Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính

Đại học thái nguyên Trường đại học sư phạm Trần thiện toản MộT Số TíNH CHấT định tính hệ phương trình SAI phân ẩN TUYếN TíNH Luận văn thạc sĩ toán học Thỏi Nguyờn 2008 -1- Đại học thái nguyên Trường đại học sư phạm trÇn thiện toản MộT Số TíNH CHấT định tính hệ phương trình SAI phân ẩN TUYếN TíNH Chuyên nghành: Giải tích MÃ số: 60.46.01 Luận văn thạc sĩ toán học Người hướng dẫn khoa học : pGS-TS Tạ Duy Phượng Thỏi Nguyờn 2008 -2Thái Nguyên 2008 Mục lục Trang Lời nói đầu .1-2 Ch­¬ng CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH ……………………………………… ……… 1.1 Hệ phương trình sai phân ẩn chứa tham số điều khiển .3 1.2 Công thức nghiệm Cauchy phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng 1.3 Khái niệm cặp ma trận quy 1.4 Cơng thức nghiệm phương trình sai phân ẩn tuyến tính có điều khiển với cặp ma trận qui .12 Ch­¬ng MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH………………………… ……….19 2.1 Tính điều khiển chuỗi thời gian hữu hạn… 19 2.2 Tính quan sát chuỗi thời gian hữu hạn… 29 2.3 Nghiệm, tính điều khiển quan sát hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính……………………… .34 2.4 Tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính………………… .42 2.5 Quan sát trạng thái hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính .57 Ch­¬ng TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH CĨ HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN 64 3.1 Tính điều khiển hệ phương trình sai phân thường tuyến tính dừng có hạn chế biến điều khiển…… ….…………….… 64 3.2 Tính điều khiển hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng có hạn chế biến điều khiển……………………………………….… 66 KÕt luËn 70 Tài liệu tham khảo 71 -3- LỜI NÓI ĐẦU Do nhu cầu thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân ẩn (phương trình vi phân đại số) phương trình sai phân ẩn nhiều nhà tốn học nước ngồi Việt Nam quan tâm nghiên cứu Nhiều tốn thực tế (hệ thống mạng điện, q trình sản xuất,…) mơ tả phương trình sai phân ẩn có điều khiển Mặc dù nghiên cứu định tính (tính điều khiển quan sát được, ổn định ổn định hóa,…) hệ điều khiển mơ tả hệ phương trình vi phân sai phân thường nghiên cứu đầy đủ, cho hệ phương trình tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều, nhiều tốn định tính (tính điều khiển cho hệ có hạn chế biến điều khiển, tốn ổn định hóa,…) cho hệ phương trình vi phân sai phân ẩn chưa nghiên cứu đầy đủ Mục đích luận văn trình bày số nghiên cứu định tính hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển Luận văn gồm ba Chương Chương trình bày khái niệm công thức nghiệm hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo tài liệu [6], [3] [2] Chương trình bày số nghiên cứu định tính (tính điều khiển quan sát được, ổn định ổn định hóa, quan sát trạng thái,…) hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo tài liệu [6] Chương trình bày tính điều khiển hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có hạn chế biến điều khiển theo tài liệu [7] Mặc dù luận văn trình bày chủ yếu theo sách [6] [7], cố gắng tổng hợp xếp theo thứ tự phù hợp với nội dung luận văn Để hiểu trình bày vấn đề cách rõ ràng, cố gắng chứng minh chi tiết định lý Đặc biệt, nhằm làm sáng tỏ khái -4- niệm kết quả, thí dụ tính tốn cẩn thận, đầy đủ chi tiết Các tính tốn thường khơng trình bày chi tiết tài liệu trích dẫn Tác giả chân thành cám ơn PGS-TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, người Thầy hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Xin cám ơn Trường Đại học Sư phạm (Đại học Thái Nguyên), nơi tác giả hoàn thành chương trình Cao học giảng dạy nhiệt tình Thày,cơ Xin chân thành cám ơn Sở Giáo dục Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Na Hang Tuyên Quang tạo điều kiện để tác giả hồn thành chương trình học tập Và cuối cùng, xin cám ơn Gia đình bạn bè động viên, khích lệ tác giả vượt qua nhiều khó khăn học tập Thái Nguyên, 20.9.2008 Trần Thiện Toản -5- CHƯƠNG I CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN CHỨA THAM SỐ ĐIỀU KHIỂN Hệ phương trình sai phân ẩn có tham số điều khiển tổng quát có dạng h( x(k  1), x(k ), , x(0), u (k ), u (k  1), , u (0))  0;   y (k )  g ( x(k ), x(k  1), , x(0), u (k ), u (k  1), , u (0)), (1.1) k biến thời gian thực rời rạc, k  0,1,2, ; x(k )   n gọi trạng thái pha; u (k )   m gọi biến điều khiển; y (k )   p gọi tham số đo đầu hay đầu Một trường hợp hệ (1.1) quan tâm nhiều hệ  E (k ) x(k  1)  H ( x(k ), u (k ));   y (k )  J ( x(k ), u (k )), k  0,1,2, (1.2) H, J vectơ hàm biến x(k) , u(k) có số chiều tương ứng n p Ma trận E(k) suy biến (định thức 0) Nếu H, J vectơ hàm tuyến tính x(k) u(k) (1.2) trở thành  E (k ) x(k  1)  A(k ) x(k )  B(k )u (k );   y (k )  C (k ) x(k ), k  0,1,2, (1.3) Hệ (1.3) gọi hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chứa tham số điều khiển Trường hợp ma trận E (k ), A(k ), B(k ), C (k ) ma trận hệ (1.3) trở thành hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng  Ex(k  1)  Ax(k )  Bu (k );   y (k )  Cx(k ), k  0,1,2, (1.4) Đối tượng nghiên cứu luận văn hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (1.3) (1.4) -6- Nhận xét Khi E ma trận khơng suy biến hệ (1.4) trở thành  x(k  1)  E 1 Ax(k )  E -1Bu (k )   y (k )  Cx(k ), k  0,1,2, (1.5) Hệ (1.5) hệ phương trình sai phân thường, nghiên cứu kĩ tài liệu, thí dụ, [7], [8] Trong luận văn này, nghiên cứu hệ phương trình (1.3), thường coi E (k ) ma trận suy biến, tức rankE (k )  n với k  0,1,2, Tuy nhiên, nhiều kết phát biểu cho hệ (1.3) cho hệ phương trình sai phân thường (1.5) trường hợp đặc biệt 1.2 CÔNG THỨC NGHIỆM CAUCHY CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH KHƠNG DỪNG Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính khơng dừng  E (k  1) x(k  1)  A(k ) x(k )  f (k );   x(0)  x0 , k  0,1,2, (1.6) x(k) véc tơ trạng thái n chiều, E(k) A(k) ma trận có số chiều n  n , f (k ) hàm véc tơ biến số rời rạc k , k  0,1,2 Ta có cơng thức biểu diễn nghiệm hệ sai phân ẩn tuyến tính khơng dừng thơng qua ma trận nghiệm Cauchy Bổ đề 1.2.1 (xem [3]) 1.2.1 Bổ đề Giả sử F (k , i ) ma trận hàm có số chiều n  n thỏa mãn phương trình ma trận F (k , i 1) E (i )  F (k , i ) A(i ), i  0,1, , k 1 với điều kiện ban đầu -7- (1.7) F (k , k 1)  I n , F (k , i )  0, i  k (1.8) Khi nghiệm hệ (1.6) tính theo cơng thức sau: k 1 E (k ) x(k )  F (k , 1) E (0) x0   F (k , i ) f (i ), k  1,2, (1.9) i 0 Ở I n kí hiệu ma trận đơn vị cấp n Chứng minh Viết lại (1.7) theo i, sau cho i thay đổi từ đến k-1, thời điểm k cố định, ta có: E (i  1) x(i  1)  A(i ) x(i )  f (i ), i  0,1,2, , k 1 (1.10) Giả sử F (k , i ) ma trận n  n Nhân hai vế (1.10) với F (k , i ) ta được: F (k , i) E (i  1) x(i  1)  F (k , i) A(i) x(i)  F (k , i) f (i), i  0,1,2, , t 1 (1.11) Lấy tổng hai vế đẳng thức (1.11) theo i từ đến k 1 ta được: k 1 k 1 i 0 i 0  F (k , i) E (i  1) x(i  1)  [ F (k , i) A(i) x(i)  F (k , i) f (i)] Do vế trái (1.12) viết dạng: k 1  F (k , i) E (i  1) x(i  1) i 0 k 1   F (k , i 1) E (i ) x(i )  F (k , k 1) E (k ) x(k )  F (k , 1) E (0) x(0) i 0 nên (1.12) viết dạng F (k , k 1) E (k ) x(k )  F (k , 1) E (0) x(0)  k 1 k 1 i 0 i 0  F (k , i 1) E (i ) x(i )   [ F (k , i ) A(i ) x(i )  F (k , i ) f (i )] Do giả thiết F (k , k 1)  I n nên k 1 E (k ) x(k )  F (k , 1) E (0) x(0)   F (k , i 1) E (i ) x(i )  i 0 k 1  [ F (k , i ) A(i ) x(i )  F (k , i ) f (i )] i 0 -8- (1.12) hay k 1 E (k ) x(k )  F (k , 1) E (0) x(0)   [ F (k , i ) A(i )  F (k , i 1) E (i )]x(i ) i 0 k 1  F (k , i ) f (i ) i 0 Do F (k , i 1) E (i )  F (k , i ) A(i ), i  0,1, , k 1 nên từ phương trình kết hợp với điều kiện ban đầu x(0)  x0 ta có: k 1 E (k ) x(k )  F (k , 1) E (0) x0   F (k , i ) f (i ) i 0 Đây điều phải chứng minh Nhận xét Công thức (1.9) tỏ hiệu nghiên cứu tính điều khiển hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính khơng dừng (xem [3]) Khi E (k )  I n trở cơng thức nghiệm cho phương trình hệ phương trình sai phân thường tuyến tính khơng dừng [8] Tuy nhiên có hạn chế sau đây: Trong công thức biểu diễn nghiệm (1.9), ta thấy x( k ) chưa tính dạng tường minh (vẫn E (k ) kèm theo) Sau ta tìm nghiệm (1.6) trường hợp ma trận E (k ) , A(k ) ma trận với giả thiết ( E , A) cặp ma trận quy Dựa vào Bổ đề 1.3.2 đây, ta chứng minh cơng thức nghiệm cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng có tham số điều khiển 1.3 KHÁI NIỆM CẶP MA TRẬN CHÍNH QUY 1.3.1 Định nghĩa Cặp ma trận E , A   nn gọi quy tồn số phức    cho định thức  E  A  hay đa thức sE  A  -9- 1.3.2 Bổ đề Cặp ma trận E , A  quy tồn hai ma trận không suy biến P Q cho In QEP   0 0  A1 , QAP   0 N  n1  n2  n , A1   n n1 , 0 , I n2  (1.13) I n1 I n2 hai ma trận đơn vị tương ứng cấp n1 n2 ; N   n2n2 ma trận lũy linh (tức tồn số tự nhiên h cho N h  ) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử tồn ma trận không suy biến P Q cho (1.13) Ta chọn a  s ( A1 ) , s ( A1 ) phổ ma trận A1 (tập tất giá trị riêng A1 , tức số  cho a I  A1  ) Vì s ( A1 ) có hữu hạn số nên có vơ số số a  s ( A1 ) Khi ta có a E  A  Q1Q a E  APP1  Q1 aQEP  QAP P1  Q1 a I  A1 P1  Suy a E  A  Vậy theo Định nghĩa 1.3.1, cặp ma trận ( E , A) quy Điều kiện đủ Giả sử ( E , A) cặp ma trận quy Theo định nghĩa, tồn số a   cho a E  A  Xét hai ma trận Eˆ  (a E  A)1 E Aˆ  (a E  A)1 A Ta có: 1 1 1 a E  A (a E  A)  I  a E  A A  a a E  A E  I 1 1  a E  A A  I  a a E  A E  Aˆ  I  a Eˆ Mặt khác, từ phân tích dạng tắc Jordan lý thuyết ma trận (xem [10]), tồn ma trận không suy biến T cho - 10 - Điều kiện cần Giả sử hệ (2.41) ổn định hoá Khi tồn ma trận K   mn cho s ( E , A  BK )  U  Vì z  , z  1, z hữu hạn ta có rank ( zE  ( A  BK ))  n Mặt khác  I  zE  ( A  BK )  ( zE  A, B)   K  nên  I  rank ( zE  ( A  BK ))  rank ( zE  A, B )   K  Kết hợp hai công thức cho ta kết rank ( zE  A, B )  n, z  , z  Vậy (2.43a) chứng minh Điều kiện đủ Vì (2.41) quy nên tồn hai ma trận không suy biến Q, P cho QEP  diag ( I n1 , N ), QAP  diag ( A1 , I n2 ), QB  ( B1 / B2 ) , n1  n2  n N   n2n2 ma trận lũy linh Nếu (2.42a) thỏa mãn ta có n  rank ( zE  A, B )  rank ( zQEP  QAP, QB)  zI  A1 B1   rank    n2  rank ( zI  A1 , B1 ) zN  I B2  0 với z  , z  1, z hữu hạn Suy rank ( zI  A1 , B1 )  n1 với z  , z  1, z hữu hạn Do ta chọn ma trận K1 cho  ( A1  B1K1 ) U  Chọn ma trận hệ số liên hệ ngược K  ( K1 ,0) P 1 Dễ dàng kiểm tra  ( E , A  BK )   ( A1  B1K1 ) nằm vòng tròn đơn vị mặt phẳng phức Vậy hệ (2.40) ổn định hóa - 51 - Nhận xét Trong chứng minh Định lý ta rằng, hệ qui (2.41) ổn định hóa (nhận biết được) hệ tiến ổn định hóa (nhận biết được) 2.4.2.3 Thí dụ Xét hệ 1 0  1 0  0 0 0       x(k  1)   0  x(k )    u (k ); k  0,1,2, 0 0 1  0 0 1       0 0 0  0 1  1 (2.44) Ta có 1 0  1 0   z-1 -1 0   0   0   z-1 0    ; zE  A  z   0   0   0 -1 z         0 0   0   0 -1  z-1 -1 0  z-1 0 rank zE  A, B   rank   0 -1 z   0 -1 0   với z   1  -1 Chứng tỏ hệ (2.44) ổn định hóa Thí dụ, chọn K  (0,75  0) , ta có 0  1 1 0    1 0            0   0  0,75  0  0,75   A  BK     0,75, 2,0,0   0 0   0 0  0,75  0   0,75           0 1  1  0 1  0,75 0  0,75 1 0  1  0   0,75   zE   A  BK   z   0   0,75      0 0   0,75 - 52 -   z-1   0,75    0,75     -0,75 0  1 0 2   1 -1 0  z+1 0  -1 z   -2 -1  z-1  0,25 det zE   A  BK   det   0,25   -0,25  z-1  0,75  det   0,75-0,75z   -0,75 -1 0  z+1 0  -1 z   -2 -1 0 z+1 0   z  0,25  2-2z -1   -2 -1  -1 Vậy z1,2  0,5  ( E , A  BK )  0,5, -0,5nằm vòng tròn đơn vị mặt phẳng phức Chứng tỏ hệ (2.43) ổn định hóa được, ta biết Thí dụ 2.4.1.3, hệ (2.41) khơng ổn định Ta có quan hệ khái niệm điều khiển được, ổn định, quan sát nhận biết sau Điều khiển  R-điều khiển  ổn định hóa Điều khiển  Y-điều khiển Điều khiển  R-điều khiển được+ rank E B   n Quan sát  R-quan sát  nhận biết Quan sát  Y-quan sát Quan sát  R-quan sát + rank E / C   n 2.5 QUAN SÁT TRẠNG THÁI CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính Ex(k  1)  Ax(k )  Bu (k ); y (k )  Cx(k ), k  0,1,2, , (2.45) x(k )   n , u (k )   m , y (k )   r , E , A   nn , B   nm , C   rn ma trận Ta giả thiết rankE  n - 53 - Trong hệ (2.45), điều kiện ban đầu x(0) thường khơng biết trước, khó khơng thể xác định xác trạng thái x(k ) đầu y (k ) Do ta phải xây dựng “trạng thái quan sát được” (state observer) xˆ(k ) cho trạng thái thật x(k ) hệ (2.45) trạng thái quan sát xˆ(k ) có tính chất tiệm cận Như vậy, ta phải xây dựng hệ động lực mà đầu vào phải gồm đầu vào đầu hệ (2.45) Cụ thể hơn, toán xây dựng trạng thái quan sát hệ (2.45) toán xây dựng hệ động lực dạng Ec xc (k  1)  Ac xc (k )  Bcu (k )  Gy (k ); w(k )  Fc xc (k )  Fu (k )  Hy (k ), (2.46) xc (k )   nc , w(k )   n , Ec , Ac   ncnc , Bc , G , Fc , F , H ma trận zEc  Ac  , cho trạng thái hệ (2.46) hệ cũ (2.45) thỏa mãn tính chất tiệm cận lim( w(k )  x(k ))  với x(0), xc (0) k  (2.47) Hệ (2.46) thỏa mãn tính chất (2.47) gọi hệ quan sát hệ (2.45) Nếu rankEc  nc hệ quan sát (2.46) gọi hệ quan sát suy biến Khơng tính tổng quát, ta giả thiết rankEc  nc Ec  I nc Khi hệ (2.46) gọi hệ quan sát chuẩn tắc (a normal observer) Đối với hệ (2.45), xét hệ động lực Exˆ (k  1)  Axˆ (k )  Bu (k )  G ( y (k )  Cxˆ (k )) (2.48) Trong hệ (2.48), hai thành phần đầu vế phải Axˆ(k )  Bu (k ) vế phải hệ (2.45), thành phần cuối G ( y (k )  Cxˆ (k )) sử dụng để hiệu chỉnh sai số q trình mơ hình hóa Nếu xˆ(0)  x(0) trạng thái hệ (2.48) hệ (2.45) đồng nhất, tức xˆ( k )  x( k ) với k  0,1,2, - 54 - Đặt e( k )  x( k )  xˆ ( k ) ước lượng sai số x( k ) xˆ( k ) Khi e( k ) thỏa mãn hệ động lực sau Ee(k  1)  ( A  GC )e(k ), e(0)  x(0)  xˆ (0) (2.49) Nếu (2.45) nhận biết ma trận G chọn cho ta có s ( E , A  GC )  U  Chứng tỏ hệ (2.49) ổn định, lim e(k )  0, e(0) k  hay lim x(k )  xˆ (k )  với x(0), xˆ (0) k  Điều có nghĩa trạng thái xˆ(k ) hệ trạng thái hệ cũ thỏa mãn tính chất tiệm cận 2.5.1 Định lý Nếu hệ (2.45) nhận biết được, tồn ma trận G   nr cho (2.48) hệ quan sát hệ (2.45) 2.5.2 Định lý Nếu hệ (2.45) có hệ quan sát rankE  n tồn ma trận G cho trạng thái hệ (2.45) khơi phục lại cách xác nhờ hệ quan sát (2.48) Định lý 2.5.2 nói rằng, khơng cần biết trạng thái ban đầu x(0) , trạng thái hệ (2.45) khơi phục lại nhờ hệ (2.48) 2.5.3 Thí dụ Xét hệ sau 1 0  1 0  0        0 0 1 0  1      x(k  1)    x(k )   u (k ); 0 0 0 0 0 0        0 0 0 0 1 2 y (k )  0 1 -1x(k ), k  0,1,2, - 55 - (2.50) ma trận C  1 0 -1 thỏa mãn zE  ( A  GC )   constant T Theo Định lý 2.5.2, bước k , hệ quan sát 1 0  1 0  0  1          0 0 1 0  1     x(k  1)    x(k )   u (k )  0  y (k )  0 0 0  0  0 0 0             0 0 0 0 1 2 1 xác định xác trạng thái hệ (2.48) Giả sử hệ (2.44) đưa dạng: x1 (k  1)  A1 x1 (k )  B1u (k ); y1 (k )  C1 x1 (k ); Nx2 (k  1)  x2 (k )  B2u (k ); (2.51a) y2 (k )  C2 x2 (k ); (2.51b) y (k )  y1 (k )  y2 (k ); k  0,1,2, , (2.51c) Ta thấy Định lý 2.5.2 với điều kiện hệ (2.51) R-quan sát được, rankE  n, C2  2.5.4 Định lý Giả sử hệ (2.45) nhận biết Y-quan sát được, có hệ quan sát trạng thái có bậc khơng lớn hạng E dạng xc (k  1)  Ac xc (k )  Bcu (k )  Gy (k ); w(k )  Fc xc (k )  Fy (k )  Hu (k ), xc (k )   d , d  rankE , w(k )   n , cho lim( w(k )  x(k ))  0, x(0), xc (0) k  Như phân tích 2.3, quan hệ nhân nói chung khơng tồn trạng thái đầu vào hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn Trạng thái x(k ) thời điểm k nói chung khơng xác định điều kiện ban đầu đầu vào u (0), u (1), , u ( k ) trường hợp phương trình sai phân thường Nhưng Định lý 2.5.4 tượng thú vị là, - 56 - vài điều kiện, trạng thái x(k ) thời điểm k hệ (2.45) đánh giá tiệm cận đầu y (0), y (1), , y (k ) với đầu vào u (0), u (1), , u ( k ) trước Hơn nữa, sai số nhỏ tùy ý số bước k đủ lớn Ta minh họa cách thiết kế hệ quan sát qua thí dụ sau 2.5.5 Thí dụ Hệ (2.49) có rankC  hai ma trận không suy biến 0 0    0 0   1 0  0     Q  , P   0 0 0 0      0 0 1 1 1 thỏa mãn 0 0  0     0 0    , QB  0 QEP  diag (0, I ); CP  1 0 0 ; QAP   1  0 1       2 1 1  x (k )  Đặt P1 x(k )   , x1 (k )  , x2 (k )   , hệ (2.49) đưa vầ dạng  x2 (k ) x1 (k )  y (k ); 1 0  0 0        x2 (k  1)  1  x2 (k )  1 u (k )  0  y (k );       0 1 2 1 y  0 1x2 (k )  1 1 Giả sử G2   ,1,  Khi G2 thỏa mãn 6 6 T 1 0  1/       2  0 1)   s ( A2  G2C )  s (1 0 0, ,           3    0 1 11/ 6 - 57 - (2.52) nằm hình trịn đơn vị mặt phẳng phức Do ta xây dựng hệ quan sát cho trạng thái x2 (k ) : 1 0  0 0       u ( k )  0  y ( k )  G y  ˆ xˆ2 (k  1)  (1 0 G 0 x ( k )         2           0 1 2 1 (2.53) cho lim ( x2 (k )  xˆ2 (k ))  0, x(0), xˆ2 (0) k  Kết hợp (2.51) với (2.52) ta nhận quan sát chuẩn hệ (2.49) có dạng   1 -  0 0         xc (k  1)  1 -1  xc (k )  1 u (k )  0  y (k );         2 1 0 -  6 1 0  0      0 0 0    w(k )    x (k )    y (k ), 0 1 c 0      0 1 1 (2.54) xc (k )  xˆ2 (k ) lim ( w(k )  x(k ))  0, x(0), xc (0) x  Như vậy, ta thiết kế hệ quan sát có bậc (giảm bậc), đầu vào u (k ) không tham gia công thức đầu w(k ) Hơn nữa, ta cịn chứng minh trạng thái thời điểm k khơi phục cách xác từ đầu y (0), y (1), , y ( k ) với đầu vào u (0), u (1), , u (k ) trước - 58 - CHƯƠNG III TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN Trong Chương ta nghiên cứu tính chất định tính hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính chứa u (k ) véc tơ điều khiển r chiều Các điều khiển u (k ) vectơ khơng gian  r Tuy nhiên, tốn thực tế thường địi hỏi điều khiển phải thỏa mãn số hạn chế đó, thí dụ, điều khiển phải có tọa độ dương chẳng hạn Chương trình bày số nghiên cứu tính điều khiển hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có hạn chế biến điều khiển theo [7] 3.1 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN THƯỜNG TUYẾN TÍNH DỪNG CĨ HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN Xét hệ phương trình sai phân thường tuyến tính dừng dạng x(k  1)  Ax(k )  Bu (k ), k  0,1, , (3.1) x(k )   n , u (k )    m , A ma trận hằng.Giả thiết    m tập lồi 0 Ta nói véc tơ x tựa  x, u  0, u   vectơ x gọi trực giao (vng góc) với  x, u  u  Tập tất vectơ vng góc với  gọi phần bù vng góc  ký hiệu   Với trạng thái ban đầu x0 điều khiển u (k ), k  0,1,2, nghiệm (3.1) cho công thức (xem k 1 Mệnh đề 1.4.1 Chương 1) x(k )  A x0   Ak i 1u (i ), k  0,1, k i 0 - 59 - 3.1.1 Định nghĩa Điểm x gọi 0-điều khiển (tương ứng, 0-đạt được) sau N bước tìm dãy điều khiển u (0), u (1), , u ( N  1) , u (i )   , i  0,1,2, , N  cho dãy nghiệm tương ứng (3.1) thỏa mãn điều kiện x(0)  x , x( N )  (tương ứng, x(0)  , x( N )  x ) Ký hiệu C N RN tập tất điểm 0-điều khiển (tương ứng, 0-đạt được) sau N bước Hệ (3.1) gọi 0-điều khiển địa phương (0-đạt địa