Một số tính chất của hàm tựa lồi

THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN -***** -TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -***** TÔ CƠNG DOANH TƠ CƠNG DOANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TỰACHẤT LỒI MỘTHÀM SỐ TÍNH CỦA HÀM TỰA LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -***** TƠ CƠNG DOANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN – 2008 MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương I HÀM TỰA LỒI KHÔNG TRƠN 1.1 Các khái niệm định nghĩa 1.2 Hai tính chất đặc trưng hàm tựa lồi, nửa liên tục 1.3 Các hàm tựa lõm tựa affine 15 1.4 Hàm giả lồi ………………………………………………………… 19 1.5 Hàm không số radian ……………………………………… 25 Chương II CÁC HÀM TỰA LỒI CHẶT VÀ BÁN CHẶT KHÔNG TRƠN 2.1 Dưới vi phân Clarke – Rockafellar 30 2.2 Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi bán chặt 36 2.3 Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi chặt ……………………… 43 2.4 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân ………………… 46 KẾT LUẬN …………………………………………………… 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………… …… 51 MỞ ĐẦU Lớp hàm lồi hàm lồi suy rộng đóng vai trị quan trọng lý thuyết tối ưu hoá Hàm tựa lồi nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết sâu sắc Trong [10] O.L Mangasarian trình bày lí thuyết hàm tựa lồi, hàm giả lồi khả vi mối quan hệ hàm tựa lồi hàm lồi suy rộng liên quan D Aussel [1] nghiên cứu tính chất đặc trưng hàm tựa lồi giả lồi khơng trơn qua tính tựa đơn điệu giả đơn điệu vi phân hàm mối quan hệ khái niệm A Daniilidis N Hadjisavvas [3] nghiên cứu hàm tựa lồi chặt tựa lồi bán chặt không trơn Kết ánh xạ Lipschitz địa phương tựa lồi bán chặt tựa lồi chặt vi phân Clarke tương ứng tựa đơn điệu bán chặt tựa đơn điệu chặt Luận văn tập trung trình bày tính chất đặc trưng hàm tựa lồi, giả lồi, tựa lồi chặt tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu, giả đơn điệu, tựa đơn điệu chặt tựa đơn điệu bán chặt vi phân hàm Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương I Hàm tựa lồi khơng trơn Trình bày tính chất đặc trưng hàm tựa lồi giả lồi không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu giả đơn điệu vi phân hàm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết hàm liên tục radian, nửa liên tục f giả lồi f tựa lồi thoả mãn điều kiện : 0f  x   f có cực tiểu toàn cục x Chương II Các hàm tựa lồi chặt bán chặt khơng trơn Trình bày tính chất đặc trưng hàm tựa lồi chặt tựa lồi bán chặt khơng trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu chặt tựa đơn điệu bán chặt vi phân Phần cuối chương trình bày áp dụng chứng minh tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS – TS Đỗ Văn Lưu – Viện toán học Việt Nam, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ nghiêm khắc khoa học để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn tập thể giảng viên Khoa Toán giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn phòng ban chức khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên, thầy cô giáo bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ nhiều để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả Chương I HÀM TỰA LỒI KHƠNG TRƠN Chương I trình bày tính chất đặc trưng hàm tựa lồi giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu giả đơn điệu vi phân hàm đó, mối quan hệ hai khái niệm Kết hàm liên tục radian, nửa liên tục f giả lồi f tựa lồi thoả mãn điều kiện : f  x   f có cực tiểu tồn cục x Kết chương D Aussel [1] 1.1 Các khái niệm định nghĩa Giả sử X không gian Banach, X * không gian đối ngẫu tôpô X cặp đối ngẫu Giá trị hàm u  X * u  X u , u * * Với x  X ,   , ta ký hiệu B  x  hình cầu tâm x bán kính  : B  x   x '  X : x ' x    Với x, y  X , ta ký hiệu đoạn thẳng đóng  x, y  :  x, y   tx  1  t  y :  t  1 , Khoảng mở  x, y  :  x, y   tx  1  t  y :  t  1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tương tự ta có khoảng  x, y  ,  x, y  Hầu hết hàm f : X     xét chương hàm nửa liên tục domf miền hữu hiệu f domf : x  X : f  x      Xét ánh xạ đa trị A : X  X * Ký hiệu domA : x  X : A  x    Định nghĩa 1.1 ([2]) Dưới vi phân hàm nửa liên tục f : X     x  X mà ta ký hiệu f  x  , tập tập X * thoả mãn điều kiện sau :  (P1): f  x   x  X *:  x , y  x   f  x   f  y  , y  X * *  f hàm lồi ; (P2): f  x  x  domf cực tiểu địa phương f; (P3):   f  g  x   f  x   g  x  g hàm giá trị thực lồi liên tục, g  - khả vi x Ở g  - khả vi x nghĩa g  x     g  x  khác rỗng Ta nói hàm f  - khả vi x f  x    Khái niệm vi phân trừu tượng bao hàm lớp rộng vi phân chẳng hạn : vi phân Clarke – Rockafeller  vi phân Dini  D CR f ; vi phân f  D  f ; vi phân Hadamard  H  f ; vi phân Fréchet  F f , … Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhắc lại, hàm  D  khả vi (  H   khả vi ,  F  khả vi) x khả vi Gâteaux x ( Hadamard, Fréchet) Sau ta tập trung vào lớp vi phân  mà thoả mãn tính chất (P1), (P2), (P3) bao hàm thức sau :    D ;    CR Chú ý rằng, vi phân Clarke – Rockafeller, vi phân Dini lớn số vi phân cổ điển Nói riêng, ta có (xem [2])  F   H   CR  H    D   D Ta nhắc lại định nghĩa vi phân Clarke – Rockafeller định nghĩa vi phân Dini :   CR f  x   x*  X *: x* , v  f   x, v  , v  X , với f   x, v   sup inf  0 sup  0 uB  x   f  u  td     t dB  v  inf  0 B  f  x     0 f  u  t 0,  Có thể lấy   f  u  f hàm nửa liên tục dưới; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn    D f  x   x*  X *: x* , v  f D  x, v  , v  X , với f D  x, v   lim sup f  x  tv   f  x  t t Định nghĩa 1.2 Một chuẩn X gọi   trơn hàm giá trị thực, lồi, liên tục có dạng sau   khả vi (i) d  a ,b   x  : x  c , [a,b] đoạn thẳng đóng X;     c a ,b  (ii)   x  :  n x  , n n  1, n  0;    n hội tụ X Ta nói không gian Banach nhận chuẩn   trơn nhận chuẩn tương đương mà chuẩn   trơn Cho vài ví dụ chuẩn   trơn [2] : (a) Một chuẩn  D  trơn  D  khả vi X \ 0 , nghĩa khả vi Gâteaux X \ 0 (b) Một chuẩn  CR  trơn hàm d 2a ,b  , 2 hàm   Lipchitz địa phương Kết sau trường hợp đặc biệt bất đẳng thức giá trị trung bình [2] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 1.1 Giả sử X không gian Banach với chuẩn   trơn hàm f : X     nửa liên tục Với a  domf ; b  X cho f  a   f  b  , c   a, b  dãy xn  hội tụ đến c xn* ; xn*  f  x n  cho xn* , d  xn  0, n , với d  c  t  b  a  , t  1.2 Hai tính chất đặc trưng hàm tựa lồi, nửa liên tục Nhắc lại f hàm tựa lồi x, y  X , z   x, y  f  z   max  f  x  , f  y  Ta biết rằng, trường hợp khả vi, hàm tựa lồi thoả mãn : f  x  , y  x   f  x   f  y  Trường hợp khơng khả vi, tính chất trở thành Q  x*  f  x  : x* , y  x   f  x   f  y  Kết khẳng định tính chất hỗn hợp mạnh chút sau đặc trưng cho tính tựa lồi hàm nửa liên tục  Qs  x*  f  x  : x* , y  x   f  z   f  y  , z   x, y  Ví dụ 1.1 Xét hàm số f xác định  sau : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì vậy, f  x   f  xn  , x không cực tiểu địa phương (iii) Giả sử z   x, y  , z   * CR f  z  cho z* , y  x  Từ giả thiết x* , y  x  , ta suy x* , z  x  Do tính tựa đơn điệu ta có z* , z  x  Vì vậy, z * , y  x  z * , y  z  Từ phần (ii) ta có z khơng cực tiểu địa phương f Điều mâu thuẫn với (i) 2.2 Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi bán chặt n Cho hàm khả vi f : C   , C tập lồi mở  Ta biết [8] f tựa lồi bán chặt ánh xạ đạo hàm F  f tựa đơn điệu, x, y  C, x  y ta có khẳng định sau đây: 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  x y  F  x  , y  x   z   , y  : F  z , y  x    (2.2) Toán tử tựa đơn điệu thoả mãn (2.2) gọi tựa đơn điệu bán chặt Bây ta tổng quát hoá khái niệm cho trường hợp đa trị trường hợp X không gian Banach Định nghĩa 2.1 Toán tử đa trị T : X  X* gọi tựa đơn điệu bán chặt tựa đơn điệu x, y  D T  , x  y ta có khẳng định sau x *  T  x  : x * , y  x   x y   z   , y  , z *  T  z  : z * , y  x    (2.3) Mệnh đề 2.1 (2.3) tương đương với : Nếu x , y  x  với x thuộc T  x  tập * * { z   x, y  : z * , y  x  0, với z * thuộc T  z  } trù mật  x, y  Chứng minh Giả sử có (2.3) x , y  x  với x thuộc T  x  * * Lấy w   x, y  xác định quy nạp dãy  zn n   x, w  cho 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn zn  w  n1 x  w , zn , y  x  với zn thuộc T  zn  sau : * * Đặt z1  x Nếu zn xác định ta có zn* , w  zn  với zn* thuộc T  zn  z w  , w  cho Theo (2.3) ta chọn z n+1   n   zn*1 , w  zn  với zn1 thuộc T  zn1  * Khi đó, rõ ràng ta có zn*1 , y  x  , zn1  w  1 zn  w  n x  w 2 Vì zn  w mệnh đề chứng minh Định lý sau cho ta tính chất đặc trưng hàm tựa lồi bán chặt 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.1 Giả sử f : X     hàm Lipchitz địa phương Khi đó, f tựa lồi bán chặt x, y  domf ta có khẳng định sau : x*   C f  x  : x* , y  x   z   x, y  : f  z   f  y  (2.4) Chứng minh Giả sử có (2.4) với x, y  X theo định lý 1.1 ta có f hàm tựa lồi Nếu f không hàm tựa lồi bán chặt x, y  domf , z   x, y  cho f  x  f  z   f  y  Ứng dụng định lý giá trị trung bình Lebourg cho  x, z  ta nhận w   x, z  , w*   C f  w  cho w* , z  x  f  z   f  x   Từ đó, ta có w* , y  w  Do z   w, y  , (2.4) kéo theo f  z  f  y 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Và ta nhận mâu thuẫn Vì f hàm tựa lồi bán chặt Ngược lại, giả sử f hàm tựa lồi bán chặt Để (2.4) ta cần chứng minh : C Nếu x , y  x  , x thuộc  f  x  f  x   f  y  Giả sử * * f  x   f  y  Với z   x, y  ta có x* , z  x  Bởi f hàm tựa lồi, theo định lý 1.1 ta có f  x  f  z  Nói riêng, ta có f  x  f  y Từ suy f hàm  x, y  Bởi x , y  x  , áp dụng bổ đề 2.1 (i) ta có y cực tiểu địa phương * Do f hàm tựa lồi bán chặt nên suy y cực tiểu toàn cục Điều mâu thuẫn với bổ đề 2.1 (ii) f  x   f  y  Nhận xét 2.1 Từ chứng minh ta thấy quan hệ (2.4) cho hàm tựa lồi bán chặt nửa liên tục 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 2.1 Giả sử f : X     hàm nửa liên tục tựa lồi bán chặt Cho hai điểm phân biệt x, y  domf , f hàm đoạn  x, y  Khi đó, z   x, y  , z *   C f  z  ta có z* , y  x  Chứng minh Bởi f  x   f  z  , áp dụng khẳng định (2.4) cho đoạn  z, x  ta có z * , x  z  0, z *   