Về một phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên không thuần nhất chứa tích chập

Bài viết nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến; phương pháp Faedo Galerkin, phương pháp compact yếu và các kỹ thuật của giải tích hàm phi tuyến được áp dụng. Kết quả thu được đã cải tiến kết quả về tính giải được và giải được duy nhất.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 16 năm 2009 VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHƠNG THUẦN NHẤT CHỨA TÍCH CHẬP Lê Nguyễn Kim Hằng*, Lê Thị Phương Ngọc†² Mở đầu Xét toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến sau đây: utt      x, t  ux   f  u, ut   F  x, t  ,  x  1,  t  T , x t   0, t  u x  0, t   g  t    k0  t  s  u  0, s  ds , t (1) (2)   1, t  u x 1, t   g1  t    k1  t  s  u 1, s  ds, (3) u  x,   u0  x  , ut  x,0   u1  x  (4) f  u, ut   K u p u   ut q ut p, q ≥ 2, K ≥ 0, λ > số cho trước; F, μ, g₀, g₁, k₀, k₁, u₀, u₁ hàm cho trước thỏa mãn số điều kiện rõ mục sau Trước đây, An Triều [1] nghiên cứu trường hợp đặc biệt toán (1), (4), với μ ≡ 1; u 0= u₁≡ f  u, ut   Ku   ut , liên kết với điều kiện biên đây: t u x  0, t   g  t   h0 u  0, t    k0  t  s  u  0, s  ds, (5) u 1, t   0, (6) số K ≥ 0, λ ≥ hàm số g, k cho trước Bài toán (1) , (4) – (6) mơ hình tốn học mơ tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa cứng [1] * † ThS – Trường ĐH Nông lâm Tp HCM TS – Trường CĐSP Nha Trang, Khánh Hoà 26 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc Trong [2], tác giả Bergounioux, Long Dinh xét toán (1), (4) với f  u , ut   Ku  ut điều kiện biên: t u x  0, t   g  t   hu  0, t    k  t  s  u  0, s  ds , (7) u x 1, t   K1u 1, t   1ut 1, t   0, (8) K ≥ 0, λ ≥ 0, h ≥ 0, K₁≥ 0, λ₁> số cho trước g, k hàm cho trước Trường hợp f  u, ut   K u p u   ut q 2 ut , với K, λ ≥ 0; p, q ≥ hàm cho trước iu kin u l (u, u) HìHạ, bi toỏn (1), (4), (7) (8) tác giả Long, Dinh Diễm nghiên cứu, xem [9] Đặc biệt, [9], Ngọc, Hằng, Long thu tồn nghiệm, tính ổn định khai triển tiệm cận nghiệm toán (1) – (4) cho trường hợp f  u , ut   F u    ut , λ số F  C   thỏa mãn điều kiện sau: z  F  s  ds  C z  C1/ , z  , C1 , C1/  cho trước Trong báo này, chứng minh tồn nghiệm toán (1) – (4) cho trường hợp f  u , ut   K u p u   ut q ut , với K ≥ 0, λ > p, q ≥ Kết thu xem tổng quát kết [1], [2], [5] – [9] Sự tồn nghiệm Trong mục này, không gian hàm thông dụng sau đề cập: C m   , L   , W  p m, p với Ω = (0,1) Để tiện cho việc sử dụng, ta ký hiệu W m , p W m , p    , Lp  W 0, p    , H m  W m ,2    , ≤ p ≤ ∞, m = 0,1, (xem [3]) Ký hiệu chuẩn L² sinh tích vơ hướng ,   chuẩn L   Với ( X ,  X ) không gian Banach thực, T > 0, ta ký hiệu Lp  0, T ; X  không gian Banach gồm tất hàm đo u: (0,T)→ X cho: 27 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM u u p L  0,T ; X  L  0,T ; X    T u t  p X Số 16 năm 2009 1/ p dt  ess sup u  t   X  , với ≤ p < ∞,  , với p=∞ Các ký hiệu u  t  , u //  t   utt  t  , u x  t  u xx  t  sử dụng để lần u  2u u  2u lượt u  x, t  ,  x, t  ,  x, t  ,  x, t   x, t  t t x x Trong H¹, xét chuẩn định nghĩa sau: v H1   v  vx 1/2  (9) Trước tiên ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.1 Phép nhúng H¹  C⁰([0,1]) compact v C  0,1  v H1 (10) Chứng minh bổ đề khơng khó khăn, nên bỏ qua Ta thiết lập giả thiết:  H1  H2   H3  H4   H5  H6  u0  H , u1  H , g , g1  H , k0 , k1  W 2,1 ,     C QT , tt  L1  0, T ; L  ,   x, t   0  a.e  x, t   QT    (0, T ), K  0,   0, p  2, q  2, F , Ft  L2  QT  Khi ta thu định lý sau tồn nghiệm Định lý 2.2 Giả sử giả thiết  H1    H  thỏa mãn Khi đó, với T > 0, tốn (1) – (4) có nghiệm yếu u cho: u  L  0, T ; H  , ut  L  0, T ; H  , utt  L  0, T ; L2  Chứng minh Chứng minh định lý 2.2 gồm bước: 28 (11) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc Bước Thực phương pháp xấp xỉ Faedo Galerkin Gọi  w j  j sở đếm H² Ta tìm nghiệm xấp xỉ toán (1) – (4) dạng: m um  t    cmj  t  w j , (12) j 1 um  t  thoả mãn hệ phương trình vi tích phân sau: um//  t  , w j    t  umx  t  , w jx  Pm  t  w j    Qm  t  w j 1  K um p 2 u m , w j   um/ p um/ , w j  F  t  , w j ,  j  m, (13)  P  t   g  t   t k  t  s  u  0, s  ds, m 0  m  t Qm  t   g1  t    k1  t  s  um 1, s  ds ,  (14) m  u  u   mj w j  u0 H ,    0m  m j 1   m u /    u   w  u H  1m mj j  m j 1 (15) Bằng cách biến đổi hệ (13) – (15) thành hệ phương trình tương đương có ẩn hàm cmj  t  áp dụng phương pháp điểm bất động, ta chứng minh hệ (13) – (15) có nghiệm  um , Pm , Qm  hầu khắp nơi [0,Tm] ⊂[0,T] Các đánh giá tiên nghiệm cho phép ta lấy Tm = T với m Bước Thực đánh giá tiên nghiệm I Thay (14) vào (13), nhân phương trình thứ j (13) với cmj/  t  , sau lấy tổng theo j tích phân theo biến thời gian từ đến t, ta thu t 0 t S m  t   S m     ds   /  x, s  umx  x, s  dx  2 Pm  s  um/  0, s  ds t t 0   Qm  s  um/ 1, s  ds   F  s  , um/  s  ds (16)  Sm     I j , j 1 29 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 16 năm 2009 2 S m  t   um/  t     t umx  t   2K um  t  p p Lp t q Lq  2  um/  s  (17) ds Các số hạng I j , j = 1, 2, 3, vế phải (16) đánh giá sau Từ (17), ta thu bất đẳng thức umx (t )  S m (t ), 0 (18) dẫn đến I1  /  0 L ( QT )  t S m  s  ds (19) Dùng tích phân phần I₂, áp dụng bổ đề 2.1 bất đẳng thức 2ab   a²  1/   b², a, b  ,   0, (20) ta có: I  g   u0 m    2 g  t   g 0/      k0    k0    CT   um  t  H  k0/ L  0,T  2 L2  0,T   t um  s  L  0,T   0  t H1  CT  um  s    um  t  H1 H1 ds (21) ds , với β > CT số phụ thuộc vào T Chú ý rằng, ký hiệu CT sử dụng mục với ý nghĩa ln chọn CT đủ lớn để trường hợp xét đến tương tự bất đẳng thức sau (21) thoả mãn Ta chứng minh I3  CT   u m  t  I4  30   t 2 H1 t H1  CT  um  s  t F  s  ds    S m  s  ds ds (22) (23) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc Kết hợp (16), (19), (21) – (23) chọn   0 , đồng thời áp dụng bất đẳng thức t um  t   C0  2t  S m  s  ds, um  t  H1 t  um  t   umx  t   C0  2t  S m  s  ds  S t  , 0 m (24) C₀ số phụ thuộc vào u₀và, ta thu t S m  t   M T  S m    NT  S m  s  ds, (25)   T   M T   2CT   C0  2TC0CT  0 F  s  ds  ,        N     8 T  4T 2C  2CT   /   T T   L ( QT ) 0 0    (26) Từ giả thiết (H₁) – (H₄), (H₆) bổ đề 2.1, tồn số dương M T phụ thuộc vào u₀, u₁, k₀, k₁, g₀, g₁, F, μ, cho t S m  t   M T  NT  S m  s  ds, m, t   0, T  (27) Sử dụng bổ đề Gronwall, từ (27) ta suy ra: Sm  t   M T exp  tNT   CT , t   0, T  (28) Bước Thực đánh giá tiên nghiệm II Lấy đạo hàm hai vế (13) theo biến thời gian t, ta có: / um// /  t  , w j    t  umx  t  , w jx   / t  umx  t  , w jx  Pm/  t  w j  0 Qm/  t  w j 1  K  p  1 um p 2 um/ , w j    q  1 um/ p 2 u m// , w j (29)  F /  t  , w j ,  j  m Nhân phương trình thứ j (29) với cmj/ /  t  lấy tổng theo j, sau tích phân theo biến thời gian từ đến t, ta thu 31 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 16 năm 2009 t 0 / X m  t   X m     /   u0 mx , u1mx  3 ds   /  x, s  umx  x, s  dx t /   /  t  umx  t  , umx  t   2  //  s  umx  s  , umx/  s  ds t  2 F  s  , u / // m s t ds  K  p  1  um p 2 t t 0 um/ , um/ / ds (30)   Pm/  s  um/ /  0, s  ds   Qm/  s  um/ / 1, s  ds  X m     /   u0 mx , u1mx   J i , i 1 2 X m  t   um/ /  t   t 0 /   t umx t   2  q  1  ds  u m/  x, s  q 2 um/ /  x, s  dx (31) Từ giả thiết (H₁), (H₄), (H₆), (31) phép nhúng H¹(0,1)  C⁰([0,1]), tồn số dương D₀ phụ thuộc vào u₀, u₁, μ, F, cho: X m     /   u0 mx , u1mx  D0 (32) Dùng bổ đề 2.1, (28) (31), ta thu bất đẳng thức: / umx t   X m t  , 0 um  x, t   CT , (33) 0 um/  x, t   X m  t   CT Từ đó, tích phân vế phải (30) đánh giá sau: J1  /  0 J2  CT / 02 L  QT   t L  QT  t X m  s  ds  CT  X m  s  ds (34)   X m  t   CT   X m  t  (35) t J  CT  CT   / /  s  t t  X m  s  ds (36) t J   F /  s  ds   u m//  s  ds  CT   X m  s  ds 32 0 (37) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM J  K  P  1 CTp   t Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc t S m  s  X m  s ds  CT  CT  X m  s  ds (38) Dùng tích phân phần J , sử dụng (15), (33), ta thu t J  Pm/   u1m    Pm/   u m/  0, t   2um/  0, t   Pm/ /  s  ds t // m  2 P (39) t / m  s  u  0, s  ds  CT  2 X m  t   2CT 0 X m  s  ds Một cách tương tự, ta có: t J  CT   X m  t   2CT  X m  s  ds (40) Kết hợp (30), (32), (34) – (40), ta thu t t 0 X m  t   D0  6CT  5 X m  t    6CT  1  X m  s  ds  CT   //  s  t   CT  5 X m  t   CT    //  X m  s  ds  s    X m  s  ds (41) Chọn β=1/10, từ (41) ta thu t  X m  t   2CT  2CT    //  s   X m  s  ds (42) Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có  t  X m  t   2CT exp 2CT    / /  s    ds   C , t  0, T  T (43) Mặt khác, từ giả thiết (H₂), (H₃) (14), (28), (43), ta thu Pm W ,  0,T   CT , Qm W ,  0,T   CT (44) (45) Bước Qua giới hạn Từ (28) (43) – (45), tồn dãy dãy  um , Pm , Qm  , ký hiệu  u m , Pm , Qm  , cho: um  u L  0, T ; H  yếu*, um/  u / L  0, T ; H  yếu*, um/  u / Lq  QT  yếu, 33 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM um//  u / / L  0, T ; L2  yếu*, um  0,   u  0,  um 1,   u 1,  Số 16 năm 2009 W 1,  0, T  yếu*, (46) W 1,  0, T  yếu*, Pm  P W 1,  0, T  yếu*, Qm  Q W 1,  0, T  yếu* Theo bổ đề compact Lions [4, p.57], từ (46) ta suy tồn dãy ký hiệu  u m , Pm , Qm  , cho: um  u mạnh L2  QT  , a.e QT , um/  u / mạnh L2  QT  , a.e QT , um  0,   u  0,  mạnh C  0, T  , um 1,   u 1,  mạnh C  0, T  , (47) Pm  P mạnh C1   0, T  , Qm  Q mạnh C1   0, T   Từ (14) (47)3,4 ta có t Pm  t   g  t    k0  t  s  u  0, s  ds  P  t  , mạnh C  0, T   , t Qm  t   g1  t    k1  t  s  u 1, s  ds  Q  t  , mạnh C  0, T   (48) (49) Dùng bất đẳng thức x p x y p y   p  1 R p 2 x  y x, y    R, R  , (50) với R > p ≥ 2, từ (33)2 (47)₁ dẫn đến um p um  u p 2 u mạnh L2  QT  Tương tự, từ (33)3, (43), (47)₂, ta có 34 (51) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM um/ q2 um/  u / q Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc u / mạnh L2  QT  (52) Qua giới hạn (13), (15) nhờ vào (46)1,2,4, (48), (49) (51), (52), ta có u thỏa tốn biến phân sau đây: u //  t  , v    t  u x  t  , vx  P  t  v    Q  t  v 1  K u   u/ q 2 p 2 u, v (53) u / , v  F t  , v v  H , với điều kiện đầu u    u0 , u /    u1 , (54) t t 0 P  t    k0  t  s  u  0, s  ds, Q  t    k1  t  s  u 1, s  ds (55) Mặt khác, từ (46)1,2,4, (53) giả thiết (H₄), (H₆), ta thu u xx  p2 u//  K u u   u/   x, t   q 2  u /   x u x  F  L  0, T ; L2  (56) Do u  L  0, T ; H  tồn nghiệm u toán (1) – (4) chứng minh Bước Tính nghiệm Giả sử u₁, u₂ hai nghiệm yếu toán (1) – (4) thỏa u j  L  0, T ; H  , u /j  L  0, T ; H  , u /j /  L  0, T ; L2  , j  1, (57) Khi đó, (u, P, Q) với u = u₁ – u₂ P = P₁ – P₂, Q = Q₁ – Q₂ thỏa mãn toán biến phân:  u / /  t  , v    t  u  t  , v  P  t  v    Q  t  v 1  K u p  u  u x x 1   q / q2 /   u1/ u1  u2/ u2 , v  v  H ,   u    u /    0,  p 2 u1 , v (58) 35 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 16 năm 2009 t t 0 P  t    k0  t  s  u  0, s  ds, Q  t    k1  t  s  u 1, s  ds (59) Lấy v = u′ (58) tích phân theo biến thời gian từ đến t, ta t t s 0 Z  t     /  s  u x2  s  ds   u /  0, s  ds  k0  s  r  u  0, r dr t s t 0   u / 1, s  ds  k1  s  r  u 1, r dr  K  u1 p 2 u1  u1 p 2 u1 , u / ds (60)   Lj , j 1 Z t   u / t   t   t u x  t   2  u1/ q 2 u1/  u2/ q u2/ , u / ds (61) Ta đánh giá tích phân L1 , L2 , L3 tương tự bước Trước hết, ta có: L1  t /  0 L  QT   Z (s)ds (62) Sử dụng bất đẳng thức sau u (t )  t t  t Z ( s )ds, u (t ) H t  Z (s)ds   Z (t ), (63) ta có L2   Z  t   CT   , k0  0 t  Z  s  ds, (64) với  CT   , k0    T   k0    k0    k0/ L  0,T    T   L  0,T   0   Một cách tương tự L3   Z (t )  CT   , k1  0 t  Z (s)ds Từ bất đẳng thức (50), ta có 36 (65) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc t L4  K  p  1 C1p   Z  s  ds, (66) với C1  max u j j 1,2  L 0,T ; H  Kết hợp (60), (62), (64) – (66), đồng thời chọn   0 , ta suy được: t Z (t )  N T  Z (s)ds, t  [0,T ], (67) với NT  /  0 L  QT   2CT   , k0   2CT   , k1   K  p  1 C1p  Sử dụng bổ đề Gronwall, ta thu Z ≡ định lý 2.2 chứng minh xong TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H Brézis, Analyse functionnelle Théorie et Applications, Masson Paris, 1983 [2] J.L Lions, Quelques méthodes de résolution dé problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris, 1969 [3] Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long, On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Anal Theory Methods Appl Ser A (to appear) [http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2008.08.004] [4] M Bergounioux, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 43 (2001) 547 – 561 [5] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, On the quasilinear wave equation: utt  u  f  u , ut   associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 19 (1992) 613 – 623 [6] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm, On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, J Boundary Value Problems, Hindawi Publishing Corporation 2005 (3) (2005) 337 – 358 37 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 16 năm 2009 [7] Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm, On the nonlinear wave equation utt  u xx  f  x, t , u , u x , ut  associated with mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal 29 (1997) 1217 – 1230 [8] Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, A nonlinear wave equation associated with nonlinear boundary conditions: Existence and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Anal Theory Methods Appl Ser A 66 (12) (2007), 2852 – 2880 [9] Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều, Shock between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J.Mech.NCSR Vietnam, 13 (2) (1991) – 38 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc Tóm tắt Về phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên khơng chứa tích chập Trong báo này, nghiên cứu tồn nghiệm toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến:  p q  u   ut ut  F  x, t  ,  x  1,  t  T , utt  x    x, t  u x   K u  t    0, t  u x  0, t   g  t   k0  t  s  u  0, s  ds ,  *  t    1, t  u x 1, t   g1  t   0 k1  t  s  u 1, s  ds,  u  x,   u0  x  , ut  x,   u1  x  p, q ≥ 2, K ≥ 0, λ > số cho trước F, μ, g₀, g₁, k₀, k₁, u ₀,   u₁ hàm cho trước thoả điều kiện sau: F , Ft  L2  QT  ;   C QT , tt  L1  0, T ; L  ,   x, t   0  a e  x, t QT v (u,u,g,g,k,k) thuc HìHạì(H(0,T))ì W 2,1  0, T   Trong chứng minh, phương pháp FaedoGalerkin, phương pháp compact yếu kỹ thuật giải tích hàm phi tuyến áp dụng Kết thu cải tiến kết tính giải giải báo [9] Abstract On a nonlinear wave equation associated with the nonhomogeneous boundary conditions involving convolution In this paper, we show that there exists a unique solution of the following initial-boundary value problem for the wave equation:  p q  u   ut ut  F  x, t  ,  x  1,  t  T , utt  x    x, t  u x   K u  t    0, t  u x  0, t   g  t   k0  t  s  u  0, s  ds ,  *  t    1, t  u x 1, t   g1  t   0 k1  t  s  u 1, s  ds,  u  x,   u0  x  , ut  x,   u1  x  39 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 16 năm 2009 where p, q ≥ 2, K ≥ 0, λ > are given constants and F, μ, g₀, g₁, k₀, k₁, u₀, u₁ are given functions such that (u ,u,g,g,k,k) H ì Hạì (H(0,T)) × W 2,1  0, T   ; F , Ft  L2  QT  ;     C QT , tt  L1  0, T ; L  ,   x, t   0  a e  x, t   QT The proof is based on the Faedo – Galerkin method associated with the weak compact method The result obtained here improves the one in recent paper, see [9] 40 ... Thị Phương Ngọc Tóm tắt Về phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên khơng chứa tích chập Trong báo này, nghiên cứu tồn nghiệm toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến: ... 0, T   Trong chứng minh, phương pháp FaedoGalerkin, phương pháp compact yếu kỹ thuật giải tích hàm phi tuyến áp dụng Kết thu cải tiến kết tính giải giải báo [9] Abstract On a nonlinear wave... HỌC ĐHSP TP HCM Lê Nguyễn Kim Hằng, Lê Thị Phương Ngọc Trong [2], tác giả Bergounioux, Long Dinh xét toán (1), (4) với f  u , ut   Ku  ut điều kiện biên: t u x  0, t   g  t   hu  0,