phương) sau N bước C N (tương ứng, RN ) chứa lân cận mở gốc, tức  int CN (tương ứng,  int RN ) Nếu C N   n (tương ứng, RN   n ) ta nói hệ (3.1) 0-điều khiển toàn cục (tương ứng, 0-đạt toàn cục) sau N bước   N 1 N 1 Ký hiệu C   C N ,    RN Hệ (3.1) gọi 0-điều khiển địa phương (tương ứng, 0-đạt địa phương) C (tương ứng,  ) chứa lân cận mở gốc, tức  int C (tương ứng,  int  ) Ý nghĩa 0-điều khiển địa phương (0-đạt địa phương) ta từ điểm lân cận gốc tọa độ không gian  n gốc tọa độ sau thời gian hữu hạn (tương ứng, từ gốc tọa độ tới điểm lân cận gốc tọa độ không gian  n sau thời gian hữu hạn Tương tự, hệ (3.1) gọi 0-điều khiển toàn cục (tương ứng, 0-đạt   toàn cục ) C   C N   (tương ứng,    RN   n ) n N 1 N 1 Ta có tiêu chuẩn 0-điều khiển địa phương sau (xem [7], trang 51) - 60 - 3.1.2 Định lý Hệ (3.1) 0-điều khiển địa phương ma trận chuyển vị AT khơng có véc tơ riêng tựa  tương ứng với giá trị riêng dương vectơ riêng phức ứng với giá trị riêng phức khác vng góc với  3.2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH DỪNG CĨ HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN Xét hệ phương trình sai phân thường tuyến tính dừng dạng Ex(k  1)  Ax(k )  Bu (k ), k  0,1, , (3.2) x(k )   n , u (k )     m , E , A ma trận Hệ (3.2) mở rộng hệ (3.1) Nếu E , A  ma trận không suy biến hệ (3.2) đưa dạng (xem 2.3) x1 (k  1)  A1 x1 (k )  B1u (k ) ; (3.3a) Nx2 (k  1)  x2 (k )  B2u (k ) (3.3b) Các hệ phương trình sai phân (2.2a) (2.2b) có nghiệm dạng k 1 x1 (k )  A k x (0)   A k i1B u (i ), k  1,2, 1 i0 (3.4a) với u (i )   , i  0,1,2, , k  1; k  1,2, h1 x (k )    N i B u (k  i ), k  0,1,2, 2 i0 (3.4b) với u (k  i )   , i  0,1,2, , h  ; k  0,1,2, Các khái niệm điều khiển đạt phát biểu 3.1 cho hệ phương trình sai phân thường (3.1) áp dụng cho hệ phương trình sai phân ẩn (3.2) Ta có tiêu chuẩn đạt điều khiển cho hệ phương trình sai phân ẩn (xem [7], trang 83) - 61 - 3.2.1 Định nghĩa Ta nói  nón lồi thỏa mãn hai điều kiện: 1)  nón: x   x  với   2)  tập lồi: x, y    x  (1   ) y   với    3.2.2 Định nghĩa Giả sử M   r tập Ký hiệu M * nón cực (dương) M , tức   M * : x*   r : x* x  x  M 3.2.3 Định lý Giả sử  nón lồi Hệ (3.2) đạt toàn cục nếu: (i) rank  E  A, B   n với   ,  tập số phức (ii) Các ma trận chuyển vị A1T N T tương ứng khơng có vectơ riêng B1   B2  với giá trị riêng không âm * * Chứng minh Tương tự Chương 2, ta chứng minh (3.2) 0-điều khiển tồn cục hệ phương trình sai phân thường (3.3) điều khiển toàn cục; Hệ (3.2) 0-đạt toàn cục hệ (3.3a) hệ (3.3b’) 0-đạt toàn cục, (3.3b’) có dạng x2 (k  1)  Nx2 (k )  B2v(k ), k  0,1, (3.3b’) v(k )   Chú ý trạng thái x2 (k ) (3.3b’) cho công thức k 1 x2 (k )   N i B2v(k  i  1) i 0 Vì 0  N h  ( N ma trận lũy linh cấp h ) nên trạng thái x2 (k ) (3.3b’) có dạng - 62 - h x2 (k )   N i B2u (k  1) i 0 Đây nghiệm (3.3b) Như vậy, chứng minh Định lý 3.2.3 đưa việc áp dụng Định lý 3.1.2 3.2.4 Ví dụ Xét hệ (3.2), 1 0  1 0  0 1 0 0 0 0 1      , B    ,   ( 1 ,  ) : 1  0,    (3.4) E , A 0 0 1 0 0 1        0 0 0 0 1 0 2 Trạng thái hệ tiến hệ lùi xác định sau  1 0 x1 (k  1)   x1 (k )     1 1 0 0 1 x ( k  1)  x ( k )  1 0 0    1 u (k )  0  Tính tốn trực tiếp AiT có véc tơ riêng khác không với giá trị riêng   N T khơng có giá trị riêng ( B2)* Mặt khác ta có rank B1 , A1B   2, rank B2 , NB2   B1   ( 1,  ) : 1  0,   0 * Vì hệ (3.4) 0-đạt toàn cục Do A1 , A2 ánh xạ tràn, giá trị riêng   , nên hệ điều khiển toàn cục - 63 - KẾT LUẬN Luận văn trình bày cơng thức nghiệm phương trình sai phân ẩn tuyến tính nhằm làm sáng tỏ khác biệt phương trình sai phân thường phương trình sai phân ẩn Cơng thức nghiệm phương trình sai phân cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất định tính hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển Luận văn cố gắng trình bày số vấn đề lý thuyết định tính phương trình sai phân ẩn tuyến tính (tính đạt được, tính điều khiển được, tính quan sát được, ổn định ổn định hóa,…) dạng tổng quan tương đối đầy đủ thời vấn đề Nhiều vấn đề lý thuyết phương trình sai phân ẩn cịn chưa làm sáng tỏ Hy vọng quan tâm thời gian tới Do thời gian kiến thức hạn chế, nên luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đồng nghiệp - 64 - TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt Phạm Kỳ Anh: Lý thuyết số toán điều khiển tối ưu, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 Vi Diệu Minh, Trần Thiện Toản: Công thức nghiệm hệ động lực suy biến khơng dừng có điều khiển, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái Nguyên, No2 (46), Tập (2008), trang 105-109 Phạm Thị Bích Ngọc: Phương trình xác định tính điều khiển hệ phương trình sai phân tuyến tính (Luận văn Cao học), Đại học sư phạm Thái Nguyên, 2002 Vũ Ngọc Phát: Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học (trong Bộ sách Cao học, Viện Toán học), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 Tạ Duy Phượng: Điều khiển được, ổn định ổn định hóa (Giáo trình Cao học), 2008 I Tiếng Anh L Dai: Singular Control Systems (in Lecture Notes in Control and Information Sciences, Vol 118), Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1989 Vu Ngoc Phat: Constrained Control Problems of Discrete Processes, Nhà xuất Wolld Scientific, Singapor, 1996 II Tiếng Nga P Gabasov, Ph Kirrilova: Tối ưu hóa hệ tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Bielorus, Minsk, 1973 P Gabasov, Ph Kirrilova: Lý thuyết định tính q trình tối ưu, Nhà xuất Nauka, Moscow, 1971 10 Ph P Gantmacher: Lý thuyết ma trận, Nhà xuất sách Kỹ thuật-Lý thuyết, Moscow, 1954 - 65 - ... này, xét khái niệm ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính 2.4.1 Tính ổn định hệ phương trình sai phân tuyến tính Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn khơng có điều khỉển... NGHIỆM, TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 2.3.1 Cơng thức nghiệm hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn dừng Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính. .. biệt quan trọng phương trình sai phân thường phương trình sai phân ẩn - 19 - CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 2.1 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA CHUỖI THỜI