Một số tính chất của hàm tựa lồi .pdf

Một số tính chất của hàm tựa lồi .pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-***** -

TÔ CÔNG DOANH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2008

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-***** -

TÔ CÔNG DOANH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-***** -

TÔ CÔNG DOANH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu 1

Chương I HÀM TỰA LỒI KHÔNG TRƠN 1.1 Các khái niệm và định nghĩa 3

1.2 Hai tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi, nửa liên tục dưới 7

1.3 Các hàm tựa lõm và tựa affine 15

1.4 Hàm giả lồi ……… 19

1.5 Hàm không hằng số radian ……… 25

Chương II CÁC HÀM TỰA LỒI CHẶT VÀ BÁN CHẶT KHÔNG TRƠN 2.1 Dưới vi phân Clarke – Rockafellar 30

2.2 Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi bán chặt 36

2.3 Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi chặt ……… 43

2.4 Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân ……… 46

KẾT LUẬN ……… 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… …… 51

MỞ ĐẦU

Lớp các hàm lồi và hàm lồi suy rộng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu hoá Hàm tựa lồi được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả sâu sắc

Trong [10] O.L Mangasarian đã trình bày lí thuyết các hàm tựa lồi, hàm giả lồi khả vi và mối quan hệ giữa hàm tựa lồi và các hàm lồi suy rộng liên quan D Aussel [1] đã nghiên cứu các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm đó và mối quan hệ giữa các khái niệm này A Daniilidis và N Hadjisavvas [3] nghiên cứu các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn Kết quả chỉ ra rằng một ánh xạ Lipschitz địa phương là tựa lồi bán chặt hoặc tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu dưới vi phân Clarke của nó tương ứng là tựa đơn điệu bán chặt hoặc tựa đơn điệu chặt

Luận văn tập trung trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi, giả lồi, tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu, giả đơn điệu, tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán chặt của dưới vi phân của hàm đó

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương I Hàm tựa lồi không trơn

Trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm

đó Kết quả chỉ ra rằng hàm liên tục radian, nửa liên tục dưới f là giả lồi khi và chỉ khi f là tựa lồi và thoả mãn điều kiện :

 

0f xf có cực tiểu toàn cục tại x

Chương II Các hàm tựa lồi chặt và bán chặt không trơn

Trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán chặt của dưới vi phân của nó Phần cuối chương trình bày một áp dụng chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS – TS Đỗ Văn Lưu – Viện toán học Việt Nam, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học để tác giả hoàn thành bản luận văn Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn tập thể giảng viên Khoa Toán đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn các phòng ban chức năng và khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên, các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ rất nhiều để tác giả hoàn thành bản luận văn này

Tác giả

Chương I

HÀM TỰA LỒI KHÔNG TRƠN

Chương I trình bày các tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi và giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm đó, và mối quan hệ giữa hai khái niệm này Kết quả cũng chỉ ra rằng hàm liên tục

radian, nửa liên tục dưới f là giả lồi khi và chỉ khi f là tựa lồi và thoả mãn

điều kiện :

 

0f xf có cực tiểu toàn cục tại x

Kết quả trong chương này là của D Aussel [1]

1.1 Các khái niệm và định nghĩa

Giả sử X là không gian Banach, X* là không gian đối ngẫu tôpô của X

và <.,.> là cặp đối ngẫu Giá trị của hàm u*X* tại u X là u u*, Với x X,0, ta ký hiệu B x   là hình cầu tâm x bán kính  :

 ': '

B x xX x x  Với x y X, , ta ký hiệu đoạn thẳng đóng  x y, là :

 x y,tx 1t y: 0 t1, Khoảng mở  x y, là :

 x y,tx 1t y: 0 t1

Tương tự ta có các khoảng x y,, x y,

Hầu hết các hàm f X   :  được xét trong chương này là hàm

nửa liên tục dưới và domf là miền hữu hiệu của f

Dưới vi phân của hàm nửa liên tục dưới f X   :  tại x X

mà ta ký hiệu f x , là tập con của tập X* thoả mãn 3 điều kiện sau : (P1): f x x*X*: x y x*,  f x f y ,  y X khi f là hàm lồi ;

(P2): 0f x  nếu x domf là cực tiểu địa phương của f;

(P3): fg x  f x  g x  khi g là hàm giá trị thực lồi liên tục, và g là - khả vi tại x

Ở đây g là - khả vi tại x nghĩa là cả g x  và    g x là khác rỗng

Ta nói rằng một hàm f là - dưới khả vi tại x khi f x  

Khái niệm dưới vi phân trừu tượng trên bao hàm một lớp rộng các dưới vi phân chẳng hạn : dưới vi phân Clarke – Rockafeller CR f ; dưới vi phân dưới và dưới vi phân trên Dini D f và D f ; dưới vi phân Hadamard dưới

H f

 ; dưới vi phân Fréchet F f , …

Nhắc lại, một hàm là D  khả vi (H  khả vi ,  F khả vi) tại x nếu

và chỉ nếu nó là khả vi Gâteaux tại x ( Hadamard, Fréchet)

Sau đây ta sẽ tập trung vào lớp các dưới vi phân  mà nó thoả mãn các tính

chất (P1), (P2), (P3) và một trong các bao hàm thức sau : D

   ; hoặc

Ta nhắc lại định nghĩa của dưới vi phân Clarke – Rockafeller và định nghĩa của dưới vi phân trên Dini :

d B vu B x

B f xf u

f u tdfx v

  

Có thể lấy f u  khi f là hàm nửa liên tục dưới;

Cho một vài ví dụ về chuẩn  trơn trong [2] :

(a) Một chuẩn là D trơn nếu nó là D khả vi trên X\ 0 , nghĩa là nếu nó là khả vi Gâteaux trên X\ 0 

(b) Một chuẩn bất kỳ là  CR trơn bởi vì các hàm d2a b, 

, 2 là hàm Lipchitz địa phương

Kết quả sau đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức giá trị trung bình trong [2]

Nhắc lại rằng f là hàm tựa lồi nếu x y X,,  z x y, thì

 

, 0,0, 0< 1,

(i)(ii) Trong trường hợp   f CR f

Giả sử x y domf x,, *f x  thoả mãn

Và vì vậy, do tính chất nửa liên tục dưới của hàm f ta suy ra

x y x  n

Giả thiết (ii) kéo theo  n , mọi điểm znx y, xác định bởi

Do đó theo tính chất nửa liên tục dưới ta có f z f y 

Kết quả sau đây chỉ ra rằng một hàm liên tục hoặc liên tục radian (có nghĩa

là liên tục trên mỗi đoạn ) hai tính chất (Q) và (Qs) là tương đương

Mệnh đề 1.2

Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới  trơn Mọi hàm liên tục

radian, nửa liên tục dưới thoả mãn tính chất (Q) là hàm tựa lồi



Lý luận tương tự như trên thì do f z f y  ta suy ra  bz y, sao cho

  c z y,  

  sao cho

 ' 

f af b Điều mâu thuẫn nhận được do

f là hàm tựa lồi f là tựa đơn điệu

và suy luận ngược lại là hệ quả của định lý 1.1 Mệnh đề 1.3

Giả sử X là không gian Banach Khi đó dưới vi phân Clarke – Rockafellar và dưới vi phân Dini trên của hàm tựa lồi f X   :  là tựa đơn điệu

x y x Ta chỉ cần chứng minh rằng

f y x y Ta có với  0,   0, sao cho

'

   D ,0

f xf yf  y x y Vì vậy nếu x*D f x  thoả mãn

x y x , thì ta nhận được

  

f xf y

Vì vậy, f Dy x y,0 Như vậy ta đã chỉ ra rằng D f là ánh xạ đa trị tựa đơn điệu

 , cho nên phần “chỉ nếu” được chứng minh từ mệnh đề 1.3

Để chứng minh phần “nếu”, ta giả sử rằng f là tựa đơn điệu, ta phải

chứng minh rằng hàm nửa liên tục dưới f thoả mãn tính chất (Qs)

Giả sử x dom f y domf x, , y và zx y, sao cho

  

f zf y

Áp dụng mệnh đề 1.1 cho y, z ta có dãy  yn  y_ x y, và dãy  *

*, n 0,

x x yn và  x* f x  Khi đó,

Như vậy hàm f thoả mãn tính chất (Qs)

1.3 Các hàm tựa lõm và hàm tựa affine

Hàm f được gọi là hàm tựa lõm nếu (- f) là hàm tựa lồi Hàm f được gọi là tựa affine nếu f và (- f) là hàm tựa lồi

Ví dụ 1.2 Xét hàm số

 

2 , 0,10, 0,

21

  

f zf y

Từ mệnh đề 1.1 ta suy ra tồn tại hai dãy  an  az y, và dãy

 a*n , a*nf a n thoả mãn

*, 0,

a y a   n Cho t t1, 2 là hai số dương thoả mãn 0 t 1 t2, sao cho

1 , 2

z a t a y x a t a y   ; Và xác định hai dãy    xn , zn bởi

Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới  trơn và hàm

 

f X    liên tục Khi đó, các khẳng định sau là tương đương : (i) f là hàm tựa affine;

Đó chính là khẳng định (ii) Tương đương khác của (ii) là :

trong đó f x  là ký hiệu đạo hàm Fréchet của hàm f tại x

Trong trường hợp khả vi, mọi hàm giả lồi thoả mãn tính chất cơ bản sau :

(a) Mọi cực tiểu địa phương của hàm f là cực tiểu toàn cục (b) 0f x f có cực tiểu toàn cục tại x

Mối quan hệ giữa tính tựa lồi và giả lồi là không đơn giản

Ví dụ 1.3

(a) Hàm số f x x3 là tựa lồi và không là hàm giả lồi trên 

(b) Hàm f trong ví dụ 1.1 không là hàm giả lồi trên 

x khi x

 

là hàm giả lồi trên 

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa tính giả lồi và tính tựa lồi của hàm nửa liên tục dưới, liên tục radian

(i) f là hàm giả lồi;

(ii) f là hàm tựa lồi và (0f x f có cực tiểu toàn cục tại x)

chất (Q) Khi đó theo mệnh đề 1.2 hàm f là hàm tựa lồi

   iii : Giả sử x dom f y X, và x*f x  sao cho

x y x

Nếu 0f x  thì x là cực tiểu toàn cục của f, và ta có

Nhắc lại rằng, ánh xạ đa trị A X:X* gọi là giả đơn điệu nếu ,

x y X

 ta có

Ta khẳng định được rằng :

 

0f y Thật vậy, bởi vì

,00, ' ,  0,1

f  x y x   xB x sao cho

 

0f y Bây giờ, ta chú ý rằng  0 sao cho

y x y

nên ta nhận được

  

f xf y

Vì vậy y là cực tiểu địa phương của f và từ tính chất (P2) ta có 0 là phần tử

của f y  Điều này mâu thuẫn với khẳng định trên, nên ta có điều phải chứng minh

   iiii : Trường hợp   f D f

Giả sử x dom f y X x, , *f x  sao cho thoả mãn

x y x Khi đó tồn tại  0,1 sao cho

   iiii : Sử dụng định lý 1.3 ta sẽ chứng minh rằng f là hàm giả lồi

Thật vậy, ánh xạ đa trị f là giả đơn điệu, và vì vậy f là tựa đơn điệu Theo

định lý 1.2 thì hàm f là hàm tựa lồi

Mặt khác, nếu x không là cực tiểu của f thì tồn tại y X sao cho

 

*,0, *

x x a xf x Vì vậy, 0f x 

Giả sử ngược lại f là hàm giả lồi nhưng f không là hàm giả đơn điệu Vì vậy, x y dom f x,, *f x y , *f y  sao cho

 Do tính nửa liên tục của hàm f ta có

  Theo mệnh đề 1.1 tồn tại hai dãy

 bn  ba z,_

  _

f af z     Điều này dẫn đến mâu thuẫn với f a   f z  

Sử dụng đúng lý luận như trên có thể chứng minh rằng trường hợp

 

f a  f z   cũng không xảy ra được

Như vậy ta nhận được mâu thuẫn

(i) f là hàm giả lồi và không hằng số radian; (ii) f là hàm tựa lồi chặt và giả lồi chặt

Chương II

CÁC HÀM TỰA LỒI CHẶT VÀ BÁN CHẶT KHÔNG TRƠN

Chương II trình bày các nghiên cứu về hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn của A Daniilidis và N Hadjisavvas [3] Kết quả chỉ ra rằng một ánh xạ Lipschitz địa phương là tựa lồi bán chặt hoặc tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu dưới vi phân Clarke của nó tương ứng là tựa đơn điệu bán chặt hoặc tựa đơn điệu chặt Phần cuối của chương này trình bày một áp dụng cho bất đẳng thức biến phân Kết quả cho thấy với một toán tử tựa đơn điệu bán chặt xác định trên một

tập lồi compact yếu K thì bài toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu có nghiệm

2.1 Dưới vi phân Clarke – Rockafellar

Giả sử X là không gian Banach và X* là không gian đối ngẫu của X

Cho tập AX , ký hiệu co(A) là bao lồi của A

Ta sẽ luôn xét hàm f X   :  với miền hữu hiệu ( )

sao cho

Với hàm giá trị thực mở rộng f xác định trên X, trên đồ thị của f được định

nghĩa như sau :

epifx r Xf xr Nhắc lại [6] :

Trong trường hợp f là hàm Lipschitz địa phương, đạo hàm suy rộng của hàm f

theo phương v X tại x0, ký hiệu là 0

x x t

f x tvf xfx v

Đây là khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương của F.H Clarke

Trong trường hợp f là hàm Lipschitz địa phương, ta có f trùng với đạo hàm suy rộng Clarke f 0 :

Nếu f là Lipchitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại x, khi đó xem ([6])

hàm vf 0 x v, hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X và

(i) Hàm f được gọi là tựa lồi nếu x y domf, ta có

(a) Hàm f là tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu nó tựa lồi và không hằng số trên mọi

đoạn  x y, của miền hữu hiệu của nó;

(b) Một hàm nửa liên tục dưới, tựa lồi bán chặt là hàm tựa lồi;

(c) Mọi cực tiểu địa phương x0domf của hàm tựa lồi bán chặt là cực tiểu toàn cục

Ta xét các toán tử đa trị T X :2X* với miền hữu hiệu khác rỗng

không cần giả thiết gì thêm về chuẩn của X

(i)  zx y, là cực tiểu địa phương của f; (ii) x không là cực tiểu địa phương;

 '  

f zf xf z Vậy z là cực tiểu địa phương của hàm f

Vì vậy,

  n

f xf x , và x không là cực tiểu địa phương

(iii) Giả sử rằng  z x y,,  z* CR f z  sao cho

z y x Từ giả thiết

x y x , ta suy ra

x z x Do tính tựa đơn điệu ta có

z z x Vì vậy,

z y x và z y z*,0

Từ phần (ii) ta có z không là cực tiểu địa phương của f Điều này mâu thuẫn với (i)

2.2 Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi bán chặt

Cho hàm khả vi f C  : , trong đó C là tập con lồi mở của  n

Ta biết trong [8] f là tựa lồi bán chặt khi và chỉ khi ánh xạ đạo hàm F f là tựa đơn điệu, và x y C x y,,  ta có khẳng định sau đây:

 ,0,: ,02

x y

F x y x   zyF z y x

Toán tử tựa đơn điệu thoả mãn (2.2) được gọi là tựa đơn điệu bán chặt Bây

giờ ta tổng quát hoá khái niệm này cho trường hợp đa trị trong trường hợp X là

không gian Banach

(2.3) tương đương với :

Nếu x y x*,0 với x* nào đó thuộc T x  thì tập

{z x y,:z y x*,0,với z* nào đó thuộc T z }

là trù mật trong  x y,

Chứng minh

Giả sử có (2.3) và x y x*,0 với x* nào đó thuộc T x 

Lấy wx y, xác định bằng quy nạp một dãy  zn n x w, sao cho

Vì vậy zn w và mệnh đề được chứng minh

Định lý sau đây cho ta một tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi bán chặt

w y w Do zw y,, (2.4) kéo theo

  

f zf y

Và ta nhận được mâu thuẫn Vì vậy f là hàm tựa lồi bán chặt

Ngược lại, giả sử f là hàm tựa lồi bán chặt Để chỉ ra (2.4) ta chỉ cần chứng

  

f xf y

Từ đó suy ra f là hàm hằng trên  x y,

Bởi vì x y x*,0, áp dụng bổ đề 2.1 (i) ta có y là cực tiểu địa phương

Do f là hàm tựa lồi bán chặt nên suy ra y cũng là cực tiểu toàn cục Điều này

mâu thuẫn với bổ đề 2.1 (ii) và f x f y 

Nhận xét 2.1

Từ chứng minh trên ta thấy rằng quan hệ (2.4) cũng đúng cho các hàm tựa lồi bán chặt và nửa liên tục dưới