Một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN BẰNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN BẰNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã ngành: 62460103 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH NGUYỄN THIỆU HUY Hà Nội - 2016 MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 13 Nửa nhóm liên tục mạnh tính chất 13 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 13 1.1.2 Ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm 15 1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận nửa đường thẳng 18 1.3 Không gian hàm Banach chấp nhận đường thẳng 20 1.4 Nhị phân mũ họ tiến hoá 23 1.5 Phương trình vi phân nửa tuyến tính đa tạp ổn định 26 Chương NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHĨM NGHIỆM PHƯƠNG 29 TRÌNH TRUNG TÍNH 2.1 Phương trình trung tính tuyến tính 29 2.2 Nửa nhóm trung tính 30 2.3 Nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính 34 Chương NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHĨM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI Q KHỨ KHƠNG ƠTƠNƠM 43 3.1 Phương trình trung tính với q khứ khơng ơtơnơm 43 3.2 Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai phân toán tử trễ 45 3.3 Phổ tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm 50 i 3.4 Tính dương nửa nhóm nghiệm 59 Chương ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 64 TRUNG TÍNH 4.1 Đa tạp ổn định bất biến phương trình vi phân trung tính khơng gian chấp nhận nửa đường thẳng 64 4.2 Tam phân mũ đa tạp tâm ổn định phương trình trung tính 77 4.3 Đa tạp không ổn định phương trình trung tính 86 KẾT LUẬN 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO 112 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 118 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hướng dẫn thầy PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Tất kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình Người hướng dẫn khoa học Tác giả PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Phạm Văn Bằng LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy, người thầy vô mẫu mực tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Thầy bảo tơi suốt q trình nghiên cứu, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực tốn học đầy thú vị, tạo thử thách giúp tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo, tơi may mắn tiếp nhận từ người thầy đáng kính Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Nhân dịp này, bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường tốn học chọn Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm Lp (R) := u:R→R: u p |u(x)|p dx)1/p < +∞ , ≤ p < ∞ =( R L∞ (R) := {u : R → R : u ∞ = ess sup |u(x)| < +∞} x∈R L1,loc (R) := {u : R → R|u ∈ L1 (ω) với tập đo ω ⊂⊂ R} ω ⊂⊂ R nghĩa bao đóng ω tập compact R t+1 M(R+ ) := f ∈ L1, loc (R+ ) : sup t≥0 |f (τ )|dτ < ∞ , t t+1 với chuẩn f M |f (τ )|dτ := sup t≥0 t E : không gian hàm Banach chấp nhận R+ ER : không gian hàm Banach chấp nhận R X : không gian Banach C := C([−r, 0], X) không gian hàm liên tục [−r, 0], r > 0, nhận giá trị X với chuẩn u C = sup u(t) t∈[−r,0] C0 (R− , X) := {f : R− → X : f liên tục lim f (t) = 0} không gian hàm t→−∞ với chuẩn sup Cb (R+ , X) : không gian hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX, xác định R+ với chuẩn u ∞ = sup u(t) t∈R+ MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Vào đầu kỉ 20 phương trình trung tính coi trường hợp đặc biệt phương trình sai - vi phân Ví dụ : u (t) − u (t − 1) + u(t) = 0, √ u (t) − u(t − 1) − u(t − 2) = 0, u (t) − 2u(t) + u (t − 1) − 2u(t − 1) = 0, mơ tả dạng tổng qt phương trình vi phân cấp n sai phân cấp m : F t, u(t), u(t − r1 ), , u(t − rm ), u (t), u (t − r1 ), , u (t − rm ), , u(n) (t), u(n) (t − r1 ), , u(n) (t − rm ) = với F hàm (m + 1)(n + 1) biến Để hiểu nguồn gốc thuật ngữ "trễ", "trung tính" ta xét phương trình sai - vi phân cấp a0 u (t) + a1 u (t − ω) + b0 u(t) + b1 u(t − ω) = f (t) với ω > cố định Nếu a0 = a1 = phương trình gọi phương trình sai phân Nó khơng chứa vi phân Nếu a0 = 0, a1 = phương trình gọi phương trình sai - vi phân "có chậm" hay đơn giản phương trình vi phân có trễ Vì mơ tả phụ thuộc vào hệ trạng thái khứ Nếu a0 = 0, a1 = phương trình gọi phương trình sai - vi phân "có sớm" Vì mơ tả phụ thuộc vào hệ trạng thái tương lai Cuối a0 = 0, a1 = loại phương trình sai -vi phân này, vừa "có chậm" vừa "có sớm" Vì trường hợp phương trình gọi phương trình vi phân trung tính Năm 1996 J Wu and H Xia [24] xét mạng lưới đường dây truyền tải mơ hình tương ứng với phương trình sau: ∂2 ∂ F ut = a F ut + Φut ∂t ∂x Phương trình có dạng phương trình đạo hàm riêng trung tính hay phương trình trung tính Trong hàm u thuộc C([−r, 0], X) với r ≥ khơng gian Banach X hàm đường trịn đơn vị D, tức X = H (D) X = C(D), hàm lịch sử ut xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] t ≥ Các toán tử tuyến tính F Φ bị chặn từ C([−r, 0], X) → X gọi toán tử sai phân toán tử trễ Hale [20, 21] đưa phương pháp để giải tốn trên, ơng tồn tính chất tốn tử nghiệm Tuy nhiên phương trình vi phân trung tính phát sinh từ hệ thống tự nhiên, kỹ thuật, hệ khuyếch tán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quần thể, Khi việc nghiên cứu tồn ổn định nghiệm trở nên phức tạp, phương pháp cũ không cịn phù hợp Bằng cách chọn khơng gian tốn tử thích hợp, phương trình viết dạng phương trình vi phân trừu tượng khơng gian Banach thường gọi phương trình tiến hóa Do đó, luận án chúng tơi xét phương trình trung tính   ∂ F ut = BF ut + Φut với t ≥ 0, ∂t u (t) = ϕ(t) với t ∈ [−r, 0], (1) phương trình dạng nửa tuyến tính ∂ F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ), ∂t t ∈ I, (2) I = R+ I = R, B(t) tốn tử tuyến tính (có thể khơng bị chặn) không gian Banach X với t ≥ cố định Với C := C([−r, 0], X); toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X toán tử sai phân, Φ : C → X tốn tử tuyến tính (hoặc Φ : R+ × C → X phi tuyến liên tục) toán tử trễ, ut hàm lịch sử xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] Việc xét phương trình dạng trừu tượng không gian hàm tổng quát, cho phép sử dụng phương pháp dựa bước phát triển gần Tốn học để tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm phương trình Sử dụng phương pháp tốn học đại lý thuyết phổ toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đa tạp bất biến, Chúng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm (ổn định, không ổn định, nhị phân, ) phương trình (1) (2) Với phương trình trung tính tuyến tính (1) số kết móng ban đầu tồn tại, ổn định mũ nghiệm, đạt N.T Huy số tác giả khác (xem [34, 45, 52]) Trong luận án này, phát triển kết tính nhị phân, khơng ổn định, ổn định tuyến tính hóa phương trình để nhận kết tổng quát Với phương trình trung tính nửa tuyến tính (2) nghiên cứu tồn đa tạp tích phân nghiệm phương trình Trong trường hợp phương trình vi phân hàm có trễ (tức trường hợp đặc biệt phương trình F ut = u(t)) có nhiều cơng trình liên quan đến tồn đa tạp bất biến nghiệm phương trình có trễ (xem [3, 25, 41, 47] ) với điều kiện họ (B(t))t≥0 sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ tam phân mũ, toán tử trễ phi tuyến liên tục Lipschitz Trường hợp phương trình vi phân hàm trung tính trở nên phức tạp ta lấy vi phân hàm F ut thay u(t), cơng thức biến thiên số áp dụng cho F ut Do đó, ta cần đến số điều kiện F để thu u từ F ut Một số kết tồn đa tạp bất biến trường hợp ôtônôm (tức B(t) = B Φ(t, φ) = Φ(φ) không phụ thuộc vào t) H Petzeltová O.J Staffans ... vi? ??c nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Vi? ??c nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình trung tính. .. tạp không ổn định nghiệm phương trình trung tính nửa tuyến tính • Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính Tính chất nghiệm phương trình nói thời gian. .. ——————————- PHẠM VĂN BẰNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã ngành: 62460103 NGƯỜI