VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN TRONG MIỀN HÌNH VÀNH KHĂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

HỒ CHÍ MINH --- Võ Thị Bích Khuê VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN TRONG MIỀN HÌNH VÀNH KHĂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP Chuyên ngành : Toán giải tích... MỞ ĐẦU Sự tồn tại và duy nhấ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Võ Thị Bích Khuê

VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN TRONG MIỀN HÌNH VÀNH KHĂN

VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

Chuyên ngành : Toán giải tích

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi đến Thầy Nguyễn Thành Long, người

Thầy hết lòng vì học trò, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất Thầy đã rất ân cần và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi nắm được từng bước nghiên cứu khoa học, giải đáp những thắc mắc, khó khăn khi tôi gặp phải Từ Thầy, tôi càng hiểu thêm được ý nghĩa, hứng thú và lòng say mê của việc nghiên cứu Toán học tưởng chừng như rất khô khan và ít ứng dụng Tôi xin khắc ghi những lời dạy, sự chỉ bảo ân cần của Thầy trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Tôi chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô đã đóng góp các ý kiến chân tình và bổ ích cho luận văn đồng thời cũng giúp cho tôi hiểu thêm một cách sâu sắc về bài toán

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, Cô trong và ngoài khoa Toán- Tin học, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức cũng như các hỗ trợ về tinh thần, tư liệu cho tôi trong suốt thời gian học tập

Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm TP

Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi cũng không thể quên gửi lời biết ơn chân tình đến gia đình, bạn bè tôi, các anh chị cùng lớp cao học giải tích khóa 16, các anh chị trong nhóm Semina, những người luôn ở bên tôi những lúc khó khăn, giúp đỡ tôi trong quá trình tôi học

và hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp

Võ Thị Bích Khuê

MỞ ĐẦU

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong nhiều bài toán về phương trình sóng phi tuyến là đề tài được quan tâm bởi nhiều tác giả, chẳng như trong [1 –17] và các tài liệu tham khảo trong đó Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán về một phương trình sóng phi tuyến trong miền hình vành khăn với điều kiện biên hỗn hợp sau

trong đó v là vectơ pháp tuyến đơn vị trên biên x2  y2  R R2,  1 hướng ra ngoài, h t ( ), ( , , ), f x y t u x y u x y0( , ), ( , )1 là các hàm số cho trước thỏa một số điều kiện nào đó ta sẽ chỉ rõ sau đó Ký hiệu  để chỉ toán tử Laplace hai chiều

- Điều kiện biên (0.6) cho biết màng 1 bị giữ chặt trên đường tròn 1

- Điều kiện biên (0.7) trên đường tròn R mô tả sự ràng buộc đàn hồi

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát bài toán với các số hạng f x y t ( , , ),

Toàn bộ luận văn sẽ được chia thành các chương sau đây

Chương 1 Trình bày các ký hiệu, công cụ, không gian hàm, tính chất các phép nhúng có liên quan

Chương 2 Khảo sát sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán (0.1) –(0.4) Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin, có sử dụng định lý Schauder, đánh giá tiên nghiệm kết hợp với sự hội tụ yếu

Chương 3 Với việc tăng cường giả thiết về điều kiện đầu v v0, ,1 cùng với các điều kiện phụ, chương nầy đã cho một khảo sát về tính trơn của nghiệm yếu của bài toán (0.1) –(0.4), tương ứng với trường hợp ( )h t h

Chương 4 Khảo sát một thuật giải xấp xỉ tuyến tính và sự hội tụ của thuật giải về nghiệm yếu của bài toán (0.1) –(0.4), tương ứng với trường hợp đặc biệt ( )

Chương 5 Cho một khảo sát về ảnh hưởng của số hạng nhiễu phi tuyến lên nghiệm của bài toán và chỉ ra một khai triển tiệm cận nghiệm theo một tham số bé đến cấp hai

Sau cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1.1 Các không gian hàm

Ta đặt các ký hiệu  (1, ),R Q T   (0, ),T T 0

Ta cũng dùng các ký hiệu v t v t( ), ( ) v t t( ),v t ( ) v t tt( ), v t r( ),v t rr( ) để lần lượt chỉ

2 2

( ) 1

Khi đó V0 là không gian con đóng của V  H1, do đó V0 cũng là không gian Hilbert đối với cùng một tích vô hướng của H1.

Ngoài ra trên L2( ) ta có thể sử dụng một tích vô hướng có trọng như sau: (1.1.7)

Chứng minh bổ đề 1.1.1 có thể tìm thấy trong [17, 18] 

Bổ đề 1.1.2 Đồng nhất L2 với L2 ( )'L2 (đối ngẫu của L2) Khi đó ta có

Bổ đề 1.1.3 Trong L2, các chuẩn v  v v ,  v 0 là tương đương Cũng tương tự cho các chuẩn v  v H1, v  v 1 là tương đương trong H1. Hơn nữa,

Chứng minh bổ đề 1.1.3 không khó khăn 

Bổ đề 1.1.4 Phép nhúng V0↪C0( )  là compact Hơn nữa ta còn có

(1.1.19)

1

2 2

2 1

1( 1)2

r r

-Vậy (1.1.17) được chứng minh

Vậy bổ đề 1.1.4 được chứng minh xong 

Chú thích 1.1.2 Từ (1.1.13) ta cũng suy ra được rằng trong V0, các chuẩn ,

r

v  v v  v H1, v  v 1 là tương đương

1.2 Không gian hàm Lp(0, ; ), 1 T X    p

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là  X.

Ta ký hiệu Lp(0, ; ), 1 T X    p là không gian các lớp tương đương chứa

hàm u : (0, ) T  X đo được sao cho

0

T

p X

Bổ đề 1.2.1 (Lions [19]) Lp(0, ; ), 1 T X    p là không gian Banach 

Bổ đề 1.2.2 (Lions [19]) Gọi X  là đối ngẫu của X Khi đó, với

,1

1.3 Phân bố có giá trị vectơ trong không gian Banach

Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính

liên tục từ D  (0, ) T  vào X được gọi là một phân bố (hàm suy rộng) có giá trị trong X Tập hợp các phân bố có giá trị trong X ký hiệu là

D(0, ; )T X L D (0, );T Xf D: (0, )T  X f: tuyến tính, liên tục}

Chú thích 1.3.1 Ta ký hiệu D(0, )T thay cho D(0, )T  hoặc C c(0, )T 

để chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn lần và có giá compact trong (0, ).T

Định nghĩa 1.3.2 Cho f  D  (0, ; ) T X Ta định nghĩa đạo hàm df

T  v t  t dt   D T

Ta có thể nghiệm lại rằng T v D(0, ).T

j X

(ii) Ánh xạ v  Tv là một đơn ánh, tuyến tính từ L p(0, ; )T X vào D  (0, ; ) T X

Do đó, ta có thể đồng nhất T v v Khi đó ta có kết quả sau

Bổ đề 1.3.1 (Lions [19]) L p(0, ; )T X  D(0, ; )T X với phép nhúng liên tục

Bổ đề 1.3.2 (Lions [19]) Nếu f f, L p(0, ; ), 1T X   p thì f bằng hầu hết với một hàm thuộc C0([0, ]; ).T X

Chứng minh của bổ đề 1.3.2 có thể tìm thấy trong Lions [19] 

1.4 Bổ đề về tính compact của Lions

Cho ba không gian X0, X X1, với X0  X  X1 với các phép nhúng liên tục sao cho

Khi đó W(0, )T là không gian Banach Hiển nhiên W(0, )T ↪L p0(0, ; ).T X

Ta có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact

Bổ đề 1.4.1 (Bổ đề về tính compact của Lions [19]) Với giả thiết (1.4.1),

(1.4.2) và nếu 1 p i  , i0,1 thì phép nhúng W(0, )T ↪L p0(0, ; )T X là

compact

Chứng minh bổ đề 1.4.1 có thể tìm thấy trong Lions [19] 

Bổ đề dưới đây cho kết quả về sự hội tụ yếu trong L Q q( ) và chứng minh nó

có thể tìm thấy trong Lions [19]

Chương 2

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán sau:

d

v t w a v t w Rh t v R t w R r v r t v r t w r dr dt

Định lý 2.1 Cho T  và giả sử rằng các giả thiết (A0 1) – (A3) đúng Khi đó,

nếu p  thì bài toán (2.1) – (2.4) có một nghiệm yếu v sao cho: 1

0

(0, ; ), t (0, ; )

Hơn nữa, nếu p  thì nghiệm là duy nhất 2

Chứng minh Chứng minh gồm nhiều bước

Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên

nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ yếu trong các không gian thích hợp nhờ một

số phép nhúng compact Trong phần này định lý Schauder được sử dụng trong việc

chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin

Bước 1 Xấp xỉ Galerkin (được giới thiệu bởi Lions [19])

Xét một cơ sở đếm được { }w của j V0 Ta tìm nghiệm xấp xỉ trong theo dạng

Ta xét { }w là một cơ sở đếm được trực chuẩn của j V0

Hệ (2.10), (2.11) được viết lại như sau

v t c t w t c t i( ),,

1 0

1 0

0 1

0

1 0

t T

m t

t

T

T m

Ký hiệu B M  c X c: X M là quả cầu đóng tâm O, bán kính M

Sử dụng định lý điểm bất động Schauder, ta chứng minh tồn tại các hằng số

1 1 0

1

1 0

j T

1 0

1 1

( ) 1

0

( ) 1

M X

t T

 

Như vậy (i) được chứng minh

(ii) Chứng minh U liên tục trên B M

( ) ( ) 1

( )

( ) 1

1

2 ( ) ( ) 0

Nghĩa là U liên tục trên BM.

(iii) Chứng minh (U B M) là tập tương đối compact của X

1 1 0

1

1 (0, ) 1

(2.63)

(3)

1 1

m

p p

i C i

Mặt khác U B M  B M nên họ U B  M  Uc c B,  M là bị chặn đều Do đó theo định lý Azela–Ascoli thì là tập (U B M) tương đối compact trong X

Từ (i), (ii), (iii), áp dụng định lý điểm bất động Schauder, toán tử

Bước 2 Các đánh giá tiên nghiệm

Ta nhân (2.10) cho c t mj ( ) sau đó lấy tổng theo j ta thu được

(2.73)

2 1

2 2

2 0

(2.83)

( ) 1

Bước 3 Qua giới hạn

Từ (2.74), (2.82) và (2.84), ta suy ra rằng, tồn tại một dãy con của dãy  v m , vẫn ký hiệu là  v m sao cho

Ta dùng bổ đề 1.4.2 liên quan đến dãy sự hội tụ yếu trong (q )

T

L Q với 2,

Sự tồn tại nghiệm được chứng minh

Để chứng minh tính duy nhất ta sử dụng bổ đề sau đây

Bổ đề 2.3. Giả sử v là nghiệm yếu của bài toán

(2.96)

1

2 0

1

( , ) ( ) ( , ) (1, ) 0, ( ,0) ( ), ( ,0) ( ),

1 2

Bước 4 Sự duy nhất nghiệm

Giả sử p  2 và u u1, 2 là hai nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.4)

Khi đó v u  1 u2 là nghiệm yếu của bài toán sau đây

(2.99)

2 0

1

( , ) ( ) ( , ) (1, ) 0, ( ,0) ( ,0) 0,

1 2

2 0

1

2

t p T

R

Do bổ đề Gronwall ta thu được từ (2.109) rằng  ( ) 0, t  tức là u1  u2.

Ta đã chứng minh xong sự duy nhất nghiệm và định lý 2.1 được chứng minh

hoàn tất 

Chương 3 TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM

Ở chương này ta xét bài toán (2.1)–(2.4) với ( )h t h là hằng số Ta sẽ đặt thêm điều kiện mạnh hơn, khi đó ta sẽ hy vọng thu được nghiệm tốt hơn

Xét bài toán (2.1)-(2.4) với các giả thiết

Định lý 3.1. Cho T  và 0 p2. Giả sử rằng các giả thiết (B1) –(B3) đúng



  mạnh trong H1 Theo như trong chứng minh định lý 2.1, hệ (2.10) –(2.11) có nghiệm duy nhất ( )

m

u t trên khoảng 0 t T m  Cũng theo như trong chứng minh định lý 2.1, ta T

có đánh giá (2.82) mà ta gọi là đánh giá tiên nghiệm thứ nhất

(3.3) 2 2 2

1

2( ) ( )  ( )  ( , ) R ( , )p  ,

p

0 t T, trong đó ta đã lấy T m T,  m

Đánh giá tiên nghiệm thứ hai

Lấy đạo hàm 2 vế của (2.10) theo t, ta được

(3.4)

2

1 1

p v t v t v t f t v t

Lấy tích phân 2 vế của (3.5) từ 0 đến t

(3.6)

2 1

2 2

0

1 0

p p

Vì vậy v L (0, ;T V0H2) Sự tồn tại nghiệm được chứng minh

Tính duy nhất nghiệm chứng minh không khó khăn, do đó định lý 3.1 được

chứng minh hoàn tất 

Chương 4 THUẬT GIẢI XẤP XỈ TUYẾN TÍNH

Ở chương này ta xét bài toán (2.1) –(2.4) với ( )h t h là hằng số Ta sẽ thiết lập nghiệm yếu của bài toán nầy bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính Ta thành lập các giả thiết sau

Định lý 4.1. Giả sử (C1) – (C3) đúng Khi đó tồn tại M 0, T 0 sao cho tồn tại dãy qui nạp tuyến tính {v( )k }W M T( , ) được xác định bởi (4.2) –(4.6)

Chứng minh

Bước 1 Xấp xỉ Galerkin Ta sử dụng một cơ sở đặc biệt { }w j của V0 cho bởi bổ đề sau

Bổ đề 4.1. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert  w j của L2 bao gồm các

hàm riêng w~j tương ứng với giá trị riêng j sao cho

Ta sử dụng cơ sở trực chuẩn { }w j trong V0 đối với tích vô hướng a  ,

(w j  wj / j , như trong bổ đề 4.1) Ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (4.3) –(4.4) dưới dạng

Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm

(i) Nhân (4.8) với 2 ( )k ( ),

1 00

1 00

0 ( ) ( ) 0

0 0

r C

0 0

1 0

0, ; 0

1 ( 1)

1

0 0

1 ( 1)

1

1 0

1 ( 1)

1

0, : 0

1 1

p k

r

p k

p k

r f

r f

0 2

1 2 21

f

r f

Số hạng I2 được đánh giá sau đây nhờ vào (4.31) và (4.38)

(4.39)

( ) ( ) 2

t f

s ds s s ds t

s ds t

Đánh giá số hạng ( )k (0)

m

s (4.47)

(4.50) ( ) 1 2

(0)4



k m

Sự hội tụ của dãy {v( )k } được cho bởi kết quả sau

Định lý 4.2. Giả sử (C1) – (C3) đúng Khi đó tồn tại M  0, T  0 sao cho (i) Bài toán (2.1) –(2.4) có duy nhất một nghiệm yếu v W M T ( , )

(ii) Dãy qui nạp tuyến tính { v( )k }  W M T ( , ) được xác định bởi (4.2) –(4.6) hội

tụ mạnh về v trong không gian

Ta sẽ chứng minh rằng { v( )k } là một dãy Cauchy trong W T 1( ).

Đặt w( )k  v(k1)  v( )k . Khi đó w( )k thỏa bài toán biến phân

(4.62)

0 ( ) ( )

Chú ý rằng, từ bất đẳng thức (1.1.16), ta suy ra

(4.75)

2 ( ) ( ) ( ) 0

Từ (4.78) và (4.79) ta có { v( )k } là dãy Cauchy trong không gian W T và do 1( )

đó tồn tại v W TÎ 1( ), sao cho

Ta cũng lưu ý rằng v( )k  W M T ( , ), khi đó ta rút ra một dãy con của { v( )k }

mà vẫn ký hiệu { v( )k } sao cho

Áp dụng bổ đề tính compact của Lions[19] cho (4.81)1,2,3 và phép nhúng

compact W (0, )1, T ↪C0([0, ])T cho (5.81)4 , ta có thể rút ra dãy con từ dãy { v( )k }

vẫn ký hiệu là { v( )k } sao cho

Tính duy nhất nghiệm chứng minh không khó khăn Trong (4.79), chuyển qua

giới hạn khi n  ¥ với k cố định, ta thu được đánh giá (4.60)

Định lý 4.2 được chứng minh hoàn tất 

Chương 5 ẢNH HƯỞNG CỦA SỐ HẠNG NHIỄU PHI TUYẾN

Ở chương này ta xét bài toán (2.1) –(2.4) với ( )h t h là hằng số và số hạng phi tuyến F v ( )   v p2v được thay bởi F v( )   v p2v   vq2v , p q ,  2,trong đó   0 là một tham số bé Ta xét bài toán nhiễu sau đây, với 0    1,

Ta vẫn sử dụng các giả thiết (C1) – (C3) như trong chương 4 Chú ý rằng, các đánh giá tiên nghiệm của dãy xấp xỉ Galerkin { ( )k }

m

v trong chứng minh các định lý 4.1, 4.2 cho bài toán ( ) P thỏa

(5.2) v  W M T ( , ).

Khi đó, ta có thể chứng minh tương tự như trong chứng minh định lý 4.2 rằng giới hạn v0 trong các không gian hàm thích hợp của họ v khi   0 là nghiệm yếu duy nhất của bài toán ( ) P0 tương ứng với   0 thỏa

(5.3) v0 W M T ( , ).

Hơn nữa, ta có định lý sau

Định lý 5.1 Giả sử p q ,  2, và các giả thiết (C1) –(C3) là đúng Khi đó tồn

tại các hằng số M 0,T 0 sao cho, với mọi , 0  1, bài toán ( )P có duy nhất nghiệm yếu v  W M T ( , ) thỏa mãn một đánh giá tiệm cận

với

2

1

.1

0

1

2 1

1

2 1

q T

p T

(5.14) 2 ( 2 )

0

(1) (0, ; ) (0, ; ) 2 T TD T ,

Định lý 5.1 đã được chứng minh xong 

Tiếp theo, chúng tôi xét khai triển tiệm cận của nghiệm yếu v đến cấp 2 theo tham số bé 

Ta gọi v1 W M T ( , ) là nghiệm yếu của bài toán sau

rr r r r

(5.17) E r t( , )F( ) F v( )0 F1( ) (p1)v0 p2v1 v0 q2v0

Khi đó, ta có bổ đề sau

Bổ đề 5.1 Giả sử p  3, q  2, và các giả thiết (C1) –(C3) là đúng Khi đó tồn

tại một hằng số K sao cho

2 (0, ; ) ,

E  K

trong đó K là hằng số chỉ phụ thuộc vào M T R p q , , , ,

Chứng minh bổ đề 5.1 Bằng cách dùng khai triển Taylor hàm

21

1

,2

R

E   K  K

trong đó

2 1

12

R

K K 

là hằng số chỉ phụ thuộc vào M T R p q , , , ,

Chứng minh bổ đề 5.1 được hoàn tất 

Bây giờ dựa vào bài toán (5.16), ta định nghĩa dãy hàm { w( )k } như sau

(5.24)

(0) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1)

( 1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0,

(1, ) ( , ) ( , ) 0,( ,0) ( ,0) 0, 1

(5.25)

(1) (1) 1 (1) (1) (1) (1) (1) (1)

(1, ) ( , ) ( , ) 0,( ,0) ( ,0) 0

rr r r r

Do đó

( 1) 0

(5.43)   1, với hằng số T thích hợp

Tiếp theo, ta cần sử dụng bổ đề sau

Bổ đề 5.2 Giả sử dãy { } k thỏa

w   w  C  0    1.

Vậy, ta có định lý sau

Định lý 5.2 Giả sử p  3, q  2, và các giả thiết (C1) –(C3) là đúng Khi đó,

tồn tại các hằng số M 0,T  0 sao cho, với mọi   (0,1], bài toán ( ) P có duy nhất một nghiệm yếu v  W M T ( , ) thỏa mãn một đánh giá tiệm cận đến cấp 2 như sau