TRUONG THI THUY HAO
HE PHUONG TRINH SAI PHAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Trang 2giáo, đặc biệt là TS.Nguyễn Văn Hùng, những người đã hướng dẫn tận tình, hiệu quả, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn đúng thời hạn
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô giáo, cán bộ, nhân viên trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tôi học tập tại trường
Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc, trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc đã dành cho tôi những điều kiện tốt nhất trong thời gian theo học sau đại học
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới bạn bè, người thân và các đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên khích lệ để tôi hoàn thành bản luận văn này
Hà Nội, ngày tháng năm 2009
Trang 3thành dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Hùng
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học, nghiên cứu, đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc
Hà Nội, ngày tháng năm 2009
Trang 4Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian Banach
1.2 Bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp hai
1.3 Phương trình truyền nhiệt một chiều
1.4 Phương pháp sai phân
1.5 Một số khái niệm cơ bản về lý thuyết xấp xỉ các không gian
và các toán tử tuyến tính
Chương 2: Hệ phương trình sai phân 2.1 Phương trình sai phân
2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất
2.3 Hệ phương trình sai phân của phương trình toán tử Chương 3: Một số ứng dung của hệ phương trình sai phân
3.1 Ứng dụng hệ phương trình sai phân giải gần đúng bài toán
biên của phương trình vi phân cấp hai
3.2 Ứng dụng hệ phương trình sai phân giải gần đúng phương trình truyền nhiệt một chiều
3.3 Ứng dụng của hệ phương trình sai phân tính toán ảnh hưởng của thuỷ triều đến chế độ ẩm của nền đường ở đồng bằng Nam bộ
3.4 Ứng dụng hệ phương trình sai phân giải một số bài toán dãy
Kết luận chung
Tài liệu tham khảo
Trang 5Phương trình sai phân thường xuất hiện khi mô tả những hiện tượng tiến
hoá quan sát được trong tự nhiên Chẳng hạn, xét quá trình phát triển dân số
của một quốc gia hay một vùng nào đó Nếu gọi x„„¡ là số dân tại thời điểm
nam n+1 thix,,, 1a mot ham của số dân x, tại thời điểm năm trước đó Sự liên
hệ này được mô tả bởi hệ thức:
Ky) =f(%,.n), MEN,
Phương trình sai phân theo một biến n và một hàm phải tìm x„ là phương trình hàm có dạng
F(u,„„¡, uạ, u, ,, n)=0, néeN,, (0.1)
ở đó k là số nguyên không âm, E là một hàm theo các biến Đy¿ Uns Uy,» 1 và nạ là một số nguyên dương đã cho Trong trường hợp k là hữu hạn, phương trình (0.1) được gọi là phương trình sai phân cấp k Bằng phương pháp tuyến tính hoá, mọi phương trình sai phân cấp k+1 đều có thể
đưa được về phương trình sai phân cấp một dạng
f(X, xạ, n)=0, neNn,, (0.2)
o day x, (ne N,,) là những véctơ và hàm véctơ Vì vậy khi xét các phương
trình sai phân có cấp hữu hạn trong không gian R" ta chỉ cần đề cập đến
phương trình sai phân cấp 1 dang (0.2)
Lý thuyết phương trình sai phân tìm được nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực của toán học cũng như các nghành khoa học khác, chẳng hạn trong giải tích
số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, giải tích tổ hợp, kinh tế học, tâm lý
học, Vì vậy, việc nghiên cứu phương trình sai phân là một vấn đề thời sự được nhiều nhà toán học quan tâm
Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài " Hệ phương trình sai
Trang 6tính cấp một và ứng dụng của nó 3 Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu các tài liệu khoa học về phương pháp giải và ứng dụng của hệ phương trình sai phân
4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu:
Một số phương pháp giải hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp l và ứng
dụng
5 Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo, tổng hợp kiến thức 6 Dự kiến đóng góp mới
Mở rộng, nêu các ứng dụng của hệ phương trình sai phân
Do kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế, tôi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để luận văn đạt được mục tiêu và có hiệu
Trang 71.1 Khong gian Banach 1.1.1 Khong gian Banach
Dinh nghia 1.1.1: Mot tap X được gọi là không gian metric, nếu với mỗi cặp phần tử x và y của X (viết tắt là x, yeX) tồn tại một hàm thực hai biến,
ký hiệu là ø„ (x,y) thoả mãn:
* ov(x, y)>0, Px(x, y) = 0 khi và chỉ khi x=y
* Øx(X, ÿY)= Øx(y, X)
* Ø4, y)< 24%, Z)†/(, y) VX, y,Z€X
Định nghĩa 1.1.2: Mot day (x,) gồm các phần tử x„ e X được gọi là hội tụ đến phần tử xạ eX, viết X= lim x,,néu lim Ø(X„.X;)=0
Định nghĩa 1.1.3: Không gian metric X được gọi là đây đủ nếu mọi dãy co
bản (dãy Cauchy) trong X hội tụ đến một phần tử thuộc X
Định nghĩa 1.1.4: Không gian metric X được gọi là tuyến tính nếu với hai
phần tử bất kỳ x và y của X với các phép toán cộng x +y và phép toán nhân
một số # với một phần tử của X cho ta những phần tử thuộc X thoả mãn các tính chất:
1.x+y=y+x
2 x+(y+Z)=(X+y)+z
3 Tồn tại phần tử không (thường được kí hiệu bằng số 0) của
không gian X sao cho với mỗi xeX, x +0=x
4 Với mỗi phần tử x eX, tồn tại phần tử đối - x e X sao cho
x+(-x)=0
5 Với hai số z,ø và một phần tử bất kì x e Xta có:
Trang 86 Với mọi xeX, x.l=x
7 Với mọi số #z,/ và phan tu bat ki x e Xta có:
(z+)x=ơx+/x
8 Với mọi số z và hai phần tử bất kì x, y của X ta có: a(x+y)=ax+ay
Định nghĩa 1.1.5: Chuén cha một không gian tuyến tính X là một hàm,
thường được kí hiệu là , xác định trên tồn khơng gian X, nhận các giá trị
hữu hạn và có các tính chất sau:
1 |x||> 0 VxeX, x||= 0 khi va chi khi x=0
2 Với moi x, ye X, x+y|<||+||
3 Với mọi số œ và phan tir bat ki x của X ta có |øx||= a |x| Nếu không gian tuyến tính X có chuẩn || thì nó được gọi là không gian định chuẩn Không gian định chuẩn X bất kì có thể trở thành không gian metric khi lay p(x,y)=]}x- y|
Dinh nghia 1.1.6: Khong gian định chuẩn X được gọi là không gian
Banach nếu X với với metric sinh bởi chuẩn là không gian metric đầy
Ví dụ: R° và C¡,„ị là các không gian Banach
1.1.2 Toán tử tuyến tính trong không gian Banach
Định nghĩa 1.1.7: Giả sử X và Y là hai không gian Banach Ánh xạ
T: X — Y được gọi là tuyến tính nếu :
T(œzx+/Øy)=øT(x)+Øf(y) Vơø,Ø eK,Vx,yeX (1.1.1) Định nghĩa 1.1.8: Cho hai không gian Banach X và Y Một toán tử A từ X vào Y được gọi là bị chặn ( giới nội) nếu tồn tại hằng số k > 0 sao cho
Trang 9Định lý 1.1.9: Một toán tử tuyến tính A từ không gian Banach X vào
không gian Banach Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn
Dinh lý I.I.10: Toán tử tuyến tính A từ không gian Banach X vào không gian Banach Y có nghịch đảo khi và chỉ khi NÑ(A)={0}, tức là phương
trình Ax=0 chỉ có một nghiệm duy nhất x=0
Dinh ly 1.1.11: Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian Banach X
vào không gian Banach Y Nếu A có toán tử nghịch đảo A' liên tục thì VxeX và Vm< ta CÓ: (vxeX), |Vm< a] |Ax| Ngược lại nếu có m > 0 nghiệm đúng (1.1.3) thì A' tồn tại, liên tục và y >m|lx||„ (1.1.3) ta CÓ : lA'l<~ m
1.1.3 Chuẩn trong không gian Banach R"
a Hai chuẩn tương đương
Định nghĩa 1.1.12: Hai chuẩn ||, và ||, trên cùng một không gian vectơ X được gọi là tương đương và viết || ||, nếu tôn tại C¡, C; >0 sao cho
C, lEl < II <C, lEl VxeX (1.1.4)
b Chuẩn trong không gian R"
Trang 10Nhận xét :
Nếu || và || là hai chuẩn trên không gian vectơ X mà || ||,thì
(Xx, ) 1a khong gian Banach khi va chỉ khi (X, ,,) là không gian Banach
Định lý 1.1.13: Hai chuẩn tuỳ ý trên R" là tương đương 1.1.4 Sự hội tụ trong không gian Banach
Dinh ly 1.1.14 : Trong khong gian Banach, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối
đều hội tụ và ta có ước lượng wo DX k=l <> hl (1.1.5) Nhận xét:
Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi với mọi
dãy {x„}=X, |xu—-x„[>0 khi n,m—> n| œlà hội tụ trong X
1.2 Bài toán biên đối với phương trình vi phan cấp hai
1.2.1 Định nghĩa:
Định nghĩa 1.2.1: Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát
F(x, y, y', y")=0 (1.2.1)
với F là một hàm xác định trong một miền D nào đó của không gian RỶ
Trong phương trình (1.2.1) có thể vắng mặt một số biến nhưng bắt buộc phải có biến y" Nếu từ (1.2.1) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình (1.2.1) có dạng y"=f(x, y, y) (1.2.2) thì ta được phương trình vi phân cấp hai đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao nhất
Nhận xét: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai phụ
Trang 11của (1.2.1) hoặc (1.2.2) thoả mãn một số điều kiện nào đấy, một trong các
điều kiện đó là điều kiện ban đầu:
yŒ¿)=Y„ YŒo)= Yo (1.2.3)
Bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp hai: Là bài toán tìm nghiệm y=y(x) của phương trình (1.2.1) thoả mãn các điều kiện ban đầu :
y(Xo)=yo: y(Xạ)= yạ trong đó Xọ, Yo Yo 1A cdc giá trị tuỳ ý cho trước mà ta gọi là các giá trị ban đầu
1.2.2 Định lý về sự tôn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên
Định nghĩa 1.2.2: Hàm f(x, u,, u,) xác định trong miền Dc RỶ được
gọi là thoả mãn điều kiện Lipsit theo các biến u¡, u; nếu tồn tại hằng số L>0 (hằng số Lipsi) sao cho đối với hai điểm bất kì (x,u,u, )eDvà
(x,u,,u, )eD ta có bất đẳng thức:
|( u,.u,)—f(x, u,,u, ) <i(b - u [+a - u, ) (1.2.4)
Nhận xét: Điều kiện Lipsit sẽ được thoả mãn, chẳng hạn nếu hàm f
trong miền D có các đạo hàm riêng theo u¡, u; giới nội, tức là tồn tại số dương of ou, of ou, M sao cho <M, <M
Dinh ly 1.2.3: Gia sit tong mién DCR*ham f(x, uạ, u;) liên tục và
thoả mãn điều kiện Lipsit theo uạ, u¿ Khi đó với bất kì điểm trong
(xo-yu.yu}<D tồn tại duy nhất nghiệm y=y(x) của phương trình (1.2.2) thoả mãn điều kiện ban đầu y(x;)=y Y'(Xạ) = Vụ
Nghiệm này xác định tại lân cận, nói chung, khá bé của xạ
Trang 121.2.3 Nghiệm tổng quát của bài toán biên đối với phương trình vi phan cap hai
Giả thiết rằng D là miễn tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên (1.2.2), tức là nghiệm bài toán biên tồn tại và duy nhất đối với mỗi điểm
(xo:ya.va)= D
Hàm y=ø(x, C,, C,) xác định trong miền biến thiên của các biến x,
C,, C;¿ có tất cả các đạo hàm riêng theo x liên tục đến cấp hai được gọi là
nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.2) trong miền D nếu trong D từ hệ
=Ø0(x,, C,, C,
phương trình Ù 0Œ; Cị €¿) ta có thể xác định được :
y,=Ø,(x,, C¡, C;) [C2 =Wi(%os Yoo Yo) 1 Ũ
[C2 =W2(%os Yoo Yo)
và hàm y=ø(x, Cj, C?) là nghiệm của phương trình (1.2.1) ứng với mỗi cặp số C7, C2 tìm được từ hệ phương trình trên khi cho x biến thiên trong D
1.3 Phương trình truyền nhiệt một chiều Dinh nghia 1.3.1: Trong mién: Q={x.t:0<x<¡,0<t<0} chúng ta xét bài toán biên của phương trình truyền nhiệt: ôu ;ểu Lu=-# oe =f (x,t) (1.3.1) ul, =u, =0 (13.2) | ,=@(x) (1.3.3)
Ham u(x, t) được gọi là nghiệm cổ điển của bài toán (1.3.1)-(1.3.3), nếu
Trang 13trên miễn Q={xt:0<x<1, 0<t<0} có các đạo hàm riêng liên tục
St và Ê > | thoả mãn phương trình (1.3.1)
ot Ox
Dinh ly 1.3.2: Cho ham ge Cho ham f lién tuc trong mién Q Khi đó tồn tại không quá một nghiệm u(x,t) của bài toán (1.3.1)-(1.3.3) thoả mãn điều
abel
kién tang u(x, t) < Ae ,0<x<1,0<t<0 véiA la hang số
1.4 Phuong phap sai phan
1.4.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.4.1: Ta goi sai phan hitu hạn cấp 1 của hàm số x(n)=x, với
neZ (hoặc neZ°, hoặc neN) là hiệu : Ax, =X,.¡—Xụ
Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai phân
hữu hạn là sai phân
Định nghĩa 1.4.2: Ta gọi sai phân cấp 2 của ham x, 1a sai phan cua sai phan
cấp I của x„, và nói chung sai phân cấp k của hàm x, là sai phân của sai phân
cap k-1 của hàm số đó
Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm x, là
A®XjEA(A Xu)= AXuuiTAXu=Xusz-Xueih (XuyiXu)E Xusa-2Xu¿EXui
Sai phân cấp 3 của hàm x, là
A XiEA(A Xu) =A XuyiSA XG Xpag-2Xnart net Xr" 2X ner Xn) = X3” 3Xpiot 3X1 "Ấm Nói chung, sai phân cấp k của hàm x, là: k : + AN RA (AIX) SANK ANKE DCL CX acs i=0
1.4.2 Tính chất của sai phân
Trang 14Tính chất 3: Sai phân cấp k của đa thức bậc m là: 1, Đa thức bậc m-k nếu k< m ii, Hang số nếu k=m 1i, Bằng 0 khi k >m N Tính chất 4: 3 A*x, =At*!x
n=a xà TA x, voi keZ*
1.5 Một số khái niệm cơ bản về lý thuyết xấp xỉ các không gian và các toán tử tuyến tính
1.5.1 Xấp xi một không gian Banach bằng một đấy các không gian Banach Giả sử X là một không gian Banach cho trước Để xấp xỉ một phần tử của X ta sử dụng cấu trúc sau đây
Xét dãy các không gian Banach {X, \" , ma nhờ đó chúng ta sẽ xấp xỉ
1
không gian X Liên quan giữa các không gian Xn va không gian X chúng ta sử dụng dãy toán tử tuyến tính {T,}" T,e ¥(X,X) (n=1,2 ), đồng thời
chúng ta giả thiết rằng T,X = Xn
Vi du 1.5.1: Lay X = Cio là tập hợp tất cả các ham liên tục trên đoạn
[0;1] Giả sử neN” là một số tự nhiên bất kỳ, ta chia đoạn [0;1] thành n phần bằng nhau với các mút chia 0=t<t<b< <t=1
Cho X„ =R", chúng ta có thể xác định toán tử tuyến tính T,: X > Xi
như sau:
Với x(Ð e X bất kỳ ta lấy: T;x(Ð = (x(t); x(t), , x (t,))
Dễ dàng thấy rằng T, là một toán tử tuyến tính và T,X = X,
Chúng ta sẽ luôn luôn chọn X, và T, sao cho dimX, < +00, Im (T,) # 0
đồng thời số chiều của X, sẽ là một dãy số tự nhiên tăng và dần tới vô cùng
Trang 15Giả sử trong mỗi một không gian X, ta chọn một phần tử x„ và sắp xếp chúng thành một dãy có chỉ số tăng dần {x„}ˆ Khi đó ta có thể so sánh độ sai Iéch gitta x, € Xn va phần tử x e X bởi đại lượng x„—T,x x,„ Và ta CÓ
khái niệm hội tụ của dãy {x, i đến phần tử x như sau:
Định nghĩa 1.5.1: Ta nói rằng đấy {x,}" 1a T— hoi tu dén x e X, nếu: lim{ x, — Tx x }=0
n> Xn
Khi đó ta ký hiệu: x,——>x, (n—>®) hoặc T—limx, =x
Bằng cách kiểm nghiệm trực tiếp ta có thể chỉ ra rằng khái niệm T — hội tụ có một số tính chất giống như khái niệm hội tụ của dãy số thông thường Tuy nhiên T — giới hạn của một dãy bất kỳ có thể là không duy nhất Để khắc phục điều đó chúng ta có thể bổ sung thêm cho đúng điều kiện không suy biến
Định nghĩa 1.5.2: Ta nói rằng các chuẩn trong X, là không suy biến nếu từ: lim Tịx ; =0 ta suy rax=0
Định lý 1.5.3 : Điều kiện cần và đủ để T — giới hạn luôn luôn duy nhất là các chuẩn trong X„ không suy biến
1.5.2 Xấp xỉ toán tử tuyến tính
Giả sử X và Y là các không gian Banach và A: X —> Y là một toán tử
tuyến tính có miền xác định D(A) và miền giá trị R(A), trong đó D(A) c X và R(A) c Y Để xấp xỉ các không gian Banach X và Y ta sẽ sử dụng các dãy không gian Banach {Xs } và {Yo} „ tương ứng với chúng ta là dãy các toán
1 1
Trang 16Để xấp xỉ toán tử A: X > Y, ta sé sit dung day todn tir tuyén tinh
{A,}", A\:X, Yo Gia thiét ring D(A,)cX,,R(A.)cY,, va Vn € N° thi
T,(D(A)) <D(A,).-
Định nghĩa 1.5.4: Ta nói rằng tại xeD(A) điều kiện xấp xi được thoả mãn nếu:
A\T,X-T,Ax 5,0 (n>) (1.5.1)
Khi điều kiện (1) được thoả mãn thì ta có: AT Ax, (n—>)và ta cũng có thể nói rằng IDNN xấp xỈ A tại x e X
1.5.3 Điều kiện xấp xỉ và điêu kiện ổn định của các toán tử tuyến tính Gia sử X và Y là các không gian Banach được xấp xỉ bởi các không
gian {Xa} va {Yo} con {T, | va {T,} là các dãy toán tử thu hẹp tương ứng
sao cho T,X= Xn, T, Y=Yn, n=1, 2,
Định nghĩa 1.5.5: Gia st {y,} 1a day sé duong bat ki, con {g, }1a mot dãy số
khong am va g, >0 khi no, x, €X, vax 1A phan tử bất kì của X
Trang 17|A.T,x-T,Ax </m*,k>0 (1.5.4)
Khi đó ta nói rằng cấp xấp xỉ của toán tử A bởi dãy toán tử A, tại phần tử x bằng k
Trong trường hợp chung, ta có thể thay dãy {n*} bằng dãy số {ø, } không am va g, >0 khi n—>œ Khi đó ta nói tại x toán tử A được xấp xỉ bởi dãy toán tử {A„} với tốc độ ø,
Định nghĩa 1.5.7: Nếu tôn tại hằng số 3 > 0 và số tự nhiên nụ sao cho
với mọi x,cD(A,) ta luôn có JAnxn s, >Ä | „ Vn>n, thì ta nói
rằng dãy {A„} thỏa mãn điều kiện ổn định
Trong thực tế, để kiểm tra điều kiện ổn định của dãy toán tử A„ ta có thể sử dụng điều kiện sau:
Định lý 1.5.8: Các toán tử A, là khả nghịch và giới nội đều trên R(A,)
khi và chỉ khi tồn tại số dương 4 sao cho với mọi x„ eD(A,) ta có:
|AnXnfy- 2Alxnaly, (1.5.5)
Chứng minh Điều kiện cần:
Giả sử tồn tại toán tử ngược A”' Khi đó ta có R(A,)=D(A;')
Theo giả thiết A7 giới nội đều trên R(A,) nên tồn tại số dương c sao cho
Vy, eR(A, ) ta có : |^:v <e Yn
Yn Xn
Đặt y,=A„x„, x„ eD(A,) ta được clA,x, |, > Xx
Lấy 4=c' ta được điều phải chứng minh Điều kiện đủ:
Giả sử điều kiện đủ được thực hiện tức là tồn tại số Â >0 sao cho
Trang 18Khi 46 vx, eN(A,) thi A,x,=0 Thay vao (1.5.6) ta duge:
AXn
Vay N(A,)=(0}
Theo định lý về sự khả nghịch của toán tử tuyến tính thì tồn tại toán tử ngược
A2! đơn trị hai chiều từ R(A,) vào D(A,)
jz, <0, 2>0 nên [x,[y <0 =|x,|=0 =x,=0
Với mỗi y, eR(A,) đặt x„ = A;'y„ ta được |A.x ky, =| ly, nén Ynll, >4||Xas|š " > Pal, $4 Wally, -l "
hay |A2yale <4" [alky,
tức là A”' giới nội đều trên R(A,)
Định lý được chứng minh
Hệ quả 1.5.9: Nếu từ một chỉ số nào đó trở đi các toán tử A„ khả nghịch
A;
Trang 19Chuong 2
HE PHUONG TRINH SAI PHAN
2.1 Phuong trinh sai phan
2.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính a Định nghĩa:
Định nghĩa 2.1.1: Phương trình sai phân tuyến tính của hàm x„ là một biểu
thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm x„ tại các điểm khác nhau:
LX,=ajXact AXajvat AX =f, (2.1.1)
trong đó L¡, là ký hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lén ham x,, xdc dinh trén
lưới có bước lưới h; ao, a,, ay với ag#0; a, #0 là các hằng số hoặc các
hàm số của n, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; f, là một hàm số của n, được gọi là vế phải; x„ là giá trị cần tìm, được gọi là ẩn
Phương trình (2.1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k (còn gọi là bậc k) vì để tính được tất cả các gid tri x,, ta phải cho trước k giá trị liên
tiếp của x„ rồi tính các giá trị còn lại của x„ theo công thức truy hồi (2.1.1)
Định nghĩa 2.1.2: Nếu f, =0 thì (2.1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Nếu f, z0 thì (2.1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Nếu f,=0 và aạ,a,, a, 14 céc hang s6, a) #0; a, 0 thì phương trình (2.1.1) trở thành
LiXp=AX pit AXpacrt aX,= O (2.1.2)
và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k với các hệ số hằng số
b Nghiệm của phương trình sai phân :
Hàm số x, biến n thỏa mãn (2.1.1) được gọi là nghiệm của phương trình sai
Trang 20Hàm số Xa phụ thuộc k tham số thoả mãn phương trình (2.1.2) được gọi
là nghiệm tổng quát của (2.1.2) , nếu với mọi tập giá trị ban đầu xạ, xạ, Xị, ta đều xác định được duy nhất các tham số C¡,C¿, , C¿ để nghiệm Xa trở thành nghiệm riêng của (2.1.2), tức là vừa thoả mãn (2.1.2), vừa thoả mãn
Xo=X,, Xi=X,, 5 Xer =X, 2.1.2 Tuyến tính hoá
Trong thực tế ta có thể gặp rất nhiều phương trình sai phân không tuyến tính, tuy nhiên để thuận lợi trong việc tìm công thức nghiệm thì một số
phương trình sai phân không tuyến tính, ta có thể biến đổi đưa về phương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hoá
Giả sử phương trình sai phân x„=Ø(X, ¡,X,„;, X„„) với các giá trị ban
dau x, =, X,=@), , X, =@, 1a tuyén tinh hod duge , khi đó điều kiện cần là tồn tai cdc sO a,,a, , a, dé Xp AXpyt Xp ot FAX « Dé tim a,, a, , a, trudc hét ta tinh X41, Xp43, „ Xa theO ứ, đ,, ,ớđ, : Xp P(A ys Ups er @) Xo =P Xa ars a,
Thay xạ, xạ, , X, Và các giá trị Xy,¡ X¿,;, „ Xạy vừa tìm được vào biểu thức x„ ta được hệ phương trình đại số tuyến tính:
X41 =AiXy FAK, | FFA,
Xin AX yy FAK, F FAX;
Xo TA)X yp.) FAK 94.9 Pee TALK,
Nếu hệ trên có nghiệm duy nhất thì
Xp AiXni† AXpot FAX x
Trang 21X= PK > Xoo ce Xn)
Điều kiện đủ ta có thể kiểm tra bằng phép chứng minh quy nạp 2.1.3 Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính
Trang 22Như trên đã nói, mọi phương trình sai phân đều có thể tuyến tính hoá để đưa về phương trình tuyến tính, đồng thời, dựa vào dạng chính tắc của phương
trình sai phân tuyến tính (Mục 2.1.3) nên ta có thể đưa mọi hệ phương trình
sai phân về hệ tuyến tính bậc nhất Đây là những hệ phương trình có rất nhiều
ứng dụng trong các ngành khoa học khác nhau như: Vật lý, địa lý, điện tử, sinh học, cũng như các bài toán phương trình sai phân bậc cao, phương trình vi
phân, phương trình đạo hàm riêng Do vậy, trong phần này, chúng ta chỉ xét cách giải một số hệ phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất
2.2.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng là hệ có dạng : x,(+])=a,,x,(n)+a,;x,(n)+ +a,,x, (n) x;(n+])=a,,x,(n)+a,;x,(n)+ +a„ x, (n) X,(n+l)=a,,x,(n)+a,„x;(n)+ +a,x, (n) trong dé a; , 1<i,j<k An địa ai, x(n) Dat A= 4; 8»; a5, : x(n) =| *2 | Ay Agger aK lx Hệ phương trình sai phân đã cho có thể viết dưới dạng ma trận như sau: x(n+1) = Ax(n) (2.2.1)
Nếu từ một giá trị nạ> 0 mà x(n,)= xạ cho trước thì hệ (2.2.1) được gọi
là bài toán có giá trị ban đầu
Bằng quy nạp toán học, ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của hệ phương
trình (2.2.1) được cho bởi
X(N, No, Xo) = A™™ Xo (2.2.2)
với A° = I là ma trận đơn vị
Trang 23Nếu nụ = 0 thì nghiệm trong công thức (2.2.2) có thể viết là x(n, xạ)
hoặc đơn giản hơn là x(n)
Không làm mất tính tổng quát chúng ta có thể giả thiết nạ= 0
Đặt y(n-n,) = x(n)
Khi đó, hệ (2.2.1.) trở thành:
y(n+1) = Ay(n) (2.2.3)
VỚI Yyg=X(ng) va y"=A*yo
Như vậy bài toán giải hệ phương trình sai phân (2.2.3) được đưa về bài toán tính ma trận A"
Xét phương trình đặc trưng của hệ (2.2.3)
det (A — M) = 0
(2.2.4)
Phương trình này được viết dưới dạng đa thức là:
A‘ +a As + +a,,A +a, =0 (2.2.5)
Giả sử phương trình (2.2.4) có các nghiệm là ›;- Â k
Đặt PATI (A-4,) (2.2.6)
jel
Dinh lý 2.2.1: ( Dinh ly Cayley — Hamilton ) Moi ma tran đều thoả
mãn phương trình đặc trưng của nó
k
tức là: P(A) = [JlA:A)=9 (2.2.7)
Hay A‘ +a,A‘*+ +aI=0 (2.2.8)
a Thuật toán Putzer tìm ma trận A"
Định lý 2.2.2: Cho A là một ma trận thực cấp k, có các giá trị riêng 3›;®2;- % Khi đó:
A" =Y u (n)M(j-I) (2.2.9)
Trang 24Trong đó M@)= (A - 4,DM(-I) M(0)=l Bằng quy nạp toán học, có thể chỉ ra rằng wí)=lÏ (A-4J) jE Chú ý: Từ định lý Cayley- Hamilton ta có: k M(k)=I (A-AD =0 = Ngoài ra M(n)=0 Vn>k
Nếu cho n = 0 thì từ công thức (2.2.9) ta có:
A°=1=u,(0)I+ u,(0) M(1)+u,(0) M(2)+_ +u,(0) M(k-1)
=> u,(0) = 1 vau,(0) =u,(0)=u,(0)= .=u,(0)=0 Mặt khác từ (2.2.9) ta cũng có: AM = 3 u (n+ ).MG-1) va A™!= AAT=A Sao] =3 u,(n)AM(-1) j=l Jel Tw (2.2.13) va (2.2.14) ta c6: k k 3;0+ÐM(-D)= 3„1,()AM(-) JE jE Từ (2.2.10) ta có: AM (j-1) = MG)+AIM(j-1)
Trang 25u, (n+1= Au,(n) u,(0)=0 u;(n+lE.2;u;(n)+u,(n) u;(0)=0 (2.2.18) u,(n+1)=2,u,(n)+u,,() u, (0)=0 Nghiệm của hệ phương trình sai phân (2.2.18) được xác định bởi u,(n)= 2," n-1 u(n)= Yaw Mu, (i), j=23 k (2.2.19) i=0 b Một số ví dụ: Ví dụ 2.2.1: Giải hệ phương trình x,(n+1)= x,(n)+x,(n) x, (n+1)=-2x, (n)+3x, (n)+x, (n) x,(n+1)=-3x,(n)+ x, (n)+4x, (n) Ma trận của hệ phương trình là: 0 1 1 A=l-2 3 1 3 1 4 Xét phuong trinh dac trung: -A 1 1 det(A-XI)=det|-2 3-24 1 |=0 -3 1 4-4 =3 742 =(.292 _
Hay: P(A)=A -7A“ +16A-12 =(A-2)“ (A-3)=0
= Các giá trị đặc trung cha A 1a: A, =A, = 2; A, = 3
-2 1 1
Ta có: M(0)=I, M(=A2E|-2_ 1 1]
Trang 28n-1 u;(n)=>_,4"'14'=n.4"1, i=0 nto, nl on n-l u,(n= > 44h =4? SS i= ( J grr i=0 t0 2 Thay vào công thức (2.2.9) ta được: 1 0 0 01 2 n(n- (n 1) 0 0 A'=l0 1 0|+n#'0 2 4/+~—4"10 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 4 n4™! 2n4"! =|0 4"-2n4"! n4" 0 n4"! 4"+2n4"! Như vậy nghiệm của hệ phương trình sai phân đã cho là: 4"x,(0)+n4"'x,(0)+2n4"'x, (0) x(n)=A"x(0)=| (4"-2n4"")x, (0)-n4"x, (0) n4™'x, (0)+(4" +2n4"! )X: (0) Trong đó: x(0)=(x, (0), x,(0), x; (0))' 2.2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số phụ thuộc n Xét hệ phương trình sai phân : x(n+1) = A(n) x(n) (2.2.20)
Trong đó A(n) = (a;(n)) là một ma trận cấp k không suy biến
Bây giờ chúng ta sẽ xét sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ phương
trình (2.2.20)
Định lý 22.3 Với mỗi xạeRYvà nạeZ' thì có duy nhất một nghiệm X(N, Ng, xạ) của hệ phương trình (2.2.20) với x(n, nạ, xạ) = xạ cho trước
Chứng minh:
Trang 29X(Not1, nạ, xạ) = A(m) x(n)= A(,)Xọ x(nạ+2, nọ, xạ) = A(ng+[l) x(nạ+1)= A(ạ+1)A(n,)xạ Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta có thể kết luận: X(N, Ng, Xo) = fio Xq (2.2.21) JTnụ trong dé A(mp) = 1 Công thức (2.2.21) chứng tỏ sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình (2.2.20)
Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng khái niệm ma trận cơ sở trong lý thuyết hệ phương trình sai phân
Định nghĩa 2.2.4 Nghiệm x,(n), x;(n) x¿(n) của hệ phương trình sai phân (2.3.20) được gọi là độc lập tuyến tính với n> nạ>0 nếu: c¡x¡ (n) +c;x;(n)+ c,k¿(n) =0 Vn>n, thì c=cạ= =c,=0 Gia st ®(n) là một ma trận cột các nghiệm của hệ phương trình (2.2.20), ta viết ® (n)= [x,(n), x;(n), , x, (n) | Khi đó: ®(n+1)={ A(n)x,(n), A(n)x;(n), A(n)x, (n) | =A(n)[x,(n), x,(n), ., X, (0) | =A(n)®(n)
=> âđ(n) thoa man phuong trinh sai phan © (n+1) = A(n)®(n)
Ngoai ra nghiém x,(n), x,(n),, X,(n) 14 d6c lap tuyén tinh voi n>nụ khi và chỉ khi ma trận ®(n) là không suy biến với mọi n>n, tức là
detÖ(n)#0 Vn>nụ
Điều này dẫn đến định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.2.5 Nếu ®(n) là ma trận không suy biến với mọi
Trang 30Chú ý rằng nếu ®(n) là một ma trận cơ sở và c là ma trận hằng số thì ® (n)c cũng là một ma trận cơ sở của hệ phương trình (2.2.20) Như vậy có rất
nhiều ma trận cơ sở của hệ phương trình (2.2.20) trong đó có một ma trận đã biết là:
®(n= lÏ A()_ với ®(n,}El
Trong trường hợp đặc biệt khi A là ma trận hằng thì ®(n) = A" va nếu nạ= 0thì ®(n)= A"
Hệ quả 2.2.6 Có duy nhất một ma trận w(n) thoả mãn phương trình
(2.2.22) va w(ng)= 1
Hệ quả 2.2.7 Nghiệm của hệ (2.2.20) với giá trị ban đầu x(nạ, Np Xp) = Xo
được cho bởi công thức: + Ng, X,J=O (n, ny )Xo (2.2.23) Bo dé 2.2.8 (B6 dé Abel) x(n Với mỗi n>n, >0 ta đều có đet®(n)= ÏÏ [detA@)]detb(n,) (2.2.24) Hệ quả 2.2.9: Nếu trong hệ phuong trinh (2.2.20), A 1a ma tran hang thi:
det ®(n)=[ detA(i) |" det®(n,,)
Hệ quả 2.2.10: Ma tran cơ sở ®(n) là không suy biến Vn > ny khi va
chỉ khi ®(m) là khơng suy biến
Như vậy, để kiểm tra tính độc lập tuyến tính của ma trận cơ sở ®(n) với n > nạ chúng ta cần chỉ ra rằng nó độc lập tuyến tính tại n = ny
Hệ quả 2.2.11: Các nghiém x,(n), x,(n), , x,(n) cla hé (2.2.20) 1a độc lập tuyến tính với n> nụ khi và chỉ khi ® (mạ) là không suy biến
Trang 31Chứng minh:
Với mỗi ¡= 1,2, ,k.đặte,=(0,0, ,1, ,0) thì e, là một vectơ đơn
vị trong RẺ,
Theo định lý 2.2.3, với mỗi e;, I<i<k, tồn tại nghiệm x(n, nụ, e,) của hệ phương trình (2.2.20) sao cho x(no, No, &) = &
Khi đó ®(nạ) =l nên ® (nạ) là không suy biến
Theo hệ qua (2.2.11) ta được hệ nghiệm {x(n, nạ, e,), l< ¡ < k} là độc lập tuyến tính (Định lý được chứng minh)
Ta nhắc lại một tính chất quan trọng của tập nghiệm của hệ phương trinh (2.2.20) la: Nếu x,(n) và x;(n) là các nghiệm của hệ phương trình (2.2.20) va ceR tuỳ ý thì ta có x;(n)+x¿(n) và cx,(n) cũng là nghiệm của hệ phương trình (2.2.20)
Đây được gọi là tính chất tuyến tính của các nghiệm
Tổng quát ta có: Nếu x,(n), xz(n), _, x¿(n) là các nghiệm của hệ phương trình (2.2.20), c¡, c;, _.c, là các số thực tuỳ ý trong đó có ít nhất một số khác không thì ta có: c¡x;(n) +c;x;(n) + +c,x,(n) cũng là nghiệm của hệ phương trình (2.2.20)
Từ đó ta có định nghĩa sau
Định nghĩa 2.2.13 Giả sử {x;(n); 1<1<k } là các nghiệm độc lập tuyến tính của hệ phương trình (2.2.20) thì nghiệm tổng quát của hệ phương trình
Trang 322.2.3 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất có hệ số phụ thuộc n Xét hệ phương trình sai phân : y(n+l) = Ay(n) +g(n) (2.2.26) trong đó A(n) = (a; (n)) là ma trận vuông cấp k, không suy biến; g(n)eR* Định lý 2.2.14 Mọi nghiệm y(n) của hệ phương trình (2.2.26) c6 thé viết dưới dạng: y) = ®(n)c + y,(n) với c là một vectơ hằng cho trước và y,(n) là một nghiệm riêng của hệ phương trình (2.2.26) Chứng minh: Gia str y(n) là một nghiệm bất kì còn y,(n) là một nghiệm riêng của hệ phương trình (2.2.26) Dat x(n)=y(n)-y,(n) Vn 2 ny Khi đó ta có x(n+1)= y(n+I)-y,(n+l) = A(n) y(n) + gín) — A() y, (n)— g(n) = A0) [y(n)-y,(n)] = A(n) x(n)
=> x(n) 1a nghiém của hệ phương trình thuần nhất (2.2.20)
= x(n)=%®(n).c với c là vectơ hằng nào đó
=> y(n) -y,(n) =®(n) c
hay y(n) = y,(n) + ® (n).c (Định lý được chứng mình)
Nói chung, ta có thể viết : ®(n,m)=®(n).®'(m) với hai biến n, m mà
Trang 33Ngoài ra ta có một số nhận xét sau:
(i) ®*'(n,m)=®(m,n)
(1đ) ®(n,m)=®(n,r)®(r,m)
n-l
(iii) ~O(n,m)=[] AG)
Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng công thức tìm nghiệm riêng y,(n) của hệ phương trình (2.2.26) Bổ đề 2.2.15 Một nghiệm riêng của hệ phương trình (2.2.26) được xác định bởi công thức: n-1 yp(n)= >) O(a, r+ 1g) với y,(nạ) = 0 Chứng minh: m-Ï Do y,(n)= ¥° O(n, r+1)g(r) Vn =n, T=nạ nên y,(n+D)=S @®(n+1,r†1)g(r) Lãi = > ®(n+1, rt1)g(r)+®(n+1, r+1)g(n) nel => A(n)®(n, rtI)g(r) +®(n+1, n+I)g(n) = A(n) y,(n) + g(n)
= y,(n) la nghiém cua hé phuong trinh (2.2.26) va y,(no) =0 Dinh ly 2.2.16 Nghiém duy nhat cua hé phuong trinh sai phân với giá tri ban dau:
y(n+1) = A(n)y(n)+g(n), y(m) = Yo (2.2.27)
được cho bởi công thức:
y(n, Ny, Yo) = O(n, ny) Yo + Š O(n, r+1)g(r) (2.2.28)
Trang 34hoặc cụ thể hơn là:
y(n, Ny, Yo) = A A)»+ Š [đi H AG Je (r) (2.2.29)
Trang 35» 848) fog) 4 -2-4n+0(5) 1-(3} etry (2 ry" Ngoài ra : > (3 -—-=2-[5] : N 2 Thay vào biểu thức trên ta được: ooo PO SHG "l8 Ƒ 2nd"! —2n 2"-I 2-1 Vậy nghiệm của hệ phương trình sai phân đã cho là: 2"+n2"! - 3n y(n) = 2°-1
2.2.4 Giải hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong
trường hợp ma trận các hệ số chéo hoá được
Trước hết ta nhắc lại rằng hai ma trận A và B có cấp k được gọi là tương
đương nếu có một ma trận không suy biến P sao cho P!AP=B Ngoài ra, ma trận A được gọi là chéo hoá được nếu A tương đương với ma trận
A 0 0
Trang 36Chú ý rằng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận D là các giá trị riêng của ma trận A Xét hệ phương trình (2.2.20): x(n+1)=A(n)x(n) trong đó A là ma trận chéo hoá được, tức là A có k giá trị riêng Â,¿ Â, A 0 0 ae 0 4 0 Xét ma trận đường chéo chính : D= 0 0 A, Khi đó, tồn tại ma trận Psaocho PA.P=D (2.2.31) => A=P.D.P' => A"=(P.D.P'"=P.D".P' 4" 0 0 tức là: A"=P 0 + ¬ 0 Pl 0 0 4 4` 0 0 Xét ma trận O(n)=A".P = P 0 A; " 0 (2.2.32) 0 0 4 Dễ thấy ®(n) là một ma trận cơ sở của hệ phương trình (2.2.20), ngồi ra ®(0)=P và A"=@(n).® 10) (2.2.33) Dat P= (& Š;„ Šn } trong đó Š, là cột thứ ¡ của ma trận P Từ (2.3.31) ta có AP=PD
=> A§,=Àẽ, i=l,2, k tức là É, ¡i=l,2, ,k là k véctơ riêng của
Trang 37Rõ ràng ma trận P là không suy biến khi các vectơ riêng là độc lập tuyến
tính
Khi đó từ công thức (2.2.32) ta có :
đ(n)=(Đ ,)
=(M,, M, X6, } (2.2.34)
Chú ý rằng mỗi cột của ma trận ®(n) là một nghiệm riêng của hệ
phương trình (2.2.20) và các nghiệm này độc lập tuyến tính, do vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình (2.2.20) được xác định bởi công thức:
x(n)=c,ÀT§,+c,À2Š,+ + c rễ (2.2.35) trong đó c¡, c;,, c„là các hằng số tuỳ ý
Ví dụ 2.24: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sai phân x(n+1)=Ax(n) trong do: 2 2 1 A=ll 3 1] 1 2 2 Giai: Xét phuong trinh dac trung 2-2 1 det(A-^J=0 © det| 1 3-1 1 =0 1 2 2-À © (2-5)(A-1} =0
Các giá trị của A là: À¡ =5, A,=A,=1
Bây giờ ta sẽ đi tìm các vectơ riêng của A bằng cách giải hệ phương trình
Trang 38V6i A=5 taco: 1 —2 1 |x, |=0
Giải hệ phương trình trên ta được vectơ riêng tương ứng là : 1 Š;=H1l 1 1 2 1)\( x, Với A,=A,=1, ta có |1 2 1 || x; |=0<©x,†2x;+x; =0 1 2 1) x, Cho x,=1, x,=0 thi x,;=-1, ta duoc mét vecto riéng 1a §, =| 0} -l 0 Cho x,=0, x,=1 thi x,;=-2, ta duge vectơ riêng thứ ba là š =| 1| -2 Thay vào công thức (2.2.35) ta được nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là: 1 1 0 x(n)=c,|I|+c;| 0|+œ[ 1 1 -1 -2 c,5" +c, hay x(n)= c,5" +c, (2.2.36) c,5"-c, —2c,
Chú ý: Để giải hệ phương trình sai phân trên với giá tri ban dau :
Trang 39c,+c,=0 c,+c;=l €¡- €;- 2c;=0
Giải hệ phương trình trên ta được: c, =5: c= “5 C, =5: Do vậy nghiệm của bài toán trên với giá trị ban đầu xạ là: tent 2 2 1 1 x(n)=|—5”+—] ( ) 2 T2 tent 2 2
Trong ví dụ tiếp theo chúng ta xét trường hợp ma trận A có giá trị riêng là số phức Chú ý rằng nếu A là một ma trận thực và 4 =ø +i/ là một giá trị riêng của A thì Â=ø—i/ cũng là một giá trị riêng của A Hơn nữa, nếu é là một vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 4 thì £ là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng Â
Trang 40Dễ thấy u(n) va v(n) 1a céc nghiệm độc lập tuyến tính của hệ phương
trình (2.2.20) do đó ta có thể tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình (2.2.20) dudi dang : x(n)=c;u(n) +c;v(n) Ví dụ 2.2.5: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sai phân x(n+1)=Ax(n) trong do : Giai: Xét phuong trinh dac trung: 1-A -5 2 ` ale? +4=0
Cac gid tri riéng ca A la: 2, =2i; A, =-2i
" 4 fe 212 trì HIA “Ta 1-2i 'Vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng 4, =27 1a: €& = if