Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (2).pdf

Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (2).pdf

Đại học thái nguyên

Trường đại học sư phạm

-Trần thiện toản

MộT Số TíNH CHấT định tính của hệ phươngtrình SAI phân ẩN TUYếN TíNH

Luận văn thạc sĩ toán học

Thỏi Nguyờn 2008

Chuyên nghành: Giải tích Mã số: 60.46.01

Luận văn thạc sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học : pGS-TS Tạ Duy Phượng

Thỏi Nguyờn 2008

Thái Nguyên 2008

Mục lục

Trang

Lời nói đầu 1-2Chương 1. CễNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRèNH SAIPHÂN ẨN TUYẾN TÍNH ……… ……… 3

1.1 Hệ phương trỡnh sai phõn ẩn chứa tham số điều khiển 31.2 Cụng thức nghiệm Cauchy của phương trỡnh sai phõn ẩn tuyến tớnh khụngdừng 41.3 Khỏi niệm cặp ma trận chớnh quy 71.4 Cụng thức nghiệm của phương trỡnh sai phõn ẩn tuyến tớnh cú điều khiểnvới cặp ma trận chớnh qui 12

Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNGTRèNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH……… ……….19

2.1 Tớnh điều khiển được của chuỗi thời gian hữu hạn… 192.2 Tớnh quan sỏt được của chuỗi thời gian hữu hạn… 292.3 Nghiệm, tớnh điều khiển được và quan sỏt được của hệ phương trỡnh saiphõn ẩn tuyến tớnh……… 342.4 Tớnh ổn định và ổn định húa được của hệ phương trỡnh sai phõn ẩn tuyếntớnh……… 422.5 Quan sỏt trạng thỏi của hệ phương trỡnh sai phõn ẩn tuyến tớnh 57

Chương 3. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRèNHSAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH Cể HẠN CHẾ TRấN BIẾN ĐIỀUKHIỂN 64

3.1 Tớnh điều khiển được của hệ phương trỡnh sai phõn thường tuyến tớnhdừng cú hạn chế trờn biến điều khiển…… ….……….… 643.2 Tớnh điều khiển được của hệ phương trỡnh sai phõn ẩn tuyến tớnh dừng cúhạn chế trờn biến điều khiển……….… 66

Kết luận 70Tài liệu tham khảo 71

4

-LỜI NÓI ĐẦU

Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân ẩn(phương trình vi phân đại số) và phương trình sai phân ẩn đã được nhiều nhàtoán học nước ngoài cũng như ở Việt Nam quan tâm nghiên cứu.

Nhiều bài toán thực tế (hệ thống mạng điện, quá trình sản xuất,…)được mô tả bởi phương trình sai phân ẩn có điều khiển Mặc dù các nghiêncứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn địnhhóa,…) các hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân và sai phânthường đã được nghiên cứu khá đầy đủ, nhất là cho các hệ phương trình tuyếntính trong không gian hữu hạn chiều, nhiều bài toán định tính (tính điều khiểnđược cho hệ có hạn chế trên biến điều khiển, bài toán ổn định hóa,…) cho hệphương trình vi phân và sai phân ẩn còn chưa được nghiên cứu đầy đủ.

Mục đích của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu định tính củahệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển.

Luận văn gồm ba Chương.

Chương 1 trình bày các khái niệm và công thức nghiệm của hệ phương

trình sai phân ẩn tuyến tính theo các tài liệu [6], [3] và [2].

Chương 2 trình bày một số nghiên cứu định tính (tính điều khiển được

và quan sát được, ổn định và ổn định hóa, quan sát trạng thái,…) của hệphương trình sai phân ẩn tuyến tính theo tài liệu [6].

Chương 3 trình bày tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân

ẩn tuyến tính có hạn chế trên biến điều khiển theo tài liệu [7].

Mặc dù luận văn được trình bày chủ yếu theo các cuốn sách [6] và [7],nhưng chúng tôi đã cố gắng tổng hợp và sắp xếp theo thứ tự phù hợp với nộidung luận văn Để hiểu và trình bày vấn đề một cách rõ ràng, chúng tôi đã cốgắng chứng minh chi tiết các định lý Đặc biệt, nhằm làm sáng tỏ các khái

niệm và các kết quả, các thí dụ được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết.Các tính toán này thường không được trình bày chi tiết trong các tài liệu tríchdẫn.

Tác giả chân thành cám ơn PGS-TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học,

người Thầy đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này Xin được cám ơnTrường Đại học Sư phạm (Đại học Thái Nguyên), nơi tác giả đã hoàn thànhchương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thày,cô Xin chânthành cám ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Na HangTuyên Quang đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành chương trình họctập Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệtác giả vượt qua nhiều khó khăn trong học tập.

Thái Nguyên, 20.9.2008

Trần Thiện Toản

6

-CHƯƠNG I

CÔNG THỨC NGHIỆM

CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH

Hệ phương trình sai phân ẩn có tham số điều khiển tổng quát có dạng( ( 1), ( ), , (0), ( ), ( 1), , (0)) 0;

trong đó k là biến thời gian thực rời rạc,k0,1, 2, ; x k( )n được gọi là

trạng thái pha;u k( )mđược gọi là biến điều khiển;y k( )p được gọi là

tham số đo đầu ra hay đầu ra.

Một trong những trường hợp của hệ (1.1) được quan tâm nhiều là hệ( ) ( 1) ( ( ), ( ));

( ) ( ( ), ( )), 0,1, 2,

 

trong đó H, J là những vectơ hàm của các biến x(k) , u(k) có số chiều tươngứng là n và p Ma trận E(k) có thể suy biến (định thức có thể bằng 0).Nếu H, J là các vectơ hàm tuyến tính của x(k) và u(k) thì (1.2) trở thành

( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( );( ) ( ) ( ), 0,1, 2,

Hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chứa

tham số điều khiển.

Trường hợp các ma trận E k( ), ( ), ( ),A k B k C k là các ma trận hằng thì hệ( )(1.3) trở thành hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng

( )

rankE kn với mọi k 0,1, 2, Tuy nhiên, nhiều kết quả phát biểu chohệ (1.3) vẫn đúng cho hệ phương trình sai phân thường (1.5) như là trườnghợp đặc biệt.

PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH KHÔNG DỪNG

Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng

trong đó x(k) là véc tơ trạng thái n chiều, E(k) và A(k) là ma trận có số chiều

là n n , ( )f k là hàm véc tơ của biến số rời rạc k ,k 0,1, 2

Ta có công thức biểu diễn nghiệm của hệ sai phân ẩn tuyến tính không dừngthông qua ma trận nghiệm cơ bản Cauchy trong Bổ đề 1.2.1 dưới đây (xem[3]).

8 ( , 1) n, ( , ) 0,

-F k k IF k i  i (1.8)k

Khi ấy nghiệm của hệ (1.6) có thể được tính theo công thức sau:

( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( ), 1, 2,

F k i A i x iF k i f i



( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( )

chứng minh công thức nghiệm cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tínhdừng có tham số điều khiển.

1.3 KHÁI NIỆM CẶP MA TRẬN CHÍNH QUY

1.3.1 Định nghĩa

Cặp ma trận E A,  được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phứcn n sao cho định thức EA 0 hay đa thức sEA 0.

10

-1.3.2 Bổ đề

Cặp ma trận E A là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không, 

suy biếnP và Q sao cho

A   ,I vàn1 I là hai ma trận đơn vị tươngn2ứng cấpn và1 n ;2 Nn2n2 là ma trận lũy linh (tức là tồn tại một số tựnhiên h sao choNh 0).

Điều kiện đủ Giả sử ( , )E A là cặp ma trận chính quy Theo định nghĩa, tồn

tại số a   sao choa   Xét hai ma trậnEA 0

E aEA  E và Aˆ(aEA)1A.Ta có:

Mặt khác, từ phân tích dạng chính tắc Jordan trong lý thuyết về ma trận (xem

[10]), tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho

Phương pháp trực tiếp kiểm tra tính chính quy của cặp ma trận sẽ gặp khó

khăn khi E, A là các ma trận cấp cao Từ quan điểm tính toán, Luenbeger đã

đưa ra một tiêu chuẩn khác kiểm tra tính chính qui của cặp ma trận E A ,, 

được gọi là thuật toán trộn.

