Ứng dụng sai phân và phương trình sai phân để giải một số bài toán ở trường phổ thông (LV01742)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ THÚY ỨNG DỤNG SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THÚY

ỨNG DỤNG SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:  TS NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới 

sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn và truyền thụ những kinh nghiệm đồng thời cũng là người khơi nguồn cảm hứng cho tác giả trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên khích lệ tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày 

tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy 

 

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường  ĐHSP Hà Nội 2, phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. 

 

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường THPT Đông Anh­ Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập 

   

Nguyễn Thị Thúy

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng. 

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học nghiên cứu và đồng nghiệp với sự trân trọng biết ơn. 

 

Hà Nội, 15 tháng 6  năm 2015        

 

 

Tác giả  

   

Nguyễn Thị Thúy

MỤC LỤC

Trang       

Mở đầu……….,       5

Chương I: Sai phân, phương trình sai phân và hệ phương trình sai phân 7 1.1. Dãy số ………       .7 

       1.1.1. Dãy số hội tụ, dãy số phân kì……….…        7 

     1.2. Sai phân……… ………         7 

      1.2.1. Định nghĩa sai phân………          7 

      1.2.2. Một số tính chất của sai phân ……….        . 8 

     1.3. Phương trình và hệ phương trình sai phân………       11 

      1.3.1.  Phương trình sai phân tuyến tính………      11 

      1.3.2. Tuyến tính hóa………         29 

      1.3.3. Phương trình sai phân với hệ số biến thiên……… 32

      1.3.4. Hệ phương trình sai phân tuyến tính………        35 

Chương II: Ứng dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông 39

2.1. Bài toán tính tổng……….      39 

2.2. Bài toán tìm số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số………       53 

2.3. Bài toán sai phân trong trong phương trình hàm……….     71 

2.4. Bài toán sai phân trong tích phân truy hồi……….……….        80 

Chương III: Ứng dụng của phương trình sai phân giải một số bài toán ở phổ thông 3.1. Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 … ……… …      85 

3.2. Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2, cấp 3……….….       91 

Kết luận.………   100 

Tài liệu tham khảo.……….…   101 

 

Mở đầu

  1 Lí do chọn đề tài

Trong những năm gần đây do sự phát triển mạnh mẽ của giải tích số nên việc  ứng  dụng  của  nó  trong  khoa  học  và  trong  thực  tiễn  ngày  càng  sâu  rộng. Phương  trình  sai  phân  là  một  lĩnh  vực  được  nhiều  nhà  khoa  học  quan  tâm, nghiên  cứu.  Các  kết  quả  nghiên  cứu  của  phương  trình  sai  phân  được  áp  dụng trong  một  số  lĩnh  vực như:  toán học,  kinh  tế, kỹ thuật tín hiệu số, lý  thuyết  hệ động lực rời rạc, đặc biệt cả trong lĩnh vực toán phổ thông.  

Trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, tôi sẽ nghiên cứu một số ứng dụng của sai phân và phương trình sai phân trong việc giải một số bài toán ở phổ thông nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi của tôi được tốt hơn.  

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các vấn đề đó nên tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:  

‘Ứng dụng sai phân và phương trình sai phân giải một số bài toán ở trường phổ thông’

Do điều  kiện về thời gian và năng lực còn hạn chế nên có những vấn đề không thể được như mong muốn. 

  4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Ứng dụng sai phân, phương trình sai phân giải một số bài toán phổ thông. Phạm vi nghiên cứu là những bài toán cho học sinh khá giỏi ở phổ thông. 

  5 Phương pháp nghiên cứu

CHƯƠNG I: Sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân. CHƯƠNG II: Ứng dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông. Chương  III.  Ứng  dụng  của  phương trình  sai  phân  giải  một  số  bài  toán  ở phổ thông. 

  7 Đóng góp của luận văn

Luận văn đã trình bày được một số ứng dụng của sai phân và phương trình sai phân vào việc giải một số bài toán cho học sinh khá giỏi ở trường phổ thông. 

Hy vọng luận văn có thể phần nào giúp  tác giả trong  công  việc bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường THPT Đông Anh. 

CHƯƠNG I: Sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình

Ta nói rằng dãy số  x n  có giới hạn là  a  ( dãy số hội tụ )  nghĩa là: Với 

mọi số dương   nhỏ tùy ý  cho trước, tồn tại một số tự nhiên    sao cho với mọi 

Ta gọi hiệu:  f x( ) f x( ) là sai phân cấp 0 của hàm số y f x( )

i i

1

1 1

k

i i

i k

i i i

k k

 1  –     0

)

)( 1

k

i i

k n k i i

1.3 Phương trình và hệ phương trình sai phân 

1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính

+ f n là một hàm số của n được gọi là vế phải

+ x n là các giá trị cần tìm được gọi ẩn

 Nếu f  n 0 thì (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không

thuần nhất

 Nếu f  n 0 và a a0, , ,1 a k (a0 0,a k 0) là các hằng số thì (1.1) trở

thành

L x h n a x0 n k a x1 n k 1  a x k n 0 (1.2) Khi đó (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc  k  với 

n n

x x

   thỏa mãn (1.2)    

x của (1.2) có dạng 

1 1 2 2

n n n k nk x c x c x  c x , trong đó c c1, 2, ,c k là các hằng số tùy ý Chứng minh Theo tính chất tuyến tính của  L h ta có   k k 0 n h h i ni i h ni i i L x L c x c L x        ( Vì giả thiết x n1, x n2, , x nk là nghiệm của 1.2  Vậy  1 1 2 2

n n n k nk x c x c x  c x  là nghiệm của 1.2  Giả sử x x0, 1, , x k1 là các giá trị ban đầu tùy ý. Ta chứng minh rằng có thể xác  định duy nhất các hằng số c c1, 2, ,c kđể    0 0, 1 1, , k 1 k 1 x x x x x  x   Điều đó  có nghĩa là hệ   1 01 2 02 0 0 1 11 2 12 1 1 1 1,1 2 1,2 1, 1

k k k k k k k k k k c x c x c x x c x c x c x x c x  c x c x  x                        có nghiệm duy nhất các hằng số  c c1, 2, ,c k với mọi x x0, 1, , x k1. Muốn vây  định thức    01 02 0 11 12 1 1,1 2 1,2 1,

0

k k k k k k x x x x x x x  c x x    Điều này có được từ tính độc lập tuyến  tính của các véctơ nghiệm x n1, x n2, ,c x k nk Bây giờ ta tìm nghiệm   n x  của 1.2và nghiệm  * n x  của 1.1  Vì phương trình thuần nhất 1.2 luôn có nghiêm x  n 0 nên để tìm nghiệm tổng  quát ta tìm x n dưới dạng  n, 0, 0 n x c c     Thay  n n x c  vào 1.2 ước lượng cho  n c  ta được   1 0 k 1 k 0

h k L a a  a            1.3  Phương trình (1.3)  được gọi là phương trình đặc trưng của (1.2). Nghiệm  n x  của  1.2 và nghiệm  * n x  của  1.1 phụ thuộc vào cấu trúc nghiệm của 1.3 

TH1: Nếu (1.3) có  k  nghiệm thực khác nhau là  1, 2, ,k thì nghiệm tổng quát 

ncosn ,  n cosn , , n cosn ,

m

Q n là đa thức cùng bậc  m  với  f n. + Nếu các nghiệm  bội  s  thì  

f P n  mN , trong đó P n m( ) là đa thức bậc  m  của  n  

+ Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng đều là các nghiệm thực khác   thì  *

      x n* n sn.Q n m( ). (Q n m( )là đa thức của  n  cùng bậc với  f n) TH3: f n cosnxsinnx,( , )  là các hằng số. Trong trường hợp này 

x C      với  b

a

  ,   còn x  là một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình sai phân tuyến tính không  n*

thuần nhất. 

c) Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x của phương trình sai phân *n tuyến tính cấp một không thuần nhất

Phương pháp chọn ( phương pháp hệ số bất định)

+ Nếu  f n  là đa thức bậc  m  của  n :  f n P n m m( ),   : 

       1) x n* Q n m( )n, nếu  , (Q n m( ) là đa thức bậc  m  của  n  

       2) x n* Q n n m( ) n, nếu   , (Q n m( ) là đa thức bậc  m  của  n  

Phương pháp biến thiên hằng số

1.3.1.4 Phương trình sai phương tuyến tính cấp hai

a) Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng

ax  bx   cx  f a c  (1.5) hay x n2   px n1  qx n  f n , q0,

+ f n là một hàm của n , gọi là vế phải

+ Nếu f  n 0 thì (1.5) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

không thuần nhất

b) Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát xncủa phương trình thuần nhất (1.6) 

nghiệm thứ hai của (1.6) là v n dưới dạng: v n  y nn. Thay v n vào (1.6), ta được 

b a c a

0 1

       2

   9     8  8

  1         

 Ta có phương trình đặc trưng 2 8160có ngiệm kép 4       

Do đó        (     ) 4n

n

x  A  Bn   Với giả thiết ban đầu đễ dàng tìm được A1, B3 

Bước 2: Tìm nghiệm riêng x n tùy ý của phương trình (1.5) 

Phương pháp chọn (còn gọi là phương pháp hệ số bất định)

     ( trong đó T n k( ) và R K n  là các đa thức bậc  k  của  n ) 

Nếu   cos isin là nghiệm của phương trình đặc trưng thì tìm x n dưới 

       x n2   p x n n1 q x n n       (1.9) Nếu u v n, n là hai nghiệm độc lập của (1.9) thì ta tìm nghiệm riêng của (1.8) dưới dạng      x*n A u n n B v n n   

Trong đó A n và B n là hai hàm số của  n  Thay vào (1.6) ta được 

Nếu r c( os +s in) là nghiệm phức kép của phương trình đặc trưng thì hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình sai phân thuần nhất là 

Ví dụ 1: Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân sau bằng phương pháp biến thiên hằng số. 

Giả sử  (1.11) tuyến tính hóa được, khi đó tồn tại các hệ số a1, a2, , a k để ta có 

2 1

k

k k k

k

x x

2

24

1

1 2

 

2 1

1.3.3 Phương trình sai phân với hệ số biến thiên

1.3.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên

n x

x  x  ta được n 1 n

n

x  q x  có nghĩa là x n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.13) ta có đpcm 

1 0

Ví dụ 1: Giải phương trình sai phân  1 ! ( 1 9, 1, 2, )

8

x  nx n n x  n  Lời giải:  

n n n

1.3.4 Hệ phương trình sai phân tuyến tính     

1.3.4.1 Giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 1

1.3.4.2 Giải phương trình phân thức

( Bằng cách đưa về giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính).       

Xét hệ  1

1

24

CHƯƠNG II: Ứng dụng của sai phân giải một số bài toán ở phổ thông

n k

1

1  1   2   3       

n k

1

1

n n k

k n k

n x

1

( 1)2

n x

n n x

Đối với  k  là sai phân của hàm  ak2 bkc 

Đối với k2 là sai phân của hàm ak3bk2ckd 

cos

22sin

2

n k

sin

22sin

2

n k

sin sin2y+ +sinny = sin sin

2sin

2

y khi

y

y khi

2sin

2sin

Bài 5 :

a) Chứng minh rằng : U  n 2  n N* với 

1

1( 1)

n n k

a) Ta có 

 

1

( 1)( 1)

CMR: Với  n  là số tự nhiên,  n 2 ta có                

k k k

k k k

Bài 11: (Olympic Toán quốc tế 1994)

+) Dễ chứng minh 0a n1 a n (n )bằng quy nạp 

+) Có 

2 1

11

1

0

111

! 2014 )!

2013 )!.(

1

(

! 2013 1

1 2014 2013

C k

k k

k

k

C

  k   0,1,, 2013

2.2 Bài toán tìm số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số

Bài 1: Cho dãy số  u n  xác định như sau :    1 *

Vậy: u n  1n1 2   Bài 2: (Đề thi Violympic lớp 11 cấp trường THPT Đông Anh – 2012) 

v v n

1

1( )2

Ta có:u n  u n  u n1  u n1 –  u n2  u n2 –  u n3  u2 –  u1u1    

   . 

1/ Tìm số hạng tổng quát của dãy số  a n  

2/ Chứng minh rằng  a n là dãy số giảm.       (2.2.6) Lời giải:

Bài 7: Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n  biết   1

      và    3n

h n c  sao cho   1 2   3 n

h n  h n   n  *.  Giải ra ta có a  b 1,  c  1

Bài 9: (Olympic Bungari 1978)

Bài 11: (Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 ngày 21/3/2010 năm 2010 của tỉnh Hải Dương) 

Cho dãy số u n thỏa mãn: 

1

2 1

1

( 1, 2, 3, )2010

n

u

n u

+) Từ giả thiết suy ra:   

2 1

2010

n

n n

Cho dãy số  u n  xác định như sau 

1

2011 1

1

1 ( 1, 2, 3, )

n

n n

u u

Cho dãy số u n xác định như sau 

1

2 1

31( 4) ( 1, 2, 3, )5

1

1, 1, 2, 3,

3

n n

 Cho dãy số  v n  xác định bởi công thức:  1

2 1

v

v v v

        (2.2.14) Lời giải

1 2

2 2

2

2 2 2

2 1

lim

1lim

1lim

42011

n n

n n

n n

v

v v v

a a

a a v

v

v v v

   ta có đpcm 

Bài 15: (Câu VI đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Phước 2013-2014)

Cho dãy số (u n) được  xác định: 1

2

22013

Giả sử dãy  x n  có giới hạn hữu hạn, đặt limx n a, a2013. 

n n

Bài 16: (Câu 3b đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương 2013-2014)

2 1

1

n n

1 1

1 1

b) Với mỗi n1, n , đặt 

n n

n

u v

Mặt khác  ( )u n  là dãy tăng  và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn của dãy số ( )u n   Giả sử limu n c c( 2)  

Khi đó  

Cho dãy số  u n  xác định bởi 

1

2 1

31

11

21

k

u a

21

k

u a

Bài 19: (THTTsố 447) Giải toán đặc biệt trên THTT

Cho hai số thực  ,a b  thỏa mãn  a   Xét dãy số b 0  u n  có 

2.3 Bài toán sai phân trong trong phương trình hàm

Bài 1:  Tìm  tất  cả  các  đa  thức  f x   x   thoả  mãn  một  trong  các  điều  kiện sau: 

a)  f x 1 f x    0 , x           (2.3.1) b)  f x 1 f x    x  , x           (2.3.2) c)  f x 1 3f x   2x5,  x        (2.3.3) Lời giải:

a) Cho x0, 1, 2, , n, ta được phương trình  f x  f  0 có vô số nghiệm mà 

c)Tương tự câu b), nhưng tìm g x axb (cùng bậc với   2x 5 ) sao cho 

 1 3     2 5  

i i i

u      

Nếu x f x( ) 0 limu2n1  mâu thuẫn vì u  n 0   n  

Nếu x f x( ) 0 limu2n   mâu thuẫn vì u  n 0   n  

Vậy x f x( )0 hay x f x( ) 

Thử lại ta có rõ ràng  f x( ) f f x ( ) x f x( )xx 2 ,x  x 0.( thỏa mãn )  Vậy hàm số cần tìm là  ( )f x x 

Nếu bx f x( ) 0 limu2n1  mâu thuẫn vì u  n 0   n  

Nếu bx f x( ) 0 limu2n   mâu thuẫn vì u  n 0   n  

Hoàn toàn tương tự như bài 2 với  a1,b3, ta có kết quả   ( )f x 3x 

Bài 5: Tìm tất cả các hàm  f : [0; ) [0;) thỏa mãn  

        f f x ( )4 ( )f x 21x2009, x 0        (2.3.7) Lời giải:

Với mỗi x [0;) ta xây dựng dãy số (u n)như sau  

Bài 6: ( Đề thi HSG Quốc Gia 2012) 

Tìm tất cả các hàm  f  xác xác định trên tập số thực , lấy giá trị trong  và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau 

(1) f  là toàn ánh từ  đến  

(2) f  là hàm số tăng trên  

(3) f f x ( ) f x( ) 12 , x x  .       (2.3.8) Lời giải:

Nếu  ( )f x  f y( )thì  f f x ( ) f f y ( )nên từ (3) ta có 12x 12y  do đó  x y. 

Vậy  f  đơn ánh. Kết hợp với (1) ta có  f  là song ánh. Gọi  f1 là hàm ngược của 

f  thì do (2) nên  f1. Thay x 0 vào (3) ta được  ( (0))f f  f(0). Do  f  là song 

ánh nên từ đây suy ra  f1(0)0. Lấy  f1 hai vế ta có  f1(0)0. Đặt 

( ) ( ( ( ))),

n x

f  f  f f x n lần, dễ thấy  fnlà hàm số tăng và  fn(0)0. Xét dãy  a n với a0  f x a( ), 1 x a, n  f1(a n1) ( n 2, 3, )  

Vậy  4x f x( ) thỏa mãn đề bài. 

Nhận xét: Để giải quyết được bài toán trên ta phải hiểu rõ được thế nào là hàm đơn ánh, hàm song ánh, hàm toàn ánh 

Nhắc lại:

Định nghĩa 2.1 Ánh xạ f : X Y được gọi là đơn ánh nếu với aX b, X

mà ab thì f a  f b , tức là hai phần tử phân biệt sẽ có hai ảnh phân biệt

Từ định nghĩa ta suy ra ánh xạ f là đơn ánh khi và chỉ khi với aX b, X mà

   

f a  f b , ta phải có ab

Định nghĩa 2.2 Ánh xạ f : X Y được gọi là toàn ánh nếu với mỗi phần tử

y Y đều tồn tại một phần tử xX sao cho y f x  Như vậy f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Y  f X 

Định nghĩa 2.3 Ánh xạ f : X Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh Như vậy ánh xạ f : X Y là song ánh nếu và chỉ nếu với mỗi

y Y , tồn tại và duy nhất một phần tử xX để y f x 

 

Bài 7: Tìm  hàm số  f :  thoã mãn điều kiện: 

       f f x    3f x 2 ,x   x  R       (2.3.9) Lời giải:

Thay  x  bởi  f x ta được: