Hệ phương trình sai phân (LV00260)

3 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRƯƠNG THỊ THUÝ HẢO HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2009 4 lời cảm ơn Trớc hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo, đặc biệt là TS.Nguyễn Văn Hùng, những ngời đã hớng dẫn tận tình, hiệu quả, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô giáo, cán bộ, nhân viên trờng Đại học S phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tôi học tập tại trờng. Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc, trờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc đã dành cho tôi những điều kiện tốt nhất trong thời gian theo học sau đại học. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới bạn bè, ngời thân và các đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên khích lệ để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, ngày tháng năm 2009 Trơng Thị Thuý Hảo 5 lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của TS.Nguyễn Văn Hùng. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học, nghiên cứu, đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc Hà Nội, ngày tháng năm 2009 Trơng Thị Thuý Hảo 6 Mục Lục Trang Mở đầu 3 Chơng 1: Một số kiến thức bổ trợ. 5 1.1. Không gian Banach. 5 1.2. Bài toán biên đối với phơng trình vi phân cấp hai. 8 1.3. Phơng trình truyền nhiệt một chiều 10 1.4. Phơng pháp sai phân 11 1.5. Một số khái niệm cơ bản về lý thuyết xấp xỉ các không gian và các toán tử tuyến tính 12 Chơng 2: Hệ phơng trình sai phân 17 2.1. Phơng trình sai phân 17 2.2. Hệ phơng trình sai phân tuyến tính bậc nhất 19 2.3. Hệ phơng trình sai phân của phơng trình toán tử 39 Chơng 3: Một số ứng dụng của hệ phơng trình sai phân 43 3.1. ứ ng dụng hệ phơng trình sai phân giải gần đúng bài toán biên của phơng trình vi phân cấp hai 43 3.2. ứ ng dụng hệ phơng trình sai phân giải gần đúng phơng trình truyền nhiệt một chiều 47 3.3. ứ ng dụng của hệ phơng trình sai phân tính toán ảnh hởng của thuỷ triều đến chế độ ẩm của nền đờng ở đồng bằng Nam bộ 53 3.4. ứ ng dụng hệ phơng trình sai phân giải một số bài toán dãy số 62 Kết luận chung 72 Tài liệu tham khảo 73 7 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài: Phơng trình sai phân thờng xuất hiện khi mô tả những hiện tợng tiến hoá quan sát đợc trong tự nhiên. Chẳng hạn, xét quá trình phát triển dân số của một quốc gia hay một vùng nào đó. Nếu gọi x n+1 là số dân tại thời điểm năm n+1 thì x n+1 là một hàm của số dân x n tại thời điểm năm trớc đó. Sự liên hệ này đợc mô tả bởi hệ thức: 0 n n n 1 x f (x ,n), n N Phơng trình sai phân theo một biến n và một hàm phải tìm x n là phơng trình hàm có dạng 0 n n n 1 n k F(u , u , , u , n) 0, n N (0.1) ở đó k là số nguyên không âm, F là một hàm theo các biến n n 1 n k u , u , , u , n và n 0 là một số nguyên dơng đã cho. Trong trờng hợp k là hữu hạn, phơng trình (0.1) đợc gọi là phơng trình sai phân cấp k. Bằng phơng pháp tuyến tính hoá, mọi phơng trình sai phân cấp k+1 đều có thể đa đợc về phơng trình sai phân cấp một dạng 0 n n n 1 , f (x x , n) 0, n N (0.2) ở đây 0 n n ( ) x n N là những véctơ và hàm véctơ. Vì vậy khi xét các phơng trình sai phân có cấp hữu hạn trong không gian R n ta chỉ cần đề cập đến phơng trình sai phân cấp 1 dạng (0.2) Lý thuyết phơng trình sai phân tìm đợc nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực của toán học cũng nh các nghành khoa học khác, chẳng hạn trong giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, giải tích tổ hợp, kinh tế học, tâm lý học, Vì vậy, việc nghiên cứu phơng trình sai phân là một vấn đề thời sự đợc nhiều nhà toán học quan tâm. Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài " Hệ phơng trình sai phân" để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 8 2. Mục đích nghiên cứu: - Nghiên cứu phơng pháp giải một số hệ phơng trình sai phân tuyến tính cấp một và ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu các tài liệu khoa học về phơng pháp giải và ứng dụng của hệ phơng trình sai phân. 4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu: Một số phơng pháp giải hệ phơng trình sai phân tuyến tính cấp 1 và ứng dụng. 5. Phơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo, tổng hợp kiến thức. 6. Dự kiến đóng góp mới Mở rộng, nêu các ứng dụng của hệ phơng trình sai phân. Do kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế, tôi rất mong nhận đợc sự góp ý của thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để luận văn đạt đợc mục tiêu và có hiệu quả hơn. 9 Chơng 1 một số kiến thức bổ trợ. 1.1. Không gian Banach. 1.1.1. Không gian Banach. Định nghĩa 1.1.1: Một tập X đợc gọi là không gian metric, nếu với mỗi cặp phần tử x và y của X (viết tắt là x, y X ) tồn tại một hàm thực hai biến, ký hiệu là X (x, y) thoả mãn: * X X (x, y) 0, (x, y) = 0 khi và chỉ khi x=y * X X (x, y) (y, x) * X X X (x, y) (x, z)+ (z, y) x, y, z X Định nghĩa 1.1.2: Một dãy (x n ) gồm các phần tử n x X đợc gọi là hội tụ đến phần tử 0 x X , viết n 0 n x = lim x , nếu n 0 n ( , lim x x ) 0 Định nghĩa 1.1.3: Không gian metric X đợc gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong X hội tụ đến một phần tử thuộc X Định nghĩa 1.1.4: Không gian metric X đợc gọi là tuyến tính nếu với hai phần tử bất kỳ x và y của X với các phép toán cộng x +y và phép toán nhân một số với một phần tử của X cho ta những phần tử thuộc X thoả mãn các tính chất: 1. x+y=y+x 2. x+(y+z)=(x+y)+z 3. Tồn tại phần tử không (thờng đợc kí hiệu bằng số 0) của không gian X sao cho với mỗi x X , x + 0 = x 4. Với mỗi phần tử x X , tồn tại phần tử đối - x X sao cho x+(-x)=0 5. Với hai số , và một phần tử bất kì x X ta có: ( x) ( )x 10 6. Với mọi x X , x.1=x 7. Với mọi số , và phần tử bất kì x X ta có: ( )x x x 8. Với mọi số và hai phần tử bất kì x, y của X ta có: (x y) x y Định nghĩa 1.1.5: Chuẩn của một không gian tuyến tính X là một hàm, thờng đợc kí hiệu là . , xác định trên toàn không gian X, nhận các giá trị hữu hạn và có các tính chất sau: 1. x 0 x X, x 0 khi và chỉ khi x=0 2. Với mọi x, y X, x y x y 3. Với mọi số và phần tử bất kì x của X ta có x x Nếu không gian tuyến tính X có chuẩn . thì nó đợc gọi là không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn X bất kì có thể trở thành không gian metric khi lấy (x,y) x - y Định nghĩa 1.1.6: Không gian định chuẩn X đợc gọi là không gian Banach nếu X với với metric sinh bởi chuẩn là không gian metric đầy. Ví dụ: R n và C [a,b] là các không gian Banach 1.1.2. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach. Định nghĩa 1.1.7: Giả sử X và Y là hai không gian Banach. ánh xạ T: X Y đợc gọi là tuyến tính nếu : T( x y) T(x)+ T(y) , K, x, y X (1.1.1) Định nghĩa 1.1.8: Cho hai không gian Banach X và Y. Một toán tử A từ X vào Y đợc gọi là bị chặn ( giới nội) nếu tồn tại hằng số k > 0 sao cho X Y Ax k x (1.1.2) 11 Định lý 1.1.9: Một toán tử tuyến tính A từ không gian Banach X vào không gian Banach Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn Định lý 1.1.10: Toán tử tuyến tính A từ không gian Banach X vào không gian Banach Y có nghịch đảo khi và chỉ khi N(A)={0}, tức là phơng trình Ax=0 chỉ có một nghiệm duy nhất x=0 Định lý 1.1.11: Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian Banach X vào không gian Banach Y. Nếu A có toán tử nghịch đảo A -1 liên tục thì x X và -1 1 m A ta có: X Y -1 1 ( x X) , m Ax m x A (1.1.3) Ngợc lại nếu có m > 0 nghiệm đúng (1.1.3) thì A -1 tồn tại, liên tục và ta có : -1 1 A m 1.1.3. Chuẩn trong không gian Banach R n . a. Hai chuẩn tơng đơng Định nghĩa 1.1.12: Hai chuẩn 1 . và 2 . trên cùng một không gian vectơ X đợc gọi là tơng đơng và viết 1 2 . . nếu tồn tại C 1 , C 2 >0 sao cho 1 2 1 2 1 C C x X x x x (1.1.4) b. Chuẩn trong không gian R n Với mỗi xR n , x=(x 1 , x 2 , , x n ) ta ký hiệu: n 1 k k 1 x x k i k n x max x : Chuẩn hộp 1 n 2 2 k k 1 1 x x n : Chuẩn cầu 12 Nhận xét : Nếu 1 . và 2 . là hai chuẩn trên không gian vectơ X mà 1 2 . . thì 1 (X, . ) là không gian Banach khi và chỉ khi 2 (X, . ) là không gian Banach. Định lý 1.1.13: Hai chuẩn tuỳ ý trên R n là tơng đơng 1.1.4. Sự hội tụ trong không gian Banach. Định lý 1.1.14 : Trong không gian Banach, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ và ta có ớc lợng k k k 1 k 1 x x (1.1.5) Nhận xét: Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi với mọi dãy n n m x X, x x 0 khi n, m là hội tụ trong X 1.2. Bài toán biên đối với phơng trình vi phân cấp hai. 1.2.1. Định nghĩa: Định nghĩa 1.2.1: Phơng trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát F(x, y, y', y")=0 (1.2.1) với F là một hàm xác định trong một miền D nào đó của không gian R 4 . Trong phơng trình (1.2.1) có thể vắng mặt một số biến nhng bắt buộc phải có biến y". Nếu từ (1.2.1) ta giải ra đợc đạo hàm cấp cao nhất, tức là phơng trình (1.2.1) có dạng y"=f(x, y, y') (1.2.2) thì ta đợc phơng trình vi phân cấp hai đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao nhất. Nhận xét: Nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân cấp hai phụ thuộc hai hằng số C 1 , C 2 . Trong thực tế, ngời ta chỉ quan tâm đến nghiệm [...]... mọi hệ phương trình sai phân về hệ tuyến tính bậc nhất Đây là những hệ phương trình có rất nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác nhau như: Vật lý, địa lý, điện tử, sinh học, cũng như các bài toán phương trình sai phân bậc cao, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Do vậy, trong phần này, chúng ta chỉ xét cách giải một số hệ phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất 2.2.1 Hệ phương trình. .. 0 Khi đó phương trình (2.1.3) có thể đưa về dạng y n+1 Ay n f n (2.1.4) y0 cho trước Phương trình (2.1.4) được gọi là dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính 2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất 24 Như trên đã nói, mọi phương trình sai phân đều có thể tuyến tính hoá để đưa về phương trình tuyến tính, đồng thời, dựa vào dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến... hằng số 1.4 Phương pháp sai phân 1 4.1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.4.1: Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x(n)=xn với n Z (hoặc n Z+, hoặc n N) là hiệu : x n x n 1 x n Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu hạn là sai phân Định nghĩa 1.4.2: Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân cấp 1 của xn, và nói chung sai phân cấp k... được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Nếu f n 0 thì (2.1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Nếu f n 0 và a0, a1, ak là các hằng số, a 0 0; a k 0 thì phương trình (2.1.1) trở thành Lhxn=a0xn+k+ a1xn+k-1+ akxn= 0 (2.1.2) và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k với các hệ số hằng số b Nghiệm của phương trình sai phân : Hàm số... nội đều trên R(An) n Định lý được chứng minh Hệ quả 1.5.9: Nếu từ một chỉ số nào đó trở đi các toán tử An khả nghịch và giới nội đều tức là A -1 c , n=1, 2, n hiện với c-1 thì điều kiện ổn định sẽ được thực 21 Chương 2 Hệ phương trình sai phân 2.1 Phương trình sai phân 2.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính a Định nghĩa: Định nghĩa 2.1.1: Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một biểu thức... 2.2.3 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất có hệ số phụ thuộc n Xét hệ phương trình sai phân : y(n+1) = Ay(n) +g(n) (2.2.26) trong đó A(n) = (aij (n)) là ma trận vuông cấp k, không suy biến; g n Rk Định lý 2.2.14 Mọi nghiệm y(n) của hệ phương trình (2.2.26) có thể viết dưới dạng: y(n) = (n)c + yp(n) với c là một vectơ hằng cho trước và yp(n) là một nghiệm riêng của hệ phương trình. .. 4n +2n4n-1 Như vậy nghiệm của hệ phương trình sai phân đã cho là: 4 n x 0 +n4 n-1x 0 +2n4 n-1x 0 1 2 3 n 4 n -2n4 n-1 x 0 -n4 n x 0 x n =A x 0 = 2 3 n-1 n n-1 n4 x 2 0 + 4 +2n4 x3 0 T Trong đó: x 0 = x1 0 , x 2 0 , x 3 0 2.2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số phụ thuộc n Xét hệ phương trình sai phân : x(n+1) = A(n) x(n) (2.2.20)... nhất nghiệm của hệ phương trình (2.2.20) Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng khái niệm ma trận cơ sở trong lý thuyết hệ phương trình sai phân Định nghĩa 2.2.4 Nghiệm x1(n), x2(n) xk(n) của hệ phương trình sai phân (2.3.20) được gọi là độc lập tuyến tính với n n 0 0 nếu: c1x1 (n) + c2x2(n)+ ckkk(n) = 0 n n 0 thì c1= c2 = = ck = 0 Giả sử (n) là một ma trận cột các nghiệm của hệ phương trình (2.2.20), ta... x k 1 x k 1 2.1.2 Tuyến tính hoá Trong thực tế ta có thể gặp rất nhiều phương trình sai phân không tuyến tính, tuy nhiên để thuận lợi trong việc tìm công thức nghiệm thì một số phương trình sai phân không tuyến tính, ta có thể biến đổi đưa về phương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hoá Giả sử phương trình sai phân x n = (x n-1, x n-2 , , x n-k ) với các giá trị ban đầu x1 1, x 2... thiết n0= 0 Đặt y(n-n0) = x(n) Khi đó, hệ (2.2.1.) trở thành: y(n+1) = Ay(n) với y0= x(n0) (2.2.3) và yn = Any0 Như vậy bài toán giải hệ phương trình sai phân (2.2.3) được đưa về bài toán tính ma trận An Xét phương trình đặc trưng của hệ (2.2.3) det (A I ) = 0 (2.2.4) Phương trình này được viết dưới dạng đa thức là: k a1 k-1 a k-1 a k 0 Giả sử phương trình (2.2.4) có các nghiệm là (2.2.5) 1, . tính 12 Chơng 2: Hệ phơng trình sai phân 17 2.1. Phơng trình sai phân 17 2.2. Hệ phơng trình sai phân tuyến tính bậc nhất 19 2.3. Hệ phơng trình sai phân của phơng trình toán tử 39 Chơng. dụng của hệ phơng trình sai phân 43 3.1. ứ ng dụng hệ phơng trình sai phân giải gần đúng bài toán biên của phơng trình vi phân cấp hai 43 3.2. ứ ng dụng hệ phơng trình sai phân giải. nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu hạn là sai phân. Định nghĩa 1.4.2: Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm x n là sai phân của sai phân cấp 1 của x n , và nói chung sai phân cấp k của