Cho  E A là ma trận cấp n2n Nếu E là không suy biến thì E A là cặp, 

ma trận chính quy và dừng thuật toán Còn nếu E là suy biến, bằng cách biến

đổi hàng ta có thể chuyển  E A về ma trận khối dạng

, (1.15)trong đó E1q n có hạng dòng đầy đủ với qrank E Khi đó, ta trộn dòngkhối thứ hai trong (1.15) để đưa nó về dạng

  là không suy biến thì E A là cặp ma trận chính quy và, dừng thuật toán Còn không, ta lặp lại thuật toán Thuật toán sẽ kết thúc theo

cách sau đây: Ma trận có dạng n cột không suy biến dẫn tới E A là cặp ma, 

trận chính quy hoặc cuối cùng là một dòng không xuất hiện trong ma trận(1.16) dẫn tớiE A là cặp ma trận không chính quy., 

Ma trận E là suy biến Biến đổi dòng trong (1.17) như sau:

Cộng dòng thứ hai với dòng thứ 3, sau đó nhân dòng thứ nhất với (-1) và cộngvới dòng thức ba ta được:

 

011 1010 1 1 101011 101110 0201 1 0 020110 0201 01 1 010 1 1 121000 220

Thật vậy, do ( , )E A là cặp ma trận chính quy nên theo Bổ đề 1.3.2 tồn tại hai

00

( )( )

( )

B kQB k

u kI

Đây chính là công thức (1.20) Từ nay về sau, ta luôn giả thiết cặp ma trận

E A là chính qui Như vậy, để nghiên cứu hệ phương trình sai phân (1.19), 

ta chỉ cần nghiên cứu hệ (1.22) (thường được viết dưới dạng (1.20)).Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn có tham số điều khiển (1.22).

=

11

Vậy công thức (1.23a) được chứng minh.

Công thức (1.23a) thực chất là công thức nghiệm của hệ phương trình saiphân thường tuyến tính đã biết trong các tài liệu (xem, thí dụ, [7], [8]).

1.4.2 Mệnh đề

Giả sử L>0 là một số cố định cho trước Khi đó với điều kiện cuốiz L và2( )

dãy điều khiển ( )u k ,k0,1, 2, ,L cho trước, nghiệm của phương trình

Nz L z L B L u L Do đó

Công thức (1.23b) được chứng minh.

Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng (1.20) (hay (1.22)) với0,1, 2, ,

k  Lthường được gọi là chuỗi thời gian hữu hạn (the finite time

series) Nghiệm của chuỗi thời gian hữu hạn có thể tính được tường minh theocông thức các công thức (1.23a) và (1.23b).

Trong trường hợp (1.22) là hệ phương trình hệ sai phân ẩn tuyến tính dừng(B k( ) B)thì các công thức nghiệm của nó được xác định như sau:

1 10 1

   ,

        ,…,

11

   ,

    .Theo công thức (1.23a) và (1.23b), nghiệm của (1.25) được tính như sau:

xLu kkLL k

xkNxLN B u kii

Ta thấy x k là không phụ thuộc vào trạng thái cuối2( ) x L khi2( ) k L 2.

Phương trình (1.22a) là một công thức truy hồi tiến và nghiệm của nó được

tính theo công thức (1.23a), trong đó trạng thái z k tại thời điểm k hoàn1( )toàn được xác định duy nhất bởi điều kiện đầu z1(0) và các đầu vào

Chuỗi thời gian hữu hạn (1.19) được gọi là có tính chất nhân quả nếu trạng

thái x k , 0( )  kL của nó tại bất kỳ thời điểm k được xác định hoàn toàn

bởi duy nhất điều kiện ban đầu x(0) và các đầu vào u(0), u(1),…,u(k). Nếungược lại thì chuỗi thời gian hữu hạn (1.19) không có tính chất nhân quả.Hiển nhiên, theo công thức nghiệm (1.23a), hệ phương trình sai phân thườnglà hệ có tính chất nhân quả.

Phương trình (1.22b) là một công thức truy hồi lùi, trong đó trạng tháiz k2( )hoàn toàn được xác định bởi z L và các điều khiển2( ) u i( ), ik k, 1, ,L

theo công thức (1.23b).

Khi N 0, từ (1.23b), ta có z k2( ) B k u k2( ) ( ), tức là z k hoàn toàn xác2( )định bởi duy nhất một điều khiển ( )u k , và ta cũng có mối quan hệ nhân quả.Công thức (1.23a) và (1.23b) cũng chỉ ra rằng, điều kiện ban đầu z1(0) vàđiều kiện cuối z L tạo thành một điều kiện trọn vẹn (the complete2( )condition), với điều kiện ấy trạng thái x k và đầu ra( ) y k của hệ (1.19) sẽ( )được tính một cách duy nhất theo các điều khiển u i( ), i0,1, ,L theo côngthức sau (kết hợp hai công thức (1.23a) và (1.23b)):

u ii kL (từ thời điểm k1 cho tới tận thời điểm L Điều này thể

hiện sự khác biệt quan trọng giữa phương trình sai phân thường và phươngtrình sai phân ẩn.

20

-CHƯƠNG II

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH

CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH

2.1 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA CHUỖI THỜI GIAN HỮU HẠN

Trong phần này chúng ta sẽ xét tính điều khiển được của chuỗi thời gian hữuhạn

Ex k Ax k Bu k , k0,1, 2, ,L, (2.1)

trong đó L là một số cố định cho trước,x k là các véc tơ trạng thái trong( )

không gian Euclid n chiều  ; ( )nu k là véc tơ điều khiển trong không gian

Euclid r chiều  ; ,kA B là các ma trận có số chiều tương ứng là n vànn Trong phương trình trên ma trận E nói chung suy biến (định thức có thểr

bằng 0), vì vậy phương trình (2.1) nói chung không giải được một cách hiểnđối với ( )x k

Trong 1.4 của Chương 1 ta đã chứng minh công thức nghiệm của chuỗi thời

gian hữu hạn (2.1) Dưới đây chúng ta sẽ trình bày các khái niệm và các tiêuchuẩn điều khiển được của hệ (2.1).

2.1.1 Điều khiển được hoàn toàn2.1.1.1 Định nghĩa

Chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) được gọi là điều khiển được hoàn toàn nếu với

mọi điều kiện trọn vẹn x1(0) /x L2( ) và mọi trạng thái w tồn tại mộtnthời điểm k ,1 0 k1 L và các điều khiển u(0), u(1),…,u(L) sao cho

( )

x k w.

Như vậy tính điều khiển được được xét ở đây là điều khiển được theo điểm.

Mục đích của chúng ta là đi tìm các tiêu chuẩn (điều khiển được hoàn toàn)để có thể đi từ vị trí trọn vẹn x1(0) /x L2( ) bất kì tới vị trí bất kì w nào trong

không gian  nhờ các điều khiển ( )nu k , k 0,1, 2, ,L Nói cách khác, điềukhiển được hoàn toàn cho phép từ vị trí bất kì x1(0) /x L có thể tràn lên2( )

toàn bộ không gian  nhờ các điều khiển tương ứng.n

Nếu E A,  là cặp ma trận chính qui thì (xem 1.4) tồn tại các ma trận không

suy biến P và Q sao cho (2.1) có thể được đưa về dạng

( 1) ( ) ( ); (2.2a)( 1) ( ) ( ), 0,1, 2, , (2.2b)

    , k 0,1, 2, ,L (2.3b)Hai công thức trên có thể viết gọn thành

Điều kiện cần Giả sử chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn

toàn Khi ấy với x1(0)0,x L2( )0 và với bất kỳ w tồn tại một thờin

( )

u L

     

trong đó

in m

O , i1, 2 là ma trận chữ nhật cấp nim, gồm tất cả các phần tửđều bằng 0.

Khi ấy với mỗi w bất kì phương trình Mu wn  luôn có nghiệm (tồn tại

u ) hay M là ánh xạ tràn Từ đây suy ra (2.5a) và (2.5b).

Điều kiện đủ Với bất kỳ điều kiện trọn vẹn x1(0) /x L2( ) , từ các côngnthức (2.3a) và (2.3b), trạng thái x(k) được xác định như sau:

n mn mn mn m

kL k

bất kỳ, chọn k1n1 và

           

.1 ( )

A x

wL n

  

Vậy x n( )1 w, tức là từ bất kì vị trí trọn vẹn x1(0) /x L2( ) nào ta đều có thểđi tới vị trí bất kì w saunn bước bởi các điều khiển được chọn như trên.1

Điều kiện đủ chứng minh xong.

Chứng tỏ (2.5a) và (2.5b) là điều kiện cần và đủ để chuỗi thời gian hữu hạn(2.1) là điều khiển được hoàn toàn.

Nhận xét Theo chứng minh trên, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển

được hoàn toàn khi và chỉ khi hai hệ tiến (2.2a) và hệ lùi (2.2b) tương ứng làđiều khiển được hoàn toàn Hơn nữa, bởi vì x k được tính một cách độc lập1( )chỉ theo các điều khiển u(0), (1), , (uu k1) và x k được tính chỉ theo các2( )điều khiển u k u k( ), ( 1), , (u L1) nên ta có thể chọn các điều khiển tươngứng một cách độc lập để hệ (2.2a) và hệ (2.2b) là điều khiển được hoàn toàn.

24

-2.1.2 R-Điều khiển được

Với bất kỳ điều kiện cuối cố định 2

x L  , kí hiệu Rx L là tập tất cả2( )các trạng thái x k của hệ (2.1), xuất phát từ một điểm ban đầu bất kì nào đó.( )Tập Rx L được gọi là tập đạt được ban đầu (initial reachable set).2( )

0 1

   ; 1

   ; 1 1

A B             ;

Tương tự, 0 10 0

   ; 2

   ; 2

NB         

 

  

Rõ ràng Rx L2( ) phụ thuộc vào x L2( ).

Điều này có nghĩa là hệ con (2.2a) là điều khiển được hoàn toàn.

Vì hệ (2.9) trong Thí dụ 2.1.2.1 là điều khiển được hoàn toàn nên nó là R-điềukhiển được.

Trong Thí dụ 2.1.2.2 ta có: rank B 1 rank 2  1 n1 nên hệ (2.10) là điều khiển được.

0 0

   ; 2

k  L để x k( )1  w 0 0 0được, hay hệ (2.10) là không điều khiểnđược hoàn toàn, mặc dù nó là R-điều khiển được.

2.1.3 Điều khiển được nhân quả

Xét chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) Chọn điều khiển theo liên hệ ngược dạngtuyến tính

u k Kx k v k , k0,1, ,L, (2.12)trong đó K là ma trận hằng, còn ( )m n v k là một điều khiển mới.

Thay ( )u k theo công thức (2.12) vào hệ (2.1) ta được một hệ đóng

Ex k  ABK x k Bv k , k0,1, ,L (2.13)

2.1.3.1 Định nghĩa

Chuỗi thời gian rời rạc (2.1) được gọi là điều khiển được nhân quả hay Y-điều

khiển được nếu tồn tại một điều khiển theo liên hệ ngược (2.12) sao cho hệ

Từ Định lý 2.1.1.2, ta có thể chứng minh định lý sau đây.

28

-2.2 TÍNH QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA CHUỖI THỜI GIAN HỮU HẠN

Xét chuỗi thời gian hữu hạn

Trong 2.1 ta đã đưa ra khái niệm điều khiển được hoàn toàn, R-điều khiển

được và Y-điều khiển được cho chuỗi thời gian hữu hạn, là các khái niệmđiều khiển đầu vào u k( ) tác động lên trạng thái x k( ) Trong phần này, ta đưara ba khái niệm quan sát được, là các khái niệm đối ngẫu tương ứng với bakhái niệm điều khiển được đã nêu Khái niệm quan sát được cho phép mô tảkhả năng khôi phục lại trạng thái theo các quan sát (theo các phép đo) đầu ra

( )

y k , k 0,1, ,L.

Như đã chỉ ra trong 1.4, đối với chuỗi thời gian hữu hạn, trạng thái x k tại( )

mọi thời điểm k , 0 kL là hoàn toàn được xác định bởi điều kiện trọn vẹn

x1(0) /x L2( ) và các đầu vào ( )nu k , k 0,1, ,L Bởi vì u k( ) là vectơbiết trước nên tính quan sát được của chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) thực chấtlà khả năng khôi phục lại điều kiện trọn vẹn x1(0) /x L2( ) từ các phépnđo đầu ra y k( ).

2.2.1 Định nghĩa

Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là quan sát được nếu trạng tháix k( )

của nó tại mọi thời điểm k bất kì đều được xác định duy nhất bởi các điều

khiển ( )u i và các đầu ray i ,( ) i0,1, ,L.

Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là R-quan sát được nếu nó là quan

sát được trong mọi tập đạt được ban đầu Rx L với mọi điều kiện cuối2( )

x L  cố định.

Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là quan sát được nhân quả nếu trạng

thái x k của nó tại mọi thời điểm( ) k được xác định duy nhất bởi điều kiện

ban đầu x1(0) và các điều khiển đầu vào ( )u i ,i0,1, 2, ,k.

E A

       

0 1

1 20 1

1 020 1

E AEC

1 0 0 1 1 0 00 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 1 0

E AEC

E AEC

     

có ma trận con lớn nhất

1 0 2 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

  

Vậy chuỗi thời gian hữu hạn (2.19) không là quan sát được và cũng không làY-quan sát được nhưng lại là R-quan sát được.

2.3 NGHIỆM, TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦAHỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH

2.3.1 Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn dừng

Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng