PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA SỐ HẠNG MEMORY Ở MỘT PHẦN BIÊN TRÁI Toán Giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Bằng Phong PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA SỐ HẠNG MEMORY Ở MỘT PHẦN BIÊN TRÁI Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh 2009 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin kính gởi đến TS Nguyễn Thành Long, lời cám ơn sâu sắc giúp đỡ tận tình Thầy tơi suốt khóa học việc hồn thành luận văn Xin chân thành cám ơn PGS TS Nguyễn Bích Huy TS Lê Thị Phương Ngọc, tất q Thầy Cơ Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc cho ý kiến q báu lời phê bình bổ ích luận văn tơi Tơi xin cám ơn tất q Thầy Cơ Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức bổ ích suốt khóa học Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Xin cám ơn q Thầy Cơ cơng tác Phòng Khoa học Cơng nghệ - Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi mặt thủ tục hành cho tơi suốt khóa học Xin gởi lời cám ơn đến Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT chun Lê Q Đơn, Ninh Thuận tạo điều kiện khích lệ tơi suốt q trình học Xin chân thành cám ơn bạn nhóm sinh hoạt chun mơn, anh Phạm Thanh Sơn, ThS Nguyễn Văn Ý - người đóng góp cho tơi ý kiến q báu chun mơn, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tơi xin cám ơn bạn học viên Cao học Khóa 17 bạn đồng nghiệp hỗ trợ tơi thời gian học Cuối cùng, tơi xin gởi lời cám ơn sâu sắc đến gia đình tơi, chỗ dựa cho tơi mặt dành điều kiện tốt để tơi học tập hồn thành luận văn Nguyễn Bằng Phong Chương PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn chúng tơi xét tốn sau: Tìm cặp hàm u, P  thỏa: utt  (t )uxx  ut  F (u )  f (x , t ),  (t )ux (0, t )  P (t ),  (t )ux (1, t )  hu(1, t )  0,  u(x , 0)  u% (x ), ut (x , 0)  u%1(x ),   x  1,  t  T , (1.1) t P (t )  g(t )   k (t  s )u(0, s )ds, (1.2) ,h số cho trước, , u%0 , u%1, g, f , F , k hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Trong [5], Nguyen Thanh Long, Le Van Ut Nguyen Thi Thao Truc thiết lập định lý tồn nghiệm cho tốn (1.1)(1), (1.1)(4) với điều kiện biên: u(0, t )  0,   (t )ux (1, t )  Q (t ),  (1.3) t Q(t )  K 1(t )u(1, t )  1(t )ut (1, t )  g(t )   k (t  s )u(1, s )ds, (1.4) g, K 1, 1 hàm cho trước Tổng qt hóa kết [5], Le Thi Phuong Ngoc, Le Nguyen Kim Hang, Nguyen Thanh Long xét dạng khác tốn (1.1)(1), (1.1)(4) với điều kiện biên: t  (0, t )u (0, t )  g (t )  k (t  s )u(0, s )ds, x    t  (1, t )ux (1, t )  g1(t )   k1(t  s )u(1, s )ds,  mà (1.3)- (1.4) xét trường hợp riêng (1.5) Bài tốn (1.1)- (1.2) khảo sát luận văn tổng qt hóa phần kết [5] với F hàm theo u , đồng thời dạng khác tốn khảo sát [9] Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tồn nghiệm tồn cục tốn (1.1)-(1.2) Việc chứng minh dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin, kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm với kỹ thuật hội tụ yếu dựa vào tính compact Dựa vào kết này, chúng tơi tiến đến việc khảo sát tính trơn,   tính ổn định nghiệm theo liệu j , j , h j , g j , k j , f j với F , u% 0, u%1 hàm cố định cho trước Cuối kết việc nghiên cứu khai triển tiệm cận theo tham số    0 cho tốn: Lu  u  (t )u  F (u )  u  f (x , t ),  x  1,  t  T , tt xx t   Q%  L0u  (t )ux (0, t )  P(t ), L1u  (t )ux (1, t )  hu(1, t ),  u(x , 0)  u% (x ), ut (x , 0)  u%1(x ),   t P (t )  g(t )   k (t  s )u(0, s )ds Theo kết khai triển tiệm cận tốn Q%  , chúng tơi xấp xỉ nghiệm yếu u(t ) tốn (1.1)-(1.2) dạng đa thức theo  : N u(x , t )  U i (x , t )i U i (x , t ) hàm xác định từ hệ i 0 phương trình vi phân tuyến tính đơn giản Các kết liên quan đến tốn xấp xỉ tiệm cận theo tham số số tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Ngoc, Hang, Long [9], Long, Ngoc [7], Long, Ut, Truc [5] Luận văn trình bày theo chương mục sau: Chương 1: Phần mở đầu nêu tổng quan tốn khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 2: Chúng tơi trình bày số kết chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại số khơng gian hàm, số kết phép nhúng compact khơng gian hàm Chương 3: Chúng tơi nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn (1.1)-(1.2) cho trường hợp u%0  H 1, u%1  L2 Chương 4: Chúng tơi khảo sát tính trơn nghiệm u%0  H , u%1  H Chương 5: Chúng tơi nghiên cứu tính ổn định nghiệm tốn (1.1)-(1.2)   theo liệu , , h, g, k, f với F , u% 0, u%1 hàm cố định cho trước Chương 6: Chúng tơi nghiên cứu tốn khai triển tiệm cận nghiệm   0 Kế đến phần kết luận của luận văn sau danh mục tài liệu tham khảo Chương MỘT SỐ CƠNG CỤ CHUẨN BỊ 2.1 Các khơng gian hàm Đặt   (0,1) , QT   (0,T ) , T  Bỏ qua định nghĩa khơng gian hàm thơng dụng C m  , Lp  , W 1,p  (có thể xem [1]), kí hiệu H   H , H   H khơng gian Sobolev thơng dụng Ta định nghĩa L2  khơng gian Hilbert với tích vơ hướng u, v   u(x )v(x )dx ; u, v  L2 (2.1) Kí hiệu ||  || chuẩn sinh tích vơ hướng (1.1), đó: u  u, u   u (x )dx, u  L 2 (2.2) Trên H ta sử dụng chuẩn sau: || v ||2  || v ||2  || vx ||2, v  H H (2.3) Ta có kết sau: Bổ đề 2.1 Phép nhúng H
C  compact v C   v H1 (2.4) 2.2 Khơng gian hàm Lp (0,T ; X ),  p   Cho X khơng gian Banach thực với chuẩn ||  ||X Ta kí hiệu Lp (0,T ; X ),  p   khơng gian lớp tương đương hàm u : 0,T   X đo cho: T  p u(t ) X dt   với  p  , hay M  : u(t ) X  M , t  0,T  với p   Trên Lp (0,T ; X ),  p   , ta trang bị chuẩn xác định (2.5) hay u Lp (0,T ;X ) T  p p    u(t ) X dt  với  p  ,   u Lp (0,T ;X )  essup u(t ) X    inf M  : u(t ) X  M , t  0,T  với p   (2.6) Khi ta có bổ đề sau mà chứng minh chúng tìm thấy Lions[2] Bổ đề 2.2 Lp (0,T ; X ),  p   khơng gian Banach Bổ đề 2.3 Gọi X  khơng gian đối ngẫu X Khi Lp  (0,T ; X ) với 1   1,  p   đối ngẫu Lp (0,T ; X ) Hơn nữa, X phản xạ p p Lp (0,T ; X ) phản xạ Bổ đề 2.4 L1(0,T ; X )  L (0,T ; X ) Hơn nữa, khơng gian L1(0,T ; X ) , L (0,T ; X ) khơng phản xạ Ghi 2.1 Nếu X  Lp ta kí hiệu Lp (0,T ; X )  Lp  0,T  2.3 Phân bố có giá trị vectơ Định nghĩa 2.1 Cho X khơng gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D 0,T  vào X gọi phân bố (hàm suy rộng) có giá trị X Tập phân bố có giá trị X kí hiệu là:   D  0,T ; X   L(D(0,T ); X )  f : D(0,T )  X f tuyến tính liên tục Ghi 2.2 Ta kí hiệu D 0,T  thay cho C c 0,T  để khơng gian hàm thực khả vi vơ hạn có giá compact 0,T  Định nghĩa 2.2 Cho f  D  0,T ; X  Ta định nghĩa df : D(0,T )  X xác định dt df d ,   f, ,   D(0,T ) dt dt Ta dễ dàng nghiệm lại (2.7) df df gọi đạo hàm f  D  0,T ; X  dt dt theo nghĩa phân bố Các tính chất 1) Cho v  Lp (0,T ; X ) Đặt tương ứng với ánh xạ Tv : D(0,T )  X xác định sau : Tv ,   T  v(t )(t )dt,   D(0,T ) (2.8) Ta nghiệm lại Tv  D  0,T ; X  Thật vậy: i) Ánh xạ Tv : D(0,T )  X hiển nhiên tuyến tính ii) Ta nghiệm lại ánh xạ Tv : D(0,T )  X liên tục Giả sử  j   D(0,T ) thỏa  j  D(0,T ) , ta có : Tv ,  j X  T  v(t ) (t )dt T j X   v(t )j (t ) X dt 1 p T p  T p p  j      v(t ) X dt     j (t ) X dt    0      0  Do đó, Tv ,  j  X j   Vậy Tv  D  0,T ; X  2) Ánh xạ Tv : D(0,T )  X đơn ánh từ Lp (0,T ; X ) vào D  0,T ; X  Do đó, ta đồng Tv  v Khi đó, ta có kết sau Bổ đề 2.5 (Lions[2]) Lp (0,T ; X )  D  0,T ; X  với phép nhúng liên tục 2.4 Đạo hàm Lp 0,T ; X  Do bổ đề 2.5, f  Lp (0,T ; X ) xem phần tử D  0,T ; X  , nghĩa f  D  0,T ; X  Do đó, df phần tử D  0,T ; X  dt Ta có kết sau: Bổ đề 2.6 (Lions[2]) Nếu f  L1(0,T ; X ) f   L1(0,T ; X ) f hầu hết với hàm liên tục từ 0,T   X Bổ đề 2.7 (Lions[2]) Nếu f  Lp (0,T ; X ) f   Lp (0,T ; X ) f hầu hết với hàm liên tục từ 0,T   X 2.5 Bổ đề tính compact Lions[2] Cho ba khơng gian Banach X 0, X1, X với X  X  X1 phép nhúng liên tục cho : i) X 0, X phản xạ ii) Phép nhúng X
X compact (2.9) (2.10) Với  T  ,  pi  , i  0,1 ta đặt W 0,T   v  Lp0 0,T ; X  : v   Lp1 0,T ; X  Ta trang bị W 0,T  chuẩn v W 0,T   v Lp0 0,T ;X  (2.11)  v Lp1 0,T ;X  (2.12) Khi đó, W 0,T  khơng gian Banach Hiển nhiên W 0,T   Lp0 0,T ; X  Ta có kết sau phép nhúng compact Bổ đề 2.8 (Bổ đề tính compact Lions [2]) Với giả thiết (2.10), (2.11)  pi  , i  0, phép nhúng W 0,T 
Lp0 0,T ; X  compact Bổ đề 2.9 (Bổ đề hội tụ yếu Lp (Q ) [1]) Cho Q  ¡ N tập mở, bị chặn, Fm ,   Lp (Q ),  p   cho Fm Lp (Q )  C Fm   hầu khắp nơi Q , C số độc lập với m Khi đó: Fm   yếu Lp (Q ) 2.6 Định lý Schauder Cho K tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Banach E T : K  K ánh xạ liên tục cho bao đóng T K  T K  tập compact Khi T có điểm bất động 2.8 Định lý Arzela-Ascoli Cho T  , ký hiệu X  C  0,T ; ¡m  khơng gian Banach hàm liên tục f : 0,T   ¡m chuẩn f X  sup m f 0t T j 1 j t  , f   f1, , fm   X Giả sử Y  X thỏa: i) Y bị chặn đều, tức M  : f X  M , f  Y ii) Y liên tục đồng bậc (đẳng liên tục), tức m   0,   : t, t   0,T , t  t    sup  f j t   fj t    f Y j 1 Khi Y compact tương đối X 2.9 Bất đẳng thức Gronwall Giả sử f : 0,T   ¡ hàm khả tích, khơng âm t 0,T  thỏa f t   C  C  f   d , a.e t  0,T , với C 1, C số khơng âm Khi f t   C exp C 2t , a.e t   0,T  2.10 Các kí hiệu Ta dùng kí hiệu u (t )  ut (t ), u (t )  utt (t ), ux  u(t ), uxx  u(t ) để u 2u u  2u (x , t ), (x , t ), (x , t ), (x , t ) t t x x 44 t 2 gˆj (s )v j (0, s )ds   t  t   t gˆj (s ) ds    v j (0, s ) ds t  gˆj(s ) ds  0   S (s)ds 2 s 2v j (0, s ) k (s   )v j (0,  )d    v j (0, s )  k  2 L2 (0,T ) k   S j (t )  L (0,T ) 0 0 t s 0  v j (0, s )ds  k (s   )v j (0,  )d    t   t 2 (5.15) j t s 0  ds  t  v j (0, t ) dt t  S (s )ds (5.16) j s k (s   ) d   v j (0,  ) d  2  k  L2 (0,T ) T  t     S j (s )ds v (0, s )ds         0  j t t 0 (5.17) 2 f%j (s ), v j (s ) ds   f%j (s ) ds   v j (s ) ds  f%j t L2 (QT )   S j (s )ds (5.18) t t t  2  % % 2j  u j(s ), v j(s ) ds  j   u j(s ) d s   v j(s ) ds    0   %j TCT  0  t t 0 t   S j (s )ds   (5.19) t  F (u j )  F (u ), v j(s ) ds   F (u j )  F (u ) ds   v j(s ) ds k T t  k T T 2 t v j (s ) ds   v j (s ) ds 2 t t  S (s )ds   S (s )ds , j j (5.20) 45 kT  sup F (z ) z  CT t 2 % j (t ) u jx (t ), v jx  4T MT % j 0  (5.21) Thay kết từ (5.13)-(5.21) vào (5.11) ta được: 1  gˆj (t )  L (QT )   S j (t )  %jTCT  f%j  %  2     kT2T    0 0  0 L (0,T ) t   gˆj(s ) ds  4T k L2 (0,T ) T  t   S j (s )ds 0  L2 (0,T ) với   t   0,T  (5.22) Chọn   cho    S j (t )  %jTCT  f%j  2 S j (t ) 0   k  0 MT % j 0 0 Khi ta suy từ (5.22) : L2 (QT )  4T MT % j 0    gˆ j    C  gˆj (0,T ) L2 (0,T )  t %  T  S j (s )ds , (5.23)  %  % T    kT2T    0  0 L (0,T )  k L2 (0,T ) 0  k T    0  L2 (0,T ) Do phép nhúng H 1(0,T )
C 0,T  nên tồn số dương CT(1) cho  gˆj  C  gˆj (0,T ) 2 L (0,T )  C (1) T gˆj H (0,T ) , t  0,T  , (5.24) với CT(1) số phụ thuộc T Từ (5.23)-(5.24) ta có :  S j (t )  %jTCT  f%j  2 L (QT )  4T MT % j 0   C (1) gˆ T j    H (0,T ) t %  T  S j (s )ds (5.25) 46 Áp dụng bổ đề Gronwall, ta suy   S j (t )  2 %jTCT  f%j    M  4T T % j L (QT ) 0    CT(1) gˆj    CT(2)R% j , t   0,T  t    % ds   exp   T  H (0,T )  0   (5.26) Mặt khác, từ (5.9), (5.12) ta có: t t   v (t )  t v (s ) ds  T S (s )ds,  j  j  j 0   v  (t )  S (t ),  j j   S (t )  v jx (t )  j  0  (5.27) Do đó, từ (5.26) ta được: v j  vj L (0,T ;L2 ) L (0,T ;H )    CT(2)R% j  1  T  0   (5.28) Ta cần chứng minh CT(2)R% j  j   Do phép nhúng H 1(0,T )
C [0,T ] nên từ (5.7)(2) ta có: gˆj H (0,T )  g% j H  k%j (0,T ) Từ (5.1), ta suy lim gˆj j  H1 TNT 0 H (0,T )  Do CT(2)R% j  2%jTCT  CT(1) gˆj (5.29) H (0,T )  4T MT % j 0   j   Kết hợp với (5.28), ta suy rằng:  v   j   v  j L (0,T ;L2 )  L (0,T ;H )   u j  u  L (0,T ;L2 )  0,   j   hay    0, u  u L (0,T ;H )     j  0, Định lý 5.1 chứng minh hồn tất (5.30) n 47 Chương KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM Trong chương này, ta giả thiết u%0 , u%1, g, k , , F , f  thỏa mãn giả thiết (H 1) - (H 5 ) (F1) Cho   ¡ Theo định lý 4.1, tốn (3.1)-(3.2) có nghiệm yếu u  u phụ thuộc vào  Ta xét tốn nhiễu Q%  sau,  tham số bé thỏa mãn điều kiện   * : Q%   Lu  utt  (t )uxx  F (u )  ut  f (x , t ),  x  1,  t  T ,  L u  (t )u (0, t )  P (t ), L u  (t )u (1, t )  hu(1, t ), x x  u(x , 0)  u% (x ), u (x , 0)  u% (x ),  t   t    P (t )  g(t )   k (t  s )u(0, s )ds    Với đa số   1, 2, , N   ¢N x  x 1, x 2, , x N   ¡ N ta đặt    1  2   N ,  !  1 ! 2 ! N !,  ,   ¢N ,     i  i , i  1, , N  x   x 11 x 22 x NN Ta đưa giả thiết FN  F  C N 1(¡), N  Trước tiên ta cần đến bổ đề sau: Bổ đề 6.1 Cho m, N  ¥, x  x 1, x 2, , x N   ¡N   ¡ Khi đó: mN N   x i    P m x k k ,  i 1 i  k m m   (6.1) hệ số P m x k , m  k  mN phụ thuộc vào x  x 1, x 2, , x N    xác định bởi:  m m!  P x k   x , m  k  mN ,   Ak( m )  !  N  (m )    N Ak    ¢  :   m,  i i  k      i 1     (6.2) 48 Việc chứng minh bổ đề khơng có khó khăn nên ta bỏ qua chi tiết Gọi U nghiệm yếu Q%  định lý 4.1 tương ứng với   Q%  LU  F (U )  f (x , t ),  x  1,  t  T ,  L U  P (t ), LU  hU (1, t )  0, 0  0 U (x , 0)  u% (x ), U (x , 0)  u% (x ),  0   t  P (t )  g(t )   k (t  s )U (0, s )ds,   U  C (0,T ; H )  C 1(0,T ; L2 )  L (0,T ; H ),  U 0  L (0,T ; H ), U 0  L (0,T ; L2 )  Xét dãy hữu hạn nghiệm yếu U i , i  1, 2, , N xác định tốn sau: LU i  Fi ,  x  1,  t  T ,  L U  P (t ), LU  hU (1, t ), i i i  i U (x , 0)  U (x , 0)  0, i  i  t Qi   Pi (t )  g (t )   k (t  s )U i (0, s )ds,   U i  C (0,T ; H )  C 1(0,T ; L2 )  L (0,T ; H ),    U i  L (0,T ; H ), U i  L (0,T ; L2 )   Fi , i  1, 2, , N xác định cơng thức sau: i Fi  U i1   k 2 (k ) F (U )P [k] U i , k! (6.3) với ý U  (U 1,U 2, ,U N ) Ta để ý Fi hàm khả vi cấp theo U i , cụ thể : i Fi  U i1  F (U )U i   k 2 (k ) F (U )P [k] U i , i  1, 2, , N k! (6.4) Gọi u  u nghiệm yếu tốn Q% Khi đó, ta có 49 N v  u  U i i  u  h thỏa mãn tốn i 0 Lv  F (v  h )  F (h )  v   E N (, x , t ),  x  1,  t  T ,   t    L v  ( t ) v (0, t )  x  k(t  s )v(0, s)ds, L1v  (t )vx (1, t )  hv(1, t ), (6.5)   v(x , 0)  v (x , 0)  0,  N EN (, x , t )  h   F (h )  F (U )   Fii (6.6) i 1 Khi đó, ta có bổ đề sau: Bổ đề 6.2 Giả sử giả thiết H 1  H 5  , F1 FN  Khi N 1 EN , ,  L (0,T ;L2 )  C% N  với   ¡,   * với *  , C% N số dương phụ thuộc vào * , U N L (0,T ;L2 ) , Ui L (0,T ;H ) , i  0, , N Chứng minh N Đặt h  U  h1, h1  U ii i 1 Áp dụng khai triển Taylor đến cấp N cho hàm F (h )  F (U  h1 ) xung quanh U ta được: N F (h )  F (U  h1 )  F (U )   i 1 (i ) F (U )h1i  R% N(1) , i! (6.7) R% N(1)  F (N 1)(U  1h1 )h1N 1  N 1RN(1) (N  1)! với  1  Áp dụng bổ đề 6.1 , từ (6.7) ta có: N F (h )  F (U )   i 1 (i ) F (U )h1i   N 1RN(1) i! (6.8) 50 N  i 1  iN  (i ) F (U )  P i  U k k   N 1RN(1)  k i i!   k (i )     F (U )P i  U k   k   N 1 RN(1)  RN(2)  ,   k 1  i 1 i ! N (6.9) N RN(2)   i 1 iN (i ) F (U )  P i  U k k N 1 i! k N 1 (6.10) Kết hợp (6.3), (6.6), (6.8)-(6.10) ta có N EN (, x , t )  h   F (h )  F (U )   Fk k i 1 N  k N  k (i ) i  k N 1 (1) (2)     U k 1    F (U )P U k    RN  RN    Fk k   k 1 k 1  i 1 i ! i 1 N 1 N  k    Fi  U i1   F (i )(U )P i  U k  k   N 1 U N  RN(1)  RN(2)    k 1  i 1 i !   