Luận văn: MộT Số TíNH CHấT định tính của hệ phuơng trình SAI phân ẩN TUYếN TíNH pdf

- 1 - Đại học thái nguyên Trờng đại học s phạm Trần thiện toản MộT Số TíNH CHấT định tính của hệ phơng trình SAI phân ẩN TUYếN TíNH Luận văn thạc sĩ toán học Thỏi Nguyờn 2008 - 2 - Đại học thái nguyên Trờng đại học s phạm trần thiện toản MộT Số TíNH CHấT định tính của hệ phơng trình SAI phân ẩN TUYếN TíNH Chuyên nghành: Giải tích Mã số: 60.46.01 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học : pGS-TS Tạ Duy Phợng Thỏi Nguyờn 2008 Thái Nguyên 2008 - 3 - Mục lục Trang Lời nói đầu 1-2 Chơng 1. CễNG THC NGHIM CA H PHNG TRèNH SAI PHN N TUYN TNH 3 1.1 H phng trỡnh sai phõn n cha tham s iu khin 3 1.2 Cụng thc nghim Cauchy ca phng trỡnh sai phõn n tuyn tớnh khụng dng 4 1.3 Khỏi nim cp ma trn chớnh quy 7 1.4 Cụng thc nghim ca phng trỡnh sai phõn n tuyn tớnh cú iu khin vi cp ma trn chớnh qui 12 Chơng 2. MT S TNH CHT NH TNH CA H PHNG TRèNH SAI PHN N TUYN TNH .19 2.1 Tớnh iu khin c ca chui thi gian hu hn 19 2.2 Tớnh quan sỏt c ca chui thi gian hu hn 29 2.3 Nghim, tớnh iu khin c v quan sỏt c ca h phng trỡnh sai phõn n tuyn tớnh 34 2.4 Tớnh n nh v n nh húa c ca h phng trỡnh sai phõn n tuyn tớnh 42 2.5 Quan sỏt trng thỏi ca h phng trỡnh sai phõn n tuyn tớnh 57 Chơng 3. TNH IU KHIN C CA H PHNG TRèNH SAI PHN N TUYN TNH Cể HN CH TRấN BIN IU KHIN 64 3.1 Tớnh iu khin c ca h phng trỡnh sai phõn thng tuyn tớnh dng cú hn ch trờn bin iu khin 64 3.2 Tớnh iu khin c ca h phng trỡnh sai phõn n tuyn tớnh dng cú hn ch trờn bin iu khin. 66 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 - 4 - LỜI NÓI ĐẦU Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân ẩn (phương trình vi phân đại số) và phương trình sai phân ẩn đã được nhiều nhà toán học nước ngoài cũng như ở Việt Nam quan tâm nghiên cứu. Nhiều bài toán thực tế (hệ thống mạng điện, quá trình sản xuất,…) được mô tả bởi phương trình sai phân ẩn có điều khiển. Mặc dù các nghiên cứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn định hóa,…) các hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân và sai phân thường đã được nghiên cứu khá đầy đủ, nhất là cho các hệ phương trình tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều, nhiều bài toán định tính (tính điều khiển được cho hệ có hạn chế trên biến điều khiển, bài toán ổn định hóa,…) cho hệ phương trình vi phân và sai phân ẩn còn chưa được nghiên cứu đầy đủ. Mục đích của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển. Luận văn gồm ba Chương. Chương 1 trình bày các khái niệm và công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo các tài liệu [6], [3] và [2]. Chương 2 trình bày một số nghiên cứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn định hóa, quan sát trạng thái,…) của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo tài liệu [6]. Chương 3 trình bày tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có hạn chế trên biến điều khiển theo tài liệu [7]. Mặc dù luận văn được trình bày chủ yếu theo các cuốn sách [6] và [7], nhưng chúng tôi đã cố gắng tổng hợp và sắp xếp theo thứ tự phù hợp với nội dung luận văn. Để hiểu và trình bày vấn đề một cách rõ ràng, chúng tôi đã cố gắng chứng minh chi tiết các định lý. Đặc biệt, nhằm làm sáng tỏ các khái - 5 - niệm và các kết quả, các thí dụ được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày chi tiết trong các tài liệu trích dẫn. Tác giả chân thành cám ơn PGS-TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, người Thầy đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin được cám ơn Trường Đại học Sư phạm (Đại học Thái Nguyên), nơi tác giả đã hoàn thành chương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thày,cô. Xin chân thành cám ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Na Hang Tuyên Quang đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành chương trình học tập. Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tác giả vượt qua nhiều khó khăn trong học tập. Thái Nguyên, 20.9.2008 Trần Thiện Toản - 6 - CHƯƠNG I CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN CHỨA THAM SỐ ĐIỀU KHIỂN Hệ phương trình sai phân ẩn có tham số điều khiển tổng quát có dạng ( ( 1), ( ), , (0), ( ), ( 1), , (0)) 0; ( ) ( ( ), ( 1), , (0), ( ), ( 1), , (0)), h x k x k x u k u k u y k g x k x k x u k u k u          (1.1) trong đó k là biến thời gian thực rời rạc, 0,1,2, k  ; ( ) n x k  được gọi là trạng thái pha; ( ) m u k  được gọi là biến điều khiển; ( ) p y k  được gọi là tham số đo đầu ra hay đầu ra. Một trong những trường hợp của hệ (1.1) được quan tâm nhiều là hệ ( ) ( 1) ( ( ), ( )); ( ) ( ( ), ( )), 0,1,2, E k x k H x k u k y k J x k u k k        (1.2) trong đó H, J là những vectơ hàm của các biến x(k) , u(k) có số chiều tương ứng là n và p . Ma trận E(k) có thể suy biến (định thức có thể bằng 0). Nếu H, J là các vectơ hàm tuyến tính của x(k) và u(k) thì (1.2) trở thành ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ), 0,1,2, E k x k A k x k B k u k y k C k x k k         (1.3) Hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chứa tham số điều khiển. Trường hợp các ma trận ( ), ( ), ( ), ( )E k A k B k C k là các ma trận hằng thì hệ (1.3) trở thành hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ), 0,1,2, Ex k Ax k Bu k y k Cx k k         (1.4) Đối tượng chính được nghiên cứu trong luận văn này là các hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (1.3) và (1.4). - 7 - Nhận xét Khi E là ma trận không suy biến thì hệ (1.4) trở thành 1 -1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ), 0,1,2, x k E Ax k E Bu k y k Cx k k          (1.5) Hệ (1.5) là hệ phương trình sai phân thường, nó đã được nghiên cứu khá kĩ trong các tài liệu, thí dụ, [7], [8]. Trong luận văn này, khi nghiên cứu hệ phương trình (1.3), chúng ta thường coi ( )E k là ma trận suy biến, tức là ( )rankE k n với mọi 0,1,2, k  Tuy nhiên, nhiều kết quả phát biểu cho hệ (1.3) vẫn đúng cho hệ phương trình sai phân thường (1.5) như là trường hợp đặc biệt. 1.2 CÔNG THỨC NGHIỆM CAUCHY CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH KHÔNG DỪNG Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng 0 ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ); (0) , 0,1,2, E k x k A k x k f k x x k              (1.6) trong đó x(k) là véc tơ trạng thái n chiều, E(k) và A(k) là ma trận có số chiều là n n , ( )f k là hàm véc tơ của biến số rời rạc k , 0,1,2 k  Ta có công thức biểu diễn nghiệm của hệ sai phân ẩn tuyến tính không dừng thông qua ma trận nghiệm cơ bản Cauchy trong Bổ đề 1.2.1 dưới đây (xem [3]). 1.2.1 Bổ đề. Giả sử ( , )F k i là ma trận hàm có số chiều n n thỏa mãn phương trình ma trận ( , 1) ( ) ( , ) ( ), 0,1, , 1F k i E i F k i A i i k    (1.7) với điều kiện ban đầu - 8 - ( , 1) , ( , ) 0, n F k k I F k i i k    . (1.8) Khi ấy nghiệm của hệ (1.6) có thể được tính theo công thức sau: 1 0 0 ( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( ), 1,2, k i E k x k F k E x F k i f i k        (1.9) Ở đây n I được kí hiệu là ma trận đơn vị cấp n. Chứng minh Viết lại (1.7) theo i, sau đó cho i thay đổi từ 0 đến k-1, thời điểm k cố định, ta có: ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2, , 1E i x i A i x i f i i k      . (1.10) Giả sử ( , )F k i là ma trận n n . Nhân hai vế của (1.10) với ( , )F k i ta được: ( , ) ( 1) ( 1) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ), 0,1,2, , 1F k i E i x i F k i A i x i F k i f i i t      . (1.11) Lấy tổng hai vế của các đẳng thức (1.11) theo i từ 0 đến 1k  ta được: 1 1 0 0 ( , ) ( 1) ( 1) [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )] k k i i F k i E i x i F k i A i x i F k i f i           . (1.12) Do vế trái của (1.12) có thể viết dưới dạng: 1 0 ( , ) ( 1) ( 1) k i F k i E i x i      1 0 ( , 1) ( ) ( ) ( , 1) ( ) ( ) ( , 1) (0) (0) k i F k i E i x i F k k E k x k F k E x          nên (1.12) có thể viết dưới dạng ( , 1) ( ) ( ) ( , 1) (0) (0)F k k E k x k F k E x    1 1 0 0 ( , 1) ( ) ( ) [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )] k k i i F k i E i x i F k i A i x i F k i f i           . Do giả thiết ( , 1) n F k k I  nên 1 0 ( ) ( ) ( , 1) (0) (0) ( , 1) ( ) ( ) k i E k x k F k E x F k i E i x i         1 0 [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )] k i F k i A i x i F k i f i      . - 9 - hay 1 0 ( ) ( ) ( , 1) (0) (0) [ ( , ) ( ) ( , 1) ( )] ( ) k i E k x k F k E x F k i A i F k i E i x i         1 0 ( , ) ( ) k i F k i f i     . Do ( , 1) ( ) ( , ) ( ), 0,1, , 1F k i E i F k i A i i k    . nên từ phương trình trên kết hợp với điều kiện ban đầu 0 (0)x x ta có: 1 0 0 ( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( ) k i E k x k F k E x F k i f i       . Đây chính là điều phải chứng minh. Nhận xét Công thức (1.9) tỏ ra hiệu quả khi nghiên cứu tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng (xem [3]). Khi ( ) n E k I nó trở về công thức nghiệm cho phương trình của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính không dừng trong [8]. Tuy nhiên nó có hạn chế sau đây: Trong công thức biểu diễn nghiệm (1.9), ta thấy ( )x k chưa được tính ở dạng tường minh (vẫn còn ( )E k kèm theo). Sau đây ta sẽ đi tìm nghiệm của (1.6) trong trường hợp các ma trận ( )E k , ( )A k là các ma trận hằng với giả thiết rằng ( , )E A là cặp ma trận chính quy. Dựa vào Bổ đề 1.3.2 dưới đây, ta có thể chứng minh công thức nghiệm cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng có tham số điều khiển. 1.3 KHÁI NIỆM CẶP MA TRẬN CHÍNH QUY 1.3.1 Định nghĩa Cặp ma trận , n n E A   được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức   sao cho định thức 0E A   hay đa thức 0sE A   . - 10 - 1.3.2 Bổ đề Cặp ma trận   ,E A là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không suy biến P và Q sao cho 1 0 0 n I QEP N        , 1 2 0 0 n A QAP I        , (1.13) trong đó 1 2 n n n  , 1 1 1 n n A   , 1 n I và 2 n I là hai ma trận đơn vị tương ứng cấp 1 n và 2 n ; 2 2 n n N   là ma trận lũy linh (tức là tồn tại một số tự nhiên h sao cho 0 h N  ). Chứng minh Điều kiện cần Giả sử tồn tại các ma trận không suy biến P và Q sao cho (1.13) là đúng. Ta chọn 1 ( )Aa s , trong đó 1 ( )As là phổ của ma trận 1 A (tập tất cả các giá trị riêng của 1 A , tức là các số  sao cho 1 0I Aa   ). Vì 1 ( )As chỉ có hữu hạn số nên có vô số các số 1 ( )Aa s . Khi đó ta có   1 1 1 1 1 1 1 0. E A Q Q E A PP Q QEP QAP P Q I A P a a a a               Suy ra 0E Aa   . Vậy theo Định nghĩa 1.3.1, cặp ma trận ( , )E A là chính quy. Điều kiện đủ Giả sử ( , )E A là cặp ma trận chính quy. Theo định nghĩa, tồn tại số a   sao cho 0E Aa   . Xét hai ma trận 1 ˆ ( )E E A Ea    và 1 ˆ ( )A E A Aa    . Ta có:           1 1 1 1 1 ( ) ˆ ˆ . E A E A I E A A E A E I E A A I E A E A I E a a a a a a a a a                      Mặt khác, từ phân tích dạng chính tắc Jordan trong lý thuyết về ma trận (xem [10]), tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho [...]... khác biệt quan trọng giữa phương trình sai phân thường và phương trình sai phân ẩn - 19 - CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 2.1 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA CHUỖI THỜI GIAN HỮU HẠN Trong phần này chúng ta sẽ xét tính điều khiển được của chuỗi thời gian hữu hạn Ex(k 1) Ax(k ) Bu (k ) , k 0,1,2, , L , (2.1) trong đó L là một số cố định cho trước, x(k ) là các véc... hạn (2.19) không là quan sát được và cũng không là Y-quan sát được nhưng lại là R-quan sát được 2.3 NGHIỆM, TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 2.3.1 Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn dừng Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng - 32 - Ex(k 1) Ax(k ) Bu (k ); y (k ) Cx(k ), Trong (2.20), x(k ) y (k ) r n k (2.20) 0,1,2, m... chứng minh Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng (1.20) (hay (1.22)) với 0,1,2, , L thường được gọi là chuỗi thời gian hữu hạn (the finite time k series) Nghiệm của chuỗi thời gian hữu hạn có thể tính được tường minh theo công thức các công thức (1.23a) và (1.23b) Trong trường hợp (1.22) là hệ phương trình hệ sai phân ẩn tuyến tính dừng ( ) thì các công thức nghiệm của nó được xác định như... minh Công thức (1.23a) thực chất là công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính đã biết trong các tài liệu (xem, thí dụ, [7], [8]) 1.4.2 Mệnh đề Giả sử L>0 là một số cố định cho trước Khi đó với điều kiện cuối z2 ( L) và dãy điều khiển u (k ) , k Nz2 (k 1) 0,1,2, , L cho trước, nghiệm của phương trình B2 (k )u (k ) , k z2 ( k ) (1.20b) 0,1,2, , L được tính theo công thức sau: z2... sau, ta luôn giả thiết cặp ma trận là chính qui Như vậy, để nghiên cứu hệ phương trình sai phân (1.19) ta chỉ cần nghiên cứu hệ (1.22) (thường được viết dưới dạng (1.20)) Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn có tham số điều khiển (1.22) 1.4.1 Mệnh đề n1 Với mỗi điều kiện ban đầu z1 (0) và dãy điều khiển u (i ), i 0,1,2, , nghiệm của (1.22a) có dạng z1 (k ) A1k z1 (0) k 1 A1k i 1 B1 (i )u (i ) (1.23a)... rằng hệ (2.20) là suy biến, tức là rankE là n Sự khác biệt giữa hệ phương trình sai phân ẩn (2.20) và chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là hệ (2.1) là hệ rời rạc hữu hạn, tức là k 0,1, , L , trong đó L là cố định cho trước, do đó nghiệm của nó được xác định theo cả điều kiện đầu x1 (0) và điều kiện cuối x2 ( L) Còn hệ (2.20) là một chuỗi thời gian vô hạn nên ta chỉ có điều kiện ban đầu Trước tiên, với hệ. .. không có tính chất nhân quả Hiển nhiên, theo công thức nghiệm (1.23a), hệ phương trình sai phân thường là hệ có tính chất nhân quả Phương trình (1.22b) là một công thức truy hồi lùi, trong đó trạng thái z2 (k ) hoàn toàn được xác định bởi z2 ( L) và các điều khiển u (i ), i k , k 1, , L theo công thức (1.23b) Khi N 0 , từ (1.23b), ta có z2 (k ) B2 (k )u (k ) , tức là z2 (k ) hoàn toàn xác định bởi... nhất x1 (k ) u (k 1) u (k ) của x2 (k ) tại thời điểm k phụ 2 thuộc vào điều khiển tương lai u (k 1) (trước một bước) và điều khiển u (k ) 2 (tại chính thời điểm k ), trong khi đó tọa độ thứ hai x2 (k ) u (k ) của x2 (k ) chỉ phụ thuộc vào điều khiển u (k ) Nhận xét Với điều kiện ban đầu cho trước, hệ phương trình sai phân thường luôn có nghiệm, còn hệ phương trình sai phân ẩn thì không phải lúc nào... là các ma trận có số chiều tương ứng là n n và n r Trong phương trình trên ma trận E nói chung suy biến (định thức có thể bằng 0), vì vậy phương trình (2.1) nói chung không giải được một cách hiển đối với x(k ) Trong 1.4 của Chương 1 ta đã chứng minh công thức nghiệm của chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) Dưới đây chúng ta sẽ trình bày các khái niệm và các tiêu chuẩn điều khiển được của hệ (2.1) 2.1.1 Điều... liên hệ ngược dạng tuyến tính u (k ) m n trong đó K Kx(k ) v(k ) , k 0,1, , L , (2.12) là ma trận hằng, còn v(k ) là một điều khiển mới Thay u (k ) theo công thức (2.12) vào hệ (2.1) ta được một hệ đóng Ex(k 1) ( A BK ) x(k ) Bv(k ) , k 0,1, , L (2.13) 2.1.3.1 Định nghĩa Chuỗi thời gian rời rạc (2.1) được gọi là điều khiển được nhân quả hay Y-điều khiển được nếu tồn tại một điều khiển theo liên hệ ngược . trọng giữa phương trình sai phân thường và phương trình sai phân ẩn. - 20 - CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 2.1 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA CHUỖI THỜI. - CHƯƠNG I CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN CHỨA THAM SỐ ĐIỀU KHIỂN Hệ phương trình sai phân ẩn có tham số điều khiển tổng quát có dạng (. toản MộT Số TíNH CHấT định tính của hệ phơng trình SAI phân ẩN TUYếN TíNH Luận văn thạc sĩ toán học Thỏi Nguyờn 2008 - 2 - Đại học thái nguyên Trờng đại học s phạm trần thiện toản MộT Số TíNH CHấT