phân với hệ số biến thiên………………………… 32       1.3.4. Hệ phương trình sai phân tuyến tính…………………………………        35  Chương II: Ứng dụng sai phân giải số toán phổ thông 39 2.1. Bài toán tính tổng ………………………………………………………….      39  2.2. Bài toán tìm số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số……………………       53  2.3. Bài toán sai phân trong trong phương trình hàm…………………………….     71  2.4. Bài toán sai phân trong tích phân truy hồi……………………….…………….        80  Chương III: Ứng dụng phương trình sai phân giải số toán phổ thông 3.1. Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 … …………… …      85  3.2. Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2, cấp 3……….….       91  Kết luận.………………………………………………………………………………   100  Tài liệu tham khảo.…………………………………………………………….…   101    4  Mở đầu   Lí chọn đề tài Trong những năm gần đây do sự phát triển mạnh mẽ của giải tích số nên  việc  ứng  dụng  của  nó  trong  khoa  học  và  trong  thực  tiễn  ngày  càng  sâu  rộng.  Phương  trình  sai  phân  là  một  lĩnh  vực  được  nhiều  nhà  khoa  học  quan  tâm,  nghiên  cứu.  Các  kết  quả  nghiên  cứu  của  phương  trình  sai  phân  được  áp  dụng  trong một  số  lĩnh vực như: toán học, kinh tế, kỹ thuật tín hiệu số, lý thuyết hệ  động lực rời rạc, đặc biệt cả trong lĩnh vực toán phổ thông.   Trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, tôi sẽ nghiên cứu một số ứng  dụng của sai phân và phương trình sai phân trong việc giải một số bài toán ở phổ  thông nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi  của tôi được tốt hơn.   Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các vấn đề đó nên tôi đã chọn nghiên  cứu đề tài:   ‘Ứng dụng sai phân phương trình sai phân giải số toán trường phổ thông’ Do điều  kiện về thời gian và năng lực còn hạn chế nên có những vấn đề  không thể được như mong muốn.  Mục đích nghiên cứu   Nghiên cứu sai phân, phương trình sai phân.            Sưu  tầm  và  giải  một  số  bài toán  dùng  để  bồi  dưỡng  học  sinh  khá  giỏi  ở  phổ thông được giải bằng sai phân và phương trình sai phân.    Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải một số phương trình sai phân và hệ phương trình sai  phân.      Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu 5  Phương pháp sai phân, phương trình sai phân.   Ứng dụng sai phân, phương trình sai phân giải một số bài toán phổ thông.  Phạm vi nghiên cứu là những bài toán cho học sinh khá giỏi ở phổ thông.    Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức của giải tích, đại số tuyến tính.  Vận  dụng  sai  phân  và  phương  trình  sai  phân  để  giải  các  bài  toán  cụ  thể  trong toán phổ thông.  Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo luận văn  còn bao gồm 3 chương.  CHƯƠNG I: Sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân.  CHƯƠNG II: Ứng dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông.  Chương  III.  Ứng dụng của phương trình sai phân giải một  số  bài toán ở  phổ thông.    Đóng góp luận văn Luận văn đã trình bày được một số ứng dụng của sai phân và phương trình  sai phân vào việc giải một số bài toán cho học sinh khá giỏi ở trường phổ thông.  Hy vọng luận văn có thể phần nào giúp tác giả trong công việc bồi dưỡng học  sinh giỏi tại trường THPT Đông Anh.  6  CHƯƠNG I: Sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân 1.1 Dãy số 1.1.1 Dãy số hội tụ, dãy số phân kì a) Dãy số  Một hàm số  x  xác định trên tập các số tự nhiên   được gọi là dãy số. Đối với  dãy số người ta thường viết  xn thay cho kiểu viết thông thường của hàm số   x(n), n     b) Một số dãy cơ bản  Dãy số tự nhiên ký hiệu là    có dạng      0, 1, 2, , n,      Dãy số tự nhiên khác không ký hiệu là  *  có dạng    *  1, 2, , n,      Dãy số nguyên dương     có dạng       1, 2, , n,    Dãy số   xn    được gọi là:    Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho  xn  M  n  1, 2,   Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho  xn  m  n  1, 2,   Bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.  c) Dãy số hội tụ, dãy phân kì.   Ta nói rằng dãy số   xn   có giới hạn là  a  ( dãy số hội tụ )  nghĩa là: Với  mọi số dương    nhỏ tùy ý  cho trước, tồn tại một số tự nhiên    sao cho với mọi  n  N  thì  xn  a     Ta viết  lim xn  a    (  a  hữu hạn )  Dãy số không có giới hạn hay không hội tụ được gọi là dãy số phân kì   1.2 Sai phân 1.2.1 Định nghĩa sai phân Định nghĩa Giả sử f : R  R hàm số cho trước h số khác 7  Ta gọi hiệu:  f ( x)  f ( x) sai phân cấp hàm số y  f ( x) 1 f ( x)  f ( x  h)  f ( x) sai phân cấp hàm số y  f ( x)  f ( x)  (1 f ( x))  f ( x  h)  f ( x)  f ( x  2h)  f ( x  h)  f ( x) sai phân cấp hàm số y  f ( x) n  n f ( x)     n 1 f ( x)    Cnk f ( x  hk ).(1) k 1 sai phân cấp n k 0 hàm số y  f ( x) Định nghĩa 2: Ta gọi hiệu xn  xn 1  xn sai phân hữu hạn cấp hàm số x ( n)  xn với n  * n   n          Định nghĩa 3: Ta gọi sai phân cấp hàm xn sai phân sai phân cấp xn , nói chung sai phân cấp k hàm xn sai phân sai phân cấp k  hàm số Như vậy,   Sai phân cấp 2 của hàm  xn  là:  xn  (xn )  xn 1  xn                                                     xn      –  xn     1 –    xn     1 –  xn   xn  –  2 xn 1   xn              Sai phân cấp 3 của hàm  xn  là:  xn  ( xn )   xn 1   xn                                                                         xn    –  2 xn        xn     1 –   ( xn        2 xn   1   xn )  xn    3­   3xn      3xn     1 –  xn    Nói chung, sai phân cấp  k  của hàm  xn  là:  k k k 1 k 1 k 1               xn  ( xn )     xn 1   xn   (1)i Cki xn  k i ,   i 0 1.2.2 Một số tính chất sai phân Tính chất Sai phân các cấp đều có biểu diễn qua các giá trị của hàm số Chứng minh. Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức   a    8  a Thật vậy với  k  , ta có  xn  xn 1  xn  C10 xn   1 – C11  xn Vậy công thức   a  đúng với  k    Giả sử   a  đúng với  k , có nghĩa là    k                        k xn   (1)i Cki xn  k i ,     i 0 Ta chứng minh   a   đúng với  k  , tức là  k k  k     1 xn    k xn   1   k xn   (1)i Cki xn  1    k   –  i –  (1)i Cki xn     k   – i    i 0 i 0 Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số  i  là  i  , sau đó thay  i  bằng  i , ta được  k k |1 k 1 i i 1  (1) x n  k   –  i i 0 i 1 k n   k     1  – i    (1) C x i 1   ­ (1)i Cki 1 xn     k     1  – i i 1   Bởi vậy  k  k     1 k 1 i i k xn    (1) C xn  k     1  –  i     (1)iCki 1 xn   k     1  –  i   i 0 i 1 k   (1)i (Cki  Cki 1 ) xn   k     1  –  i  +x n  k 1 +(­1) k 1  xn i 1 k 1    (1)i (Cki 1 ) xn   k     1  – i  +  xn   k     1  +  1 k     1 xn    i 1 k 1   (1)iCki 1 xn   k     1  –  i  +x n k 1 +(­1) k 1  xn i 1 k 1   (1)iCki 1 xn   k     1  –  i   i 0 Vậy   a   đúng với  k    Theo luật quy nạp, ta có công thức   a   đúng với mọi giá trị  n  nguyên dương.  Tính chất Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính Chứng minh: Ta phải chứng minh   k  axn   byn     a k xn   b k yn   (k    1,2,)    k Thật vậy,  theo   a   ta có     k  axn   byn   =  (1)i Cki  axn    k   –  i   byn   k   – i      i 1 9  k    k =  (1)i Cki axn    k   –  i   (1)i Cki byn    k   –  i i 1 i 1 k k  a  (1)i Cki xn    k   –  i  b (1)i Cki yn    k   – i   i 1 k i 1 k  a xn   b yn Tính chất Sai phân của đa thức bậc  n  là đa thức bậc  n  ,                         tức là  degP  x   n  thì  deg P  x   n  Chứng minh Giả sử  degP  x   n  ta có  P  x   an x n  an1 x n1   a1 x  a0 (an  0)   Khi đó   P  x   P( x  h)  P ( x)  an ( x  h) n  an1 ( x  h) n 1   a1 ( x  h)  a0  (an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0 )  an (( x  h) n  x n )  an 1 (( x  h) n 1  x n 1 )   a1h n  an   Cnk x n k h k  x n   an 1 (( x  h) n 1  x n1 )   a1h  k 0  n  an  Cnk x n k h k  an1 (( x  h) n 1  x n 1 )   a1h k 1   Vì  Ch1an h   nên  deg P  x   n  Tổng quát Sai phân cấp  k  của đa thức bậc  m  là:  Đa thức bậc  m  k , nếu  k  m   Hằng số nếu  k  m   Bằng   khi  k  m    Tính chất Với    n      ta luôn luôn  có :  N                                 k xn   k 1 xN 1   k 1 x j    n j N Đặc biệt:                 xn  xN 1  x j    n j Chứng minh: 10  Vậy  xn  22 n 1 1     Bài 5: Cho dãy số   xn   xác định như sau:   xn1  xn2  xn  n  * , x1                                                                  (3.1.5)  Xác định công thức tổng quát của dãy số trên.  Nhận xét: Ta sẽ đưa phương trình trên về phương trình tương tự bài 2   Lời giải: xn1    xn  3   Ta có các số hạng của dãy số trên là dãy số không âm do đó   ln  xn1  3  2ln  xn  3   Đặt   ln  xn  3  ta có phương trình  vn1  2vn ( phương trình tuyên tính thuần  nhất cấp 1­ có nghiệm của phương trình đặc trưng là 2) có nghiệm   C.2n   Với ĐK  x1     v1  2ln   2n ln                                                  xn   e2 n ln 2n    xn   n Vậy  xn  22  Nhận xét Như vậy có hay chăng bài toán tổng quát tìm số hạng tổng quát của dãy cho bởi  công thức sau xn1  axn2  bxn  c n  * , a  0, x1  d   Hướng dẫn b  4ac b   xn1  ax  bxn  c  xn1   a  xn   4a 2a   n   b  4ac b b(b  2)  c Vậy bài toán này sẽ giải quyết được nếu    4a 2a 4a 88  Khi đó ta sẽ tìm công thức tổng quát dựa trên bài toán đặt   xn  b   2a Khi đó  vn1  avn2  Vì không biết dấu của a nên ta có thể đưa về bài toán  vn1   vn1 v v   2ln n  Tìm được CTTQ:   n  n     ln  vn1  vn1 vn1   Do đó  xn   b 2a Bài 6: Cho dãy số   xn   xác định như sau:  xn1  xn3  xn2  12 xn  n  * , x1                                                       (3.1.6)   Hãy tính  lim log ( xn  2)   log ( x2 n  2) Lời giải: Ta có  xn1   ( x n 2)3  dễ thấy các số hạng trong dãy là các số dương nên ta có  ln  xn1    3ln( x n 2)   Đặt   ln( x n 2)  ta được  vn1  3vn   C.3n   Vì  x1   v1  ln     3n1 ln   n 1 từ đó ta được   xn  33    log ( xn  2) n 1 n  1   lim  lim Nên   lim log ( x2 n  2) 2n  2 n 1 Nhận xét:    Như vậy bài toán tìm số công thức của   xn   xác định bởi công thức  b2 b(c  3) xn1  ax  bx  cxn  d (a  0)  có thể giải quyết được nếu  c  , d     3a 9a n n   89  vì khi đó ta đưa bài toán trên về bài toán  xn1  m  a ( xn  m)3 , (m  b )  3a Như vậy ta có thể giải quyết được bài toán tìm công thức của   xn   xác định bởi  công thức   xn1  ak xnk  ak 1 xnk 1  ak 2 xnk 2   a1 xn  a0 (ak  0)  với điều kiện nhất định  nào đó.                                              90  3.2 Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp 2, cấp Bài 1: ( Đề thi Olympic 30-4 -2000 trường THPT Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai- Sóc Trăng)   Cho dãy số   xn   xác định như sau:   xn2   xn1 xn     x0  1, x1  e       (3.2.1)         Xác định công thức tổng quát của dãy số trên.   Lời giải: Từ giả thiết ta có các số hạng trong dãy là các số dương   Hơn nữa            xn    xn1   xn           3ln xn  ln xn1  2ln xn          (2)  Đặt  y n  ln xn  ta có  yn  yn1  yn  0, y1  0, y1      Phương trình đặc trưng  3       2      n  2  Vậy  y n                                                                                               (3)       0      y1     Vì      y1          3   n 3  2  Khi đó  y n        5  Do đó công thức của dãy xác định bởi công thức ban đầu là  xn  e   91  3  2     5  n   Nhận xét:   Như vậy ta hoàn toàn giải quyết được bài toán tìm công thức tổng quát của dãy  cho bởi    xni   xnj1 xnk   với cách làm tương tự như hai bài toán trên Bài 2: Cho dãy số   xn   xác định như sau:      xn 224 n16  xn , x1  2, x2                                                        (3.2.2)  xn41  Xác định công thức tổng quát của dãy số trên.   Lời giải: Từ giả thiết ta có các số hạng trong dãy là các số dương và  224 n16  xn2   10 x  x   x  x  n 1     xn n n 1 10 n  log  xn    xn 1   xn    224 n16   10   log 224 n 16     2log xn  8log xn1  10log xn  24n  16    log xn2  4log xn1  5log xn  12n    Đặt  y n  log xn  ta có   yn  yn1  yn  12n  (*), y1  1, y2    Xét phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2:                                            yn  yn1  yn                                                      (2)    Phương trình đặc trưng    4           Do đó phương trình (1) có nghiệm  y n     (5)n   92   y1   Với     y2   Do đó  y n       5      10      15  (5) n   15 Tìm nhiệm riêng của phương trình (*) có dạng  yn*  n(an  b)   Đồng thức hệ số ta có  a  1, b     ( 5) n  n n Khi đó phương trình (*) có nghiệm  yn   (5)  n  xn  15   15 Bài 3: ( Đề thi Olympic 30-4 -2011 trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn Bà Rịa- Vũng Tàu) Cho dãy số   xn   xác định như sau:  xn  xn1.xn 1 , x  , x     xn  15 xn1  (2.5n1 ) xn1.xn 16 Xác định công thức tổng quát của dãy số trên.   Lời giải: Từ giả thiết ta có  Đặt  yn  xn  15   2.5n1   xn1 xn  ta có phương trình   xn yn  yn1  15 yn  2.5n1 (*)     với  y1  2, y2  16 Xét phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2:    yn  yn1  15 yn   y1  2, y2  16  (2)   Phương trình đặc trưng    8  15         93        (3.2.3)  Do đó phương trình (1) có nghiệm  y n   3n   5n  và  yn*  an.5n   y        1 Vì   nên      y  16    25  16      Do đó phương trình (2) có nghiệm  y n  3n  5n              (3)  Ta tìm nghiệm riêng của phương trình (*) có dạng  yn*  an.5n ( vì 5 trùng với  nghiệm của phương trình đặc trưng)  Thay vào phương trình (*) ta có    a(n  2)  5n2   a(n  1)  5n1  15  an  5n  2.5n1   Chia cả hai vế cho  5n1  ta được    a(n  2)    a(n  1)    an      2a   a 1 Vậy  yn  3n  5n  n.5n     Hay  xn                  (4)    3  5n  n.5n n Bài 4: ( Đề nghị thi Olympic 30/4/2006 - tương tự đề thi vô địch sinh viên Moskva-1982) Cho dãy số   xn   xác định như sau:  xn1       xn     Hãy tìm các giá trị  x1 để dãy trên hội tụ và khi đó hãy tính  limx n    Lời giải: Dãy số trên có dạng  xn1  axn  b     cxn  d với  a  0, b  1, c  3, d  4, c  0, ad  bc     Xét hai dãy số  ( yn ),( zn ) thỏa mãn điều kiện sau   yn1  zn   y1  x1 , z1  1,  z   y  z n n  n1 94    (3.2.4)  Khi đó  yn  zn1  3 yn  yn1 hay ta có  yn  yn1  yn         (2)      (3)    Phương trình đặc trưng của dãy số   yn   là    4         Do đó  yn  A  B.3n , n  1,   Vì  yn1  zn  nên  z1   nên 1  A  B   Vì  y1  x1  nên  x  A  3B   3x   A   A  3B  x1  Vậy       x A  B  1  B   Do đó với mọi  n  1, 2,  ta có   yn  x1  1  x1 n x  1  x1 n1  , zn     6 Ta có        y1 y  x1  Giả sử  n  xn  Khi đó   z1 zn yn1 zn    xn1   zn1 3 yn  zn  xn Vậy theo nguyên lí quy nạp ta suy ra  x1  1  x1 n  yn xn   , n  1, 2,   zn x1    x1 3n1 x1   (1  x1 )3n , n  1, 2,   Tức là  xn  x1   (1  x1 )3n1 Do đó  xn  không xác định khi  x1   (1  x1 )3n1   x1   3n  3n Vậy ta có kết luận sau   3n Khi  x1   với một giá trị bất kì  n  * thì dãy không xác định  n 33 95  Khi  x1   thì  xn  1, n  1, 2,   Với các giá trị khác của  x1  thì  xn xác định  n  1,2, và  x1   (1  x1 )3n , n  1, 2,           xn  x1   (1  x1 )3n1 x1   (1  x1 ) n x1   (1  x1 )3  lim    Từ đó ta có  lim xn  lim n 1 x1  x1   (1  x1 )3  (1  x1 )3 n n Bài 5: ( Banlkan MO 2002) Tìm các hàm số  f :     thỏa mãn f  f (n)   f (n)  2n  2001, n   (3.2.5)   Lời giải: Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với  k  là số tự nhiên bất kì,  Xét dãy số   an  như sau:   a0  k , an 1  f (an )    Từ (1) thay  n  bởi  an  ta được   an   an 1  2an  2001, n  0,1, 2,                      (2)    2 Xét phương trình đặc trưng của dãy số   an   là              Suy ra  an  A  B (2) n  Cn, n     Ta có  k  a0  A  B  f (k)  a1  A  B C  A  B 3B C  k  3B C   Thay  k  bởi  n ta có  f (n)  n  3B C  vào phương trình (1) ta được  f ( f (n))  f (n)  2n  2001  n  3B  C  3B  C  n  3B  C  2n  2001    3B  C  667 Từ  f (n)  n  3B C  f (n)  n  667   Vậy hàm số thỏa mãn đề bài là  f (n)  n  667, n     Bài 6: 96  Tìm các hàm số  f :     thỏa  mãn f  f  f (n)    f  f (n)   f (n)   n, n                                               (1)   Lời giải:   Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với  n  là số tự nhiên bất kì,  Xét dãy số   an  như sau:   a0  n, an 1  f (an )  Khi đó  an  0, n   Từ (1) thay  n  bởi  an  ta được   an 3  an   3an 1  an  0, n  0,1,2,                   Xét phương trình đặc trưng của dãy số   an   là         3      1       1   Suy ra  an  C  A(1  2) n  B (1  2) n , n                                             (2)  Vì  1    1   nên  lim(1  2)n  0,lim(1  2)2n 1  , lim(1  2) 2n     Do đó  từ (2), nếu  A   hoặc   A   thì sẽ có n lẻ đủ lớn hoặc n chẵn đủ lớn  sao  cho  an    Do vậy  an  C  B(1  2)n , n                  (3)   Từ (3) ta có  n  a0  C  B  và   f (n)  f (a )  a1  C B(1  2)  n  (  2) B                                           (4)  Thay (4) vào (1) ta có    2 B 0 B 0  Vậy hàm số thỏa mãn đề bài là  f (n)  n, n    (Thỏa mãn yêu cầu bài toán)  Bài 7: (Romania District Olympiad 2010, Grade 10) Tìm các hàm số  f :     thỏa mãn  97  f  f  f (n)    f (n)  f  f (n)   4n  2010, n                                   (3.2.7)  Lời giải:   Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với  n  là số tự nhiên bất kì,  Xét dãy số   an  như sau:    a0  n, an 1  f (an )    Từ (1) thay  n  bởi  an  ta được   an 3  3an   6an 1  4an  2010  0, n  0,1,2,                 Xét phương trình đặc trưng của dãy số   an   là       3  6      1  i      1  