C f  z  Do đó, z* , x  y  Một cách tương tự, áp dụng (2.4) cho đoạn thẳng  z , y  ta kết luận z * , y  x  0, z *   C f  z  Kết hợp hai bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Bây giờ, ta cho đặc trưng hàm tựa lồi bán chặt qua vi phân Định lý 2.2 Giả sử hàm số f : X     hàm Lipchitz địa phương Khi đó, f C hàm tựa lồi bán chặt  f tựa đơn điệu bán chặt Chứng minh 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (i) C Giả sử f hàm tựa lồi bán chặt Khi f tựa lồi,  f tựa đơn điệu Nếu x* , y  x  0, x, y  X , x*   C f  x  theo định lý 2.1 suy  x y f   f  y   Áp dụng định lý giá trị trung bình Lebourg ta nhận  x y  w   , y  , w*   C f  w  ,   cho * x y w , y  x  w* , y   f  y  2 C  x y f     C (ii) Giả sử  f hàm tựa đơn điệu bán chặt Khi đó,  f tựa đơn điệu f tựa lồi Giả sử f không hàm tựa lồi bán chặt Khi đó, x, y  domf , z   x, y  cho f  x  f  z   f  y  Bởi f hàm tựa lồi, nên f hàm  z , y  Từ định lý giá trị trung bình Lebourg ta nhận 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x1   x, y  , x1* C f  x1  , cho x1* , y  x  C Bởi  f tựa lồi bán chặt, mệnh đề 2.1 suy z1   z , y  , z1*   C f  z1  , cho z1* , y  x  Vì vậy, z1* , y  z1  Từ bổ đề 2.1(iii) ta suy w   z1 , y  , w*   C f  w  , ta có w* , y  x  Điều mâu thuẫn với mệnh đề 2.1 2.3 Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi chặt Giả sử f : C   hàm khả vi, C   n tập lồi mở Ta biết [8] f tựa lồi chặt ánh xạ đơn trị f tựa đơn điệu, x, y  C, x  y , z   x, y  cho 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f  z  , y  x  Điều dẫn đến định nghĩa sau cho trường hợp đa trị khơng gian vơ hạn chiều Định nghĩa 2.2 Tốn tử đa trị T : X  X* gọi tựa đơn điệu chặt f tựa đơn điệu x, y  D T  , x  y, z   x, y  , z *   CR f  z  cho z* , y  x  Ta có mối quan hệ toán tử đơn điệu chặt toán tử tựa đơn điệu bán chặt sau Mệnh đề 2.2 Nếu toán tử T tựa đơn điệu chặt T tựa đơn điệu bán chặt Chứng minh Giả sử x, y  D T  , x  y x* , y  x  với x thuộc T  x  * Vì T tựa đơn điệu, nên z   x, y  , z  T  z  ta có * z* , y  x  44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  x y  , y  , w*  T  w    Hơn nữa, từ định nghĩa 2.1 suy w   cho w* , y  x y  , tức x* , y  x  Vì thế, w* , y  x  Do đó, T tựa đơn điệu bán chặt Định lý 2.3 Giả sử f : X     hàm Lipchitz địa phương Khi đó, f hàm C tựa lồi chặt  f hàm tựa đơn điệu chặt Chứng minh C (i) Nếu f tựa lồi chặt, ta suy f tựa lồi,  f tựa đơn điệu Hơn nữa, với x, y  domf hàm f số  x, y  Vì vậy, w   x, y  cho f  w  f  x  Áp dụng định lý giá trị trung bình Lebourg ta nhận z   x, w  , z *   C f  z  cho z* , w  x  , tức 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn z* , y  x  C (ii) Giả sử f hàm tựa đơn điệu chặt Khi  f hàm tựa đơn điệu bán chặt Từ suy f hàm tựa lồi bán chặt Hệ 2.1 f nhận giá trị hữu hạn hàm  x, y  Vì vậy, f hàm tựa lồi chặt 2.4 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân Cho K tập lồi, đóng X, K   , T : X  X* toán tử đa trị Xét toán bất đẳng thức biến phân (VIP) phát biểu sau Tìm điểm x0  K cho x  K , x0*  T  x0  : x0* , x  x0  (2.5) Bài toán liên quan chặt chẽ với tốn sau : Tìm điểm x0  K cho x  K , x*  T  x  : x* , x  x  (2.6) Bài toán (2.6) gọi toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu (DVIP) Trong [9] xét mối quan hệ nghiệm hai toán (DVIP), (VIP) tồn nghiệm tốn (DVIP) Ở đây, ta trình bày tồn nghiệm (DVIP) với giả thiết T tốn tử đơn điệu thường Định nghĩa 2.3 Một toán tử T : X  X* gọi tựa đơn điệu thường x1 , x2 , , xn  X ; y  cox1 , x2 , , xn  tồn i cho 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xi*  T  xi  : xi* , y  xi  , (2.7) co ký hiệu bao lồi Chọn y  x1  x2 ta có tốn tử tựa đơn điệu thường tựa đơn điệu Mệnh đề 2.3 Mọi toán tử tựa đơn điệu bán chặt T tựa đơn điệu thường Chứng minh Nếu T khơng tựa đơn điệu thường n x1 , x2 , , xn  K , y   i xi i 1 n với i  1, i  cho với i=1,2,…n tồn xi*  T  xi   i 1 xi* , y  xi  ; Từ suy   cho y '  B  y  ta có xi* , y ' xi  0, i  1,2, n (2.8) Giả thiết T hàm tựa đơn điệu bán chặt Khi đó, x1* , y  x1  kéo theo tồn z   x1 , y   B  y  z  T  z  cho * z * , y  x1  47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì nói riêng ta có z , y  x  * n Do đó, j  j 1 z* , x j  z  z * , y  z  Vì vậy, với i =1,2,…n ta phải có z* , x j  z  Bởi T hàm tựa đơn điệu nên suy   x*j , x j  z  0, x*j  T x j Điều mâu thuẫn với (2.10) Định lý 2.4 Giả sử T : X  X* tốn tử tựa đơn điệu thường, miền hữu hiệu chứa tập lồi đóng K Giả sử K compact yếu tồn tập compact yếu W K x0  W cho x  K \ W , x0  T  x0  : * x0* , x0  x  Khi đó, DVIP có nghiệm Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa  trị G : K  2X* \   G  x   y  K : x* , y  x  0, x*  T  x  Với x1 , x2 , , xn  K , y co x1, x2 , , xn  , tính tựa đơn điệu thường kéo theo 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n y   G  xi  i 1 Hơn nữa, với x  K , G  x  đóng yếu Như vậy, K compact yếu với x  K , G  x  compact yếu Mặt khác điều kiện (2.8) cho ta G  x0   W Vì G  x0  compact yếu Trong hai trường hợp trên, theo bổ đề KyFan [4] ta có  G  x   xK Rõ ràng điểm x0   G  x  nghiệm DVIP xK Nhận xét 2.2 Từ mệnh đề 2.3 suy định lý 2.4 cho lớp toán tử T tựa đơn điệu bán chặt 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày nghiên cứu hàm tựa lồi giả lồi không trơn Aussel [1], hàm tựa lồi chặt tựa lồi bán chặt không trơn Daniilidis – Hadjisavvas [3] Các kết trình bày chủ yếu bao gồm tính chất đặc trưng hàm tựa lồi, giả lồi, tựa lồi chặt tựa lồi bán chặt khơng trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu, giả đơn điệu, tựa đơn điệu chặt tựa đơn điệu bán chặt vi phân hàm Các kết Aussel [1] trình bày ngôn ngữ vi phân trừu tượng đưa vào [2], kết Daniilidis – Hadjisavvas [3] trình bày ngơn ngữ vi phân Clarke – Rockafellar vi phân Clarke Việc nghiên cứu tính chất hàm tựa lồi khơng trơn nói riêng hàm lồi suy rộng khơng trơn nói chung qua vi phân hàm mối quan hệ hàm lồi suy rộng không trơn đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu khai thác 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... lí thuyết hàm tựa lồi, hàm giả lồi khả vi mối quan hệ hàm tựa lồi hàm lồi suy rộng liên quan D Aussel [1] nghiên cứu tính chất đặc trưng hàm tựa lồi giả lồi khơng trơn qua tính tựa đơn điệu giả... hàm tựa lõm (- f) hàm tựa lồi Hàm f gọi tựa affine f (- f) hàm tựa lồi Ví dụ 1.2 Xét hàm số   x, x  0,   f  x   0,  x  ,   x  1, x   Khi f hàm tựa lồi tựa lõm  Do f hàm tựa. .. tương ứng tựa đơn điệu bán chặt tựa đơn điệu chặt Luận văn tập trung trình bày tính chất đặc trưng hàm tựa lồi, giả lồi, tựa lồi chặt tựa lồi bán chặt khơng trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu,