Nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn của một lớp phương trình truyền nhiệt trên không gian hyperbolic thực

Bài viết Nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn của một lớp phương trình truyền nhiệt trên không gian hyperbolic thực trình bày việc thiết lập tính đặt chỉnh của nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn cho phương trình truyền nhiệt với vế phải thỏa mãn điều kiện tiệm cận hầu tuần hoàn.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 NGHIỆM TIỆM CẬN HẦU TUẦN HOÀN CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRÊN KHƠNG GIAN HYPERBOLIC THỰC Nguyễn Thị Vân Trường Đại học Thuỷ lợi, email: van@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Trong báo này, mở rộng kết trước [3] để nghiên cứu tồn nghiệm tiệm cận hầu tuần hồn lớp phương trình truyền nhiệt không gian hyperbolic thực  ( ¡ ) Định nghĩa 3.1 Hàm số f Ỵ C ( ¡ + , X ) gọi hầu tuần hoàn tiệm cận tồn hàm h Ỵ AP ( ¡ , X ) j ỴC0 ( ¡ + , X ) cho f = h + j Ký hiệu AAP ( ¡ + , X ) : =  f : ¡ hầu tuần hoàn tiệm cận f PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trước hết, chúng tơi tính tốn cụ thể nhân nhiệt (nghiệm phương trình truyền nhiệt)  ( ¡ ) chứng minh nửa nhóm liên kết với phương trình nhiệt bị chặn cấp mũ Sau chứng minh ngun lí dạng Massera cho phương trình tuyến tính Cuối sử dụng nguyên lí ánh xạ co, chứng minh tồn nghiệm đủ nhỏ cho phương trình phi tuyến C0 ( ¡ + , X ) : =  j : ¡ () +  ) := h + j C0 ( ¡ + ,X ) Sử dụng phép đổi biến ì x1 = sin  sin q cosj   x2 = sin  sin q sinj í  x3 = sin  cosq  x = cos   Khi đó, khoảng cách điểm  ( ¡ ) cho g = d  + (sinh  )2 dw với dw khoảng cách S ( mặt cầu đơn vị ¡ ) Do tốn tử Laplace- Beltrami có dạng ® X , j liên tục  Lp ( X ) : =  j : X ® ¡ , j khả tích bậc p X  AP( ¡ , X ) 3 (¡ ) = ( x1, x2 , x3, x4 ) Ỵ¡ : x12 + x22 + x32 - x42 = -1  g = ¶ 2 + 2coth  ¶  + (sinh  ) -2  S lim j t = t®  , với chuẩn là: Chúng tơi chọn lọc số kiến thức báo [1]: Xét không gian hyperbolic thực 3.1 Kiến thức chuẩn bị AP ( ¡ , X ) : = h : ¡ ® X , h hầu tuần hoàn + ,X ®X, f b) Công thức nhân nhiệt  ( ¡ ) : KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU a) Chúng tơi nhắc lại khái niệm hàm hầu tuần hồn tiệm cận trình bày [3]: AAP( ¡ + coth  = Laplace S 98 e2  + ,  S toán tử e2  - Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 Định nghĩa 3.2 Nghiệm nguyên thủy phương trình truyền nhiệt ut =  g u gọi nhân nhiệt có cơng thức: K (t ,  ) = (4 t ) -3/2 - t e  e - 2 4t sinh  Nửa nhóm liên kết có dạng  Thay cơng thức K (t -  ,  ) = (4 (t -  )) e u0 = ò K (t ,  )u0 (  )(sinh  ) d  Tính tốn cụ thể, có nửa nhóm bị chặn cấp mũ a) Trường hợp tuyến tính: Xét phương trình: Do đó, định nghĩa tốn tử nghiệm sau: t () ( ) ( 2t ) + e -t ) Chứng minh Chúng ta chứng minh tốn tử nghiệm bảo tồn tính chất tiệm cận hầu tuần hoàn dựa vào bổ đề 3.1 Đặt F(t, x) : =  G(t)v(t, x) , t Ỵ¡ , Dễ thấy F Ỵ AAP ( ¡ + , Lp ( (¡ )) ) Do Nghiệm mạnh đủ tốt phương trình (3.1) hàm số thoả mãn phương trình tích phân sau: () u t = u0 +  ò e tồn H Ỵ AP ( ¡ , Lp ( (¡ )) ) j ỴC0 ( ¡ + , Lp ( (¡ )) ) cho F = H +j Khi G( )v( ) d  t Bổ đề 3.1 Tồn nghiệm mạnh đủ tốt u Ỵ Cb ( ¡ + , Lp ( (¡ )) ) , p  phương trình ( 3.1) Hơn u  , Lp £ u0 Lp +C v t ( )( ) (t- ) g T F t = e g u0 + ò e ( H + j )( ) d Từ Bổ đề 3.1, đặt  , Lp với điều kiện C = 3 Chứng minh: t t () u t Lp £ u0 p L + ị (t- )g e G( )v( ) d ỉ + ũ ỗ ũ [K3 (t - ,  )(sinh  )2 ] p d  ÷ ø 0è Tốn tử nghiệm viết lại: 1/ p d v j ( ) d  Lp t (t- ) g ( )( ) T f t := ò e Lp £ u0 tồn  Ỵ AAP ( ¡ + , Lp ( (¡ )) ) u0 Ỵ Lp (  ( ¡ ) ) (t- )g (3.1) (3.1)   0, v Ỵ AAP ¡ + , Lp (  ( ¡ ) ) , t () G  v( ) d  nghiệm u Î AAP ( ¡ + , Lp ( (¡ )) ) ì ut t, x = g u t, x +  G t v t, x , í  u(0) = u0 , G ( t ) = sin t + sin (t- )g ( )( ) T v t := u0 +  ò e Định lý 3.1 Phương trình ( 2 4( t - ) e sinh  vào công thức đánh giá thơng qua tính tích phân bội, ta u  , Lp £ u0 Lp + 3 v  , Lp ( p  3) 3.2 Phương trình truyền nhiệt  (¡ ) : ( ) e - Vậy tồn nghiệm mạnh đủ tốt u Ỵ Cb ( ¡ , Lp ( (¡ )) ) tg ( )  -3/2 - ( t - ) ,Lp 99 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 Sử dụng tính chất nửa nhóm bị chặn hàm thuộc không gian AP ( ¡ , Lp ( (¡ )) ) , C0 ( ¡ + , Lp ( H (¡ )) ) , 3 <  (v1 ) -  (v2 ) ,L £ 3 v1 - v2 p £ v1 - v2 Vậy T ( F ) Ỵ AAP ( ¡ + , Lp ( (¡ )) ) b) Trường hợp nửa tuyến tính: Xét phương trình nửa tuyến tính không gian hyperbolic thực  ( ¡ ) : () ( ) p Chứng minh Đặt ìv Ỵ AAP ( ¡ + ; Lp ( ( ¡ )) ) : AAP B : = í  v £  p   , L  Lấy v Ỵ BAAP Xét phương trình tuyến tính Theo Định lý 3.1, phương trình có t G ( ) v( )d Xét ánh xạ  (v)(t) : = u(t) Theo Bổ đề 3.1, ta có ,Lp £ u0 Lp + 3 v ,Lp <  Vì u0 Vì vậy,  : BAAP ® BAAP ánh xạ co Theo nguyên lí ánh xạ co, tồn cho  ( u ) = u Tức t  ( u )( t ) = u0 + ò e ( t - ) g  G ( ) u ( ) d Lp KẾT LUẬN Trong báo này, thiết lập tính đặt chỉnh nghiệm tiệm cận hầu tuần hồn cho phương trình truyền nhiệt với vế phải thỏa mãn điều kiện tiệm cận hầu tuần hoàn Chúng tơi nghiên cứu tính ổn định phân rã nghiệm báo TÀI LIỆU THAM KHẢO ut ( t , x ) = g ( t , x ) +  G ( t ) v ( t , x ) u  , Lp  , Lp Do tồn nghiệm mạnh đủ tốt với chuẩn đủ nhỏ u Ỵ AAP ( ¡ + ; Lp ( H (¡ )) ) (3.2) số <  < , hàm G hệ phương trình (3.1) Định lý 3.2 Với u0 L đủ nhỏ, tồn nghiệm mạnh đủ tốt với chuẩn đủ nhỏ u Î AAP ( ¡ + , Lp ( (¡ )) ) phương trình (3.2) ( t - ) g Do ìut t, x = g u t, x +  G t u t, x , í u(0) = u0 nghiệm u ( t ) = u0 +  ò e <  Hơn nữa, AP ( ¡ , Lp ( (¡ )) ) , ( ) , Lp  : BAAP ® BAAP chứng minh ( )  (v) nên đủ nhỏ [1] E B Davies and N Mandouvalos, Heat Kernel Bounds on Hyperbolic Space and Kleinian Groups, Proceedings of the London Mathematical society, Vol s3-57, 1, 182-208 (1988) [2] N.T Huy, P.T Xuan, V.T.N Ha and V.T Mai, Periodic solutions to Navier-Stokes equations on non-compact Einstein manifolds with negative curvature, Analysis and Mathematical Physics, 11, 60 (2021) [3] N.T Vân, Sự tồn nghiệm tiệm cận hầu tuần hồn lớp phương trình truyền nghiệt, HNKHTN, ĐHTL (2020) 100 ... lập tính đặt chỉnh nghiệm tiệm cận hầu tuần hồn cho phương trình truyền nhiệt với vế phải thỏa mãn điều kiện tiệm cận hầu tuần hồn Chúng tơi nghiên cứu tính ổn định phân rã nghiệm báo TÀI LIỆU... curvature, Analysis and Mathematical Physics, 11, 60 (2021) [3] N.T Vân, Sự tồn nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn lớp phương trình truyền nghiệt, HNKHTN, ĐHTL (2020) 100 ... hợp tuyến tính: Xét phương trình: Do đó, định nghĩa toán tử nghiệm sau: t () ( ) ( 2t ) + e -t ) Chứng minh Chúng ta chứng minh tốn tử nghiệm bảo tồn tính chất tiệm cận hầu tuần hồn dựa vào bổ