Phương trình sai phân ẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 Nguyễn Thị Vân PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Hùng Hà Nội - 2010 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2. Trước hết, tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hùng đã luôn hướng dẫn và chỉ bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 cũng như toàn thể các thầy cô giáo trong trường đã quan tâm và dành cho tác giả những điều kiện tốt nhất trong thời gian học tập và nghiên cứu tại đây. Tác giả cũng trân trọng gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc, trường Trung cấp kỹ thuật Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả được tham gia khóa học bổ ích này. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân và bạn bè đã ưu ái, giúp đỡ, động viên, khích lệ để tác giả hoàn thành khóa học cũng như luận văn này. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học nghiên cứu với sự trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Khái niệm không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Không gian vectơ con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Độc lập tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Ma trận và định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Hoán vị và phép thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Định thức của ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1. Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . 9 1.4. Phép chiếu - Cặp chỉ số của ma trận . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.1. Khái niệm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.2. Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Phương trình sai phân 14 2.1. Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3. Tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4. Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính . 23 2.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Phương trình sai phân với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . 37 2.4.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chương 3. Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 42 3.1. Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính . . . 42 3.2. Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính . . . 43 3.3. Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1. Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 . . . . 45 3.3.2. Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4. Phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 . . . . . . . . . . 48 3.4.1. Khái niệm chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4.2. Một số tính chất cơ bản của phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5. Lý thuyết Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5.1. Định lý Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5.2. Định lý Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5.3. Định lý Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình sai phân thường xuất hiện khi người ta mô tả những hiện tượng tiến hoá quan sát được trong tự nhiên. Chẳng hạn, xét quá trình phát triển dân số từng năm một của một quốc gia hay một vùng nào đó. Nếu gọi x n+1 là số dân tại thời điểm năm n + 1 thì x n+1 là hàm của số dân x n tại thời điểm năm trước đó. Sự liên lạc này được mô tả bằng hệ thức x n+1 = f(x n , n) n ∈ N n0 Lý thuyết phương trình sai phân tìm được nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực của toán học cũng như các khoa học khác, chẳng hạn giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp, khoa học máy tính, lý thuyết mạch, lý thuyết lượng tử. . . Trong thực tế, có nhiều bài toán dẫn về nghiên cứu phương trình sai phân ẩn. Một mô hình thực tế tiêu biểu về vấn đề này là mô hình kinh tế Leontief. Mô hình kinh tế này được mô tả bởi hệ suy biến x n = Ax n + B(x n+1 − x n ) + d n , hay Bx n+1 = (I + B − A)x n − d n (0.1) Trong đó, nền kinh tế được chia thành m lĩnh vực sản xuất, x n là vectơ gồm m thành phần mà thành phần thứ i của nó là giá trị sản xuất hàng hóa của lĩnh vực sản xuất thứ i trong thời điểm n, A là ma trận sản xuất, Ax n là phần tiêu hao trong sản xuất, B là ma trận đầu tư, B(x n+1 − x n ) là giá trị lợi nhuận sinh ra và d n là vectơ tiêu dùng. Ma trận đầu tư B = (b ii ) ∈ R m×m gồm các thành phần b ii là số hàng hóa của lĩnh vực sản xuất thứ i mà lĩnh vực sản xuất thứ j cần để sản xuất ra một đơn vị hàng hóa của lĩnh vực đó. Vì vậy, trong thực tế ma trận B thường suy biến, chẳng hạn lĩnh vực sản 2 xuất thứ i nào đó không sản xuất hàng hóa thì hàng thứ i của ma trận B là 0. Vậy (0.1) thường là phương trình sai phân ẩn. Việc nghiên cứu phương trình sai phân, trong đó có phương trình sai phân ẩn là một vấn đề thời sự của toán học và được nhiều nhà khoa học quan tâm. Với mong muốn được tìm hiểu một cách rõ ràng và sâu rộng hơn về lý thuyết phương trình sai phân, tôi đã chọn đề tài “Phương trình sai phân ẩn”. Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm ba chương. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng cho các chương sau. Chương 2. Phương trình sai phân tuyến tính. Chương này trình bày một số dạng phương trình sai phân tuyến tính và cách giải. Chương 3. Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1. Đây là chương chính của luận văn, trình bày khái niệm và tính chất của phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1, trình bày lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn và áp dụng kết quả thu được cho bài toán Cauchy đối với phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phương trình sai phân sau đó mở rộng lên phương trình sai phân ẩn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu * Hệ thống hóa các kiến thức về phương trình sai phân * Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 3 4. Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu chủ yếu vào phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1, xây dựng lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn. Áp dụng kết quả thu được cho bài toán Cauchy đối với phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp nghiên cứu gần đúng của Giải tích số. 6. Những đóng góp mới của đề tài - Trình bày lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian vectơ 1.1.1. Khái niệm không gian vectơ Định nghĩa 1.1. Không gian vectơ trên trường K là tập V khác ∅ với hai phép toán: V × V → V K × V → V (u, v) → u + v (α, v) → αv thỏa mãn các tiên đề sau: với mọi u, v, w ∈ V, α, β ∈ K • (u + v) + w = u + (v + w) • Có 0 ∈ V sao cho 0 + u = u + 0 = u • Với mỗi u ∈ V có −u ∈ V sao cho u + (−u) = (−u) + u = 0 • u + v = v + u • (α + β)u = αu + βu • α(u + v) = αu + αv • (αβ)u = α(βu) 5 • 1u = u1 = u, trong đó 1 là phần tử đơn vị của K Khi K = R thì V được gọi là không gian vectơ thực. Khi K = C thì V được gọi là không gian vectơ phức. Các phần tử của V được gọi là các vectơ, các phần tử của K được gọi là các phần tử vô hướng. 1.1.2. Không gian vectơ con Định nghĩa 1.2. Giả sử V là một không gian vectơ và W là một tập con của V. Ta bảo tập W là ổn định (hay đóng kín) đối với hai phép toán trên V nếu: u + v ∈ W ∀u, v ∈ W (1.1) αu ∈ W ∀α ∈ K, u ∈ W (1.2) Ta bảo tập W là một không gian vectơ con của V nếu W ổn định với hai phép toán trên V và cùng với hai phép toán của V hạn chế trên nó, W cũng là một không gian vectơ trên trường K. Không gian sinh bởi hệ S: Không gian W bé nhất chứa hệ vectơ S được gọi là không gian sinh bởi hệ S ký hiệu W = spanS và S được gọi là hệ sinh của W. W = spanS bằng tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S. Nếu V = spanS, S = {v 1 , v 2 , . . . , v n } hữu hạn thì V được gọi là không gian hữu hạn sinh. Lúc đó, với mọi u ∈ V; u = x 1 v 1 + x 2 v 2 + . . . + x n v n , x 1 , x 2 , . . . , x n ∈ K. Tổng của một họ không gian vectơ con: Giả sử W 1 , W 2 , . . . , W n là n không gian con của V. Ta ký hiệu W 1 + W 2 + . . . + W n là tổng của các không gian con W 1 , W 2 , . . . , W n và được định nghĩa như sau: u ∈ W 1 + W 2 + . . . + W n khi và chỉ khi u = u 1 + u 2 + ··· + u n , trong đó u i ∈ W i , i = 1, 2, . . . , n Khi mỗi u ∈ W 1 + W 2 + ···+ W n cách viết trên duy nhất thì tổng các không [...]... Một số bài toán sai phân không tuyến tính, ta đổi biến dẫn về phương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hóa Một số phương trình sai phân có hệ số thay đổi, nhiều khi cũng có thể biến đổi để dẫn về phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số Điều này làm tăng hiệu quả ứng dụng của phương trình sai phân Xét công thức lặp xn = ϕ(xn−1 , xn−2 , , xn−k ) để giải phương trình f (x) =... số của phương trình sai phân; fn là một hàm số của n được gọi là vế phải; xn là giá trị cần tìm được gọi là ẩn Phương trình (2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k, vì tính giá trị xn ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của xn theo công thức truy hồi • Nếu fn ≡ 0 thì (2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất • Nếu fn = 0 thì (2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến... nghĩa 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng: axn+1 + bxn = fn , a = 0, b = 0 hay xn+1 = qxn + fn , q = 0 (2.4) 25 Nếu a, b, q là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyến tính bậc một với hệ số hằng số; nếu a, b, q phụ thuộc n thì ta có phương trình sai phân tuyến tính bậc một với hệ số biến thiên; fn là một hàm của n gọi là vế phải; xn là ẩn Nếu fn = 0, ta có phương trình sai phân. .. 2.1 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân: xn+4 − xn+3 − 3xn+2 + 5xn+1 − 2xn = 0 Giải Phương trình đặc trưng: λ4 − λ3 − 3λ2 + 5λ − 2 = 0 có các nghiệm λ1 = 1 bội 3 và λ2 = −2 nên phương trình sai phân có nghiệm tổng quát là: xn = C1 + C2 n + C3 n2 + C4 (−2)n , ˜ trong đó C1 , C2 , C3 , C4 là các hằng số tuỳ ý Ví dụ 2.2 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân: xn+7 − 2xn+6 + 3xn+5 −... = 0 thì (2.5) gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc hai không thuần nhất 2.3.2 Nghiệm Nghiệm tổng quát của (2.5) có dạng xn = xn + x∗ , trong đó xn là nghiệm ˜ ˜ n của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (2.6) và x∗ là một nghiệm n riêng tùy ý của (2.5) Nghiệm tổng quát xn của phương trình thuần nhất ˜ Xét phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0 (2.7) • Nếu phương trình (2.7) có hai nghiệm... (2.5) 28 trong đó xn là hàm của đối số nguyên n gọi là ẩn, fn là hàm số của n, gọi là vế phải Nếu a, b, c, p, q là các hằng số thì (2.5) gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc hai với hệ số hằng số Nếu a, b, c, p, q là các hàm số của n, thì (2.5) gọi là phương trình sai phân bậc hai với hệ số biến thiên Nếu fn ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai tương ứng với (2.5):... 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất 2.2.2 Nghiệm Nghiệm tổng quát của (2.4) có dạng xn = xn + x∗ trong đó x∗ là một ˜ n n nghiệm riêng bất kỳ của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất, xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần ˜ nhất và có dạng: b xn = Cλn với λ = − , hoặc λ = q ˜ a Vậy ta cũng có thể viết xn = Cq n , C = 0 ˜ Một số phương pháp... hiệu k = max{m, l} Nếu α = cos β ± i sin β, với i2 = −1 là nghiệm phương trình đặc trưng thì tìm x∗ dưới dạng n x∗ = nTk (n) cos βn + nRk (n) sin βn n 31 trong đó Tk (n) và Rk (n) là các đa thức bậc k của n Phương pháp biến thiên hằng số Xét phương trình sai phân xn+2 = pn xn+1 + qn xn + fn (2.8) Phương trình (2.8) có phương trình sai phân thuần nhất tương ứng là: xn+2 = pn xn+1 + qn xn (2.9) Nếu un... = n=a n=a +∆k−1 xa+2 − ∆k−1 xa−1 + · · · + ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xN = ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xa Đặc biệt, khi k = 1, ta có N ∆xn = xN +1 − xa n=a Chương 2 Phương trình sai phân 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau: Lh xn = a0 xn+k + a1 xn+k−1 + · · · + ak... a1 , · · · , ak là các hằng số, a0 = 0, ak = 0 thì phương trình (2.1) trở thành Lh xn = a0 xn+k + a1 xn+k−1 + · · · + ak xk = 0 (2.2) Khi đó phương trình (2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với các hệ số hằng số 15 2.1.2 Nghiệm Nghiệm tổng quát Hàm số xn biến n, thỏa mãn (2.1) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (2.1) Hàm số x phụ thuộc k tham số, . của phương trình sai phân sau đó mở rộng lên phương trình sai phân ẩn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu * Hệ thống hóa các kiến thức về phương trình sai phân * Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân. thứ i của ma trận B là 0. Vậy (0.1) thường là phương trình sai phân ẩn. Việc nghiên cứu phương trình sai phân, trong đó có phương trình sai phân ẩn là một vấn đề thời sự của toán học và được. thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1. Đây là chương chính của luận văn, trình bày khái niệm và tính chất của phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1, trình bày lý thuyết