Xác định thành phần phụ thuộc thời gian trong vế phải phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robin từ quan sát trên biên

Bài viết trình bày việc đề xuất phương pháp biến phân cho bài toán xác định thành phần phụ thuộc thời gian trong vế phải phương trình parabolic với điều kiện biên Robin từ quan sát trên biên. Bài toán thuận được rời rạc bằng phương pháp sai phân hữu hạn, bài toán biến phân được giải bằng phương pháp gradient liên hợp kết hợp với phương pháp chỉnh Tikhonov.

TNU Journal of Science and Technology 227(02): 178 - 185 DETERMINATION OF A TIME - DEPENDENT TERM IN THE RIGHT HAND SIDE OF LINEAR PARABOLIC EQUATIO NS WITH ROBIN BOUNDARY CONDITION FROM BOUNDARY OBSERVATIONS Bui Viet Huong* University of Transport and Communications ARTICLE INFO Received: 08/12/2021 Revised: 28/02/2022 Published: 28/02/2022 KEYWORDS ABSTRACT We propose a variational method for determining a time-dependent term in the right hand side of parabolic equations with Robin boundary condition from boundary observations We have shown the formula for functional to be minimized gradient via an adjoint problem The direct problem is discretized by the finite difference methods and the variational problem is solved by the conjugate gradient method and Tikhonov regularization Inverse problems Ill-posed problems Boundary observations Finite difference methods Conjugate gradient methods XÁC ĐỊNH THÀNH PHẦN PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG VẾ PHẢI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN TỪ QUAN SÁT TRÊN BIÊN Bùi Việt Hương Trường Đại học Giao thơng Vận tải, Hà Nội THƠNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: 08/12/2021 Ngày hoàn thiện: 28/02/2022 Ngày đăng: 28/02/2022 TỪ KHĨA Bài tồn ngược Bài tốn đặt khơng chỉnh Quan sát biên Phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp gradient liên hợp TĨM TẮT Chúng tơi đề xuất phương pháp biến phân cho toán xác định thành phần phụ thuộc thời gian vế phải phương trình parabolic với điều kiện biên Robin từ quan sát biên Chúng tơi đưa cơng thức tính gradient phiếm hàm cần cực tiểu hóa dựa toán liên hợp Bài toán thuận rời rạc phương pháp sai phân hữu hạn, toán biến phân giải phương pháp gradient liên hợp kết hợp với phương pháp chỉnh Tikhonov DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.5334 * Corresponding author Email: huongbv@utc.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn 178 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal o f Science and Technology ✶ 227(02): 178 - 185 ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ t t ỗ tr q tr tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ✈á♥❣ ✺✵ ♥➠♠ q✉❛✳ ▼➦❝ ❞ò ❝â ❦❤→ ♥❤✐➲✉ ❦➳t q t tỗ t t ê♥ ✤à♥❤ ❝❤♦ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥✱ ♥❤÷♥❣ ❞♦ t➼♥❤ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ❝â t❤➸ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✱ ♥➯♥ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣➛♥ ✤➙② ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❦ÿ s÷ ✤➦t ❧↕✐ ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤ó♥❣ ✭①❡♠ ❬✶❪✱ ❬✷❪✱ ❬✸❪✱ ❬✹❪✮✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ❣✐ỵ✐ ♥ë✐ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ ∂Ω ❧➔ ❜✐➯♥ ❝õ❛ Ω✱ Q := Ω × (0, T ] ✈➔ S := ì (0, T ] ợ T > t ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❘♦❜✐♥ ut − ∆u = f (t)h(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ Q ✭✶✳✶✮ u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω ∂u + σu = ψ(x, t), (x, t) ∈ S ∂ν ✭✶✳✷✮ ✭✶✳✸✮ Ð ✤➙②✱ ν ❧➔ ✈➨❝ tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✤ì♥ ✈à ♥❣♦➔✐ tr➯♥ S ✳ ❱➔ f (t), h(x, t), g(x, t), u0 (x), ψ(x, t) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧➛♥ ❧÷đt t❤✉ë❝ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ L2 (0, T ), L2 (Q), L2 (Ω), L2 (S)✳ ❱➔ σ ❧➔ ❤➔♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ L∞ (S) ✤÷đ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐ tr➯♥ S ✳ ❇➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ u ❦❤✐ ❝→❝ ❤➺ sè ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✮ ✈➔ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ u0 , ψ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ f, h, g ✤➣ ❜✐➳t✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✈➳ ♣❤↔✐ ❦❤✐ ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜ê s✉♥❣ tr➯♥ ❧í✐ ❣✐↔✐ u ✤÷đ❝ ❝❤♦ t❤➯♠ ✈➔♦✳ ❚r♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝✿ ❳➙② ❞ü♥❣ ❧↕✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ♣❤ư t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥ f (t) tr♦♥❣ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✭✶✳✶✮ ✕ ✭✶✳✸✮ tø ❞ú ❦✐➺♥ q✉❛♥ s→t tr➯♥ ❜✐➯♥ u|S = ϕ, ✭✶✳✹✮ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ t♦→♥ tû q✉❛♥ s→t ϕ t❤✉ë❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ L2 (S)✳ ✣➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤♦→ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ γ Jγ (f ) = ||u(f ) − ϕ||2L2 (S) + ||f − f ∗ ||2L2 (0,T ) , 2 ✈ỵ✐ γ > ❧➔ t❤❛♠ sè ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ f ∗ ∈ L2 (0, T ) ❧➔ ♠ët ❞ü ✤♦→♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ❝õ❛ f ✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ♠✉è♥ ♥❤➜♥ ♠↕♥❤ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t ♥❣÷đ❝ ✭①❡♠ ❬✷❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✮ ✈➔ ❝❤ù♥❣ tä ♥â r➜t ❤ú✉ ❤✐➺✉✳ ✣➸ ❧➔♠ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✱ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ✭✷✳✹✮ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✈➔ ✤÷❛ r❛ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝❤♦ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t❤æ♥❣ q✉❛ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤đ♣✳ ❙❛✉ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ rí✐ r↕❝ ❤♦→ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤ú✉ rỗ t tố ữ rớ r ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣r❛❞✐❡♥t ❧✐➯♥ ❤đ♣✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ sè ❝❤♦ t❤➜② ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❧➔ ✤ó♥❣ ✤➢♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ sè ❧➔ ❤ú✉ ❤✐➺✉✳ http://jst.tnu.edu.vn 179 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal o f Science and Technology ✷ ✷✳✶ 227(02): 178 - 185 ❑➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❇➔✐ t♦→♥ t rữợ ữ r ổ tự ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✕ ✭✶✳✸✮✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣ ✈✐➺❝ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ ✤÷đ❝ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ❈❤♦ V ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ❑➼ ❤✐➺✉ W (0, T ) ❧➔ ổ t t ỗ tt y ∈ L2 (0, T ; V )✱ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ✭t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ♣❤➙♥ ❜è✮ y ∈ L2 (0, T ; V ∗ ) ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ T y = W (0,T ) y(t) V + y (t) V∗ 1/2 dt ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ W (0, T ) = {y : y ∈ L2 (0, T ; V ), y ∈ L2 (0, T ; V )} ổ rt ợ t ổ ữợ T u, v = W (0,T ) T u(t), v(t) V + u (t), v (t) V∗ dt ✣➸ ✤÷❛ r❛ ✤→♥❤ ❣✐→ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t trữợ t ú tổ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ W (0, T ) ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳ ❍➔♠ u ∈ W (0, T ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✲ ✭✶✳✸✮ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ t❤û η ∈ L2 (0, T ; H (Ω)) t❛ ✤➲✉ ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝ T ut , η H (Ω)) ,H (Ω) ∇u∇ηdxdt + + Q = σuηdsdt S (f h + g)ηdxdt + Q ✭✷✳✶✮ ψηdsdt S ✈➔ u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Q✳ ❚❛ ❝â s ỵ y W 1,0 (Q) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✲ ✭✶✳✸✮✳ ❑❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ y t❤✉ë❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ W (0, T ) ỵ y ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✲ ✭✶✳✸✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤→♥❤ ❣✐→ ❞↕♥❣ y W (0,T ) ≤ cw fh L2 (Q) + g L2 (Q) + ψ L2 (S) + u0 L2 (Ω) , ✭✷✳✷✮ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè cw > ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ (f, g, u0 )✳ ❍❛② ♥â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ →♥❤ ①↕ (f, g, u0 ) → y ①→❝ ✤à♥❤ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ tø ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ L2 (Q) × L2 (Σ) × L2 (Ω) ✈➔♦ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ W (0, T ) ✈➔ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ →♥❤ ①↕ ✤â ✈➔♦ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ C([0, T ]; L2 (Ω))✳ http://jst.tnu.edu.vn 180 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal o f Science and Technology ✷✳✷ 227(02): 178 - 185 P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✲ ✭✶✳✸✮✳ ❱➻ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ u(x, t) ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❤➔♠ f (t) ♥➯♥ t❤❛② ✈➻ ❦➼ ❤✐➺✉ u(x, t, f ) t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ u(f ) ❤♦➦❝ u(f, u0 , ψ) ✤➸ ♥❤➜♥ ♠↕♥❤ sü ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❤➔♠ f ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ u✳ ✣➸ ①→❝ ✤à♥❤ f ✱ t❛ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤♦→ ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ J0 (f ) = u(f ) − ϕ ✭✷✳✸✮ L2 (S) tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ L2 (S)✳ ❱➻ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ J0 (f ) ❦❤æ♥❣ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ❝â t❤➸ ❝â ♥❤✐➲✉ ♥❣❤✐➺♠ ♥➯♥ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈ Jγ (f ) = u(f ) − ϕ 2 L2 (S) + γ f − f∗ ✭✷✳✹✮ L2 (0,T ) ✈ỵ✐ γ > ❧➔ t❤❛♠ sè ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ f ∗ ∈ L2 (0, T ) ❧➔ ♠ët ❞ü ✤♦→♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ❝õ❛ f ✳ ❚❛ t❤➜②✱ ♥➳✉ f > t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ Jγ (f ) ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✕ ✭✶✳✸✮ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ ✭✷✳✺✮ −pt − ∆p = 0, (x, t) ∈ Q ✭✷✳✻✮ p(x, T ) = 0, x ∈ Ω ∂p + σu = u(f ) − ϕ, (x, t) ∈ S ∂ν ✭✷✳✼✮ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤ê✐ ❝❤✐➲✉ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✭✷✳✺✮ ✕ ✭✷✳✼✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t tr ổ W (0, T ) ỵ P❤✐➳♠ ❤➔♠ J γ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ♥â ∇Jγ (f ) ❝â ❞↕♥❣ ✭✷✳✽✮ h(x, t)p(x, t)dx + γ(f (t) − f ∗ (t)), ∇Jγ (f ) = Ω ✈ỵ✐ p(x, t) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t ủ rữợ t ú tổ ✤÷❛ ✈➔♦ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ S : L2 (0, T ) → L2 (S) ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ S(f ) = u(f, 0, 0)|S ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ ❱ỵ✐ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ δf ∈ L2 (0, T ) ❝õ❛ f ✤õ ♥❤ä✱ t❛ ❝â 1 u(f + δf ) − ϕ 2L2 (S) − u(f ) − ϕ 2L2 (S) 2 1 = u(f + δf ) − u(f ) + u(f ) − ϕ 2L2 (S) − u(f ) − ϕ 2 J0 (f + δf ) − J0 (f ) = http://jst.tnu.edu.vn 181 L2 (S) Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal o f Science and Technology = S(δf ) + u(f ) − ϕ 2 L2 (S) 227(02): 178 - 185 − u(f ) − ϕ 2 L2 (S) S(δf ) 2L2 (S) = S(δf ), u(f ) − ϕ L2 (S) + o δf L2 (0,T ) = S(δf ), u(f ) − ϕ L2 (S) + tr♦♥❣ ✤â✱ δu(f ) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✾✮ δut − ∆δu = δf (t)h(x, t), (x, t) ∈ Q ✭✷✳✶✵✮ δu(x, 0) = 0, x ∈ Ω ∂δu + σu = 0, (x, t) ∈ S ∂ν ✭✷✳✶✶✮ ❙û ❞ö♥❣ ổ tự r ỵ ❝õ❛ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✺✮ ✕ ✭✷✳✼✮ ✈➔ ✭✷✳✾✮ ✕ ✭✷✳✶✶✮ t❛ ❝â u(δf, 0, 0) u(f ) − ϕ dsdt δf h(x, t)p(x, t)dxdt = Q S S(δf ) u(f ) − ϕ dsdt = S = S(δf ), u(f ) − ϕ L (S) + o δf L2 (0,T ) ❉♦ ✤â t❛ ❝â J0 (f + δf ) − J0 (f ) = δf h(x, t)p(x, t)dxdt Q = h(x, t)p(x, t)dx, δf Ω + o δf L2 (0,T ) L2 (0,T ) ❱➟② J0 (f ) ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✈➔ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ♥â ❝â ❞↕♥❣ ∇J0 (f ) = h(x, t)p(x, t)dx Ω ✈ỵ✐ p(x, t) ❧➔ ♥❣✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✭✷✳✺✮ ✕ ✭✷✳✼✮✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮ ♠æ t↔ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈ Jγ (f )✳ ❇➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤đ♣ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣r❛❞✐❡♥t ❧✐➯♥ ❤đ♣✳ ✷✳✸ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ rt ủ ú tổ ợ t ữỡ rt ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✿ http://jst.tnu.edu.vn 182 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal o f Science and Technology 227(02): 178 - 185 ữợ k = trữợ f ✶✳✷✳ ❚➼♥❤ U (f ) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥    Ut0 − ∆U = f (t)h(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ Q,    U (x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,   ∂U    + σU = ψ(x, t), (x, t) ∈ S ∂ν ✶✳✸✳ ❚➼♥❤ r˜0 = U (f ) − ϕ = U x, t; f ) − ϕ ✈ỵ✐ ϕ = uex (x, t; f )✱ tr♦♥❣ ✤â uex ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✕ ✭✶✳✸✮✳ ✶✳✹✳❚➼♥❤ r0 = −∇Jγ (f ) ❝❤♦ ❜ð✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣✳    −p0t − ∆p0 = 0, (x, t) ∈ Q,    p (x, T ) = 0, x ∈ Ω,   ∂p0    + σu = u(x, t; f ) − ϕ, (x, t) ∈ S ∂ν ✶✳✺✳ ✣➦t d0 = r0 ✳ ữợ n = 0, 1, 2, ❚➼♥❤ Adn = U n (dn ) = U n (x, t; dn )✱ tr♦♥❣ ✤â U n (x, t; dn ) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥ ✈ỵ✐ f = dn ✳ || rk ||2L2 (0,T ) ✷✳✷✳ ❚➼♥❤ αn = ||Adn ||2L2 (0,T ) + λ ||dn ||2L2 (0,T ) ✷✳✸✳ ❈➟♣ ♥❤➟t fn+1 = fn + αn dn ✷✳✹✳ ❚➼♥❤ r˜n+1 = r˜n + αn Adn ✷✳✺✳ ❚➼♥❤ ❣r❛❞✐❡♥t rn+1 tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣✳    −pn+1 − ∆pn+1 = 0, (x, t) ∈ Q t    n+1 p (x, T ) = 0, x ∈ Ω,   ∂pn+1    + σu = u(x, t; f n ) − ϕ, (x, t) ∈ S ∂ν ✷✳✻✳ ❚➼♥❤ βn = ||rn+1 ||2L2 (0,T ) ||rn ||2L2 (0,T ) ✷✳✼✳ ❈➟♣ ♥❤➟t dn+1 = rn + βn dn ◗✉→ tr➻♥❤ ❧➦♣ ð tr➯♥ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ tư❝✳ ✣➸ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ Jγ (f )✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t✐➳♥ ❤➔♥❤ rí✐ r↕❝ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥ ✭✶✳✶✮ ✕ ✭✶✳✸✮✱ rí✐ r↕❝ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ Jγ (f )✱ s❛✉ ✤â ①➙② ❞ü♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ ❤đ♣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✤➸ t➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝❤♦ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ rí✐ r↕❝ ♥➔②✳ ❇➔✐ t♦→♥ t❤✉➟♥ ✤÷đ❝ rí✐ r↕❝ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤ú✉ ❤↕♥✳ http://jst.tnu.edu.vn 183 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal o f Science and Technology ✷✳✹ 227(02): 178 - 185 ❱➼ ❞ö sè ♠✐♥❤ ❤♦↕ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❧➟♣ tr➻♥❤ ✈➼ ❞ư sè ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ t❤✉➟t t♦→♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♠ët ❝❤✐➲✉✳ ❳➨t ♠✐➲♥ Ω = (0, 1) ✈➔ T > 0✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t ♠ët ❝❤✐➲✉ ❝â ❞↕♥❣ ut − uxx = f (t)h(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ (0, 1) × [0, T ) u(x, 0) = u0 (x), x ∈ (0, 1) −ux (0, t) + u(0, t) = g1 (t), t ∈ [0, T ) ux (1, t) + u(1, t) = g2 (t), t ∈ [0, T ) ❈❤ó♥❣ tỉ✐ t➻♠ ❧↕✐ ❤➔♠ f (t) tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ f (t) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ (0, 1) ✈➔ f (t) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ (0, 1)✳ ❚r♦♥❣ ❝↔ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ Uex ✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉ u0 (x) ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ g1 (t), g2 (t) ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ Uex = sin(πt) cos(x − t) (x, t) ∈ (0, 1) × [0, T ) u(x, 0) = 0, x ∈ (0, 1) g1 (t) = sin(πt) sin(−t) + cos(−t) , t ∈ [0, T ) g2 (t) = − sin(πt) sin(1 − t) + cos(1 − t) , t ∈ [0, T ) ❼ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ f (t) = sin(t) ❧➔ ❤➔♠ trì♥✳ ❚❛ ❝â ❦➳t q✉↔ sè ❍➻♥❤ ✶✿ ◆❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ số ợ rữớ ủ f (t) = http://jst.tnu.edu.vn  2t ♥➳✉ t ≤ 0.5 2(1 − t) ♥➳✉ t > 0.5 184 ❧➔ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ ✈✐✳ ❚❛ ❝â ❦➳t q✉↔ sè Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(02): 178 - 185 Hình Nghiệm xác với nghiệm giải số với nhiễu 10% Lời cảm ơn Nghiên cứu tài trợ Trường Đại học Giao thông Vận tải đề tài mã số T2021 – CB – 007 TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] J R Cannon, The One-dimensional Heat Equation Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Reading, MA, 1984 [2] N H Dinh, Methods for Inverse Heat Conduction Problems Peter Lang Verlag, Frankfurt/Main, Bern, New York, Paris, 1998 [3] M Hinze, "A variational discretization concept in control constrained optimization: The linearquadratic case," Computat Optimiz Appl., vol 30, pp 45-61, 2005 [4] A I Prilepko and D S Tkachenko, "The Fredholm property and the wellposedness of the inverse source problem with integral overdetermination," Comput Math Math Phys., vol 43, pp 1338-1347, 2003 [5] N H Dinh, "A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equations II: A variational method", Numer Funct Anal Optim., vol 13, pp 541-564, 1992 [6] N H Dinh, "A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equations III: A variational method and its approximation schemes," Numer Funct Anal Optim., vol 13, pp 565-583, 1992 [7] F Troltzsh, Optimal Control of Partial Differential Equations: Theory, Methods and Applications, Amer Math Soc., Providence, Rhode Island, 2010 http://jst.tnu.edu.vn 185 Email: jst@tnu.edu.vn ... jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(02): 178 - 185 Hình Nghiệm xác với nghiệm giải số với nhiễu 10% Lời cảm ơn Nghiên cứu tài trợ Trường Đại học Giao thông Vận tải đề tài... problem for linear parabolic equations II: A variational method", Numer Funct Anal Optim., vol 13, pp 541-564, 1992 [6] N H Dinh, "A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equations