Dạy học một số tính chất định tính địa phương của phương trình vi phân phi tuyến autonomous

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC DẠY HỌC MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN AUTONOMOUS KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGHÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS Trịnh Viết Dược Sinh viên thực khóa luận: Nguyễn Thị Thùy Linh Hà Nội - 2018 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Trịnh Viết Dược người tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo trường Đại học Giáo Dục - Đại Học Quốc Gia Hà Nội thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội, thầy cô dạy bảo em tận tình suốt trình học tập Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thùy Linh Mục lục Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức sở 1.2 Các không gian bất biến Chương Một số tính chất định tính địa phương phương trình vi phân phi tuyến 11 2.1 Sự tồn tính nghiệm 11 2.2 Khoảng nghiệm cực đại dịng phương trình vi phân 16 2.2.1 Khoảng nghiệm cực đại 16 2.2.2 Khái niệm dòng phương trình vi phân 17 2.3 Định lý đa tạp ổn định 20 2.4 Định lý Hartman-Grobman 25 2.5 Khái niệm ổn định hàm Lyapunov 33 Chương Dạy học chuyên đề hàm Lyapunov 38 3.1 Tổng quan lý thuyết hướng dẫn tập 38 3.2 Ứng dụng phương pháp dạy học tích hợp Mơ hình thú - mồi Lotka - Volterra 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Ngày nay, khó tưởng tượng việc nghiên cứu sinh thái học, kinh tế học, hay xã hội học, mà lại dùng đến mơ hình tốn học Tốn học cơng cụ để mô tả thay đổi xã hội, kinh tế, môi trường, hệ động lực, qua đặc tính chúng ví dụ tuần hồn, ổn định, hỗn loạn, phát triển, Việc nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến autonomous phổ biến rộng rãi sử dụng nhiều lĩnh vực khác như: vật lý, hóa học, sinh học, Do đó, số trường đào tạo đại học, phương trình vi phân phi tuyến autonomous đưa vào giảng dạy Khóa luận xoay quanh việc tìm hiểu hai vấn đề là: số tính chất định tính địa phương phương trình vi phân phi tuyến autonomous, vấn đề thứ hai liên quan đến dạy học chuyên đề hàm Lyapunov (một ba tính chất định tính địa phương quan trọng phương trình vi phân phi tuyến autonomus), chương tóm tắt lại kiến thức quan trọng dành cho việc giảng dạy hàm Lyapunov số tập củng cố hướng dẫn Đặc biệt phương pháp dạy học tích hợp ứng dụng nhờ mơ hình thú - mồi Lotka Volterra (bài tốn quần thể sinh vật) người dạy đưa mơ hình người học tìm hiểu phát triển mơ hình, nhờ người học hiểu biết rõ ứng dụng thiết thực toán đời sống thực tế có động lực để tìm hiểu, nghiên cứu chuyên sâu Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương với nội dung sau: Chương I Chương bao gồm số kiến thức chuẩn bị định nghĩa, bổ đề, khái niệm có liên quan đến chương II như: Khơng gian metric, dãy Cauchy, điểm