Một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN BẰNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN BẰNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã ngành: 62460103 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH NGUYỄN THIỆU HUY Hà Nội - 2016 MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 13 Nửa nhóm liên tục mạnh tính chất 13 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 13 1.1.2 Ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm 15 1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận nửa đường thẳng 18 1.3 Không gian hàm Banach chấp nhận đường thẳng 20 1.4 Nhị phân mũ họ tiến hoá 23 1.5 Phương trình vi phân nửa tuyến tính đa tạp ổn định 26 Chương NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHĨM NGHIỆM PHƯƠNG 29 TRÌNH TRUNG TÍNH 2.1 Phương trình trung tính tuyến tính 29 2.2 Nửa nhóm trung tính 30 2.3 Nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính 34 Chương NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHĨM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI Q KHỨ KHƠNG ƠTƠNƠM 43 3.1 Phương trình trung tính với khứ không ôtônôm 43 3.2 Các nửa nhóm tiến hóa với tốn tử sai phân toán tử trễ 45 3.3 Phổ tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm 50 i 3.4 Tính dương nửa nhóm nghiệm 59 Chương ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 64 TRUNG TÍNH 4.1 Đa tạp ổn định bất biến phương trình vi phân trung tính khơng gian chấp nhận nửa đường thẳng 64 4.2 Tam phân mũ đa tạp tâm ổn định phương trình trung tính 77 4.3 Đa tạp không ổn định phương trình trung tính 86 KẾT LUẬN 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO 112 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 118 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hướng dẫn thầy PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Tất kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa công bố cơng trình Người hướng dẫn khoa học Tác giả PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Phạm Văn Bằng LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy, người thầy vơ mẫu mực tận tình giúp đỡ đường khoa học Thầy bảo tơi suốt q trình nghiên cứu, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực toán học đầy thú vị, tạo thử thách giúp tự học hỏi, tìm tòi sáng tạo, may mắn tiếp nhận từ người thầy đáng kính Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Nhân dịp này, bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường tốn học chọn Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm Lp (R) := u:R→R: u p |u(x)|p dx)1/p < +∞ , ≤ p < ∞ =( R L∞ (R) := {u : R → R : u ∞ = ess sup |u(x)| < +∞} x∈R L1,loc (R) := {u : R → R|u ∈ L1 (ω) với tập đo ω ⊂⊂ R} ω ⊂⊂ R nghĩa bao đóng ω tập compact R t+1 M(R+ ) := f ∈ L1, loc (R+ ) : sup t≥0 |f (τ )|dτ < ∞ , t t+1 với chuẩn f M |f (τ )|dτ := sup t≥0 t E : không gian hàm Banach chấp nhận R+ ER : không gian hàm Banach chấp nhận R X : không gian Banach C := C([−r, 0], X) không gian hàm liên tục [−r, 0], r > 0, nhận giá trị X với chuẩn u C = sup u(t) t∈[−r,0] C0 (R− , X) := {f : R− → X : f liên tục lim f (t) = 0} không gian hàm t→−∞ với chuẩn sup Cb (R+ , X) : không gian hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX, xác định R+ với chuẩn u ∞ = sup u(t) t∈R+ MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Vào đầu kỉ 20 phương trình trung tính coi trường hợp đặc biệt phương trình sai - vi phân Ví dụ : u (t) − u (t − 1) + u(t) = 0, √ u (t) − u(t − 1) − u(t − 2) = 0, u (t) − 2u(t) + u (t − 1) − 2u(t − 1) = 0, mơ tả dạng tổng qt phương trình vi phân cấp n sai phân cấp m : F t, u(t), u(t − r1 ), , u(t − rm ), u (t), u (t − r1 ), , u (t − rm ), , u(n) (t), u(n) (t − r1 ), , u(n) (t − rm ) = với F hàm (m + 1)(n + 1) biến Để hiểu nguồn gốc thuật ngữ "trễ", "trung tính" ta xét phương trình sai - vi phân cấp a0 u (t) + a1 u (t − ω) + b0 u(t) + b1 u(t − ω) = f (t) với ω > cố định Nếu a0 = a1 = phương trình gọi phương trình sai phân Nó khơng chứa vi phân Nếu a0 = 0, a1 = phương trình gọi phương trình sai - vi phân "có chậm" hay đơn giản phương trình vi phân có trễ Vì mơ tả phụ thuộc vào hệ trạng thái khứ Nếu a0 = 0, a1 = phương trình gọi phương trình sai - vi phân "có sớm" Vì mơ tả phụ thuộc vào hệ trạng thái tương lai Cuối a0 = 0, a1 = loại phương trình sai -vi phân này, vừa "có chậm" vừa "có sớm" Vì trường hợp phương trình gọi phương trình vi phân trung tính Năm 1996 J Wu and H Xia [24] xét mạng lưới đường dây truyền tải mơ hình tương ứng với phương trình sau: ∂2 ∂ F ut = a F ut + Φut ∂t ∂x Phương trình có dạng phương trình đạo hàm riêng trung tính hay phương trình trung tính Trong hàm u thuộc C([−r, 0], X) với r ≥ không gian Banach X hàm đường tròn đơn vị D, tức X = H (D) X = C(D), hàm lịch sử ut xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] t ≥ Các tốn tử tuyến tính F Φ bị chặn từ C([−r, 0], X) → X gọi toán tử sai phân toán tử trễ Hale [20, 21] đưa phương pháp để giải tốn trên, ơng tồn tính chất tốn tử nghiệm Tuy nhiên phương trình vi phân trung tính phát sinh từ hệ thống tự nhiên, kỹ thuật, hệ khuyếch tán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quần thể, Khi việc nghiên cứu tồn ổn định nghiệm trở nên phức tạp, phương pháp cũ khơng phù hợp Bằng cách chọn khơng gian tốn tử thích hợp, phương trình viết dạng phương trình vi phân trừu tượng khơng gian Banach thường gọi phương trình tiến hóa Do đó, luận án chúng tơi xét phương trình trung tính   ∂ F ut = BF ut + Φut với t ≥ 0, ∂t u (t) = ϕ(t) với t ∈ [−r, 0], (1) phương trình dạng nửa tuyến tính ∂ F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ), ∂t t ∈ I, (2) I = R+ I = R, B(t) toán tử tuyến tính (có thể khơng bị chặn) khơng gian Banach X với t ≥ cố định Với C := C([−r, 0], X); toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X tốn tử sai phân, Φ : C → X toán tử tuyến tính (hoặc Φ : R+ × C → X phi tuyến liên tục) toán tử trễ, ut hàm lịch sử xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] Việc xét phương trình dạng trừu tượng không gian hàm tổng quát, cho phép sử dụng phương pháp dựa bước phát triển gần Tốn học để tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm phương trình Sử dụng phương pháp toán học đại lý thuyết phổ toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đa tạp bất biến, Chúng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm (ổn định, không ổn định, nhị phân, ) phương trình (1) (2) Với phương trình trung tính tuyến tính (1) số kết móng ban đầu tồn tại, ổn định mũ nghiệm, đạt N.T Huy số tác giả khác (xem [34, 45, 52]) Trong luận án này, phát triển kết tính nhị phân, khơng ổn định, ổn định tuyến tính hóa phương trình để nhận kết tổng quát Với phương trình trung tính nửa tuyến tính (2) chúng tơi nghiên cứu tồn đa tạp tích phân nghiệm phương trình Trong trường hợp phương trình vi phân hàm có trễ (tức trường hợp đặc biệt phương trình F ut = u(t)) có nhiều cơng trình liên quan đến tồn đa tạp bất biến nghiệm phương trình có trễ (xem [3, 25, 41, 47] ) với điều kiện họ (B(t))t≥0 sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ tam phân mũ, toán