Về một phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên chứa tích phân tuyến tính

Bài viết này nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của một phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa tích phân tuyến tính. Dáng điệu tiệm cận và khai triển tiệm cận của nghiệm yếu đến cấp N+1 theo một tham số bé cũng được khảo sát.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH Trương Thị Nhạn*, Trần Minh Thuyết† Giới thiệu Trong báo này, chúng tơi xét tốn sau: Tìm cặp hàm (u , P ) thỏa p- ìï ïï u tt - ¶¶x m(x , t )u x + l u t u t = F (x , t ), < x < 1, < t < T , ïï í m(0, t )u x (0, t ) = P (t ), u (1, t ) = 0, ïï ïï u (x , 0) = u%0 (x ), u t (x , 0) = u%1(x ), ïỵ ( ) (1) p ³ 2, l ³ số cho trước; m, u%0, u%1, F hàm cho trước thoả điều kiện đặt sau Hàm chưa biết u (x , t ) giá trị biên P (t ) thoả phương trình tích phân tuyến tính sau đây: t P (t ) = g(t ) + k 0u (0, t ) + l 0u t (0, t ) - òk (t - s )u (0, s )ds, (2) k 0, l số cho trước g, k hàm cho trước Bài toán (1) quan tâm khảo sát nhiều tác giả (xem [1], [5] – [16]) tài liệu tham khảo Một toán khác loại toán thành lập từ tốn (1), đó, l = 0, k ³ 0, m(x , t ) º 1, hàm chưa biết u (x , t ) giá trị biên chưa biết P (t ) thoả tốn Cauchy sau cho phương trình vi phân thuờng ìï P ¢¢(t ) + w2P (t ) = hu (0, t ), < t < T , ï tt í ïï P (0) = P0, P ¢(0) = P1, ïỵ (3) đó, k ³ 0, w > 0, P0 , P1 số cho trước * † ThS, Khoa Khoa học Tự nhiên - Học viện Hải quân; TS, Đại học Kinh tế Tp.HCM 53 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 Các tác giả Long Alain Phạm [5, 6], Long Thuyết [9] xét toán (1) với điều kiện biên x = có dạng t u x (0, t ) = g(t ) + H (u (0, t )) - ò k (t - s )u (0, s )ds, (4) g, H , k hàm cho trước Long, Định, Diễm [10] nghiên cứu tồn tại, tính trơn khai triển tiệm cận nghiệm toán (1) trường hợp m(x , t ) º 1, u x (0, t ) = P (t ), Q (t ) = K 1u (1, t ) + l u t (1, t ), P (t ) xác định (3) với utt (1, t ) thay utt (0, t ) Báo báo gồm ba phần Trong phần 1, trước hết chúng tơi liên kết toán (1), (2) với dãy quy nạp tuyến tính bị chặn khơng gian hàm thích hợp Từ đó, tồn nghiệm thiết lập nhờ phương pháp Galerkin, phương pháp compact bổ đề Gronwall Phần nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu (u l , Pl ) tốn (1), (2) l ® 0+ Trong phần 3, thu khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán (1), (2) đến cấp N + theo tham số bé l Sự tồn nghiệm Đặt W= (0,1), để ngắn gọn không nhắc lại định nghĩa không gian hàm thông dụng C m (W), Lp (W), H m (W) kí hiệu khơng gian C m , Lp , H m (có thể xem [2]) Kí hiệu || ×||X dùng để chuẩn khơng gian Banach X Trên L2 tích vơ hướng thơng thường chuẩn sinh là: 1 áv, w đ= ò v(x )w(x )dx, || v || = ổ1 ửữ ỗ ữ ỏv, v ủ = ỗỗ v (x )dx ữ ữ ỗỗ ÷ è0 ø÷ ò Tích vơ hướng chuẩn tương ứng H là: áv, w ñ+ áv ', w 'ñ, || v ||H = 54 áv, v ñ+ áv ', v 'ñ = || v ||2 + || v ' ||2 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết Đặt V = {v Ỵ H : v(1) = 0} Trước tiên ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.1 Phép nhúng V C (W) compact (5) i ) | | v ||C ( W) £ || v ' ||, " v Ỵ V , ii ) || v || £ (6) || v ' ||, " v Ỵ V Việc chứng minh bổ đề đơn giản, chúng tơi bỏ qua Các kí hiệu u(t ), u ¢(t ) = u t (t ) = u&(t ), u ¢¢(t ) = utt (t ) = u&& (t ), u x (t ) = Ñ u (t ), u xx (t ) = D u (t ) sử dụng để u (x , t ), ¶ 2u ¶x2 ¶u (x , t ), ¶t ¶ 2u ¶t (x , t ), ¶u (x , t ), ¶x (x , t ) Ta ý rng W 1(T ) = {v ẻ LƠ (0,T ;V ) : vt ẻ LƠ (0, T ; L2 )} không gian Banach chuẩn || v ||W (T ) = || v ||L ¥ ( 0,T ;V ) + || vt ||L¥ (0,T ;L2 ) t W%(T ) = {v ẻ LƠ (0, T ;V ) : vt ẻ LƠ (0, T ;V ), vtt ẻ LƠ (0,T ; L2 )} Khi ú nghim yếu toán (1), (2) cặp hàm (u , P ) Ỵ W%(T ) ´ H 1(0,T ) thoả mãn tốn biến phân sau: ìï áu , v đ+ ám(t )Đ u , Đ v đ+ P (t )v(0) + l á| u | p - u , v ñ= áF (t ), v ñ, " v Ỵ V , ïï tt t t ïï t ï k (t - s )u (0, s )ds , í P (t ) = g(t ) + k 0u (0, t ) + l 0u t (0, t ) ïï ïï ïï u (x , 0) = u%0 , u t (x , 0) = u%1 ïỵ ò (7) Ta thành lập giả thiết: (A1) (u , u1 ) ẻ (V ầ H (0, 1)) H 1(0, 1), (A2) F , Ft Ỵ L2 (QT ), Q T = (0,1) ´ (0, T ), " T > 0, 55 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM (A3) m Ỵ C ([0, 1]´ ¡ + Số 18 năm 2009 ), m(x, t ) ³ m0 > 0, " (x , t ) Ỵ [0, 1]´ ¡ + ( ) , mtt Ỵ L1 0, T ; L¥ , " T > 0, (A4) k, g Î H 1(0,T ), " T > 0, (A5) p ³ 2, l > 0, l > 0, k ³ Cho trước T * > Với M > T Ỵ (0,T * ], ta đặt ìï W (M ,T ) = {v Ỵ W%(T ) :|| v || £ M ,|| vt ||L¥ (0,T ;V ) £ M ,|| vtt ||L¥ ( 0,T ;L2 ) £ M }, ïï L¥ ( 0,T ;V ) ïïí W ( M ,T ) = {v Ỵ W (M , T ) : v ẻ LƠ (0, T ; L2 )}, (8) tt ïï 1 ïï P ( M ,T ) = {P Ỵ H (0,T ) :|| P || £ M } H ( 0,T ) ïỵ Ta xây dựng dãy quy nạp tuyến tính {(u ( n) , P ( n ) )} W (M ,T ) ´ P (M ,T ) cho dãy hội tụ mạnh không gian hàm thích hợp nghiệm yếu tốn (1), (2) với lựa chọn M > T > thích hợp Trước hết, chọn bước lặp ban đầu u (0) = 0, P (0) = g (9) Giả sử (u ( n - 1) , P ( n - 1) ) Ỵ W (M , T ) ´ P (M , T ) (10) Ta tìm (u (n ) , P (n ) ) Ỵ W 1(M ,T ) ´ P (M ,T ) nghiệm toán: (n ) (n ) (n ) (n ) ìï áu& ïï & , v đ+ ám(t )Đ u , Đ v đ+ P (t )v(0) = áf (t ), v đ, " v Ỵ V , í (n ) ïï u (0) = u%, u&(n ) (0) = u%, ïỵ (11) t P (n ) (t ) = g(t ) + k 0u (n ) (n ) (0, t ) + l 0u& (0, t ) - ò k (t - s )u (n ) (0, s )ds, (12) f (n ) (t ) = F (t ) - l u&(n - 1) Khi ta có định lí sau: 56 p- u&( n - 1) (13) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết Định lí 2.1 Giả sử (A1) – (A5) Khi tồn số dương M , T cho tồn dãy (u (n ) , P (n ) ) Ỵ W (M , T ) ´ P (M , T ) xác định (11) – (13) Chứng minh chi tiết định lí tìm thấy [16] Tiếp theo, chúng tơi chứng minh {(u ( n) , P ( n ) )} xác định (11) – (13) hội tụ mạnh (u, P ) khơng gian hàm thích hợp sau kiểm chứng (u, P ) nghiệm yếu toán (1), (2) Kết cho định lí sau: Định lí 2.2 Giả sử (A1) – (A5) Khi tồn số dương M , T cho tốn (7) có nghiệm (u , P ) tha ỡù u ẻ LƠ (0,T ;V ầ H ) Ç W (M ,T ), ï ùù u (0, ì) ẻ H (0,T ), P ẻ H 1(0,T ) ùợ (14) Hn na, dóy quy nạp {(u ( n) , P ( n ) )} xác định định lí 2.1 hội tụ mạnh (u, P ) không gian W (T ) ´ L2 (0,T ), { W (T ) = v ẻ LƠ (0, T ;V ) : vt ẻ LƠ (0,T ; L2 )} Mặt khác ta có đánh giá sau: || u ( n ) - u ||W (T ) + || P (n ) - P ||L2 ( 0,T ) £ CkTn , " n ³ 1, (15) < kT < , C > số phụ thuộc T , uo , u1, m, l kT Chứng minh chi tiết xem [16] Dáng điệu tiệm cận nghiệm l ® 0+ Trong phần này, giả sử giả thiết (A1) – (A5) đúng, thu (u , P0 ) nghiệm yếu toán (1.1), (1.2) ứng với l = Theo định lí 2.2, tốn biến phân (7) tương ứng với l > , có nghiệm (u l , Pl ) 57 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 Lấy dãy {l m } cho l m đ 0+ m đ Ơ , ta chng minh {(u l , Pl )} dãy Cauchy khơng gian hàm thích hợp, từ thu đánh m m giá tiệm cận nghiệm (u l , Pl ) l ® 0+ , kết cho định lí sau: Định lí 3.1 Giả sử (A1) – (A5) Khi tồn số dương M , T cho i) Bài toán (1), (2) tương ứng với l = có nghiệm yếu (u 0, P0 ) thỏa mãn ìï u ẻ LƠ (0,T ;V ầ H ) ầ W (M ,T ), ïï í ïï u (0, ì) ẻ H (0,T ), P ẻ H 1(0,T ) ïỵ (16) ii) Hơn nữa, có đánh giá tiệm cận: || u l - u ||W (T ) + || u l¢(0, ×) - u 0¢(0, ×) ||L2 ( 0,T ) + || Pl - P ||L2 ( 0,T ) £ C *l , (17) với l > đủ nhỏ, C * > số phụ thuộc T , uo , u1, m, k , k l Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé l Phần này, ta giả sử (u 0, u1, m, F , g, k ) thỏa giả thiết (A1) – (A5) Từ định lí 2.2, tốn (1), (2) có nghiệm yếu (u, P ) phụ thuộc vào l : u = u l , P = Pl Bây giờ, ta bổ sung thêm giả thiết: (A6) P ³ N + 1, N ³ Trước hết, ta cần có bổ đề sau Bổ đề 4.1 Cho m , N ẻ Ơ , v l , u1, , u N ẻ Ă Khi ú ổN ỗỗ ui l çèå i= 58 m i ư÷ ÷ ÷ = ø÷ mN å i= m T i (m ) [u ]l i , (18) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết hệ số T i (m ) [u ], m £ i £ mN phụ thuộc u = (u 1, , u N ), xác định công thức truy hồi ìï ïï (1) ïï T i [u ] = u i , £ i £ N , ïï ïï (m ) ( m - 1) [u ], m £ i £ mN , m ³ 2, (19) í T i [u ] = å u i - jT j ïï j Ỵ A i( m ) ïï ïï ùù A (m ) = j ẻ  + : j £ i , £ i - j £ N , m - £ j £ (m - 1)N ïỵ i { } Việc chứng minh bổ đề 4.1 đơn giản, bỏ qua chi tiết Xét toán nhiễu theo tham số bé l thỏa £ l £ l *, ( l * số cố định) p- ìï ïï u tt - ¶¶x m(x , t )u x + l u t u t = F (x , t ), < x < 1, < t < T , ïï ïï m(0, t )u x (0, t ) = P (t ), u (1, t ) = 0, (Ql ) ïí u (x , 0) = u%(x ), u ( x , 0) = u%( x ), t ïï t ïï ïï P (t ) = g(t ) + k 0u (0, t ) + l 0u t (0, t ) - òk (t - s )u (0, s )ds, ïï ỵ ( ) Gọi (u 0, P0 ) nghiệm yếu tốn (Ql ) (như định lí 3.1) ứng với l = 0, tức ìï u ¢¢- ¶ m(x , t )u = F (x , t ), < x < 1, < t < T , ïï ¶ x 0x ïï m(0, t )u 0x (0, t ) = P0 (t ) = g(t ), u (1, t ) = 0, (Q%0 ) ïí ïï u (x , 0) = u%( x ), u ¢(x , 0) = u%(x ), 0 ïï ( u , P ) Ỵ W ( M , T ) ´ P ( M , T ), ïï 0 ỵ ( ) Xét dãy hữu hạn nghiệm yếu (ui , Pi ), i = 1, , N xác định tốn sau 59 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM S 18 nm 2009 ỡù u ÂÂ- ả m(x , t )u = F , < x < 1, < t < T , ïï i ¶ x ix i ïï ïï ïï m(0, t )u (0, t ) = P (t ), u (1, t ) = 0, ix i i ï % (Qi ) ïí u i (x , 0) = u i¢( x , 0) = 0, ïï t ïï ïï Pi (t ) = k 0u i (0, t ) + l 0u i¢(0, t ) - òk (t - s )u i (0, s )ds , ïï ïï (u , P ) Ỵ W ( M ,T ) ´ P (M ,T ), ïỵ i i ( ) Fi , i = 0,1, , N xác định cơng thức truy hồi sau ìï F , i = 0, ïï ïï ï Fi = ïí - H (u ¢), i = 1, ïï ïï i - 1 ( m ) H (u 0¢)T i (m ) [u ¢], i = 2, , N , ïï - å ïỵ m = m ! (20) đây, ta ký hiệu H ( m ) đạo hàm cấp m hàm số H , với H (z ) = | z |p - z , T i ( m ) [u ¢] biểu thức phụ thuộc vào u ¢ = (u 1¢, , u N¢ ), cơng thức (18) Khi ta có kết khai triển tiệm cận nghiệm yếu cho định lí sau: Định lí 4.1 Giả sử (A1 ) - (A6 ) thỏa Khi đó, l Ỵ [0, l * ], tốn (Ql ) có nghiệm yếu (u, P ) = (u l , Pl ) thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N + sau N || u - å N u i l i ||W i= (T ) + || u Â(0, ì) - i= u iÂ(0, ì)l i ||L2 ( 0,T ) N + || P - å i= Pi l i ||L2 ( 0,T ) £ C N l N +1 , (21) với C N số dương độc lập với l , cặp hàm (u i , Pi ) nghiệm yếu toán (Q%i ), i = 0, , N 60 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều (1991), Schok between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous fristional resistance at the side, J Mech NCSR Việt Nam, 13 (2), – [2] H Brézis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications, Paris [3] S Lang (1969), Analysic II, Addison-Wesley, Reading, Mass, California London [4] J L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris [5] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1992), On the quasilinear wave equation utt - D u + f (u , u t ) = associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 19, 613 – 623 [6] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1995), A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24,1261 – 1279 [7] Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm (1997), On the nonlinear wave equation utt - u xx = f (x , t , u, ux , ut ) associated with the mixed nonhomogeneous conditions, Nonlinear Anal, 29, 1217 – 1230 [8] Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết (1999), On the existence, uniqueness of solutions of a nonlinear vibration equation, Demonstratio Math 32 (4), 749 – 758 [9] Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết (2003), A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math 36 (4), 915 – 938 [10] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm (2005), On the On the shock problem involving a linear viscoelastic bar, Bound Value Probl 2005 (3), 337 – 358 [11] Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On the shock problem involving a linear viscoelastic bar Nonlinear Analysis 63, 198 – 224 61 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 [12] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solution, Demonstratio Math 38 (2), 365 – 385 [13] Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường (2007), Existence and asymptotic expansion of solution to a nonlinear wave equation with a memory condition at the boundary, Electron J Diff Eqns., Vol 2007, No 48, p – 19 [14] Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2007), On a Nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expasion of solutions, Demonstratio Math 40 (2), 365 – 392 [15] Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2009), On nonlinear boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J Math 37 (2 – 3), 141 – 178 [16] Trương Thị Nhạn (2009), Thuật giải xấp xỉ tuyến tính liên kết với phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa tích chập, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp, Hồ Chí Minh, 62 trang Tóm tắt Bài báo nghiên cứu tồn nghiệm yếu phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa tích phân tuyến tính Dáng điệu tiệm cận khai triển tiệm cận nghiệm yếu đến cấp N+1 theo tham số bé khảo sát Abstract On a nonlinear wave equation associated with boundary conditions involving a linear integral The paper is about the study of existence and uniqueness of a weak solution of nonlinear weave equation with boundary conditions involving a linear integral, asymptotic behavior and expansion of weak solutions to N + order in accordance with a small parameter is also investigated 62 ... kết với phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa tích chập, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp, Hồ Chí Minh, 62 trang Tóm tắt Bài báo nghiên cứu tồn nghiệm yếu phương trình. .. Minh, 62 trang Tóm tắt Bài báo nghiên cứu tồn nghiệm yếu phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa tích phân tuyến tính Dáng điệu tiệm cận khai triển tiệm cận nghiệm yếu đến cấp N+1 theo... (1, t ), P (t ) xác định (3) với utt (1, t ) thay utt (0, t ) Báo báo gồm ba phần Trong phần 1, trước hết chúng tơi liên kết toán (1), (2) với dãy quy nạp tuyến tính bị chặn khơng gian hàm thích