bất động, không gian định chuẩn, không gian bất biến, Chương II Chương tìm hiểu phương trình vi phân phi tuyến autonomous x˙ = f ( x ) với năm tính chất là: tồn tính nghiệm, khoảng nghiệm cực đại dòng phương trình vi phân, định lý đa tạp ổn định, định lý Hartman-Grobman, khái niệm ổn định hàm Lyapunov Nhưng tổng kết lại, chương tập chung vào ba định lý định lý đa tạp ổn định, định lý HartmanGrobman, cuối định lý ổn định, không ổn định, ổn định tiệm cận điểm cân việc xét hàm Lyapunov Chương III Chương phần nhỏ thực nghiệm giảng dạy mục 2.5 Khái niệm ổn định hàm Lyapunov Chương tóm tắt lại số lý thuyết đưa số dạng tập chuyên đề dành cho việc ôn tập Kết hợp với phương pháp dạy học tích hợp đưa tốn quần thể sinh vật vào tìm hiểu giúp người học hiểu ứng dụng thiết thực toán thực tế Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thùy Linh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức sở Định nghĩa 1.1.1 Một cặp ( X, d) gồm tập X = ∅ ánh xạ d : X × X → [0, +∞) thỏa mãn điều kiện sau: i d( x, y) ≥ với x, y ∈ X; d( x, y) = x = y; ii d( x, y) = d(y, x ) với x, y ∈ X; iii d( x, z) ≤ d( x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X; gọi không gian metric Ánh xạ d thỏa mãn ba điều kiện metric (khoảng cách) X Dưới số ví dụ không gian metric (Rn , d2 ) với d2 ( x, y) := n ∑ ( xk − yk ) , x = ( x1 , , xn ), y = k =1 (y1 , , yn ) (C ([ a, b], Rn ), d∞ ) với d∞ ( f , g) := sup d2 ( f (t), g(t)) t∈[ a,b] Tiếp theo khái niệm hội tụ, dãy Cauchy không gian metric nguyên lý ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric ( X, d), dãy {uk } ⊂ X gọi hội tụ đến x ∈ X lim d(uk , x ) = Ký hiệu, uk → x lim uk = x k→∞ Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric ( X, d), dãy {uk } ⊂ X gọi dãy Cauchy với ε > tồn số n0 = n0 (ε) ∈ N cho d(uk , un ) < ε k, n > n0 với Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric ( X, d) gọi đủ dãy Cauchy có giới hạn X Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric ( X, d) ánh xạ f : X → X Điểm x0 ∈ X gọi điểm bất động ánh xạ f f ( x0 ) = x0 Định nghĩa 1.1.6 Cho ( X, d) không gian metric Ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co tồn q ∈ [0, 1) cho d( f ( x ), f (y)) ≤ q d( x, y), ∀ x, y ∈ X Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho ( X, d) không gian mêtric đủ f : X → X ánh xạ co Khi đó, f có điểm bất động x0 ∈ X lim f n ( x ) = x0 , n→∞ ∀ x ∈ X, f ( x ) = x, f n ( x ) = f ( f n−1 ( x )) Ở nhắc lại khái niệm không gian định chuẩn, lớp không gian hẹp khơng gian metric có cấu trúc tốt Định nghĩa 1.1.7 Cho X không gian vectơ trường thực X gọi không gian định chuẩn với x ∈ X xác định số x (gọi chuẩn x) thỏa mãn ba tiên đề sau a) Xác định dương: x ≥ với x ∈ X, x = x = b) Thuần dương: λx = |λ| x với x ∈ X, λ ∈ R c) Bất đẳng thức tam giác: x + y ≤ x + y