Bài viết nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn đối với phương trình parabolic với trễ hữu hạn. Sử dụng kết quả đã có đối với các phương trình vi phân hàm trong không gian Banach vô hạn chiều, đưa ra được điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm hầu tuần hoàn đối với các lớp phương trình trên.
TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ, Số 16 (6/2019) tr.56 - 64 NGHIỆM HẦU TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI TRỄ HỮU HẠN Lê Văn Kiên1, Nguyễn Hữu Trí2 Trường Đại học Tây Bắc, 2Trường THPT Trung Văn, Hà Nội Tóm tắt: Trong báo này, nghiên cứu tồn nghiệm hầu tuần hồn phương trình parabolic với trễ hữu hạn Sử dụng kết có phương trình vi phân hàm khơng gian Banach vô hạn chiều, đưa điều kiện tồn nghiệm hầu tuần hoàn lớp phương trình Từ khóa: Phương trình parabolic, Nghiệm hầu tuần hoàn, Phổ hàm số Mở đầu Cho trơn, xét toán miền với biên u ( x, t) u (x, t) Fut (x) t u | 0, t u (x, s) toán f ( x , t ), x ,t 0, (1.1) 0, ( s )( x ), x ,s tử Laplace, C ([ r , ], X ), u t ( s ) : [ r, 0] u (t s ), :[ f ( , t ) X r số dương thực cho trước, Fut u (., t s ) d ( s ), u t r hàm có biến phân bị chặn, t Bằng cách xét D ( A) H 0( ) H ( C ([ u (t ) : ) r , ], X ), f ( t ) X L2 ( A u (t ) Fut dt u (s) Hàm liên tục bị chặn u0 u (t , x ) L ( X ), X L ( ), hàm hầu tuần hoàn theo biến , A : X X với , ta đưa toán dạng tổng quát d u (t ) toán (1.2) ), u (t )( x ) r, 0] u :[ ( s ), s r, ) [ X f ( t ), u ( t ) X,t 0, (1.2) r , ] gọi nghiệm nhẹ (nghiệm tích phân) Ngày nhận bài: 14/04/2019 Ngày nhận đăng: 24/05/2019 Liên lạc: Lê Văn Kiên, e-mail: mr.kiencan@gmail.com 56 t u (t ) T (t ) (0 ) T (t với {T ( t ) } t s )[ F u s f ( s )] d s , t 0, nửa nhóm liên tục mạnh sinh A Như việc nghiên cứu tồn nghiệm hầu tuần hồn Bài tốn (1.1) tương ứng với tồn nghiệm hầu tuần hồn tốn (1.2) Bài toán (1.2) nghiên cứu V.T Luong N.V Minh gần báo [2], báo sử dụng kết báo [2] để nghiên cứu tồn nghiệm hầu tuần hồn Bài tốn (1.1) Hơn nữa, chúng tơi đưa ví dụ cụ thể thể minh họa cho kết thu Trước tiên tổng hợp số công cụ kết ban đầu có liên quan trình bày báo [2, 3, 5] Phương trình liên kết với (1.2) sinh nửa nhóm liên tục mạnh gian C C ([ r , ], X ) u không Thật vậy, V (t ) : C với V (t )t C, ut , nghiệm toán t u (t ) T (t ) (0 ) T (t )Fu d , t 0, u0 Tiếp theo xét toán tử sinh V (t )t Av : C Ta định nghĩa toán tử C, Av sau ( Av )( ) d ( ), r 0, d với D ( Av ) Bổ đề 1.1 Với Av { C : d A C, d (0 ) D ( A ), d (0 ) D ( Av ) F } trù mật $C$, toán tử V (t )t sinh nửa nhóm liên tục mạnh compact nhóm liên tục mạnh compact A (0 ) d định nghĩa trên, miền xác định sinh nửa nhóm liên tục mạnh Bổ đề 1.2 Nếu ( ) C T (t )t X , V (t )t nửa 57 Ta giả sử A sinh nửa nhóm liên tục mạnh compact T (t )t X Khi ta có kết sau Mệnh đề 1.3 Với t r , (V ( t )) tập đếm compact với điểm tụ , (V ( t )) \ {0} P (V ( t )) Mệnh đề 1.4 Với t 0, , tồn P (V ( t ) ) e P ( Av ) tP ( A v ) e cho Đặt biệt, \ { 0} t ( t ) P (V ( t )) với t r Với ta định nghĩa toán tử ( ) x A x x Khi P ( Av ) tồn hàm ( ) e Suy ra, r e d ( ) x , x D ( A ) D ( A v ), d d ( ) , ( ) , d ( ) / d A ( ) r e Điều có nghĩa d ( ) ( ) ( ) ( ) Ngược lại, tồn x D ( A) cho ( ) x A x x Khi đặt ( ) e x, [ r, 0] , d d r e d ( ) x , [ r , 0] ( ) x , d ( ) / d A ( ) Điều có nghĩa D ( Av ) $ , $ Av Như vậy, tồn P ( Av ) , hay r P ( Av ) x D ( A) ( ) x A x x r e e d ( ) ( ) cho d ( ) x (1.3) Kết Trong mục sử dụng kí hiệu sau đây: (i) L ( , X ) , B C ( , X ) , B U C ( , X ) , A P ( X ) tương ứng không gian hàm nhận giá trị X bị chặn hầu khắp nơi, liên tục bị chặn, bị chặn liên tục khơng gian hàm hầu tuần hồn (theo nghĩa Bohr) Ta có mối quan hệ 58 A P (X ) B U C ( (ii) , X ) BC ( đường tròn đơn vị mặt phẳng phức (iii) Toán tử dịch chuyển S ( ) xác định Đặc biệt ta kí hiệu S : S (1) ,X ) L ( , X ) S ( ) g ( t ) g ( t ) với t ,g L ( ,X) 2.1 Phổ tròn hàm số Trong mục xây dựng biến đổi hàm g dẫn đến khái niệm phổ hàm số L ( ,X) đường thẳng thực, Phổ trùng với tập e i s p ( g ) thêm điều kiện g hàm liên tục đều, s p ( g ) kí hiệu phổ Beurling g Các kết đề cập phổ tròn hàm số trình bày [3] Cho g L ( ,X) Xét hàm phức S g ( ) với S g ( ) : R ( , S ) g , \ xác định sau \ (1.4) Vì $S$ toán tử dịch chuyển, nên biến đổi hàm giải tích theo Định nghĩa 2.1 Phổ tròn g L ( định nghĩa tập tất ,X) khơng có thác triển giải tích lân cận của g kí hiệu (g) 0 để ngắn gọi ta gọi phổ \ 0 cho S g ( ) mặt phẳng phức Phổ trịn g Chúng ta kí hiệu (g ) tập \ ( g ) Mệnh đề 2.2 Lấy { g n } n L ( , X ) cho g n g đường tròn đơn vị Khi ta có khảng định sau đây: (i) (g) (ii) Nếu (iii) S , lấy L ( ,X) BUC ( tập đóng tập đóng (gn) ( Ag ) (g ) (iv) Nếu ( g ) với n , ( g ) với tốn tử tuyến tính bị chặn , g A ,X) mà giao hoán với Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm phổ Beurling hàm Kí hiệu có nghĩa F biến đổi Fourier, ( F f )( s ) : e is t f (t ) d t , s , f L ( ) Khi Phổ Beurling hàm u BUC ( ,X) định nghĩa tập sau 59 s p ( u ) : { f * u ( s ) : : ), s u p p F f ( , ), f * u 0} f L ( f ( s t )u (t ) d t Định lí 2.3 Với kí hiệu trên, Carleman u , xác định sp (u ) trùng với tập gồm t e u (t ) d t , 0 uˆ t e u (t ) d t , cho biến đổi Fourier- R e 0, R e 0, thác triển giải tích lân cận i Định lí chứng minh [4, Proposition 0.5, p.22] Như hệ định lí ánh xạ phổ yếu ta có mối liên hệ phổ trịn hàm số phổ Beurling sau Mệnh đề 2.4 [3,Corollary 3.8] Lấy g BUC ( ,X) (g) e Ví dụ 2.5 Hàm g L ( , X ), Khi isp ( g ) hàm tuần hồn với chu kì Khi dễ dàng ta tính biến đổi Fourier-Carleman 1 t fˆ ( ) (1 e ) e f (t ) d t , R e , có nghĩa fˆ ( ) mở rộng hàm phân hình với cực điểm đơn n Thặng dư cực điểm đơn n cho R e s [ fˆ ; n ] f n hệ số khai triển Fourier in / , n f e in t / f (t ) d t , n , Do sp ( f ) {2 n / : n , f n 0} Ta nhắc lại định nghĩa hàm hầu tuần hoàn (theo nghĩa Bohr), hàm f B C ( , X ) gọi hầu tuần hoàn theo nghĩa Bohr tồn T cho khoảng có độ dài T chứa điểm để s u p | f ( t ) f ( t ) | t 60 Nếu hàm hầu tuần hồn, (Định lí xấp xỉ [1, Chap 2] xấp xỉ f dãy đa thức lượng giác, cụ thể là, t dãy hàm có dạng N (n) Pn ( t ) : a n ,k e i n ,k t , n 1, , ; n , k , a n ,k X , t (1.5) k 1 hiển nhiên hàm xấp xỉ dãy hàm các đa thức lượng giác hàm hầu tuần hồn Ví dụ 2.6 Hàm f (t ) c o s t c o s t ,t hàm thực hầu tuần hoàn Đặc biệt, số mũ đa thức lượng giác (các số thực n ,k (1.5)) chọn từ tập số thực (số mũ Fourier) cho tích phân sau (hệ số Fourier) a ( , f ) : lim T khác 2T T T f (t )e i t dt Như ta biết, số thực đếm , , , kí hiệu b ( f ) {1 , , } Do với Lấy hàm gọi phổ Bohr f A P (X ) f f xác định chuỗi Fourier Ví dụ 2.6 có b ( f ) { 1, ,1, ane i n t , a n a ( n , f ) 2} Trong báo có mối liên hệ sau (xem [4,Proposition 0.7, p.26]) sp ( f ) b ( f ), f A P ( X ) Mệnh đề 2.7 Lấy (g) e i b ( g ) g A P (X ) Khi 2.2 Sự tồn nghiệm hầu tuần hoàn Một số kết liên qua đến tồn nghiệm hầu tuần hồn phương trình (1.2) sau chứng minh [2] Kí hiệu M V (1) ( M ) ( M ) { :| | 1} Định lí 2.8 Với kí hiệu giả sử (M ) ( f ) thỏa mãn Khi có nghiệm hầu tuần hồn u phương trình (1.2) cho ( u ) ( f ) 61 Ta biết Phổ (M ) i e , 1 , , , n , gồm giá trị riêng nhóm comppact co giải tích , {T ( t ) } t i nghiệm phương trình (1.3) , tốn tử A sinh C0 -nửa L2 ( ), D ( A ) H ( ) H ( ) L ( ) Định lí 2.9 Giả sử phương trình i có nghiệm ảo k r i k k 1, , , n , nghiệm hầu tuần hoàn u cho e d ( ) , i 1, , , n , Khi (u ) ( f ) e i k ( f ) phương trình (1.2) có Cụ thể ta xét hai ví dụ sau Ví dụ 2.10 Xét trường hợp (0, l ) , aI , 0, ( ) , r , bI , r, I toán tử đồng L ( ) , a , b Khi Bài toán (1.1) trở thành u ( x, t) t u ( x, t) x a u ( x , t ) b u ( x , t r ) f ( x , t ), x (0 , l ), t , u (0 , t ) u (l , t ) , t (1.6) u ( x , s ) ( s )( x ), x , s [ r , ] Khi giá trị riêng x k ( k ) ,k l Xét phương trình a be r ( k ) , k (1.7) l Nếu phương trình (1.7) khơng có nghiệm ảo Bài tốn (1.6) có nghiệm hầu tuần hồn u với ( u ) ( f ) 62 Ta xét trường hợp cụ thể với a 1, b / , l , r , phương trình (1.7) có hai nghiệm ảo i / , i / Do i , i ( f ) thì tốn Bài tốn (1.6) có nghiệm hầu tuần hoàn u với ( u ) ( f ) Ví dụ 2.11 Xét trường hợp B ( , 1) {0 R 1, } I 0, 0, / I , 1, toán tử đồng L ( ) Trong trường hợp giá trị riêng toán tử n , m ( n , m ) , n , m , I , 0, ( ) n ,m khơng điểm hàm Bessel loại cấp n ,1 n , , n với n ,m n ,m 1 Khi phương trình / 2e ( n , m ) , n , m , khơng có nghiệm ảo, Bài tốn (1.6) có nghiệm hầu tuần hoàn u với ( u ) (f) Nghiên cứu tài trợ Bộ Giáo Dục Đào tạo thuộc Đề tài KHCN cấp Bộ, Mã số: B2018-TTB-11 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] B M Levitan, V V Zhikov (1982), "Almost Periodic Functions and Differential Equations", Moscow Univ Publ House 1978 English translation by Cambridge University Press [2] Vu Trong Luong, Nguyen Van Minh (2019), Almost periodic solutions of periodic linear partial functional differential equations Funkcialaj Ekvacioj To appear [3] Nguyen Van Minh, G N'Guerekata, S Siegmund (2009), Circular spectrum and bounded solutions of periodic evolution equations, J Differential Equations 246, (2009), No 8, 30893108 [4] J Pruss, (1993), "Evolutionary Integral Equations and Applications", Birkhauser, Basel [5] C.C Travis, G.F Webb (1974), Existence and stability for partial functional differential equations, Trans Amer Math Soc , 200 394-418 ALMOST PERIODIC SOLUTIONS FOR PARABOLIC WITH FINITE DELAY Le Van Kien1, Nguyen Huu Tri2 Tay Bac University, 2Trung Van High school, Hanoi Abstract: In this paper, we study the existence of almost periodic solutions for parabolic equations with finite delay Basing on the existing results for functional differential equations in infinite-dimensional Banach space, we establish the unique existence of almost periodic solution for this class equtions Key words: Parabolic equations, almost periodic solutions, spectrum of functions 64 ... Sự tồn nghiệm hầu tuần hoàn Một số kết liên qua đến tồn nghiệm hầu tuần hoàn phương trình (1.2) sau chứng minh [2] Kí hiệu M V (1) ( M ) ( M ) { :| | 1} Định lí 2.8 Với kí... Xét phương trình a be r ( k ) , k (1.7) l Nếu phương trình (1.7) khơng có nghiệm ảo Bài tốn (1.6) có nghiệm hầu tuần hoàn u với ( u ) ( f ) 62 Ta xét trường hợp cụ thể với. .. (t ) (0 ) T (t với {T ( t ) } t s )[ F u s f ( s )] d s , t 0, nửa nhóm liên tục mạnh sinh A Như việc nghiên cứu tồn nghiệm hầu tuần hồn Bài tốn (1.1) tương ứng với tồn nghiệm hầu tuần hồn tốn