VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN TRONG MIỀN HÌNH VÀNH KHĂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH - Vừ Th Bớch Khuờ V MT PHNG TRèNH SểNG PHI TUYN TRONG MIN HèNH VNH KHN VI IU KIN BIấN HN HP Chuyờn ngnh : Toỏn gii tớch Mó s : 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS NGUYN THNH LONG Thnh ph H Chớ Minh - 2008 LI CM N Li u tiờn tụi trõn trng kớnh gi n Thy Nguyn Thnh Long, ngi Thy ht lũng vỡ hc trũ, lũng bit n chõn thnh v sõu sc nht Thy ó rt õn cn v tn tỡnh hng dn, giỳp tụi nm c tng bc nghiờn cu khoa hc, gii ỏp nhng thc mc, khú khn tụi gp phi T Thy, tụi cng hiu thờm c ý ngha, hng thỳ v lũng say mờ ca vic nghiờn cu Toỏn hc tng chng nh rt khụ khan v ớt ng dng Tụi xin khc ghi nhng li dy, s ch bo õn cn ca Thy sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Tụi chõn thnh cm n quý Thy, Cụ ó úng gúp cỏc ý kin chõn tỡnh v b ớch cho lun ng thi cng giỳp cho tụi hiu thờm mt cỏch sõu sc v bi toỏn Tụi cng xin by t lũng bit n sõu sc n quý Thy, Cụ v ngoi khoa Toỏn- Tin hc, trng i hc S phm TP H Chớ Minh ó tn tỡnh ging dy, truyn t kin thc cng nh cỏc h tr v tinh thn, t liu cho tụi sut thi gian hc Chõn thnh cm n Ban ch nhim khoa Toỏn Tin hc, quý Thy, Cụ thuc Phũng Qun lý Khoa hc Cụng ngh & Sau i hc, trng i hc S phm TP H Chớ Minh ó nhit tỡnh giỳp , ng viờn, to mi iu kin thun li v th tc hnh chớnh cho tụi sut quỏ trỡnh hc Tụi cng khụng th quờn gi li bit n chõn tỡnh n gia ỡnh, bn bố tụi, cỏc anh ch cựng lp cao hc gii tớch khúa 16, cỏc anh ch nhúm Semina, nhng ngi luụn bờn tụi nhng lỳc khú khn, giỳp tụi quỏ trỡnh tụi hc v hon thnh lun ny Cui cựng, vỡ kin thc bn thõn cũn hn ch, nờn lun khú trỏnh thiu sút, rt mong c s ch bo ca quý Thy, Cụ v s gúp ý chõn thnh ca cỏc bn bố ng nghip Thnh ph H Chớ Minh, thỏng nm 2008 Vừ Th Bớch Khuờ M U S tn ti v nht nghim nhiu bi toỏn v phng trỡnh súng phi tuyn l ti c quan tõm bi nhiu tỏc gi, chng nh [1 17] v cỏc ti liu tham kho ú Trong lun ny chỳng tụi xột bi toỏn v mt phng trỡnh súng phi tuyn hỡnh vnh khn vi iu kin biờn hn hp sau (0.1) vtt vrr 1r vr v (0.2) v(1, t ) 0, (0.3) vr ( R, t ) h(t )v( R, t ), (0.4) p2 v f1 (r , t ), r R, t T , v(r ,0) v0 (r ), vt (r ,0) v1 ( r ), ú R 1, p l cỏc hng s khụng õm cho trc; v0 , v1 , f1 , h l cỏc hm cho trc tha cỏc iu kin m ta s ch sau Ta xột mng phng hỡnh vnh khn {( x, y ) : x y R } c gii hn bi hai ng trũn, gm mt ng trũn nh {( x, y ) R {( x, y ) 2 : x y 1} v gm mt ng trũn to : x y R } Bi toỏn (0.1) - (0.4) xut phỏt t bi toỏn cho phng trỡnh súng phi tuyn mng phng hỡnh vnh khn (0.5) utt u F (u ) f ( x, y, t ), ( x, y ) , t T , vi iu kin biờn (0.6) u 0, ( x, y ) , t T , (0.7) u h(t )u ( x, y, t ), ( x, y ) R , t T , v v iu kin u (0.8) u ( x, y,0) u0 ( x, y ), ut ( x, y,0) u1 ( x, y ), ( x, y ) , ú v l vect phỏp tuyn n v trờn biờn x y R , R hng ngoi, h(t ), f ( x, y, t ), u0 ( x, y ), u1 ( x, y ) l cỏc hm s cho trc tha mt s iu kin no ú ta s ch rừ sau ú Ký hiu ch toỏn t Laplace hai chiu u u xx u yy - u ( x, y, t ) l dch chuyn ca mng ti im ( x, y ) thi im t, vi t T - f ( x, y, t ) F (u ) l ngoi lc tỏc ng lờn mng - iu kin biờn (0.6) cho bit mng b gi cht trờn ng trũn - iu kin biờn (0.7) trờn ng trũn R mụ t s rng buc n hi Trong lun ny, chỳng tụi kho sỏt bi toỏn vi cỏc s hng f ( x, y, t ), u0 ( x, y ), u1 ( x, y ) ch ph thuc vo r x y F (u ) u p u, p 2, 2 f ( x, y, t ) f1 ( x y , t ), 2 2 u0 ( x, y ) v0 ( x y ), u1 ( x, y ) v1 ( x y ) (0.9) Bng cỏch i n hm u ( x, y, t ) v( r , t ) v( x y , t ) vi chỳ ý (0.10) u xx u yy vrr (r , t ) 1r vr (r , t ), (0.11) u vr ( R, t ) trờn r x y R v Khi ú, bi toỏn (0.5) -(0.8) c chuyn v bi toỏn (0.1)-(0.4) ó nờu ban u vi n hm cn tỡm l v v(r , t ) Trong lun ny chỳng tụi quan tõm n s tn ti v tớnh nht nghim ca bi toỏn (0.1) (0.4), thut gii xp x tuyn tớnh v s hi t ca thut gii v nghim yu ca bi toỏn (0.1) (0.4) Ton b lun s c chia thnh cỏc chng sau õy Chng Trỡnh by cỏc ký hiu, cụng c, khụng gian hm, tớnh cht cỏc phộp nhỳng cú liờn quan Chng Kho sỏt s tn ti v nht ca nghim yu ca bi toỏn (0.1) (0.4) Chng minh da vo phng phỏp Galerkin, cú s dng nh lý Schauder, ỏnh giỏ tiờn nghim kt hp vi s hi t yu Chng Vi vic tng cng gi thit v iu kin u v0 , v1 , cựng vi cỏc iu kin ph, chng ny ó cho mt kho sỏt v tớnh trn ca nghim yu ca bi toỏn (0.1) (0.4), tng ng vi trng hp h(t ) h Chng Kho sỏt mt thut gii xp x tuyn tớnh v s hi t ca thut gii v nghim yu ca bi toỏn (0.1) (0.4), tng ng vi trng hp c bit h(t ) h Chng Cho mt kho sỏt v nh hng ca s hng nhiu phi tuyn lờn nghim ca bi toỏn v ch mt khai trin tim cn nghim theo mt tham s n cp hai Sau cựng l phn kt lun v ti liu tham kho Chng CC CễNG C CHUN B 1.1 Cỏc khụng gian hm Ta t cỏc ký hiu (1, R ), QT (0, T ), T Ta cng dựng cỏc ký hiu v (t ), v(t ) vt (t ), v(t ) vtt (t ), vr (t ), vrr (t ) ln v 2v v 2v (r , t ), (r , t ) Ta cng b qua nh (r , t ), (r , t ), r r t t ngha cỏc khụng gian hm thụng dng: C m (), Lp (), H m (), W m , p () Cú lt ch v ( r , t ), th xem [17, 18] cho gn, ta ký hiu li nh sau: Lp () Lp , H m () W m ,2 () H m , W m , p () W m , p Ta nh ngha L2 L2 () l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng: R (1.1.1) (v, w) v(r ) w(r )dr Ký hiu ch chun sinh bi tớch vụ hng (1.1.1), ngha l: (1.1.2) R v (v, v) v (r )dr v L2 ( ) v nh ngha (1.1.3) H v L2 : vr L2 l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng (1.1.4) (v, w) H (v, w) (vr , wr ), v, w H Ký hiu (1.1.5) v H H1 ch chun sinh bi tớch vụ hng (1.1.4), ngha l (v, v) H v vr Ta t (1.1.6) V0 v H : v (1) , v H Khi ú V0 l khụng gian úng ca V H , ú V0 cng l khụng gian Hilbert i vi cựng mt tớch vụ hng ca H Ngoi trờn L2 () ta cú th s dng mt tớch vụ hng cú trng nh sau: R v, w rv( r ) w(r )dr (1.1.7) Ký hiu ch chun sinh bi tớch vụ hng (1.1.7) R v, v rv (r )dr v0 (1.1.8) Khi ú chun sinh bi tớch vụ hng ca H () c ký hiu nh sau: v v vr (1.1.9) 1 R r v (r ) vr2 (r ) dr Ta cú cỏc b B 1.1.1 Phộp nhỳng H C () l compact v (1.1.10) v C () v H1 , v H Chng minh b 1.1.1 cú th tỡm thy [17, 18] B 1.1.2 ng nht L2 vi L2 ( L2 )' (i ngu ca L2 ) Khi ú ta cú (1.1.11) H L2 ( L2 )' ( H ) vi cỏc phộp nhỳng liờn tc v nm trự mt Chỳ thớch 1.1.1 T b 1.1.2, ta dựng ký hiu tớch vụ hng , L2 ch cp tớch i ngu , 1 H , H gia H v ( H ) Chun L c ký hiu bi Ta cng ký hiu X l khụng gian i ngu ca X X ch chun khụng gian Banach X v gi B 1.1.3 Trong L2 , cỏc chun v v , v v tng t cho cỏc chun v v H1 l tng ng Cng , v v l tng ng H Hn na, ta cũn cú cỏc bt ng thc (i) v v R v , v L2 , (ii) v H1 v1 R v H1 , v H Chng minh b 1.1.3 khụng khú khn B 1.1.4 Phộp nhỳng V0 C () l compact Hn na ta cũn cú (1.1.12) v (1.1.13) v (1.1.14) v Ê R vr , v V0 , C0 () ( R 1) vr , v V0 , 2 R (R - 1) vr , "v ẻ V0 , (R - 1)2 Ê 1+ vr , "v ẻ V0 , (1.1.15) vr Ê v (1.1.16) vr (1.1.17) v (R) Ê e vr H1 Ê v Ê + R(R - 1)2 vr , "v ẻ V0, 2 + C e v , "v ẻ H 1, "e > 0, vi C e = 1 + e R -1 Chng minh Phộp nhỳng V0 C () l compact, cú c l phộp nhỳng H C () l compact v V0 úng H Chng minh (1.1.12) Cho v C1 (), v(1) 0, r R, ta cú r (1.1.18) v(r ) vr ( x)dx Do ú r r v(r ) vr ( x) dx dx vr ( x) dx 1 r (1.1.19) 2 R r vr ( x) dx R vr Vy (1.1.12) c chng minh Chng minh (1.1.13) T (1.1.14), ta cú (1.1.20) r r v(r ) vr ( x) dx (r 1) vr ( x) dx Tớch phõn theo bin r v sau ú i th t ly tớch phõn, ta c R (1.1.21) r R r 2 v(r ) dr dr vr ( x) dx (r 1)dr vr ( x) dx 1 R R R vr ( x) dx (r 1)dr R x vr ( x) dx 12 ( R 1) 12 ( x 1) R ( R 1) 2 v ( x) r Suy R ( R 1) vr v v(r ) dr Vy (1.1.13) c chng minh Chng minh (1.1.14) v Ê R v Ê R (R - 1) vr Vy (1.1.14) c chng minh Chng minh (1.1.15) dx vr Ê v Ê H1 Ê v + vr (R - 1)2 vr 2 + vr = 1+ (R - 1)2 vr Vy (1.1.15) c chng minh Chng minh (1.1.16) vr ( 2 0 Ê v = v + vr ) 1/2 1/2 ổ1 Ê ỗỗ R(R - 1)2 vr ỗố 2 + vr ữữữ 0ữ ứ Ê + R(R - 1)2 vr Vy (1.1.16) c chng minh Chng minh (1.1.17) R v ( R ) v (r ) v( s)vr ( s)ds, r [1, R], v H 2 r Tớch phõn hai v theo r R R R r ( R 1)v ( R ) v (r )dr dr v( s )vr ( s )ds 2 R R r v dr v( s )vr ( s ) ds R v ( s 1) v( s )vr ( s ) ds 2 v 2( R 1) v vr Do ú v ( R) v v vr R (4.79) v (k +n ) -v (k ) W1 (T ) rTk Ê v (1) - v (0) - rT W1 (T ) vi mi k, n T (4.78) v (4.79) ta cú {v ( k ) } l dóy Cauchy khụng gian W1(T ) v ú tn ti v ẻ W1 (T ), cho (4.80) v ( k ) v W1(T ) mnh Ta cng lu ý rng v ( k ) W ( M , T ), ú ta rỳt mt dóy ca {v ( k ) } m ký hiu {v ( k ) } cho v ( k ) v L (0,T ;V0 H ) , yu*, v ( k ) v L (0, T ;V0 ) , yu*, (4.81) v( k ) v L (0, T ; L2 ) , yu*, v ( k ) ( R, ) v( R, ) W1, (0,T ) , yu*, v W ( M , T ) p dng b tớnh compact ca Lions[19] cho (4.81)1,2,3 v phộp nhỳng compact W1, (0, T ) C ([0, T ]) cho (5.81)4 , ta cú th rỳt dóy t dóy {v ( k ) } ký hiu l {v ( k ) } cho (4.82) v ( k ) v mnh L2 (0, T ;V0 ), (4.83) v ( k ) v mnh L2 (0, T ; L2 ), (4.84) v ( k ) ( R, ) v( R, ) mnh C ([0, T ]) Dựng bt ng thc (2.41), ta suy t (4.69) rng (4.85) v ( k 1) ( r , t ) p2 v ( k 1) ( r , t ) v( r , t ) p2 v(r , t ) ( p 1)m1p v ( k 1) (r , t ) v (r , t ) (4.86) v ( k 1) p v ( k 1) v p v L 0,T ; L ( p 1)m1p v ( k 1) v W1 (T ) Qua gii hn (4.3), (4.4), nh vo (4.81)1,3, 4, (4.82) (4.84), (4.86), ta thu c v W ( M , T ) l mt nghim yu ca bi toỏn (2.1) (2.4) Tớnh nht nghim chng minh khụng khú khn Trong (4.79), chuyn qua gii hn n Ơ vi k c nh, ta thu c ỏnh giỏ (4.60) nh lý 4.2 c chng minh hon tt Chng NH HNG CA S HNG NHIU PHI TUYN chng ny ta xột bi toỏn (2.1) (2.4) vi h(t ) h l hng s v s hng phi tuyn F (v) v p v c thay bi F (v) v p2 v v q v, p, q 2, ú l mt tham s Ta xột bi toỏn nhiu sau õy, vi , ( P ) vtt vrr 1r vr v p v v q v f1 (r , t ), r R, t T , v(1, t ) vr ( R, t ) hv( R, t ) 0, v(r ,0) v (r ), v (r ,0) v (r ), t ú R 1, p, q 2, h l cỏc hng s khụng õm cho trc; v0 , v1 , f1 l cỏc hm cho trc Trong phn ny, chỳng tụi xem xột nghim v ca bi toỏn nhiu ( P ) v s chng t rng thỡ nghim ny cng khụng nh hng ln i vi nghim v0 ca bi toỏn ( P0 ) ng vi Chỳng tụi s cho mt cụng thc nghim tim cn cho n cp hai theo Ta s dng cỏc gi thit (C1) (C3) nh chng Chỳ ý rng, cỏc ỏnh giỏ tiờn nghim ca dóy xp x Galerkin {vm( k ) } chng minh cỏc nh lý 4.1, 4.2 cho bi toỏn ( P ) tha (5.1) vm( k ) W ( M , T ) ú M , T l cỏc hng s c lp vi m, k v Do ú, gii hn v cỏc khụng gian hm thớch hp ca dóy {vm( k ) } m sau ú k s l nghim yu nht ca bi toỏn ( P ) tha (5.2) v W ( M , T ) Khi ú, ta cú th chng minh tng t nh chng minh nh lý 4.2 rng gii hn v0 cỏc khụng gian hm thớch hp ca h v l nghim yu nht ca bi toỏn ( P0 ) tng ng vi tha (5.3) v0 W ( M , T ) Hn na, ta cú nh lý sau nh lý 5.1 Gi s p, q 2, v cỏc gi thit (C1) (C3) l ỳng Khi ú tn ti cỏc hng s M 0, T cho, vi mi , , bi toỏn ( P ) cú nht nghim yu v W ( M , T ) tha mt ỏnh giỏ tim cn v v0 (5.4) L (0,T ; L2 ) v v0 L (0,T ;V0 ) C , ú C l hng s ch ph thuc M , T , R, p, q Chng minh t w v v0 Khi ú, w tha bi toỏn bin phõn sau (t ), w a ( w (t ), w) F (v ) F (v0 ) F1 (v ), w , w V0 , w w (0) w (0) 0, (5.5) ú F1 (v) v q v Ly w w (5.5) sau ú ly tớch phõn theo t, ta c t (t ) F (v ) F (v0 ) F1 (v ), w ds, (5.6) ú (t ) w (t ) a ( w (t ), w (t )) (5.7) S dng bt ng thc (2.41) v t (5.2), (5.3), ta suy (5.8) F (v ) F (v0 ) ( p 1) (5.9) F1 (v ) v q R 1M R 1M p q w , Chỳ ý rng, t bt ng thc (4.75), rng (5.10) 2 2ử ổ s(t ) = w e (t ) + a (w e (t ), w e (t )) aR ỗỗ w e (t ) + w e (t ) ữữ, 0 1ứ ố vi aR = 1 + R(R - 1)2 T hp cỏc bt ng thc (5.6)-(5.10) ta suy (5.11) (t ) 2( p 1) R 1M ( p 1) p2 t w ( s ) R 1M w ( s) ds R2 t w ( s) ds q w (s) w (s) ds R T ( p 1) R 1M w ( s ) ( p 1) R 1M p2 t 2q2 t R ( p 1) R 1M T ( p 1) 2T ( p 1) t R 1M 2q 2q2 R2 t ( s )ds R2 R 1M p t ( s )ds t DT(1) DT(2) ( s )ds, ú q R (1) D T ( p 1) R M , T p DT(2) ( p 1) R 1M R Nh vo b Gronwall ta thu c t (5.10) v (5.11) rng (5.13) 2ử ổ TD (2) aR ỗỗ w e (t ) + w e (t ) ữữ Ê s(t ) Ê e2DT(1)e T , 1ứ ố Do ú ta cú ds ( p 1) R (5.12) (s)ds p2 R 1M (5.14) w w L (0,T ; L2 ) L (0,T ;V ) DT(1) R (2) eTDT C , hay (5.15) v v0 L (0,T ; L2 ) v v0 L (0,T ;V0 ) C , ú C l hng s ch ph thuc M , T , R, p, q nh lý 5.1 ó c chng minh xong Tip theo, chỳng tụi xột khai trin tim cn ca nghim yu v n cp theo tham s Ta gi v1 W ( M , T ) l nghim yu ca bi toỏn sau v1 v1rr 1r v1r ( p 1) v0 p v1 v0 q v0 , r R, t T , v1 (1, t ) v1r ( R, t ) hv1 ( R, t ) 0, v (r ,0) v (r ,0) ( P1 ) t w v v0 v1 v Khi ú, w l nghim yu ca bi toỏn sau (5.16) wrr 1r wr F ( w ) F () w F1 ( w ) F1 () E (r , t ), r R, t T , w(1, t ) wr ( R, t ) hw( R, t ) 0, w(r ,0) w (r ,0) ú (5.17) E (r , t ) F () F (v0 ) F1 () ( p 1) v0 p v1 v0 q v0 Khi ú, ta cú b sau B 5.1 Gi s p 3, q 2, v cỏc gi thit (C1) (C3) l ỳng Khi ú tn ti mt hng s K cho (5.18) E L (0,T ; L2 ) K , ú K l hng s ch ph thuc vo M , T , R, p, q Chng minh b 5.1 Bng cỏch dựng khai trin Taylor hm F ( ) F (v0 v1 ) xung quanh im v0 n cp 2, ta thu c rng (5.19) F ( ) F (v0 v1 ) F (v0 ) v1 F (v0 ) v12 F (v0 v1 ) F (v0 ) ( p 1) v0 p v1 v12 F (v0 v1 ), vi Tng t (5.20) F1 () F1 (v0 ) ( F1 () F1 (v0 )) v0 q v0 2v1F1(v0 v1 ), T (5.17) (5.20) ta suy (5.21) E (r , t ) v12 F (v0 v1 ) v1 F1 (v0 v1 ) Chỳ ý rng F (v) ( p 1)( p 2) v p4 q2 v, F1 (v) (q 1) v , ú, ta suy t (5.3) rng (5.22) v1 F (v0 v1 ) v1 F1 (v0 v1 ) p q ( p 1)( p 2)v12 v0 v1 (q 1) v1 v0 v1 p q2 ( p 1)( p 2)v12 v0 v1 (q 1) v1 v0 v1 2 p ( p 1)( p 2) R 1M R 1M (q 1) R 1M R 1M Do ú (5.23) R2 E L (0,T ;L2 ) K1 K , 2 q2 K R2 ú K K1 l hng s ch ph thuc vo M , T , R, p, q Chng minh b 5.1 c hon tt Bõy gi da vo bi toỏn (5.16), ta nh ngha dóy hm {w( k ) } nh sau w(0) 0, (k ) wrr( k ) 1r wr( k ) F ( w( k 1) ) F () w F1 ( w( k 1) ) F1 () E (r , t ), r R, t T , (k ) (k ) (k ) w (1, t ) wr ( R, t ) hw ( R, t ) 0, w( k ) (r ,0) w ( k ) (r ,0) 0, k (5.24) Vi k ta cú bi toỏn w (1) wrr(1) 1r wr(1) E (r , t ), r R, t T , (1) (1) (1) w (1, t ) wr ( R, t ) hw ( R, t ) 0, (1) (1) w (r ,0) w (r ,0) (5.25) (1) (r , t ) sau ú ly tớch phõn trờn (1, R) (0, t ), Nhõn hai v ca (5.25) vi rw ta cú c rng (5.26) t (t ) E ( s ), w (1) ( s ) ds, ú (5.27) (t ) w (1) (t ) a ( w(1) (t ), w(1) (t )) S dng b 5.1, v t (5.26), (5.23), ta suy (5.28) t (t ) E ( s ) t w (1) ( s) ds K w (1) ( s ) ds 0 t t TK w (1) ( s ) ds TK ( s )ds 0 Nh vo b Gronwall ta thu c t (5.28) rng (5.29) (t ) TK 2eT Suy (5.30) w (1) L (0,T ; L ) w(1) L (0,T ;V0 ) TeT CT R Ta s chng minh rng tn ti mt hng s CT , c lp vi k v , cho (5.31) w ( k ) L (0,T ; L2 ) w( k ) L (0,T ;V0 ) CT , 1, vi mi k ( k ) (r , t ) sau ú ly tớch phõn trờn Bng cỏch nhõn hai v ca (5.24) vi rw (1, R) (0, t ), ta cú c rng t k (t ) F ( w( k 1) ) F ( ), w ( k ) ( s) ds t F1 ( w( k 1) ) F1 ( ), w ( k ) ( s ) ds (5.32) t E ( s ), w ( k ) ( s ) ds t F ( w( k 1) ) F ( ) 0 w ( k ) ( s ) ds t F1 ( w( k 1) ) F1 () 0 w ( k ) ( s ) ds t K w ( k ) ( s ) ds, 0 ú (5.33) k (t ) w ( k ) (t ) a ( w( k ) (t ), w( k ) (t )) 2 R w ( k ) (t ) w( k ) (t ) Z (t) R k Chỳ ý rng (5.34) F ( w( k 1) ) F ( ) ( p 1) w( k 1) w( k 1) ( p 1) w( k 1) R ( p 1) 3M R p2 p2 w( k 1) w( k 1) p2 Do ú F ( w( k 1) ) F ( ) ( p 1) 3M R (5.35) p w( k 1) D p ( M ) w( k 1) Tng t F1 ( w( k 1) ) F1 ( ) (q 1) 3M R (5.36) q w( k 1) Dq ( M ) w( k 1) T (5.32), (5.35), v (5.36) ta suy rng t (5.37) k (t ) 2( D p ( M ) Dq ( M )) w( k 1) ( s ) 0 w ( k ) ( s ) ds t K w ( k ) ( s ) ds 0 t (5.38) k w ( k ) L (0,T ; L ) w( k ) L (0,T ;V0 ) Do ú (5.39) k (t ) 2T ( D p ( M ) Dq ( M )) k k 2TK k k T (5.33), (5.38) v (5.39) ta suy (5.40) k , R k hay (5.41) k k , vi mi k 1, ú (5.42) 8T R D (M ) D (M ) , Ta gi s rng p q 8T K R (5.43) 1, vi hng s T thớch hp Tip theo, ta cn s dng b sau B 5.2 Gi s dóy { k } tha (5.44) k k , vi mi k 1, 0, ú 1, l cỏc hng s cho trc Khi ú, (5.45) k , vi mi k Chng minh b ny khụng khú khn, ta b qua p dng b 5.2, ta suy t (5.41) v (5.42) rng (5.46) w ( k ) L (0,T ; L ) w( k ) L (0,T ;V0 ) k CT , vi mi k 1, ú (5.47) CT 8TK R 8T D p ( M ) Dq ( M ) Mt khỏc, dóy quy np tuyn tớnh {w( k ) } c xỏc nh bi (5.24) hi t mnh khụng gian W1(T ) v nghim v ca bi toỏn (5.16) Do ú, cho k (5.46) ta thu c (5.48) w L (0,T ; L2 ) w L (0,T ;V0 ) CT , Vy, ta cú nh lý sau nh lý 5.2 Gi s p 3, q 2, v cỏc gi thit (C1) (C3) l ỳng Khi ú, tn ti cỏc hng s M 0, T cho, vi mi (0,1] , bi toỏn ( P ) cú nht mt nghim yu v W ( M , T ) tha mt ỏnh giỏ tim cn n cp nh sau (5.49) v