với x, y ∈ X Chú ý 1.1.1 Một không định chuẩn không gian metric, với metric d( x, y) = x−y Tiếp theo, nhắc lại số khái niệm liên quan đến phép tốn vi phân khơng gian định chuẩn Rn , với chuẩn mặc định chuẩn Euclid Định nghĩa 1.1.8 Cho E ⊂ Rn tập mở x0 ∈ E Ánh xạ f : E → Rm gọi khả vi x0 tồn ánh xạ tuyến tính A ∈ L(Rn , Rm ) cho | f ( x0 + h) − f ( x0 ) − Ah| = |h| |h|→0 lim Ánh xạ tuyến tính A gọi đạo hàm (đạo ánh) f x0 , ký hiệu D f ( x0 ) Chú ý 1.1.2 i/ Nếu f khả vi x0 f liên tục x0 ii/ Ánh xạ tuyến tính A định nghĩa tồn iii/ Cho ánh xạ f : E → Rm khả vi E, f ∈ C1 ( E) đạo hàm D f : E → L(Rn , Rm ) liên tục E iv/ Khi m = f ∈ C1 ( E), ∇ f = ∂f ∂f ∂f ∂x1 , ∂x2 , , ∂xn T gọi gradient hàm số nhiều biến f Định nghĩa 1.1.9 Cho E tập mở Rn , ánh xạ f : E → Rm gọi Lipschitz địa phương E với x0 ∈ E tồn δ = δ( x0 ) > K = K ( x0 ) > cho | f ( x ) − f (y)| ≤ K | x − y | với x, y ∈ E ∩ B( x0 , δ), B( x0 , δ) = { x ∈ Rn : | x − x0 | < δ} Bổ đề sau đưa điều kiện đủ để ánh xạ Lipschitz địa phương tập cho trước Bổ đề 1.1.1 Cho E tập mở Rn ánh xạ f : E → Rm khả vi liên tục E (tức f ∈ C1 ( E)) Khi đó, f Lipschitz địa phương E Chứng minh Lấy x0 ∈ E, E tập mở Rn nên tồn δ > cho B( x0 , δ) ⊂ B[ x0 , δ] ⊂ E Do f ∈ C1 ( E) hình cầu đóng B[ x0 , δ] tập compact nên K = max x ∈ B[ x0 ,δ] D f ( x ) < ∞ Với x, y ∈ B( x0 , δ) x + s(y − x ) ∈ B( x0 , δ) với s ∈ [0, 1] Định nghĩa hàm F : [0, 1] → Rm xác định sau: F (s) = f ( x + s(y − x )) Khi đó, F khả vi liên tục [0, 1] F (s) = D f ( x + s(y − x ))(y − x ) Ta có, f ( y ) − f ( x ) = F (1) − F (0) = D f ( x + s(y − x ))(y − x ) ds F (s)ds = 0 Do đó, | f (y) − f ( x )| ≤ | D f ( x + s(y − x ))(y − x )| ds ≤ D f ( x + s(y − x )) |y − x | ds ≤ K |y − x | Vì x0 ∈ E nên f Lipschitz địa phương E 1.2 Các không gian bất biến Cho A ma trận vuông cấp n trường thực, gọi σ( A) tập giá trị riêng trường phức ma trận A Ký hiệu, Es = Span {u : u vectơ riêng suy rộng ứng với λ ∈ σ( A) Reλ < 0}, Ec = Span {u : u vectơ riêng suy rộng ứng với λ ∈ σ( A) Reλ = 0}, Eu = Span {u : u vectơ riêng suy rộng ứng với λ ∈ σ( A) Reλ > 0} Định nghĩa 1.2.1 Các không gian Es , Ec , Eu gọi đa tạp ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định phương trình vi phân tuyến tính x˙ = A x dịng (2.5.1), với δ > x0 ∈ Nδ (0)\{0} ta có: V (φt ( x0 )) > V ( x0 ) > 0, với t > Và từ V˙ ( x ) hàm xác định dương suy ra: inf V˙ (φt ( x0 )) = m > Do đó, với t ≥ ta có: V (φt ( x0 )) > mt > M Với t đủ lớn, φt ( x0 ) nằm ngồi tập đóng Nε¯(0) Vì điểm cân khơng ổn định Ví dụ 2.13 Xét tính ổn định nghiệm tầm thường hệ sau:   dx = −( x − 2y)(1 − x2 − 3y2 ) dt  dy = −( x + y)(1 − x2 − 3y2 ) dt Ta chọn hàm V ( x, y) = x2 + 2y2 , ta thấy hàm xác định dương Cần tính: dV = −2(1 − x2 − 3y2 )( x2 + 2y2 ) ≤ 0, dt với x, y đủ bé Vậy nghiệm tầm thường ( x, y) = (0, 0) hệ cho ổn