phương trình song phi tuyến tính với điều kiện biến chứa phương tích phân phi tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ PHẠM GIA KHÁNH PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60. 46. 01 THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2005 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ PHẠM GIA KHÁNH PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60. 46. 01 Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Phạm Gia Khánh Bộ môn Toán, Khoa Sư Phạm, Đại học Cần Thơ. Thành phố Cần Thơ 2005 LUẬN VĂN ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: TS. Nguyễn Công Tâm Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 2: TS. Nguyễn Văn Nhân Khoa Thống kê-Toán-Tin học, Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Phạm Gia Khánh Bộ môn Toán, Khoa Sư Phạm, Đại học Cần Thơ. Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án tại Trường Đại học Cần Thơ, vào lúc ……giờ……ngày 10 tháng 09 năm 2005. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại Học Cần Thơ. THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2005 LÔØI CAÛM ÔN MỤC LỤC Trang Chương 0. Phần mở đầu 3 Chương 1. Các công cụ chuẩn bò 7 1.1 Các không gian hàm 7 1.2 Không gian hàm .1),;,0( ∞≤≤ pXTL p 9 1.3 Phân bố có giá trò vectơ 10 1.4 Bổ đề về tính compact của Lions 14 1.5 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong ).(QL p 14 Chương 2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 15 Đònh lý 2.1 16 Đònh lý 2.2 35 Đònh lý 2.3 35 Chương 3. Sự ổn đònh của nghiệm 36 Đònh lý 3.1 36 Chương 4. Xét một trường hợp cụ thể 41 Phần kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 3 CHƯƠNG 0. PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp các hàm (, )uP thỏa: (,) (, ) (,), (0,1), 0 , tt xx t uu bxtfuu Fxtx tT−+ = ∈Ω= << (0.1) ),(),0( tPtu x = (0.2) (1, ) 0,ut= (0.3) 0 (,0) (),ux u x= 1 (,0) (), t ux ux = (0.4) trong đó 01 ,,,,uubfF là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Hàm chưa biết (,)uxt và giá trị biên chưa biết ()Pt thỏa một phương trình tích phân phi tuyến sau đây 0 () () ( (0,)) ( ) (0, ) , t Pt gt Hu t kt su sds=+ −− ∫ (0.5) trong đó ,, k gH là các hàm cho trước. Trong [2], Đặng Đình Áng và Alain Phạm Ngọc Định đã thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục cho bài toán giá trị biên và ban đầu (0.1)-(0.4) với 01 ,,uuP là các hàm cho trước và 1 (,) 0, (,) 1, (, ) | | tt t Fxt bxt fuu u u α α − == ⎧ ⎨ =<< ⎩ , (0 1). (0.6) Bằng sự tổng quát hóa của [2], Long và Alain Phạm [7, 10, 11], Long và Thuyết [13], Long và Dũng [14], Long, Tâm và Trúc [15], Hóa và Ngọc [8] đã xét bài toán (0.1), (0.3), (0.4) với 1b ≡ và liên kết với điều kiện biên không thuần nhất tại x = 0 có dạng 0 (0, ) ( ) ( (0, )) ( , (0, )) . t x utgtHut ktsusds=+ −− ∫ (0.7) Các tác giả trên đã lần lượt cứu xét nó trong [10] với 0k ≡ , H(s)=hs, trong đó 0h > ; trong [7] với 0;k ≡ trong [10, 15] với () ,Hs hs = trong đó h>0. Một số 4 tính chất về compact và liên thông của tập nghiệm của bài toán (0.1)-(0.5) ứng với 1b ≡ cũng được xét trong [8]. Trong trường hợp 1b ≡ , H(s)=hs, trong đó h>0, bài toán (0.1)-(0.5) được thành lập từ bài toán (0.1)-(0.4), trong đó, hàm chưa biết u(x,t) và giá trị biên chưa biết ()Pt thỏa một bài toán Cauchy sau đây cho một phương trình vi phân thường // 2 () () (0,), 0 , tt Pt Pt hu t t T ω += << (0.8) / 01 (0) , (0) ,PPP P== (0.9) trong đó 0, ω > 0,h ≥ 01 , PP là các hằng số dương cho trước [11]. Trong [1], Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều đã nghiên cứu một trường hợp riêng của bài toán (0.1)-(0.4), (0.8), (0.9) với 1b ≡ , u 0 =u 1 =P 0 =0 và với b(x,t)f(u,u t )-F(x,t)=f 1 (u,u t ) tuyến tính, nghĩa là, f 1 (u,u t )=Ku+λu t , trong đó , K λ là các hằng số cho trước. Trong trường hợp sau, bài toán (0.1)-(0.4), (0.8) và (0.9) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng([1,19]). Như vậy bài toán nghiên cứu trong luận văn này là phi tuyến tương tự bài toán được xét trong [1,19]. Trong trường hợp mà (,) (, ) (,) t bxt f uu Fxt − = || (), tt usignu α 01, α << bài toán (0.1)-(0.4), (0.8) và (0.9) mô tả sự va chạm của một vật rắn và thanh đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở mặt bên, ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt. Từ (0.8), (0.9) ta biểu diễn P(t) theo 01 ,,,, (0,) tt PP hu t ω và sau đó tích phân từng phần ta thu được 0 () () (0,) ( ) (0, ) , t P t g t hu t k t s u s ds=+ −− ∫ (0.10) trong đó ω ω ω t huPthuPtg sin ))0((cos))0(()( 1100 −+−= , (0.11) () sin .kt h t ω ω = (0.12) Bằng cách khử ẩn hàm P(t), ta thay thế điều kiện biên (0.2) bởi 5 0 (0, ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) . t x u t g t hu t k t s u s ds=+ −− ∫ (0.13) Khi đó, chúng ta đưa bài toán (0.1)-(0.4), (0.8), (0.9) về (0.1)-(0.4), (0.10)- (0.12) hay (0.1), (0.3), (0.4), (0.11)-(0.13). Cũng cùng loại với bài toán trên, Long, Út và Trúc [16] đã cứu xét bài toán biên thuộc dạng 01 11 0 () ( ,), 0 1, 0 , (0, ) 0, () (1,) (), ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), ( ) ( ) (1, ) ( ) (1, ) ( ) ( ) (1, ) , tt xx t x t t t utuKuufxt x tT ut tu t Qt ux ux ux ux Qt K tu t tu t gt kt su sds μλ μ λ ⎧ ⎪ −++= <<<< ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ −= ⎨ ⎪ == ⎪ ⎪ =+−−− ⎪ ⎪ ⎩ ∫ (0.14) trong đó, 01 11 , , , , , , , uufgk K μ λ là các hàm cho trước, ,K λ là các hằng số không âm cho trước. Cũng vậy, Long, Định và Diễm [17] nghiên cứu bài toán biên phi tuyến dưới đây 11 01 0 || | | (,), 0 1, 0 , (0, ) ( ), (1, ) (1, ) (1, ) 0, (,0) (), (,0) (), ( ) ( ) (0, ) ( ) (0, ) , tt xx t t x xt t t uu Kuu uu fxt x tT utPt utKut ut ux ux ux ux P t g t hu t k t s u s ds αβ λ λ ⎧ ⎪ −+ + = << << ⎪ ⎪ −= ⎪ ⎪ ++= ⎨ ⎪ == ⎪ ⎪ =+ −− ⎪ ⎪ ⎩ ∫ (0.15) trong đó, 01 , , , , uufgk là các hàm cho trước, 11 , , , , , hKK λ λα và β là các hằng số không âm cho trước Luận văn được trình bày theo các chương mục sau Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn. 6 Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về phép nhúng compact giữa các không gian hàm quan trọng. Chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục của bài toán (0.1)-(0.5). Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm, hội tụ yếu và về tính compact. Trong phần này, định lý Schauder được sử dụng trong vi ệc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin. Một điều chú ý rằng, phương pháp xấp xỉ tuyến tính trong các bài báo [6,12,15, 18] không sử dụng được trong luận văn này và trong các bài báo [2, 4, 5 ,7, 10, 11, 13, 14]. Chương 3, chúng tôi chứng minh rằng nghiệm (u,P) của bài toán (0.1)-(0.5) là ổn định đối với các hàm g, H và k. Chương 4, chúng tôi xét bài toán cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm của bài toán trên. Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo. Nhìn chung các kết quả trình bày trong các chương 2, 3, 4 là một nới rộng nhỏ kết quả trong [13] như là một đóng góp khá khiêm tốn của tác giả. 7 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1. Các không gian hàm Đầu tiên, ta đặt các ký hiệu sau (0,1), (0, ), T QT Ω ==Ω× T>0, và bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: (), m C Ω (), p L Ω (), m H Ω , (). mp W Ω Để cho gọn, ta ký hiệu lại như sau () , pp LLΩ= () , mm HHΩ= ,, () . mp mp WWΩ= Ta định nghĩa )( 2 Ω= LH là không gian Hilbert đối với tích vô hướng 1 0 ,()()uv uxvxdx= ∫ , 2 ,.uv L∈ (1.1) Ký hiệu ||.|| để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghĩa là 1/2 1 2 0 || || , ( )uuu uxdx ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ , 2 .uL∈ (1.2) Ta định nghĩa 1 {:(1)0},VvHv=∈ = (1.3) và 1 0 ,',''()'(). V uv u v u xv xdx== ∫ (1.4) V là không gian con đóng của 1 ,H do đó, V là không gian Hilbert đối với tích vô hướng của 1 .H Mặt khác trên V thì 1 |||| H v và || || ', ' V vvv= là hai chuẩn tương đương. Điều này cho bởi bổ đề sau Bổ đề 1.1. Phép nhúng 0 ()VC Ω  là compact và 0 () || || || || V C vv Ω ≤ với mọi .vV ∈ (1.5) Chứng minh bổ đề 1.1 không khó khăn. Bổ đề 1.2. Đồng nhất H với H’ ( đối ngẫu của H). Khi đó, ta có ''VH H V ≡  với các nhúng liên tục và nằm trù mật. [...]... thoả một hệ phương trình vi phân phi tuyến sau đây // / um (t ), w j + a(um (t ), w j ) + Pm (t ) w j (0) + b(t ) f (um (t ), um (t )), w j = F (t ), w j , 1 ≤ j ≤ m, (2.11) t Pm (t ) = g (t ) + H (um (0, t )) − ∫ k (t − s )um (0, s )ds, (2.12) m ⎧ um (0) = u0 m = ∑ α mj w j → uo mạnh trong H 1 , ⎪ j =1 ⎪ ⎨ m ⎪u ' (0) = u = β w → u mạnh trong L2 ∑ mj j 1 1m ⎪ m j =1 ⎩ (2.13) 0 Hệ phương trình (2.11)-(2.13)... ) 1.3 Phân bố có giá trị vectơ Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D((0, T)) vào X gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong X Tập các phân bố có giá trị trong X, ký hiệu là: ( ) D ' ( 0, T ; X ) = L D ( 0, T ) ; X ) ={ f : D(0, T ) → X | f tuyến tính liên tục} ∞ Chú thích 1.3 Ta ký hiệu D(0,T) thay cho D ( ( 0, T ) ) hoặc Cc ((0, T )) để chỉ... minh (i) Dễ thấy rằng T tuyến tính Nếu Tw = 0 thì w, v = Tw , v V ',V = 0, ∀v ∈ V Do V trù mật trong H, nên ta có w, v = 0, ∀v ∈ H Do đó w = 0 Vậy T là đơn ánh, nghĩa là, một phép nhúng từ H vào V’ (ii) Ta có, với mọi w ∈ H , Tw V' = sup v∈V , v v =1 Tw , v = sup v∈V , v v =1 ≤ sup w.v ≤ sup w, v w.vv = w v∈V , v v =1 v∈V , v v =1 8 (iii) Ta chứng minh rằng mọi phi m hàm tuyến tính liên tục trên V’... thức (2.18) không khó khăn, ta bỏ qua 17 (2.18) Áp dụng bổ đề 2.1 cho hệ (2.14)-(2.16) với: ⎧c(t ) = cmj (t ), λ = λ j , α = α mj , β = β mj , ⎪ −1 ⎡ ⎨ / ⎤ ⎪q (t ) = || w ||2 ⎣ Pm (t ) w j (0) + b(t ) f (um (t ), um (t )), w j − F (t ), w j ⎦ , j ⎩ ta được hệ (2.14)-(2.16) là tương đương với hệ phương trình vi tích phân sau cmj (t ) = α mj cos(λ j t ) + β mj sin(λ j t ) λj 0 sin[λ j (t − τ )] λj q (τ... (2.14)-(2.16) có nghiệm (um (t ), Pm (t )) trên một khoảng [0,Tm] Các đánh giá tiên nghiệm dưới đây cho phép ta lấy Tm=T với mọi m Bước 2 Các đánh giá tiên nghiệm / Thay (2.15) vào (2.14), khi đó nhân phương trình thứ j của (2.14) bởi c mj (t ) và lấy tổng theo j, sau đó, tích phân từng phần theo biến thời gian từ 0 đến t, nhờ các giả thiết (A2), (F1), ta có Λ Λ S m (t ) ≤ −2 H (um (0, t )) + 2 H (u0 m (0))... điều kiện nào đó mà chúng ta sẽ đặt ra sau Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ yếu trong các không gian hàm thích hợp nhờ một số các phép nhúng compact Trong phần này, định lý Schauder được sử dụng trong việc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin Kết quả thu được trong chương này đã tổng quát hóa kết quả trong [13] chứa. .. ∈ L2 ( Ω × ( 0, T ) ) ∀T > 0; (A6) Hàm số H ∈ C1 ( IR ) thoả H (0) = 0 và tồn tại một hằng số h0 > 0 sao cho η ˆ H (η ) = ∫ H ( s )ds ≥ −h0 , với mọi η ∈ IR; 0 15 (F) Hàm số f: IR 2 → IR thoả f (0, 0) = 0 và các điều kiện (F1) f là đơn điệu không giảm đối với biến thứ hai, tức là % % % ( f ( u, v ) − f (u, v))(v − v) ≥ 0, ∀u, v, v ∈ IR Tồn tại hai hằng số α , β ∈ ( 0,1] và hai hàm số liên tục B1, B2:... đạo hàm bố của f bởi công thức: 10 df theo nghĩa phân dt df dϕ ,ϕ = − f , , ∀ϕ ∈ D ( 0, T ) dt dt (1.10) Các tính chất: i/ Cho v ∈ Lp ( 0, T ; X ) ta làm tương ứng với nó bởi ánh xạ Tv : D(0, T ) → X như sau: T Tv , ϕ = ∫ v(t )ϕ (t )dt , ∀ϕ ∈ D ( 0, T ) (1.11) 0 Ta có thể nghiệm lại rằng Tv ∈ D' (0, T ; X ) Thật vậy: j) Ánh xạ Tv : D(0, T ) → X là tuyến tính jj) Ta nghiệm lại ánh xạ Tv : D(0, T ) →... Vậy v(t) = C trong D ' ( 0, T ; X ) Bước 3: Ta sử dụng tính chất sau Nếu w ∈ L1 ( 0, T ; X ) và T ∫ w(t )ϕ (t )dt = 0, ∀ϕ ∈ D ( 0, T ) thì w(t ) ≡ 0 với hầu 0 hết t ∈ (0, T ) Điều này có được là do ánh xạ w a Tw từ L1 (0, T ; X ) vào D' (0, T ; X ) là đơn ánh (tính chất ii/ ở trên) Từ các bước 1, 2, 3 ở trên ta suy ra rằng f = H + C, theo nghĩa phân bố Tương tự ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.8 (Lions[9])... đề 1.8 (Lions[9]) Nếu f ∈ L p (0, T ; X ) và f / ∈ L p (0, T ; X ) thì f bằng hầu hết với một hàm liên tục từ [ 0, T ] → X 13 1.4 Bổ đề về tính compact của Lions[9] Cho ba không gian Banach X0, X1, X với X0 ⊂ X ⊂ X 1 với các phép nhúng liên tục sao cho: X0, X1 là phản xạ, (1.16) Phép nhúng X 0  X là compact (1.17) Với 0 < T < ∞ , 1 ≤ pi ≤ ∞ , i = 0,1, ta đặt { } W ( 0, T ) = v ∈ Lp0 ( 0, T ; X 0 ) . GIA KHÁNH PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 GIA KHÁNH PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 01 ,,,,uubfF là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Hàm chưa biết (,)uxt và giá trị biên chưa biết ()Pt thỏa một phương trình tích phân phi tuyến sau đây 0 () () ( (0,)) (