i  n n  Suy ra  an  A  2n  B.cos  C.sin 3     Dn, n                                       (2)   a  A  B  n Với cách xây dựng dãy ta có                    (3)  f (n)  f (a )  a  A  B  C  D  Thay (3) vào (1) ta được  D  C  670   Vậy hàm số thỏa mãn đề bài là  f (n)  n  670, n    (Thỏa mãn yêu cầu bài  toán)  Bài 8: Trích từ đề thi K16 ­ Đại học sư phạm Hà Nội 2    Xác định nghiệm của các phương trình sau biết  1)  xn2  xn1  xn , x0  , x1                    (2.3.8)  2)  xn   xn 3  10 xn 2  x n 1  45 x n                                                         (2.3.9)  3)  xn  xn1  15 xn  5n (n  1)  n  n n sin  cos 3 Lời giải: 1) xn2  xn1  xn , x0  , x1  2 98  (2.3.10)  Phương trình đặc trưng    2    có hai nghiệm phức     i   Nghiệm tổng quát có dạng  xn  C1 Kết hợp ĐK ban đầu  xn    n cos n  C2   n sin n     cos n4  32   sin n4   n n 2)  xn   xn 3  10 xn 2  x n 1  45 x n    Phương trình đặc trưng    2  10  6  45   có các nghiệm  1  2      n n n n ( bội 2),  3   (bội 2) nên  xn  C1  2   C2 n  2   C3  3  C4 n  3   n n sin  cos 3 3)  xn  xn1  15 xn  5n (n  1)  n  Phương trình đặc trưng    2  15   có hai nghiệm phức  1  3, 2  5   n n Nghiệm tổng quát có dạng  xn  C1  3  C2  5     n n  Vế phải  f n  5n (n  1)    n    sin  cos   f n1  f n  f n3   3   Nghiệm riêng   35 757  n  xn*1  (an  bn  c)5n  đồng nhất hệ sô ta được  xn*1   n  n  5   72 432   24 13   1 xn*1  (an  bn  c)  đồng nhất hệ sô ta được  xn*1   n  n    18 216   24 n n   xn*3  acos  b sin   đồng nhất hệ sô ta được  3    106 n 25 n  xn*3   cos  sin    407   407 Vậy   35 757  n  1 13  n n  xn  C1  3  C2  5    n  n  5   n  n   72 432  18 216   24  24  106 n 25 n   cos  sin  407   407 99    Kết luận Luận văn đã giải quyết được các vấn đề sau đây:  Luận văn đã trình bày một cách có hệ thống về các tính chất sai phân,  phương trình sai phân với hệ số hằng, với hệ số biến thiên, tuyến tính  hóa phương trình sai phân, nghiên cứu các tính chất và cách tìm  nghiệm của phương trình sai phân.  Luận văn đã trình bày một số bài toán thể hiện ứng dụng của sai phân  trong một số bài toán:  tính tổng,  tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm  giới hạn dãy số, sai phân trong phương  trình hàm, sai phân trong tích  phân truy hồi.  Luận văn đã thực hiện một số bài toán ứng dụng của phương trình sai  phân trong một số bài toán ở phổ thông.               Hà Nội, tháng     năm 2015    Tác giả           Nguyễn Thị Thúy 100  Tài liệu tham khảo A Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.  [2] Đặng Thanh Châu  (2000) Tuyển tập đề thi Olympic 30-4, NXB Quốc Gia TP.  HCM.  [3] Nguyễn Tài Chung (2014) Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, NXB  Quốc Gia Hà Nội.  [4] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội.  [5] Nguyễn Văn Mậu (2004) Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục.  [6] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh (2002) Giới hạn dãy số hàm số,  NXB Giáo dục.  [7] Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Hùng (2012), Giải tích số, NXB Đại học Cần  Thơ.  [8] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001),  Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục.    B Tài liệu Tiếng Anh [1] Samuel Goldberg (Assciate Professor of Mathematics Oberlin College)  (1958) Introduction to Difference Equations, John Wiley & Sons, Inc New York  – London­ Sydney.          101                102