định Ví dụ 2.14 Xét tính ổn định nghiệm tầm thường hệ sau:   dx = (1 − x )y + x2 sin( x ) dt dy  = −(1 − x ) x + y2 sin(y) dt Ta chọn hàm V ( x, y) = 12 x2 + 12 y2 , ta thấy hàm xác định dương Cần tính: V˙ ( x, y) = x (1 − x )y + x2 sin ( x ) + y −(1 − x ) x + y2 sin(y) V˙ ( x, y) = x3 sin( x ) + y3 sin(y) Với miền: Ω = ( x, y) ∈ R2 | − π < x < π , −π < y < π , ta thấy rằng: V˙ ( x, y) > miền Ω Vậy nghiệm tầm thường ( x, y) = (0, 0) hệ cho không ổn định 37 Chương Dạy học chuyên đề hàm Lyapunov Chương bao gồm nội dung là: Tóm tắt số lý thuyết trọng tâm hàm Lyapunov, số ví dụ hướng dẫn, ứng dụng phương pháp dạy học tích hợp để nghiên cứu mơ hình thú - mồi Lotka - Volterra Mục (3.1) người dạy hướng dẫn người học hình thức khác như: thuyết trình, vấn đáp, đặt câu hỏi, Mục (3.2) người dạy đưa phương pháp dạy học tích hợp, lồng ghép kiến thức tốn (hàm Lyapunov) kiến thức sinh học (bài toán quần thể) để giúp người học nhận biết ứng dụng thiết thực mơ hình tốn học nhờ người học có hiểu biết tự định hướng việc học nghiên cứu mơ hình phát triển cho toán khác 3.1 Tổng quan lý thuyết hướng dẫn tập Hàm Lyapunov hàm vô hướng định nghĩa không gian pha, sử dụng việc chứng minh tính ổn định điểm cân Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov đưa vào nghiên cứu tính ổn định 38 nhiều loại phương trình vi phân Phần trình bày hạn chế hệ autonomous X = f ( x ), dxi = f i ( x1 , x2 , , xn ), i = 1, 2, , n, dt với điểm cân x = Ta lấy vi phân hàm liên tục: V ( x ) = V ( x1 , x2 , , xn ), lân cận U gốc Đặt V ( x ) > với X ∈ U \{0} V ( x ) = gốc Các định lý áp dụng: Định lý ổn đinh tiệm cận Lyapunov: Nếu U lân cận nghiệm tầm thường X = hệ autonomous có hàm Lyapunov V ( X ) với đạo hàm dV dt xác định âm < 0, ∀ X ∈ U \{0} Khi đó, nghiệm tầm thường X = hệ ổn định tiệm cận Định lý ổn định Lyapunov: Nếu U lân cận nghiệm tầm thường X = hệ autonomous có hàm Lyapunov V ( X ) với đạo hàm xác định dV dt ≤ 0, ∀ X ∈ U \{0} Khi nghiệm tầm thường X = hệ ổn định Định lý không ổn định Lyapunov: Nếu U lân cận nghiệm tầm thường X = hệ autonomous có hàm Lyapunov V ( X ) với đạo hàm xác định dV dt > X (0) = ∀ X ∈ U \{0} Khi nghiệm tầm thường X = hệ khơng ổn định Kiểm tra tính ổn định nghiệm tầm thường hệ sau:    dx dt = −2x   dy dt 39 = x−y Hướng dẫn: Hệ cho hệ tuyến tính Lấy hàm Lyapunov dạng tồn phương: V ( x, y) = a x2 + by2 , a, b đủ bé, a, b > Ta thấy, hàm V ( x, y) > ngoại trừ điểm gốc Ta tính: dV dt = ∂V dx ∂x dt dy + ∂V ∂y dt = 2a x (−2x ) + 2by( x − y) = −4ax2 + 2bxy − 2by2 = −2b 2a b x − xy + y2 Biểu thức dấu ngoặc chuyển đẳng thức nếu: 2a = → 8a = b, b chọn a = 1, b = suy ra: dV = −16 dt x2 − xy + y2 = −16 x −y 2 ∀ ( x, y) = Ta tính: V˙ ( x, y) = (4x3 + 2x )(y − x3 ) + 2y(− x − 2y + 2x3 ) V˙ ( x, y) = −4( x3 − y2 ) − 2x4 Ta thấy V˙ ( x, y) ≤ 0, bên cạnh V˙ ( x, y) = x4 = y = x3 x = y = Do đó, bỏ điểm gốc, V˙ ( x, y) < Vậy nghiệm tầm thường ( x, y) = (0, 0) hệ cho ổn định tiệm cận Xét tính ổn định nghiệm tầm thường hệ sau:  x cos( x )  x˙ = x2 − k 1+sin( x)  x˙ = − x − x [k + sin(t)], k > 2 0 Hướng dẫn: Ta chọn hàm: 1 V ( x1 , x2 ) = a(t) x12 + b(t) x22 , 2 < a(t) < a1 ∀ t < b(t) < b1 ∀ t (a, b dương) Khi V ( x1 , x2 ) xác định dương Cần tính: V˙ ( x1 , x2 ) = a˙ 21 x12 + a x1 x˙ + b˙ 12 x22 + bx2 x˙ V˙ ( x1 , x2 ) = a˙ 12 x12 + b˙ 21 x22 + a x1 x2 − x1 cost k0 +sin t V˙ ( x1 , x2 ) = a˙ 21 x12 + b˙ 21 x22 + a x1 x2 − a x12 k V˙ ( x1 , x2 ) = − a k cost +sin t + bx2 [− x2 − x1 (k0 + sin t)] cost +sin t − bx22 − x1 x2 b(k0 + sin t) − a˙ 12 x12 − b − b˙ 12 x22 + [ a − b(k0 + sin t)] x1 x2 Chọn b = sint + k0 > a = (sint + k0 )2 > 0, đó: a˙ = cos t (sin t + k0 ) b˙ = cost, ta có: cost V˙ ( x1 , x2 ) ≤ − sin t + k0 − 41 x22 ≤ 0, √ cho k0 > ≈ 1.1 Khi V ( x1 , x2 ) xác định âm Vậy nghiệm tầm thường ( x, y) = (0, 0) hệ cho ổn định Sử dụng hàm Lyapunov V ( x ) = x12 + x22 + x32 để chứng minh nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận cho hệ:   − x2 − x1 x22 + x32 − x13     3 x˙ =   x1 + x3 − x2   − x1 x3 − x3 x1 − x2 x3 − x3 Hướng dẫn: Hàm Lyapunov có dạng: V ( x ) = x12 + x22 + x32 , ta thấy V ( x ) xác định dương, V (0, 0, 0) = V ( x1 , x2 , x3 ) > 0, ∀( x, y) = Ta tính: V˙ ( x ) = 2x1 (− x2 − x1 x22 + x32 − x13 ) + 2x2 ( x1 + x33 − x23 ) +2x3 (− x1 x3 − x3 x12 − x2 x32 − x35 ) V˙ ( x ) = −2x12 x22 − 2x14 − 2x24 − 2x32 x12 − 2x36 Ta thấy V˙ ( x1 , x2 , x3 ) ≤ 0, bên cạnh V˙ ( x1 , x2 , x3 ) = x1 = x2 = x3 Do đó, bỏ điểm gốc V˙ ( x1 , x2 , x3 ) < Vậy nghiệm tầm thường hệ cho ổn định tiệm cận Xét tính ổn định nghiệm tầm thng phng trỡnh vi phõn sau: yă + y − ε y˙ − y˙ =0 Nghiệm tầm thng: yă = y = tin cho vic xét hàm Lyapunov ta đặt:   x =y  x = y˙ → x2 = − x1 + ε 42 x2 3 − x2 Ta chọn hàm: V = ( x1 + x2 ), Cần tính: V˙ ( x1 , x2 ) = x1 x˙ + x2 x˙ = x1 x2 − x1 x2 + ε x32 − εx2 V˙ ( x1 , x2 ) = ε x32 − εx2 , ta thấy V˙ ( x1 , x2 ) không phụ thuộc vào x1 , ta chọn x2 < 3, với tham số ε dương ta có V˙ ( x1 , x2 ) ≤ Vậy nghiệm tầm thường ( x, y) = (0, 0) hệ cho ổn định Xét tính ổn định nghiệm tầm thường phng trỡnh vi phõn cp hai sau: xă + q( x ) = 0, q( x ) liên tục, đảm bảo xq( x ) > với x = Hướng dẫn: Phương trình vi phân viết lại thành hệ: x˙ = x2 x˙ = −q( x1 ), x1 = x Chọn hàm Lyapunov: x2 V (x) = + x1 q(s)ds, đó: V˙ ( x ) = q( x1 ) x2 + x2 [ − q( x1 )] = Suy V ( x ) = c số Vậy khơng đổi đường cong hay quỹ đạo hệ Vì nghiệm tầm thường ổn định 43 3.2 Ứng dụng phương pháp dạy học tích hợp Mơ hình thú - mồi Lotka - Volterra Năm 1926 Volterra nghiên cứu mơ hình thú - mồi hệ động lực:   dN = N ( a − bP), dt  dP = P(cN − d) dt Với Nt mật độ loài mồi thời điểm t, P(t) mật độ loài thú thời điểm t a, b, c, d số