tử trễ phi tuyến liên tục Lipschitz Trường hợp phương trình vi phân hàm trung tính trở nên phức tạp ta lấy vi phân hàm F ut thay u(t), cơng thức biến thiên số áp dụng cho F ut Do đó, ta cần đến số điều kiện F để thu u từ F ut Một số kết tồn đa tạp bất biến trường hợp ôtônôm (tức B(t) = B Φ(t, φ) = Φ(φ) không phụ thuộc vào t) H Petzeltová O.J Staffans Tiếp theo, ta tìm w(t) nghiệm phương trình (4.49) không gian Banach Cξ,ν Ta định nghĩa ánh xạ Fφ : C([ξ − r, ∞), X) → C([ξ − r, ∞), X) (Fφ w)(t) =   U (t, ξ) −P (ξ)u(ξ) + gξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0)    ∞     + G(t, τ )f (τ, wτ )dτ t ≥ ξ  ξ   U (2ξ − t, ξ) −P (ξ)u(ξ) + gξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0)    ∞     + G(2ξ − t, τ )f (τ, wτ )dτ t ∈ [ξ − r, ξ] ξ Ta có ước lượng ∞ ν(t−ξ) e e−ν|t−τ | ϕ(τ ) wτ ν(t−ξ) 2νr (Fφ w)(t) ≤ N ν0 + N (1 + H)e e C dτ ξ N (1 + H)e2νr (N1 + N2 ) Λ1 ϕ − e−ν + keνr |w|ν với t ≥ ξ − r, ≤ N ν0 + = N ν0 ∞ |w|ν (4.50) k xác định (4.34) ˜ : C([ξ − r, +∞), X) → C([ξ − r, +∞), X) sau Ta định nghĩa toán tử Ψ  Ψ(ut ) với ξ ≤ t (4.51) [Ψu](t) = Ψ(u ) với ξ − r ≤ t ≤ ξ ξ ˜ ≤ Ψ < Do đó, tốn tử I − Ψ ˜ khả nghịch ta Từ Ψ < ta có Ψ đặt T := (I − Ψ)−1 Fφ Khi đó, ta T w ∈ Cξ,ν với w ∈ Cξ,ν Thật vậy, với t ≥ ξ − r sử dụng chuỗi Neumann, ta có ∞ Ψn Fφ w (t) (T w)(t) = n=0 Từ (4.50) bất đẳng thức Ψ ≤ Ψ , ta có ∞ e ν(t−ξ) (T w)(t) ≤ Ψ n (N ν0 + keνr |w|ν ) n=0 = 1− Ψ (N ν0 + keνr |w|ν ), ∀t ≥ ξ − r 104 Vì gξ liên tục Lipschitz nên ta có ν0 ≤ gξ (P (ξ)uξ )(0) − P (ξ)u(ξ) + gξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0) − gξ P (ξ)uξ (0) N keνr ≤ gξ (P (ξ)uξ ) − (I − P (ξ))uξ C + P (ξ)wξ C 1− Ψ −k N keνr N (1 + H) wξ C ≤ gξ (P (ξ)uξ ) − (I − P (ξ))uξ C + 1− Ψ −k N keνr ≤ gξ (P (ξ)uξ ) − (I − P (ξ))uξ C + N (1 + H)eνr |w|ν 1− Ψ −k Do đó, |T w|ν ≤ 1− Ψ N gξ (P (ξ)uξ ) − (I − P (ξ))uξ C N keνr + N (1 + H)eνr |w|ν + keνr |w|ν (4.52) (1 − Ψ − k) Suy ra, T w ∈ Cξ,ν Tiếp theo, ta chứng minh T ánh xạ co Thật vật, lấy w, v thuộc Cξ,ν Khi đó, với ν0 = gξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0), µ0 = gξ P (ξ)(uξ + vξ ) (0) ta có eν(t−ξ) (T w)(t) − (T v)(t) ≤ 1− Ψ N ν0 − µ0 + N (1 + H)eν(t−ξ) e2νr ∞ e−ν|t−τ | f (τ, wτ ) − f (τ, vτ ) dτ × ξ ≤ 1− Ψ N ν0 − µ0 + N (1 + H)e2νr eν(t−ξ) ∞ e−ν|t−τ | ϕ(τ ) wτ − vτ × C dτ ξ ≤ 1− Ψ 105 N ν0 − µ0 + keνr |w − v|ν Mặt khác, ta có ν0 − µ0 = gξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0) − gξ P (ξ)(uξ + vξ ) (0) N keνr ≤ P (ξ)wξ − P (ξ)vξ C 1− Ψ −k νr N ke ≤ N (1 + H) wξ − vξ C 1− Ψ −k N keνr ≤ N (1 + H)eνr |w − v|ν 1− Ψ −k Vì vậy, |T w − T v|ν ≤ k eνr 1− Ψ N eνr (1 + H) + |w − v|ν = l|w − v|ν 1− Ψ −k Vì l < 1, nên T ánh xạ co không gian Banach Cξ,ν , phương trình T w = w có nghiệm w ∈ Cξ,ν Từ (4.52) ta có |w|ν ≤ N gξ (P (ξ)uξ ) − (I − P (ξ))uξ (1 − l)(1 − Ψ ) C Ta chứng minh tồn u∗ = u + w nghiệm phương trình (4.30) thoả mãn u∗t ∈ Ut với t ≥ ξ u∗t − ut C = wt C ≤ eνr e−ν(t−ξ) |w|ν N eνr −ν(t−ξ) ≤e Φξ (P (ξ)uξ ) − (I − P (ξ))uξ (1 − l)(1 − Ψ ) N eνr e−ν(t−ξ) u∗ξ − uξ C = (1 − l)(1 − Ψ ) C với t ≥ ξ Định lý chứng minh Lưu ý: Đối với phương trình (4.30) trường hợp F ut = u(t) Khi đó, phương trình trở thành phương trình vi phân có trễ Kết tồn đa tạp không ổn định tính hút đa tạp khơng ổn định quỹ đạo nghiệm đạt N T Huy T V Dược (xem [44]) Ta minh họa kết ví dụ sau 106 Ví dụ 4.3.8 Xét phương trình trung tính sau ∂w(x, t − 1) ∂ w(x, t) ∂ w(x, t − 1) ∂w(x, t) − k = a(t) −k + α(w(x, t) ∂t ∂t ∂x2 ∂x2 −α|t| −kw(x, t − 1)) + b te ln(1 + |w(x, t + θ)|)dθ −1 với ≤ x ≤ π, t ≥ s; t, s ∈ R (4.53) w(0, t) = w(π, t) = với t ≥ s ws (x, θ) := w(x, s + θ) = ψ(x, θ) với x ∈ [0, π], θ ∈ [−1, 0], k α số thực với |k| < 1, α > α = n2 với n ∈ N; hàm ψ liên tục Hàm a(·) ∈ L1,loc (R) thỏa mãn điền kiện γ1 ≥ a(t) ≥ γ0 > hầu khắp t ∈ R với số cố định γ0 , γ1 Ta chọn không gian Hilbert X := L2 [0, π] xét toán tử B : X → X xác định B(f ) = f + αf với miền xác định D(B) = H02 [0, π] := {f ∈ W 2,2 [0, π] : f (0) = f (π) = 0} Trên C := C([−1, 0], X) định nghĩa toán tử sai phân F toán tử trễ Φ sau F : C → X, F (f ) := f (0) − kf (−1) Φ : R × C → X, −α|t| ln(1 + |(φ(θ))(x)|)dθ, t ∈ R, x ∈ [0, π] (4.54) Φ(t, φ) : = b te −1 Lưu ý Φ lấy giá trị X = L2 [0, π] nên dễ dàng chứng minh Φ ϕ-Lipschitz cách sử dụng bất đẳng thức Minkowski Đặt B(t) := a(t)B, u(t) := w(·, t), t ∈ R, φ(θ) := ψ(·, θ), θ ∈ [−1, 0], phương trình (4.53) viết dạng ∂ ∂t F ut (·) = B(t)F ut (·) + Φ(t, ut (·, θ)), us = φ ∈ C 107 t ≥ s, Từ định nghĩa B ta thấy B toán tử sinh nửa nhóm giải tích (T (t))t>0 , với σ(B) = {−1 + α, −4 + α, } Vì α = n2 , ∀n ∈ N nên ta có σ(B) ∩ iR = ∅ Áp dụng Định lý Ánh Xạ Phổ cho nửa nhóm giải tích ta nhận σ(T (t)) = etσ(B) = {et(α−1) , et(α−4) , } σ(T (t)) ∩ {z ∈ C : |z| = 1} = ∅ với t > Do đó, cố định t0 > 0, phổ toán tử T (t0 ) tách thành hai tập rời σ0 , σ1 , σ0 ⊂ {z ∈ C : |z| < 1}, σ1 ⊂ {z ∈ C : |z| > 1} Tiếp theo, ta chọn P = P (t0 ) phép chiếu Riesz tương ứng đến tập phổ σ0 , Q = I − P Rõ ràng, P Q giao hoán với T (t), t ≥ Kí hiệu TQ (t) := T (t)Q hạn chế T (t) ImQ Theo lý thuyết nửa nhóm, trường hợp này, nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi nhị phân mũ hạn chế TQ (t) khả nghịch Hơn nữa, có số dương N, γ cho T (t)|P X ≤ N e−γt −1 TQ (−t) = TQ (t) ≤ Ne −γt (4.55) với t ≥ Rõ ràng, họ (B(t))t∈R = (a(t)B)t∈R sinh họ tiến hóa (U (t, s))t≥s xác định bởi: t U (t, s) = T a(τ )dτ với t ≥ s s Từ ước lượng nhị phân (T (t))t≥0 (4.55), dễ dàng thấy (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với phép chiếu P số N, ν := γγ0 ước lượng sau: t )a(τ )dτ |P X ≤ N e−ν(t−s) U (t, s)|P X = T ( s t −1 U (s, t)| = (U (t, s)|ker P ) a(τ )dτ )| ≤ N e−ν(t−s) = TQ (− s với t ≥ s Tiếp theo, ta quan tâm đến toán tử trễ Φ : R × C → X xác định (4.54) kiểm tra Φ ϕ-Lipschitz với ϕ(t) = |b|te−α|t| , t ∈ R, 108 thuộc E = Lp (R), p ≥ Thật vậy, điều kiện (i) Định nghĩa 4.3.1 hiển nhiên Để kiểm tra điều kiện (ii) định nghĩa, sử dụng bất đẳng thức Minkowskii ta có ln(1 + h) ≤ h với h ≥ Khi đó, Φ(t, φ1 ) − Φ(t, φ2 ) π = |b| te−α|t| ln −1 0 π ≤ |b| te−α|t| −1 0 + |(φ1 (θ))(x)| dx ln2 + |(φ2 (θ))(x)| π = |b| te−α|t| ln2 −1 0 + |(φ1 (θ))(x)| dθ + |(φ2 (θ))(x)| 2 dx dθ |(φ1 (θ))(x)| − |(φ2 (θ))(x)| dx 1+ + |(φ2 (θ))(x)| π ≤ |b| te−α|t| |(φ1 (θ))(x) − (φ2 (θ))(x)|2 dx −1 = |b| te−α|t| dθ dθ φ1 (θ) − φ2 (θ) dθ −1 ≤ |b| te−α|t| sup φ1 (θ) − φ2 (θ) θ∈[−1,0] Do đó, Φ ϕ-Lipschitz Trong khơng gian Lp (R), số N1 , N2 Định nghĩa 1.3.2 chọn N1 = N2 = Ta có t+1 Λ1 ϕ(t) = ϕ(τ )dτ t Vì Λ1 ϕ ∞ ≤ 2|b|r α Theo Định lý 4.3.6, |b| e−ν (1 − Ψ )(1 − e−ν ) ≤ α 4N (1 + H)(1 + N eν ) tồn đa tạp khơng ổn định U nghiệm đủ tốt phương trình (4.53), đa tạp có tính hút theo kết Định lý 4.3.7 Kết luận Chương Trong chương đạt kết sau: 109 • Chỉ tồn đa tạp bất biến ổn định với điều kiện (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ, Φ ϕ-Lipschitz • Chỉ tồn đa tạp tâm với điều kiện (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ, Φ ϕ-Lipschitz • Chỉ tồn đa tạp không ổn định với điều kiện (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ, Φ ϕ-Lipschitz Đa tạp khơng ổn định có tính chất hút cấp mũ quỹ đạo nghiệm phương trình trung tính Nội dung chương dựa vào báo [3] [4], Danh mục cơng trình công bố luận án 110 KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu tính nhị phân mũ nghiệm phương trình trung tính với nhiễu tuyến tính tồn đa tạp tích phân, dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình trung tính với nhiễu phi tuyến Những kết luận án đạt là: • Thiết lập điều kiện đủ để nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính tuyến tính ơtơnơm phương trình trung tính với q khứ khơng ơtơnơm có nhị phân mũ, chứng minh tính dương nửa nhóm nghiệm • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định phương trình trung tính Chứng minh tính hút đa tạp không ổn định quỹ đạo nghiệm phương trình trung tính Luận án tiếp tục theo số chủ đề sau: • Nghiên cứu tồn tại, ổn định nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hồn cho phương trình trung tính • Nghiên cứu tồn đa tạp tích phân thuộc lớp E cho phương trình trung tính 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Pazy (1983), Semigroup of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin [2] A Yagi (2009), Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications, Springer Verlag [3] B Aulbach and N.V Minh (1996), Nonlinear semigroups and the existence and stability of semilinear nonautonomous evolution equations, Abstract and Applied Analysis, 1, 351 - 380 [4] B.C Goodwin (1963), Temporal Organization in Cells, Academic Press, New York [5] B.C Goodwin (1965), Oscillatory behavior of enzymatic control processes, Advances in Enzyme Regulation, 13, 425 - 439 [6] B.M Levitan and V.V Zhikov (1978), Almost Periodic Functions and Differential Equations, Moscow Univ Publ House, English tranl by Cambrige University Press, 1982 [7] C Chicone and Y Latushkin (1999), Evolution Semigroups in Dynamical Systems and Differential Equations, American Mathematical Society [8] C.T Anh, L.V Hieu and N.T Huy (2013), Inertial manifolds for a class of non-autonomous semilinear parabolic equations with finite delay, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 33, 483 - 503 [9] F Jacob and J Monod (1961), On the regulation of gene activity, Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology, 26, 389 - 401 112 [10] G Fragnelli and G Nickel (2003), Partial functional differential equations with nonau- tonomous past in Lp -phase spaces, Differential Integral Equations, 16, 327 - 348 [11] G Fragnelli and D Mugnai (2008), Nonlinear delay equations with nonautonomous past, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 21, 1159 - 1183 [12] G Greiner and M Schwarz (1991), Weak spectral mapping theorems for functional differential equations, Journal of Differential Equations, 94, 205 - 256 [13] H.H Schaefer (1980), Topological Vector Spaces, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin [14] H Petzeltová and O.J Staffans (1997), Spectral decomposition and invariant manifolds for some functional partial differential equations, Journal of Differential Equations, 138, 301 - 327 [15] H.R Thieme (1998), Positive perturbations of operator semigroups: growth bounds, essential compactness, and asynchronous exponential growth, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 4, 753 - 764 [16] J.D Murray (2002), Mathematical Biology I: An Introduction , SpringerVerlag, Berlin [17] J.D Murray (2003), Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, Springer-Verlag, Berlin [18] J Hadamard (1991), Sur l’interation et les solutions asymptotiques des equations differentielles, Bulletin de la Société Mathématique de France, 29, 224 - 228 113 [19] J Hale and S.M Verduyn Lunel (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin [20] J Hale (1994), Partial neutral-functional differential equations, Revue Roumaine de Mathématique Pures et Appliquées, 39, 339 - 344 [21] J Hale (1994), Coupled oscillators on a circle Dynamical phase transitions, Resenhas, 4, 441 - 457 [22] J.J Massera and J.J Schăaffer (1966), Linear Differential Equations and Function Spaces, Academic Press, New York [23] J van Neerven (1996), The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operator Operator Theory, Advances and Applications, 88, Birkhăauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin [24] J Wu and H Xia (1996), Self-sustained oscillations in a ring array of lossless transmission lines, Journal of Differential Equations, 124, 247 278 [25] J Wu (1996), Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer Verlag [26] Ju L Daleckii and M.G Krein (1974), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces, Translations of Mathematical Monographs, Volume 43, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island [27] K.J Engel (1999), Spectral theory and generator property of one-sided coupled operator matrices, Semigroup Forum, 58, 267 - 295 [28] K.J Engel and R Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Texts in Mathematics 194, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg 114 [29] M.A Kaashoek and S.M Verduyn Lunel (1994), An integrability condition on the resolvent for hyperbolicity of the semigroup, Journal of Differential Equations, 112, 374 - 406 [30] M Adimy and K Ezzinbi (1998), A class of linear partial neutral functional differential equations with non-dense domain, Journal of Differential Equations, 147, 285 - 332 [31] M Schwarz (1989), Lineare Funktionaldifferentialgleichungen und ihre Lă osunghalbgrupen, PhD Thesis, Tă ubingen [32] N.T Huy (2003), Functional partial differential equations and evolution semigroups, PhD Dissertation, University of Tă ubingen, Tă ubingen, Germany [33] N.T Huy (2004), Exponentially dichotomous operators and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line, Integral Equations and Operator Theory, 48, 497 - 510 [34] N.T Huy (2004), Resolvents of operators and partial functional differential equations with non-autonomous past, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 289, 301 - 316 [35] N.T Huy (2006), Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line, Journal of Functional Analysis, 235, 330 - 354 [36] N.T Huy (2009), Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 354, 372 - 386 [37] N.T Huy (2009), Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations, Journal of Differential Equations, 246, 1820 - 1844 115 [38] N.T Huy and T.V Duoc (2010), Robustness of dichotomy of evolution equations under ddmissible perturbations on a half-line, International Journal of Evolution Equations, 3, 57 - 72 [39] N.T Huy (2012), Inertial manifolds for semi-linear parabolic equations in admissible spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 386, 894 - 909 [40] N.T Huy and R Nagel (2012), Exponentially dichotomous generators of evolution bisemigroups on admissible function spaces, Houston Journal of Mathematics, 2, 549 - 569 [41] N.T Huy and T.V Duoc (2012), Integral manifolds and their attraction property for evolution equations in admissible function spaces, Taiwanese Journal of Mathematics, 16, 963 - 985 [42] N.T Huy (2013), Admissibly inertial manifolds for a class of semi-linear evolution equations, Journal of Differential Equations, 254, 2638 - 2660 [43] N.T Huy and T.V Duoc (2014), Integral manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on a half-line, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 411, 816 - 828 [44] N.T Huy and T.V Duoc (2015), Unstable manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on the whole line, Vietnam Journal of Mathematics, 43, 37 - 55 [45] N.V Minh, F Răabiger and R Schnaubelt (1998), Exponential stability, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line, Integral Equations Operator Theory, 32, 332 - 353 [46] N.V Minh and N.T Huy (2001), Characterizations of dichotomies of 116 evolution equations on the half-line, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 261, 28 - 44 [47] N.V Minh and J Wu (2004), Invariant manifolds of partial functional differential equations, Journal of Differential Equations, 198, 381 - 421 [48] O Diekmann, S.A van Gils and S.M Verduyn Lunel and H.O Walther (1995), Delay Equations, Springer- Verlag, New York-Heidelberg-Berlin [49] R Benkhalti, K Ezzinbi and S Fatajou (2010), Stable and unstable manifolds for nonlinear partial neutral functional differential equations, Differential and Integral Equations, 23, 601 - 799 [50] R Nagel (ed.) (1986), One-parameter Semigroups of Positive Operators, Lecture Notes in Mathematics, vol 1184, Springer-Verlag, Berlin [51] R Nagel and G Nickel (2002), Well-posedness for non-autonomous abstract Cauchy problems, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 50, 279 - 293 [52] R Nagel and N.T Huy (2003), Linear neutral partial differential equations: a semigroup approach, International Journal of Mathematics and Mathematical Science, 23, 1433 - 1446 [53] R Schnaubelt (2002), Well-posedness and asymptotic behaviour of nonautonomous linear evolution equations, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 50, 311 - 338, Birkhăauser, Basel [54] S Brendle and R Nagel (2002), Partial functional differential equations with non-autonomous past, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 8, - 24 [55] Y Katznelson (1976), An Introduction to Hamonic Analysis, Dover Publications, Inc New York 117 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN Nguyen Thieu Huy and Pham Van Bang (2012), Hyperbolicity of solution semigroups for linear neutral differential equations, Semigroup Forum, 84, 216 - 228 (ISI) Nguyen Thieu Huy and Pham Van Bang (2014), Dichotomy and positivity of neutral equations with nonautonomous past, Applicable Analysis and Discrete Mathematics, 8, 224 - 242 (ISI) Nguyen Thieu Huy and Pham Van Bang (2015), Invariant stable manifolds for partial neutral functional differential equations in admissible spaces on a half-line, Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, 20, 9, 2993 - 3011 (ISI) Nguyen Thieu Huy and Pham Van Bang, Unstable manifolds for partial neutral differential equations and admissibility of function spaces, Acta Mathematica Vietnamica (Online First) 118 ... vi c nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Vi c nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình trung tính. .. tạp không ổn định nghiệm phương trình trung tính nửa tuyến tính • Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính Tính chất nghiệm phương trình nói thời gian. .. ——————————- PHẠM VĂN BẰNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã ngành: 62460103 NGƯỜI