v0 v1 L (0,T ; L2 ) v v0 v1 L (0,T ;V0 ) CT , ú, cỏc hm v0 , v1 , ln lt l nghim yu ca cỏc bi toỏn ( P0 ), ( P1 ) KT LUN Qua lun ny tỏc gi thc s bt u lm quen vi cụng vic nghiờn cu khoa hc mt cỏch nghiờm tỳc v cú h thng Tỏc gi cng hc c phng phỏp nghiờn cu vic c ti liu, tho lun nhúm sinh hot hc thut ti Thnh ph H Chớ Minh thy Nguyn Thnh Long t chc, hc c cụng c ca Gii tớch hm phi tuyn kho sỏt s tn ti v nht nghim yu ca bi toỏn phi tuyn, chng hn nh: Phng phỏp chng minh s tn ti v nht nghim yu ca bi toỏn biờn phi tuyn vi iu kin biờn hn hp bng phng phỏp Galerkin liờn h vi cỏc k thut ỏnh giỏ tiờn nghim, k thut v tớnh compact v hi t yu Trong phn ny chỳng tụi cú dp s dng nh lý im bt ng Schauder vic chng minh s tn ti v nht nghim phng phỏp xp x Galerkin Phn chớnh ca lun bao gm chng 2, 3, 4, Chng Kho sỏt s tn ti v nht ca nghim yu ca bi toỏn Chng minh da vo phng phỏp Galerkin, cú s dng nh lý Schauder, ỏnh giỏ tiờn nghim kt hp vi s hi t yu Chng Cho mt kho sỏt v tớnh trn ca nghim yu ph thuc vo tớnh trn ca iu kin u v0 , v1 , cựng vi cỏc iu kin ph khỏc trng hp h(t ) h l hng s Chng Cho mt cỏch thit lp nghim bng phng phỏp xp x tuyn tớnh vi trng hp h(t ) h l hng s Chng Kho sỏt v nh hng ca s hng nhiu phi tuyn lờn nghim ca bi toỏn v xỏc nh mt khai trin tim cn nghim theo mt tham s n cp hai Tỏc gi cng tham kho mt s bi bỏo trc ú bt chc v t lm cho cỏc chng 2, 3, 4, Tuy nhiờn vi s hiu bit hn ch ca bn thõn, tỏc gi rt mong hc hi t s úng gúp v ch bo ca quý Thy Cụ v ngoi Hi ng chm lun TI LIU THAM KHO Nguyn Thnh Long, Alain Phm Ngc nh, Trn Ngc Dim, Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Demonstratio Math 36 (3) (2003) Nguyn Thnh Long, Bựi Tin Dng, On the nonlinear wave equation 2 utt B ( u x )u xx f ( x, t , u , u x , u t , u x ) homogeneous associated with the mixed conditions, Nonlinear Anal., Ser A: Theory Methods, 55 (5) (2003), 493519 [http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2003.07.002] Dng Th Thanh Bỡnh, Alain Phm Ngc nh, Nguyn Thnh Long, Linear recursive schemes associated with the nonlinear wave equation involving Bessel's operator, Math Comp Modelling, 34 (5-6) (2001), 541- 556 [http://dx.doi.org/10.1016/S0895-7177(01)00082-6] Nguyn Thnh Long, Alain Phm Ngc nh, Dng Th Thanh Bỡnh, Mixed problem for some semilinear wave equation involving Bessel's operator, Demonstratio Math 32 (1) (1999), 7794 Nguyn Thnh Long, Trn Minh Thuyt, On the existence, uniqueness of solution of a nonlinear vibrations equation, Demonstratio Math 32 (4) (1999), 749 758 Nguyn Thnh Long, Trn Minh Thuyt, A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math 36 (4) (2003), 951 938 Nguyn Thnh Long, Trn Ngc Dim, On the nonlinear wave equation utt u xx f x ,t ,u ,u x ,ut associated with the mixed homogeneou conditions, Nonlinear Anal 29 (11) (1997), 12171230 [ http://dx.doi.org/10.1016/S0362-546X(97)87360-9 ] Nguyn Thnh Long, Alain Phm Ngc nh, Trn Ngc Dim, Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff- Carrier operator, J Math Anal Appl 267 (1) (2002), 116134 [ http://dx.doi.org/10.1006/jmaa.2001.7755 ] 683-695 Nguyn Thnh Long, Nguyn Cụng Tõm, Nguyn Th Tho Trỳc, On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation Demonstration 10 Nguyn and asymptotic expansion of solution, Math 38 (2) (2005), 365386 Thnh equation utt B t , u Long, , ux u xx On the f x ,t ,u ,u x ,ut , u nonlinear , ux wave associated with the mixed homogeneous conditions, J Math Anal Appl 306, (1) (2005), 243268 [ http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2004.12.053 ] 11 Nguyn Thnh Long, Vừ Giang Giai, Existence and asymptotic expansion for a nonlinear wave equation associated with nonlinear boundary conditions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (6) (2007), 17911819 [ http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2006.08.024 ] 12 Nguyn Thnh Long, Vừ Giang Giai, Lờ Xuõn Trng, A shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar associated with a nonlinear boundary condition, Demonstratio Math 41 (1) (2008) 85-108 [ http://demmath.mini.pw.edu.pl/pdf/dm41_1.pdf ] 13 Nguyn Thnh Long, Lờ Th Phng Ngc, A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions: The connectivity and compactness of weak solution set, Abstract and Applied Analysis, Volume 2007, Article ID 20295, 17 pages doi:10.1155/2007/20295 [ http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/2007/20295 ] 14 Nguyn Thnh Long, Lờ Th Phng Ngc, On a nonlinear Kirchhoff Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and symptotic expansion of solutions, Demonstratio Math 40 (2) (2007), 365392 [ http://demmath.mini.pw.edu.pl/pdf/dm40_2.pdf ] 15 Lờ Th Phng Ngc, Lờ Nguyn Kim Hng, Nguyn Thnh Long, On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods (accepted for publication) [http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2008.08.004] 16 Lờ Xuõn Trng, Lờ Th Phng Ngc, Alain Phm Ngc nh, Nguyn Thnh Long, The regularity and exponential decay of solution for a linear wave equation associated with two-point boundary conditions, (Submitted) [arXiv:0807.1510; http://fr.arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0807/0807.1510v1.pdf ] 17 R.A Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, NewYork, 1975 18 H Brộzis, Analyse fonctionnele, Thộorie et Applications, Masson Paris, 1983 19 J L Lions, Quelques mộthodes de rộsolution des problốmes aux limites non linộaires, Dunod; Gauthier-Villars, Paris, 1969 20 Y Yamada, Some nonlinear degenerata wave equation, Nonlinear Anal A TMA 11 (1987), 1155-1168 21 R.E Showalter, Hilbert space methods for partial differential equations, Electronic J Diff Equat., Monograph 01, 1994.99h39 [...]... minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ yếu trong các không gian thích hợp nhờ một số phép nhúng compact Trong phần này định lý Schauder được sử dụng trong việc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin Bước 1 Xấp xỉ Galerkin (được giới thiệu bởi Lions [19]) Xét một cơ sở đếm được {w j } của V0 Ta tìm nghiệm xấp xỉ trong theo dạng... thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D  (0, T )  vào X được gọi là một phân bố (hàm suy rộng) có giá trị trong X Tập hợp các phân bố có giá trị trong X ký hiệu là D(0, T ; X )  L  D(0, T ); X    f : D  (0, T )   X : f tuyến tính, liên tục } Chú thích 1.3.1 Ta ký hiệu D (0, T ) thay cho D  (0, T )  hoặc Cc  (0, T )  để chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn lần và có giá compact trong. .. rằng, tồn tại một dãy con của dãy vm  , vẫn ký hiệu là vm  sao cho (2.85) vm  v trong L (0, T ;V0 ) yếu*, (2.86) vm  v trong L (0, T ; L2 ) yếu*, (2.87) vm (2.88) vm ( R, )  v( R, ) trong L (0, T ) yếu* p2 vm   trong L  0, T ; Lp  ()  yếu*, Do bổ đề compact của Lions [19], ta suy ra từ (2.85)–(2.86) rằng, tồn tại một dãy con vẫn ký hiệu là vm  sao cho (2.89) vm  v mạnh trong L2... )  C , trong đó C là hằng số độc lập với m và Gm  G a.e.( x, t ) trong Q Khi đó Gm  G trong Lq (Q) yếu  Chương 2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán sau: (2.1) vtt   vrr (r , t )  1r vr (r , t )   v (2.2) v(1, t )  0, (2.3) vr ( R, t )  h(t )v( R, t ), (2.4) v(r ,0)  v0 (r ), vt (r ,0)  v1 ( r ), p2 v  f1 (r , t ), 1  r  R, 0  t  T , trong đó... các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau Nghiệm yếu của bài toán (2.1)–(2.4) được thành lập từ bài toán biến phân sau: Tìm v  L (0, T ;V0 ), với vt  L (0, T ; L2 ) sao cho v thỏa bài toán biến phân sau: R (2.5) d p 2 vt (t ), w  a (v(t ), w)  Rh(t )v( R, t ) w( R)   r v(r , t ) v( r , t ) w( r )dr dt 1  f1 (t ), w , a.e t  (0, T ), w  V0 , với điều kiện đầu (2.6) v(r ,0) ... 0, j   X  0  p  0 trong X khi j   Vậy Tv  D (0, T ; X ) (ii) Ánh xạ v  Tv là một đơn ánh, tuyến tính từ Lp (0, T ; X ) vào D(0, T ; X ) Do đó, ta có thể đồng nhất Tv  v Khi đó ta có kết quả sau Bổ đề 1.3.1 (Lions [19]) Lp (0, T ; X )  D(0, T ; X ) với phép nhúng liên tục Bổ đề 1.3.2 (Lions [19]) Nếu f , f   Lp (0, T ; X ), 1  p   thì f bằng hầu hết với một hàm thuộc C 0 ([0, T... cmj (t ) w j , (2.9) j 1 trong đó các hàm hệ số cmj thỏa hệ phương trình vi phân thường sau đây vm (t ), wi  a  vm (t ), wi   Rh(t )vm ( R, t ) wi ( R ) (2.10) R   r vm (r , t ) p2 vm (r , t ) wi (r )dr  f1 (t ), wi , 1  i  m, 1 (2.11) vm (0)  v0 m , vm (0)  v1m , trong đó (2.12) m v0 m    mj w j  v0 mạnh trong V0 , j 1 (2.13) m v1m    mj w j  v1 mạnh trong L2 j 1 Ta chứng... đây liên quan đến phép nhúng compact Bổ đề 1.4.1 (Bổ đề về tính compact của Lions [19]) Với giả thiết (1.4.1), (1.4.2) và nếu 1  pi  , i  0,1 thì phép nhúng W (0, T ) ↪ Lp0 (0, T ; X ) là compact Chứng minh bổ đề 1.4.1 có thể tìm thấy trong Lions [19]  Bổ đề dưới đây cho kết quả về sự hội tụ yếu trong Lq (Q ) và chứng minh nó có thể tìm thấy trong Lions [19] Bổ đề 1.4.2 Cho Q là tập mở bị chặn của... thì f bằng hầu hết với một hàm thuộc C 0 ([0, T ]; X ) Chứng minh của bổ đề 1.3.2 có thể tìm thấy trong Lions [19]  1.4 Bổ đề về tính compact của Lions Cho ba không gian X 0 , X 1 , X với X 0  X  X 1 với các phép nhúng liên tục sao cho (1.4.1) X 0 , X 1 là phản xạ, (1.4.2) Phép nhúng X 0 ↪ X là compact Với 0  T  , 1  pi  , i  0,1 Ta đặt   W (0, T )  v  Lp0 (0, T ; X 0 ) : v  Lp1 (0,...  sao cho hệ (2.24) có nghiệm c(t ) trên khoảng 0  t  Tm Chứng minh Bổ đề 2.1 Ta viết lại hệ (2.24) thành phương trình điểm bất động (2.25) c(t )  (Uc)(t ), 0  t  Tm trong đó t (2.26) (Uc)(t )     t   (t   ) A1G  , c( )  d 0 t   (t   ) A1  I  Rh( ) B  c( )d , 0 với R Gi  t , c(t )     rF  v(r , t )  wi (r )dr  f1 (t ), wi   H i  c(t )    i (t ), 1 R H i