PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA SỐ HẠNG MEMORY Ở MỘT PHẦN BIÊN TRÁI Toán Giải tích

Xin chân thành cám ơn các bạn trong nhóm sinh hoạt chuyên môn, nhất là các anh Phạm Thanh Sơn, ThS Nguyễn Văn Ý - những người đã đóng góp cho tôi những ý kiến hết sức quý báu về chuyên

Nguyễn Bằng Phong

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA SỐ HẠNG MEMORY Ở MỘT PHẦN BIÊN TRÁI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THÀNH LONG

Thành phố Hồ Chí Minh 2009

trong việc hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cám ơn PGS TS Nguyễn Bích Huy và TS Lê Thị Phương

Ngọc, cùng tất cả quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian

đọc và cho những ý kiến quý báu cũng như những lời phê bình bổ ích đối với luận văn của tôi

Tôi cũng xin cám ơn tất cả quý Thầy Cô Khoa Toán của Trường Đại học Sư

phạm TP Hồ Chí Minh và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh

đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức bổ ích trong suốt khóa học tại Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh

Xin cám ơn quý Thầy Cô công tác tại Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại

học, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về mặt thủ tục hành chính cho tôi trong suốt khóa học

Xin gởi lời cám ơn đến Ban Giám hiệu và đồng nghiệp của Trường THPT

chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận đã tạo điều kiện và khích lệ tôi trong suốt quá trình học

Xin chân thành cám ơn các bạn trong nhóm sinh hoạt chuyên môn, nhất là các

anh Phạm Thanh Sơn, ThS Nguyễn Văn Ý - những người đã đóng góp cho tôi

những ý kiến hết sức quý báu về chuyên môn, cũng như tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin cám ơn các bạn học viên Cao học Khóa 17 và các bạn đồng nghiệp

đã hỗ trợ tôi trong thời gian học

Cuối cùng, tôi xin gởi lời cám ơn sâu sắc đến gia đình tôi, là chỗ dựa cho tôi

về mọi mặt và dành mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và hoàn thành luận văn này

Nguyễn Bằng Phong

t x

Bài toán (1.1)- (1.2) được khảo sát trong luận văn này là một sự tổng quát hóa một phần kết quả trong [5] với F là một hàm theo u , đồng thời đây cũng là một

dạng khác của bài toán được khảo sát trong [9]

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của bài toán (1.1)-(1.2) Việc chứng minh được dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin, các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm cùng với các kỹ thuật hội tụ yếu dựa vào tính compact Dựa vào kết quả này, chúng tôi tiến đến việc khảo sát tính trơn, tính ổn định của nghiệm theo một bộ dữ liệu   j, , , , ,j h g k f j j j j với F u u, ,% % là 0 1các hàm cố định cho trước Cuối cùng là kết quả về việc nghiên cứu khai triển tiệm cận theo một tham số  khi   cho bài toán: 0



  trong đó U x t là các hàm được xác định từ những hệ i( , )phương trình vi phân tuyến tính đơn giản hơn

Các kết quả liên quan đến bài toán xấp xỉ tiệm cận theo một tham số đã được một số các tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Ngoc, Hang, Long [9], Long, Ngoc [7], Long, Ut, Truc [5]

Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:

Chương 1: Phần mở đầu nêu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn,

điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn

Chương 2: Chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại

một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm

Chương 3: Chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài

toán (1.1)-(1.2) cho trường hợp u%0 H u1, %1 L2

Chương 4: Chúng tôi khảo sát tính trơn của nghiệm khi u%0 H u2, %1 H1

Chương 5: Chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của nghiệm bài toán (1.1)-(1.2)

theo bộ dữ liệu  , , , , ,h g k f với F u u, ,% % là những hàm cố định cho trước 0 1

Chương 6: Chúng tôi nghiên cứu bài toán khai triển tiệm cận của nghiệm khi

0

Kế đến là phần kết luận của của luận văn và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 2 MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

H  H , H2   H2 là các không gian Sobolev thông dụng

Ta định nghĩa L  là không gian Hilbert với tích vô hướng 2 

1

2 0

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || || .Ta kí hiệu (0, ; ),X L T X p

1 p   là không gian các lớp tương đương của hàm u : 0, T đo được X

inf M  0 : ( )u t X M t,  0,T với p   (2.6) .Khi đó ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh của chúng có thể được tìm thấy trong Lions[2]

Bổ đề 2.2 L T X p(0, ; ), 1   là một không gian Banach p

Bổ đề 2.3 Gọi X là không gian đối ngẫu của X Khi đó (0, ; ) L p T X  với

Ghi chú 2.1 Nếu X L thì ta kí hiệu p L T X p(0, ; )L p0,T

2.3 Phân bố có giá trị vectơ

Định nghĩa 2.1

Tập các phân bố có giá trị trong X được kí hiệu là:

0, ;  ( (0, ); )  : (0, ) tuyeán tính lieân tuïc

, , , (0, )

Ta dễ dàng nghiệm lại rằng df D T X0, ; 

dt   và df dt được gọi là đạo hàm của f

theo nghĩa phân bố

Ta có thể nghiệm lại rằng T v D0, ;T X Thật vậy:

i) Ánh xạ T D T v : (0, ) hiển nhiên là tuyến tính X

ii) Ta nghiệm lại ánh xạ T D T v : (0, ) là liên tục X

Giả sử    j D T(0, ) thỏa   trong (0, ) j 0 D T , ta có :

đó, ta có thể đồng nhất T v  Khi đó, ta có kết quả sau v

Bổ đề 2.5 (Lions[2]) L T X p(0, ; )D0, ;T X với phép nhúng liên tục

2.4 Đạo hàm trong L p 0, ;T X 

Do bổ đề 2.5, f L T X p(0, ; ) có thể xem như là một phần tử của D0, ;T X, nghĩa là f D 0, ;T X Do đó, df

dt cũng là một phần tử của D0, ;T X

2.5 Bổ đề về tính compact của Lions[2]

Cho ba không gian Banach X X X với 0, ,1 X0   và các phép nhúng X X1

liên tục sao cho :

Ta cũng có kết quả sau đây về phép nhúng compact

Bổ đề 2.8 (Bổ đề về tính compact của Lions [2]) Với các giả thiết (2.10),

(2.11) và nếu 1   p i ,i 0, 1 thì phép nhúng W T0, 
L p00, ;T X là compact

Bổ đề 2.9 (Bổ đề về sự hội tụ yếu trong L Q [1]) Cho p( ) Q  ¡N là tập mở,

m

F   L Q    sao cho p F m L Q p( )  và C F m  hầu khắp  nơi trên Q , trong đó C là hằng số độc lập với m Khi đó: F m  yếu trên ( )  L Q p

2.6 Định lý Schauder Cho K là tập lồi, đóng, khác rỗng của không gian

2.8 Định lý Arzela-Ascoli Cho T  , ký hiệu 0 X C 0, ;T ¡ là không m

gian Banach các hàm liên tục f : 0, T  ¡ đối với chuẩn  m

Khi đó Y compact tương đối trong X

2.9 Bất đẳng thức Gronwall Giả sử f : 0, T  ¡ là hàm khả tích, không âm 

Chương 3: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Trong chương này, chúng tôi trình bày định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục cho bài toán:

Khi đó ta có định lý :

Định lý 3.1

Giả sử    H1  H5 ,   F1  F2 đúng Khi đó, với mỗi T  , tồn tại duy nhất 0

một nghiệm yếu  u P của bài toán (3.1)-(3.2) sao cho : ,

Xét một dãy  w là một cơ sở đếm được của j H , trực chuẩn trong 1 L Ta tìm 2

nghiệm xấp xỉ của bài toán (3.1)-(3.2) dưới dạng:

( ) ( ), ( ), , ( )

t t

t t

m t

j t t

t t

(a) Trước tiên ta sẽ tìm cách chọn T m 0,M  để ánh xạ U đi từ S vào 0 chính nó

i i

Từ đó suy ra Uc 0  với mọi c S M  Điều này có nghĩa là ( )U S  S

(b) Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng U S:  là ánh xạ liên tục Lấy ,c d S Y  , ta có:

Từ các đánh giá (3.34) và (3.35) ta suy ra U S:  là liên tục Y

(c) Ta còn chỉ ra rằng U S là compact tương đối trong Y Lấy c S( )  ,

Từ (3.36), (3.39), (3.40) ta suy ra rằng tồn tại một hằng số  độc lập với 1

, ,

c t t sao cho:

Từ kết quả U S( ) và đánh giá (3.41), ta suy ra tập hợp ( )S U S bị chặn đều

và liên tục đều theo chuẩn || || trong không gian Banach Y Áp dụng định lý 0

Azela-Ascoli ta có U S là tập compact tương đối ( )

Theo định lý điểm bất động Schauder, U có một điểm bất động

Các đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép ta lấy T m  với mọi T, m

Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm:

Thay (3.5) vào (3.4) Nhân vào phương trình thứ j của (3.4) với c t mj ( ), lấy tổng theo ,j ta được:

0

2 2

ˆ

2 F u x dx( ( ))m 2t f s u s ds( ), ( )m

ˆ( ) (0) 2 ( ( )) t ( ) ( ) 2 t ( )

0, 0

 2  1

(0, ) 0

2 1 T k L T t u s m( )H ds

0

2 2

Do các giả thiết        H1 , H2 , H4 , H và (3.6), tồn tại hằng số %5 C chỉ phụ 0

thuộc vào , , , ,g u u h% %0 1 sao cho:

2 (0) 4S m  C  g u(0) (0)m  với mọi C m (3.60) Mặt khác, do giả thiết    H3  H4 và phép nhúng H1(0, )T
C00,T nên tồn tại hằng số M chỉ phụ thuộc vào T sao cho: T(1)

( )

T

F u  M với mọi m  ¥ (3.71)

Bước 3: Qua giới hạn

Từ (3.42), (3.66), (3.68), (3.71) ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của dãy

m

u t  u t trong L(0, )T yếu*, (3.74) (1, ) (1, )

m

u t  u t trong L(0, )T yếu*, (3.75)

m

P  P trong H1(0, )T yếu , (3.76) ( )m

Do u bị chặn trong m L(0, ; )T H1
L T H2(0, ; )1 nên u w m, j bị chặn trong

Chứng minh tương tự, ta cũng có được rằng u  (0) u%1

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (3.1)-(3.2) trong định lý 3.1 đã được chứng minh xong

Bước 4: Sự duy nhất nghiệm

Bổ đề 3.2 Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán sau:

Chứng minh chi tiết của bổ đề này có thể được tìm thấy trong [9]

Giả sử u P1, , ,1 u P là hai nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.2) thỏa 2 2

2 2 2

0( )t v t( ) ( )t v x t dx hv t t x( , ) (1, )

Thay vào (3.94), ta được:

1 2

( )t t ( )s ds v x s dx x( , ) 2 ( ) (0, ) 2P t v t t P s v s ds( ) (0, )

 a.e

0 0

Chương 4 TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM

Trong chương này, chúng tôi sẽ khảo sát tính trơn của nghiệm bài toán

Giả sử ( ) ( )H1  H5 và ( )F  đúng Khi đó, với mọi 1 T  , tồn tại duy nhất 0

nghiệm yếu u P của của bài toán (3.1)-(3.2) sao cho , 

0, ; , 0, ; ,(0, ), (0, ), (1, ) (0, )

Xét một dãy  w là một cơ sở đếm được của j H và trực chuẩn trong 2 L Ta 2

tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (3.1)-(3.2) dưới dạng :

Bước 2 : Đánh giá tiên nghiệm

Đánh giá tiên nghiệm I

Theo kết quả của định lý (3.1), với các giả thiết    H1  H5 và  F ta có kết 1quả sau:

Đánh giá tiên nghiệm II

Đạo hàm (4.1) theo biến t ta được :

2 ( ) (0, ) 2 ( ) ( ), ( ) 2 (0) ,( ) ( ) 2 ( ) ( ), ( )

trong đó C là hằng số, chỉ phụ thuộc vào 2 u u g% %0, , , , ,1  k h

Từ giả thiết      H1  H5 , F1 , (4.3) và (4.15) suy ra u m(0)  , (4.16) C3

trong đó C là hằng số, không phụ thuộc m , chỉ phụ thuộc vào 3 u u% %0, , , , ,1  f F 

Áp dụng bất đẳng thức 2ab  a2 1b2, a b, ,  0



    ¡  và các bất đẳng thức sau:

( )( )

(0)( )

2 2

(0) ( )(0)

2 2

(1) (2) 4

(1) (2) 0

Do giả thiết  H  nên suy ra 4 P m H2(0, )T (4.40)

Bước 3: Qua giới hạn

Từ (4.9), (4.38), (4.40) ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của dãy  u P m, m 

mà ta vẫn kí hiệu là  u P m, m  sao cho

m

u  u trong W1,(0, )T yếu*, (4.44) (1,.) (1,.)

( ), ( ) ( ), ( ) (0) (1, ) (1) ( ),

( ( )), ( ), , ,(0) , (0)

Bước 4: Sự duy nhất nghiệm

Giả sử u P1, , ,1 u P là hai nghiệm yếu của bài toán (4.1)-(4.3) thỏa 2 2

0, ; 2, 0, ; 1, 0, ; 2

 

2,(0, ), (1, ), 0, , 1,2

Từ các giả thiết      H1  H5 , F1 và các đánh giá tương tự như trong chương

3, ta có:

1 2

( ) 0

Chương 5: SỰ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM

Trong phần này chúng tôi giả thiết rằng % %  2 1

0, 1

u u H  và F thỏa giả thiết H

 F Theo định lý 3.1, bài toán (3.1)-(3.2) có duy nhất nghiệm yếu 1 u P chỉ phụ , thuộc vào  , , , , ,h g k f

Như vậy u u  , , , , ,h g k f, P P  , , , , ,h g k f, trong đó  , , , ,h g

Định lý 5.1 Cho T  Giả sử các giả thiết 0 ( ) ( )H1  H5 và ( )F  đúng Khi 1

, , , , ,h g k f

  , tức là nếu  , , , , ,h g k f ,   j, , , , ,j h g k f j j j j ¡ ℑ 0 sao cho:

không phụ thuộc vào  , , , , ,h g k f

Do đó, giới hạn u P trong các không gian hàm thích hợp của dãy ,  u P m, m

được xác định bởi (3.7)-(3.9) là nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.2) sẽ thỏa mãn các đánh giá tiên nghiệm (5.3)

Bây giờ, từ (5.1), ta có thể giả thiết rằng tồn tại các hằng số dương

t

Chương 6 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM

Trong chương này, ta giả thiết rằng u u g k F f% %0, , , , , ,1   thỏa mãn các giả thiết 1

( ) ( ) ( ) (0, )

t t

m

k A

Việc chứng minh bổ đề này không có gì khó khăn nên ta bỏ qua các chi tiết

(0, ; ) (0, ; ) (0, ; ),(0, ; ), (0, ; )

( ) ( ) ( ) (0, ) ,(0, ; ) (0, ; ) (0, ; ),(0, ; ), (0, ; )

t i

N

i i i

N t

(0, ; ), U N L T L , U i L T H ,i 0, ,N



( )    1 (1)

0 1

*

1 1

* (0, ; )(0, ; )

1

( 1)!

N N

i N

N N

i i

Định lý 6.3 Giả sử rằng các giả thiết      H1  H5 , F1 và  F đúng Khi N

đó, với mỗi  ¡,  , với *   , bài toán * 0  %Q  có duy nhất một nghiệm yếu

u u  thỏa mãn một đánh giá tiệm cận đến cấp  N  như sau: 1

Trước tiên ta chú ý rằng, nếu   trong đó *  là hằng số dương cố định thì *

các đánh giá tiên nghiệm của dãy xấp xỉ  u trong định lý 4.1 thỏa mãn : m

nào đó của dãy  u xác định bởi (3.7)-(3.9) là một nghiệm yếu của bài toán (3.1)- m

(3.2) cũng thỏa các đánh giá tiên nghiệm (6.17)

Lấy tích vô hướng hai vế của (6.5)(1) với 2 ( )v t ta được:

 2 F v h(  ) F h v t( ), ( ) 2   v t( )2 2 E N( , , ), ( ) x t v t (6.19) Lấy tích phân hai vế theo biến thời gian từ 0 đến t ta được

0 0

1( )H L T t ( )H

t N

KẾT LUẬN

Qua luận văn này, tác giả thực sự bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống Tác giả cũng học tập được các phương pháp nghiên cứu trong việc đọc tài liệu, trình bày vấn đề, thảo luận thông qua nhóm sinh hoạt học thuật Tác giả cũng đã học tập, và vận dụng được các công

cụ của Giải tích hàm để khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán biên Cụ thể là phương pháp Galerkin cùng với các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm,

kỹ thuật về tính compact và hội tụ yếu Trong phần này, tác giả cũng có dịp sử dụng định lý Schauder trong việc chứng minh tồn tại nghiệm địa phương của bài toán biên và thông qua đó, đã học tập được một kỹ thuật sử dụng hiệu quả định lý điểm bất động vào khảo sát các bài toán cụ thể

Tuy nhiên với sự hiểu biết hạn chế của bản thân, tác giả rất mong học hỏi nhiều hơn từ sự đóng góp và chỉ bảo của Quý Thầy Cô trong và ngoài hội đồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Pháp

1 H Brézis, Analyse fonctionnele, Théorie et Applications, Masson Paris, 1983

2 J L Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites

nonlinéaires, Dunod; Gauthier Villars, Paris 1969

Tiếng Anh

3 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, A semilinear wave equation

associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24

(1995) 1261 – 1279

4 Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem, On a shock

problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound Value Probl 2005 (3)

(2005) 337 – 358

5 Nguyen Thanh Long, Le Van Ut, Nguyen Thi Thao Truc, On a shock problem

involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Analysis, Theory, Methods &

Applications, Series A: Theory and Methods, 63 (2) (2005) 198 – 224

6 Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc, A wave equation associated with

mixed nonhomogeneous conditions: The connectivity and compactness of weak solution set, Abstract and Applied Analysis, Volume 2007, Article ID 20295, 17

pages

7 Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc, On a nonlinear Kirchhoff –

Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and

asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math 40 (2) (2007) 365 – 392

8 Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc, On nonlinear boundary value

problems for nonlinear wave equations, Vietnam J Math 37 (2 – 3)(2009) 141 –

178

9 Le Thi Phuong Ngoc, Le Nguyen Kim Hang, Nguyen Thanh Long, On a

nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A:

Theory and Methods, 70 (11) (2009) 3943 – 3965