dương với: • a tốc độ tăng trưởng thực quần thể mồi khơng có mặt lồi thú • b tỷ lệ cơng lồi thú (số lượng mồi mà thú bắt đơn vị thời gian) • c tốc độ diệt vong mồi thú xuất • d tỷ lệ chết thực quần thể loài thú khơng có mặt mồi Ta dùng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ cho mơ hình thú - mồi Lotka - Volterra:  dN dt = ↔ N ( a − bP) = ↔   dP dt = ↔ P(cN − d) = ↔  Có hai trạng thái cân cho mơ hình:  ( N1 , P1 ) = (0, 0)  ( N2 , P2 ) = dc , ba 44 N=0 P= a b P=0 N= d c Trường hợp 1: Xét tính ổn định điểm: ( N2 , P2 ) = d a , c b Đặt: x = N − dc , y = P − ba Khi ta có hệ phương trình sau:   dx = − bd y − bxy, c dt dy  = ac x + cxy dt b Xét hàm Lyapunov: V ( x, y) = cx + by − d ln(d + cx ) − a ln( a + by) + d ln d + a ln a, ta cần hàm V ( x, y) liên tục, xác định dương Thật vậy:   ∂V = c − d ∂x d+cx  Giải hệ: ∂V ∂y = b 1−    ∂V ∂x ∂V ∂y a a+by =0 =0 ta tìm dược điểm cân V ( x, y) là: ( x, y) = (0, 0) Mặt khác điểm cân ( x, y) = (0, 0) ta có: A= ∂2 V c2 ∂2 V ∂V b2 ( 0, ) = , B = ( 0, ) = 0, C = ( 0, ) = d ∂x∂y a ∂x2 ∂y2 Do: A > 0, AC − B2 > nên V ( x, y) đạt giá trị nhỏ điểm cân ( x, y) = (0, 0) Do đó, hàm V ( x, y) xác định dương V˙ ( x, y) = ∂V dx ∂x dt dy + ∂V ∂y dt V˙ ( x, y) = c − d d+cx − bd c y − bcy + b − a a+by ac bx + cxy = THeo định lý Lyapunov ổn định hệ phương trình vi phân điểm cân ( x, y) = (0, 0) ổn định, suy ( N2 , P2 ) = u(τ ) = cN (t) , d v(τ ) = bP(t) , a 45 τ = at, d a c, b ổn định Đặt: d α= a Khi đó: du dτ dv dτ = u (1 − v ), = αv(u − 1) (3.2.1) Trong mặt phẳng (u, v) ta có: v ( u − 1) dv =α du u (1 − v ) Hệ có nghiệm kì dị: u = v = u = v = Phương trình (3.2.1) tương đương với: (u − 1)du (1 − v)dv = , v u lấy tích phân hai vế ta có: αu + v − ln uα v = H, (3.2.2) Hình 3.1: Mặt phẳng pha u v cho (3.2.2) Quỹ đạo mơ hình mơ tả chung cho mặt phẳng pha theo cơng thức (3.2.2) hình (3.1): Với việc u tăng từ 0.0 đến 4.5 trục hoành v tăng từ 0.0 đến 4.5 trục tung (hình 3.1) Một quy luật thú vị mơ hình Lotka-Volterra là: Số lượng lồi săn mồi loài bị săn biến đổi cách tuần hoàn theo chu kỳ Một quy luật thú vị khác dân số loài bị săn tăng lên có giai đoạn tăng nhanh (hình 3.2) 46 Hình 3.2: Tính tuần hồn u v (3.2.2) Tính tuần hồn hệ hệ trực tiếp tồn hàm bất biến: Dựa vào việc xét tính tuần hồn mơ hình người dạy đặt số u cầu cho người học: • Từ hình 3.2, rút nhận xét tăng (giảm) quần thể hai lồi thú (mồi) • Tiếp tục thực tốn việc xét tính ổn định thởi điểm điểm cân (điểm dừng) (u, v) = (0, 0) tốn (3.2.1) Ý nghĩa mơ hình: Mơ hình cơng cụ để giải thích nguồn gốc cân sinh thái Trong hệ sinh thái, vật chất luân chuyển từ thành phần sang thành phần khác Đây chu trình tương đối khép kín Trong điều kiện bình thường, tương quan thành phần hệ sinh thái tự nhiên cân Cân sinh thái trạng thái tĩnh hệ Khi có tác nhân mơi trường bên ngồi, tác động tới thành phần hệ, biến đổi Sự biến đổi thành phần hệ kéo theo biến đổi thành phần kế tiếp, dẫn đến biến đổi hệ Sau thời gian, hệ thiết lập cân mới, khác với tình trạng cân trước bị tác động Bằng cách hệ biến đổi mà cân Nhờ mà người nắm chất 47 mô hình, người tác động vào hệ sinh thái để đạt mục đích 48 Kết luận Khóa luận trình bày số tính chất định tính địa phương quan trọng phương trình vi phân phi tuyến autonomous Ba định lý bản: Định lý đa tạp ổn định, định lý Hartman-Grobman cuối định lý ổn định, không ổn định, ổn định tiệm cận điểm cân việc xét hàm Lyapunov Ngồi ra, khóa luận tóm tắt lại kiến thức quan trọng dành cho việc giảng dạy hàm Lyapunov số tập hướng dẫn cho người dạy để giúp cho người học có mạch kiến thức hệ thống hơn, khơng q nhiều có phương pháp học phù hợp Đặc biệt phương pháp dạy học tích hợp ứng dụng nhờ mơ hình thú - mồi Lotka - Volterra (bài toán quần thể sinh vật) người dạy đưa mơ hình người học tìm hiểu phát triển mơ hình, nhờ người học hiểu biết rõ ứng dụng thiết thực tốn đời sống thực tế có động lực để tìm hiểu, nghiên cứu chuyên sâu Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long, 2001, Giáo trình hàm thực giải tích hàm, nhà xuất ĐHQGHN [2] Lưu Thị Thu Huyền, 2014, Phương pháp phiến hàm Lyapunov ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân có chậm, luận văn thạc sĩ, Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐH Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Minh, 2002, Phương trình vi phân thường, Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] C Henry Edwards and David E Penney, Elementary Differential Equations, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 [5] Julien Arino, 2006, Fundamental Theory of Ordinary Differential Equations, Department of Mathematics University of Manitoba [6] Lawrence Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Texts Applied Mathematics 7, Springer [7] https://vaughnclimenhaga.wordpress.com/2012/11/05/the-stablemanifold-theorem/ [8] https://math.stackexchange.com/questions/1297904/finding-alyapunov-function-for-a-given-system?rq=1 50 [9] https://math.stackexchange.com/questions/2115935/hartmangrobman-theorem-problem?rq=1 51 ... tạo đại học, phương trình vi phân phi tuyến autonomous đưa vào giảng dạy Khóa luận xoay quanh vi? ??c tìm hiểu hai vấn đề là: số tính chất định tính địa phương phương trình vi phân phi tuyến autonomous, ... trình vi phân tuyến tính x˙ = A x khơng gian Rn có phân rã sau: Rn = E s ⊕ E c ⊕ E u 10 Chương Một số tính chất định tính địa phương phương trình vi phân phi tuyến 2.1 Sự tồn tính nghiệm Cho phương. .. đến dạy học chuyên đề hàm Lyapunov (một ba tính chất định tính địa phương quan trọng phương trình vi phân phi tuyến autonomus), chương tóm tắt lại kiến thức quan trọng dành cho vi? ??c giảng dạy