Bài viết phân tích tính chất Acyclic của tập nghiệm phương trình tích phân; đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho sinh viên chuyên ngành Toán. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu.
Lê Hồn Hóa, Đỗ Hồi Vũ Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ TÍNH CHẤT ACYCLIC CỦA TẬP NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHƠNG GIAN FRÉCHET LÊ HỒN HĨA *, ĐỖ HỒI VŨ ** TĨM TẮT Trong báo này, chúng tơi xét tính chất Acyclic tập nghiệm phương trình tích phân đây: t t x (t ) (t ) v (t , x ( (t ))) F (t , s , x (1 ( s )))ds K (t , s ) g ( s, x ( ( s )))ds , t R (2) Trong đó: R [0, ) ; 0 E, không gian Banach thực; , , : R R ; : R E ; K : [0, )2 L( E , E ) ; v, g : R E E ; F : R 2 E E ; L(E,E) khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ E vào E, với giả thiết hàm F, g, K mở rộng (nhẹ) báo [2] Trong báo này, chúng tơi xét tính chất Acyclic tập nghiệm phương trình tích phân đây: X(t) = ϕ(t)+v(t,x(θ(t)))+ ABSTRACT The Acyclic property of the solution set of integral equation in fréchet space In this paper we consider the Acyclic property of solution set to the following intergral equation t x ( t ) ( t ) v ( t , x ( ( t ))) t F ( t , s , x ( ( s ))) ds K ( t , s ) g ( s , x ( ( s ))) ds , t R (2) Here R [0, ) ; E, real space Banach; , , : R R ; : R E ; K : [0, )2 L( E , E ) ; * ** PGS TS, Khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Sư phạm TP HCM ThS, Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp TP HCM 11 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ v, g : R E E ; F : R 2 E E E is a real Banach space with norm |.| and L(E,E) is the Banach space of continuous linear operators with domain E and range in E, with the hypothesis of the functions F, K, g that satisfy the conditions which are more general than that in the article [2] Giới thiệu Khi khảo sát phương trình vi phân (hoặc tích phân) nói chung, bên cạnh việc chứng minh phương trình tồn nghiệm xem xét cấu trúc tập nghiệm ý (trong trường hợp phương trình có nhiều nghiệm) Năm 1890 Peano nghiên cứu toán Cauchy: x '( t ) g ( t , x ( t )) , t [0 , a ] R ; x (0 ) x (1) với g : [0, a ] R n R n hàm liên tục chứng minh trường hợp n=1 tập nghiệm S phương trình (1) liên thơng, compact (xét topo đường thẳng thực) với t thuộc lân cận t0 Kết mở rộng Kneser (1923) xét n số tự nhiên tùy ý (khác không) Hukuhara (1928) thay Rn không gian Banach thực Năm 1942, N Aronszajn chứng minh tập nghiệm S (1) đồng phôi với dãy giảm không gian compact co rút (compact contractible) Điều suy S compact, liên thông thế, S không đơn trị đứng quan niệm topo đại số, S tương đương với khơng gian điểm (theo nghĩa nhóm đồng S trùng với nhóm đồng khơng gian điểm) Tập S có tính chất gọi tập Acyclic kí hiệu R Trong báo này, chúng tơi xét tính chất Acyclic tập nghiệm phương trình tích phân đây: t t 0 x (t ) (t ) v (t , x ( (t ))) F (t , s , x(1 ( s ))) ds K (t , s ) g ( s , x( ( s ))) ds , t R (2) Trong đó: R [0, ) ; E , không gian Banach thực; , , : R R ; : R E ; K : [0, )2 L( E , E ) ; v, g : R E E ; F : R 2 E E ; L(E,E) khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ E vào E Chú ý: Cấu trúc (compact, liên thơng) tập nghiệm phương trình dạng (2) khảo sát số báo gần (xem [2]), giả thiết hàm tham gia (2) liên tục (cùng thêm nhiều giả thiết khác) Trong báo này, chúng tơi xét tính chất Acyclic tập nghiệm (2) với giả thiết hàm F, g hàm Carathéodory 12 Lê Hồn Hóa, Đỗ Hồi Vũ Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Kết báo trình bày định lý 3.1, để chứng minh định lý sử dụng định lý (trong định lý 2.1 bản) Các định nghĩa định lý sử dụng báo Định lý 2.1[3] Xét K tập lồi không bị chặn R, K t K ; t t0 , E không gian Banach C không gian Fréchet hàm liên tục bị chặn địa phương f : K E với topo hội tụ địa phương Giả sử T : C C ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện sau: (i) Tồn t0 K x0 C cho T ( x )(t0 ) x0 với x C , (ii) Tập T(C) liên tục đồng bậc địa phương, (iii) Với x K y K T ( x ) K T ( y ) K với x, y C , (iv) Mọi dãy ( xn )nN , xn C , cho lim ( xn T ( xn )) có giới hạn điểm n Khi tập điểm cố định T Acyclic Chú ý: Nếu T ánh xạ compact điều kiện (ii) (iv) thỏa Giả thiết 2.2 (Giả thiết (A) [1]) Cho X không gian véc tơ tôpô lồi địa phương, P họ tách nửa chuẩn X Đặt D tập X U : D X Với a X , định nghĩa U a : D X Ua(x)= U(x)+a Toán tử U gọi thỏa giả thiết (A) tập X nếu: (A.1) Với a , U a ( D ) D , (A.2) Với a , p P tồn ka Z có tính chất 0, r N , : ap ( x, y ) ap (U ar ( x),U ar ( y )) , ap ( x, y ) max p U ( x) U aj ( y ) , i, j 0,1,2, , ka , N 1,2,3, , Z N 0 Định lý 2.3 [1] Cho X không gian đầy đủ theo dãy, lồi địa phương với họ tách nửa chuẩn P U, C toán tử X cho: (i) U thỏa giả thiết (A), (ii) Với p tùy ý thuộc P tồn k > (độc lập với p ) cho: p (U ( x ) U ( y )) kp ( x y ) , x , y X , 13 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ (iii) Tồn x0 X có tính chất: Với p tuỳ ý thuộc P, tồn r N , [0,1) ( r , phụ thuộc vào p) cho: p(U xr0 ( x) U xr0 ( y )) p ( x y ) , (iv) C hoàn toàn liên tục p (C ( A)) p ( A) , A X , (v) lim p ( x ) p(C ( x )) 0, x X p ( x) Khi U + C có điểm cố định Chú ý: Nếu giả thiết định lý 2.3 thỏa chứng minh định lý 1 ta có ánh xạ I U C ánh xạ hoàn toàn liên tục X tồn tập D lồi, 1 đóng bị chặn (chứa phần tử 0) X cho I U C ( D ) D Đặt (, , ) không gian độ đo với [0, a ], a R , độ đo Lebesgue Định nghĩa 2.4 [4]: Lp (; E ) không gian lớp hàm tương tương đo (mạnh) f : E cho f Lp () với p 1, p p p Ghi chú: L (; E ) không gian Banach với chuẩn f p f d p p trường hợp E = R+ dùng kí hiệu L ( ) thay cho L (; E ) Định nghĩa 2.5 [4]: Xét (, , ) không gian độ đo Hàm g : E E gọi hàm Carathéodory thỏa điều kiện (i) Với x E hàm t g (t , x ) đo được, (ii) Với t hàm x g ( t , x ) liên tục Định nghĩa 2.6 [5]: Hàm g : E E gọi hàm LP- Carathéodory ( p (1, ) ) g hàm Carathéodory thỏa thêm điều kiện: Với số C dương tồn hàm không âm hC Lp tập compact K C E cho x C g (t , x ) hC (t ) K C với hầu hết t Kết 14 Lê Hồn Hóa, Đỗ Hồi Vũ Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Đặt X C 0, ; E không gian gồm tất hàm liên tục từ 0, vào E Với số tự nhiên n N , X0 xét họ nửa chuẩn pn ( x ) sup x (t ) , ta có X0 t[0, n ] d ( x, y ) 2 n n 1 không gian Fréchet với metric pn ( x y ) pn ( x y ) Đặt X n C 0, n ; E không gian tất hàm liên tục từ [0,n] vào E Ta có Xn không gian Banach với chuẩn x n sup x (t ) t[0, n ] Xét phương trình (2) với giả thiết sau: V2.1 ,1 , : [0, ) [0, ) hàm liên tục thỏa điều kiện ( t ) t , 1 (t ) t , ( t ) t ; t [0, ) V2.2 v : R E E hàm liên tục cho điều kiện sau thỏa: t với t [0, n], n 1 (ii) Với số C > x C v (0, x ) 0, (i) Tồn hàm l : R R cho l (t ) (iii) v (t , x) v (t , y ) l (t ) x y V2.3 F : R R E E thỏa điều kiện sau : (i) Với t R cố định Ft (s, x) F (t, s, x) hàm Carathéodory [0,t], (ii) Tồn hàm h, k : [0, ) [0, ) cho h hàm liên tục, k L1 ([0, )) F (t, s, x ) F ( t, s, y ) h( s )k ( t ) x y V2.4 g : R E E thỏa điều kiện sau: (i) (ii) Với số thực t hàm g hàm LP- Carathéodory [0, t ] E , lim x g (t , x ) theo biến t tập bị chặn R+ x V2.5 K : R R L( E , E ) cho với số thực t điều thỏa: (i) Kt Kt ' L ( E , E ) L ([0, n ]) q t t ' với q p 1 , p 15 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ (ii) Họ t K (t , s ) q thỏa điều L( E , E ) kiện: 0, : R, ( ) , s K (t , s ) q L( E , E ) d Định lý 3.1 Nếu giả thiết V2.1- V2.5 thỏa tập nghiệm phương trình (2) Acyclic Để chứng minh định lý trước hết chứng minh bổ đề sau : t h (t ) , L Đặt K ( t ) k ( s ) ds , H sup t[0, n ] Trên Xn xét chuẩn x N sup l (t ) ta có L< t[0, n ] e NK ( t ) x (t ) , với N số chọn t[0, n ] sup cho N H , ta có chuẩn x 1 L N tương đương với chuẩn x n Đặt t U ( x )(t ) ( t ) v(t , x (t )) F (t , s, x(1 ( s))) ds , Uz(x)(t) = z(t) + U(x)(t) Bổ đề Nếu giả thiết V2.1, V2.2, V2.3 thỏa Uz ánh xạ co X n , x N Chứng minh: t t 0 Uz ( x)(t ) Uz ( y)(t) v(t, x(t)) v(t, y(t )) F (t, s, x(1(s)))ds F (t, s, y(1(s)))ds t l ( t ) x ( t ) y ( t ) k ( s ) h ( s ) x (1 ( s ))) y (1 ( s )) ds Tương đương e NK (t ) U z ( x )( t ) U z ( y )(t ) e NK ( t )l (t ) x (t ) y (t ) t NK (t ) e 16 k (s)h(s)eNK (1 ( s))e NK (1 (s)) x(1(s))) y(1(s)) ds Lê Hồn Hóa, Đỗ Hồi Vũ Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ t L x y N NK ( s ) H e NK ( t ) de x y N ds N ds L H x y N , t [0, n ] N Vậy U z ( x ) U z ( y ) N L H x y N N Vì N H nên suy L H Uz ánh xạ co 1 L N Bổ đề Nếu giả thiết V2.4i V2.5 thỏa t C ( x )(t ) K (t , s ) g ( s, x ( ( s )))ds tốn tử hồn tồn liên tục X n , N Chứng minh: Giả sử tập bị chặn Xn Khi A x ( s ) : x , s [0, n ] tập bị chặn E, điều suy tồn số C cho x 2 (s) C với x 2 ( s) A Do g hàm LpCarathéodory nên tồn hàm không âm hC Lp tập compact KC E cho g ( s, x( ( s ))) hC ( s ) K C , với hầu hết s [0, n ] ; điều suy tồn số dương G cho g ( s, x( ( s))) GhC ( s ) , với hầu hết s [0, n ] 1) Chứng minh C ( ) liên tục đồng bậc Với t , t ' [0, n ] : x ta có: t t ' , đặt t0 max{t , t '} với t C ( x )(t ) C ( x )(t ') t' K (t, s) g (s, x( (s))) ds K (t ', s) g (s, x( (s))) ds 2 0 t t K (t, s) K (t ', s) g ( s, x( (s))) ds K (t ', s) g ( s, x( (s))) ds 2 t' 17 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ 1 1 q t p t0 q n p q q g(s, x(2 (s))) ds K (t, s) K (t ', s) ds K (t ', s) L( E,E ) ds L( E,E ) 0 0 t' 1 1 q q t n p t0 q q p G hC ( s) ds K (t , s ) K (t ', s) ds K (t ', s) L ( E , E ) ds L ( E ,E ) 0 0 t' Do giả thiết V2.5 suy C ( ) liên tục đồng bậc 2) Chứng minh C liên tục Xét dãy xmm Xn cho lim xm x0 Đặt A xm (s): s [0, n], m N* m A tập compac (xem [1]), điều suy A tập bị chặn E Đặt m ( s ) g ( s, xm ( ( s ))) g ( s , x0 ( ( s ))) ta có: m ( s ) m (s) 2GhC ( s) với hầu hết s [0, n ] Đặt K sup t[0, n ] K (t, s) L ( E , E ) Lq ([0,n ]) ta có: t K ( t , s ) g ( s, x m ( ( s ))) K (t , s ) g ( s, x0 ( ( s ))) C ( xm )(t ) C ( x0 )(t ) ds t K (t, s ) L( E , E ) g ( s, xm (2 ( s))) g ( s, x0 (2 ( s ))) ds n p p K g ( s, xm (2 ( s ))) g ( s , x0 (2 ( s ))) ds 0 n p p K m ( s ) ds , t [0, n] 0 18 Lê Hồn Hóa, Đỗ Hồi Vũ Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ n p p Suy C ( xm ) C ( x0 ) n K m ( s ) ds 0 Theo giả thiết V2.5 suy K hữu hạn, từ theo định lý hội tụ, bị chặn Lebesgue liên tục đồng bậc C ( ) suy liên tục C 3) Chứng minh C ( )( t ), t [0, n ] tập compact E Đặt b * E * cho KC nằm nửa không gian b * r nghĩa b K C b* (b ) r Như với x hầu hết s [0, n ] ta có b* g ( s, x ( ( s ))) hC (t )r t Xét trường hợp h C ( s )ds , theo tính chất tích phân Bochner suy t t t * g ( s , x (2 ( s )))ds b g ( s, x ( ( s ))) ds r hC ( s )ds * b t0 r t t hC ( s )ds hC ( s )ds hC ( s ) ds 0 Vì giao tất nửa khơng gian đóng chứa KC bao lồi đóng nên ta t t 0 g ( s , x ( ( s ))) 0 hC ( s )ds co ( K C ) , Do t t 0 K ( t , s ) g ( s, x ( ( s ))) 0 hC ( s ) ds co ( K ( t , s )( K C )) K Vậy t C ( )( t ) hC ( s ) ds co ( K ( t , s )( K C )) K , t [0, n ] 0 19 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ t Xét trường hợp h C ( s )ds ta có h = với hầu hết t [0, n ] g ( s, x ( ( s ))) với hầu hết t [0, n ] , dễ dàng suy C ( )( t ) K , t [0, n ] Vì K C tập compact K ( t , s ) ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E nên ta có K1 tập compact E, từ kết luận C ( )( t ), t [0, n ] tập compact E Từ chứng minh 1), 2), 3) theo kết Ambrosetti, kết luận C tốn tử hồn tồn liên tục X n , n hoàn toàn liên tục Xn, N Bổ đề Nếu giả thiết V2.4ii thỏa lim x N C ( x) N xN Chứng minh: Ta có , : g ( s, x) với x thỏa x s [0, n] Kn x Khi x g hàm Lp- Carathéodory nên tồn số G > cho n p p g ( s, x ) GhC ( s ) với hầu hết s [0, n] Đặt H G hC ( s ) ds ta có H hữu 0 hạn Chọn 1 : 1 với x X với x , đặt n n 2HK I1 s [0, n]: x( ( s)) , I [0, n] \ I1 Ta có: C ( x )(t ) xn xn 20 t K (t, s) g (s, x( ( s))) ds Lê Hồn Hóa, Đỗ Hồi Vũ Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ n p p K g ( s, x ( ( s ))) ds xn 0 1 p p p p g ( s, x ( ( s ))) x ( ( s )) p K g ( s , x ( ( s ))) ds ds p x n x ( ( s )) I I2 1 p p p p g ( s , x ( ( s ))) x ( ( s )) p 2 K g ( s , x ( ( s ))) ds K ds p p x n x( ( s )) xn I1 I2 KH n KH KH , t [0, n ] 2 KH 2 x n 2n 1 Suy C( x) n C( x) , x X n hay lim xn xn x n Do n tương đương với N n 0, x X n nên ta suy lim x N C( x) N 0, x X n xN Vậy bổ đề chứng minh Chứng minh định lý 3.1 : Từ Bổ đề 1, 2, suy giả thiết Định lý 2.3 thỏa, 1 chứng minh định lý ta có ánh xạ I U C ánh xạ hoàn toàn liên tục X0 tồn tập D lồi, đóng bị chặn X0 cho ( I U )1C ( D) D Áp dụng Định lý 2.1 cách đặt C=D, T ( I U )1C , t0=0, x0=0 rõ ràng giả thiết Định lý thỏa Vậy định lý 3.1 chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO Le Hoan Hoa and Klaus Schimtt (1994), « Fixed point theorems of Krasnosel'skii type in locally convex space and applications to integral equation » , Results in Mathematics, Vol.25, pp 291-313 Lê Hồn Hóa, Đỗ Hồi Vũ, Lê Thị Kim Anh (2008), « Tính compact liên thơng tập nghiệm phương trình tích phân khơng gian Fréchet”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TP HCM, (14), tr 20-31 21 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010 _ 22 Daria Bugajewska (2000), On the structure of solution sets of differential equations in Banach space, Math Sovaca, No 4, pp 463-471 Leszek Gasi'nski, Nikolaos S.Papageorgiou (2005), Nonlinear Analysis, Taylor Francis Group , LLC John W Lee, Donal O'Regan (1994), Existence principles for differential equations and systems of equations, Topological methods in differential equations and inclusions, Kluwer Academic publishers Series C: Mathematical and Physical Sciences, Vol 472, pp 239-289 ... khơng gian điểm (theo nghĩa nhóm đồng S trùng với nhóm đồng khơng gian điểm) Tập S có tính chất gọi tập Acyclic kí hiệu R Trong báo này, chúng tơi xét tính chất Acyclic tập nghiệm phương trình tích. .. Khi khảo sát phương trình vi phân (hoặc tích phân) nói chung, bên cạnh việc chứng minh phương trình tồn nghiệm xem xét cấu trúc tập nghiệm ý (trong trường hợp phương trình có nhiều nghiệm) Năm... Vol.25, pp 291-313 Lê Hoàn Hóa, Đỗ Hồi Vũ, Lê Thị Kim Anh (2008), « Tính compact liên thơng tập nghiệm phương trình tích phân khơng gian Fréchet , Tạp chí Khoa học ĐHSP TP HCM, (14), tr 20-31 21 Tạp