N 1 U N  RN(1)  RN(2)  (6.11) Do tính chất bị chặn hàm U i , U i, i  0,1, , N khơng gian hàm L (0,T ; H ) nên từ (6.8), (6.10), ta suy rằng: R (1) N L (0,T ;L2 ) RN(2) iN N i 1  sup F (N 1) (z )  * U i  i 1 (N  1)! z r* N  L (0,T ;L )     sup F (i )(z ) U1 i  ! A  C% N(1), (6.12) i z r* i 1   k N 1  N 1    L (0,T ;H )   1 L (0,T ;H ) U2 2 L (0,T ;H ) U N N L (0,T ;H ) * k N 1  C% N(2) , (6.13) k r*  U H1 N i   * U i  i 1 N 1    L (0,T ;H )   Thay đánh giá (6.12),(6.13) vào (6.11) ta suy (6.14) 51  EN (, x , t ) L (0,T ;L2 )  U N L (0,T ;L2 )  N 1 N 1  C% N(1)  C% N(2)   C% N  (6.15) n Bổ đề 6.2 chứng minh xong Tiếp đến, ta có định lý sau: Định lý 6.3 Giả sử giả thiết H 1  H 5  , F1 FN  Khi đó, với   ¡,   * , với *  , tốn Q%  có nghiệm yếu u  u thỏa mãn đánh giá tiệm cận đến cấp N  sau: N u   U ii i 1 N  L (0,T ;L )  u  U i  i i 1  L (0,T ;H ) N 1  C% N*  , (6.16) C% N* số dương độc lập với  , hàm U i nghiệm yếu tốn Qi  , i  0,1, , N Chứng minh Trước tiên ta ý rằng,   * * số dương cố định đánh giá tiên nghiệm dãy xấp xỉ um  định lý 4.1 thỏa mãn : 2 2 um (t )  0 umx (t )  CT , t  0,T   (t )  CT , t  0,T  um (t )  0 umx , (6.17) CT số phụ thuộc vào T , u% 0, u%1, g, k, h, , F , f , * (khơng phụ thuộc vào  ) Do đó, giới hạn u khơng gian hàm thích hợp dãy dãy um  xác định (3.7)-(3.9) nghiệm yếu tốn (3.1)(3.2) thỏa đánh giá tiên nghiệm (6.17) Lấy tích vơ hướng hai vế (6.5)(1) với 2v (t ) ta được: v (t ), v (t )  2(t ) vxx (t ), v (t )  F (v  h )  F (h ), v (t ) 2 v (t ), v (t )  EN (, x , t ), v (t ) (6.18) Ta viết lại (6.18) dạng:   d d d 2 v (t )  (t ) vx (t )  h v (1, t )  (t ) vx (t )  2v (0, t )P (t ) dt dt dt 52 2 F (v  h )  F (h ), v (t )  2 v (t )  EN (, x , t ), v (t ) (6.19) Lấy tích phân hai vế theo biến thời gian từ đến t ta (t )  t t t (s ) vx (s ) ds   F (h )  F (v(s )  h ), v (s ) ds  0 t 2 t P (s )v (0, s )ds  2  v (s ) ds   EN (, x , s ), v (s ) ds , (6.20) (t )  v (t )  (t ) v (t )  hv (1, t ),  x   t   P (t )  g(t )   k (t  s )v(0, s )ds    (6.21) Áp dụng bất đẳng thức t t   v(t )  t v (s ) ds  t (s )ds,    0  t  2  v(t ) H  v(t )  vx (t )  t  (s )ds  (t ) 0  (6.22) ta có đánh giá cho tích phân vế phải (6.20) t (s ) vx (s ) ds   0  I1  t L (0,T )  (s )ds (6.23) Do bổ đề 6.2 , ta có: t I  2 t s 0 P (s )v (0, s )ds   v (0, s )ds  k (s   )v(0,  )d  t t 0  2v(0, t ) k (t  s )v(0, s )ds   s   v(0, s )ds k (0)v(0, s )   k (s   )v(0,  )d     t t 0  2v(0, t ) k (t  s )v(0, s )ds  2k (0) v (0, s )ds t s 0 2  v(0, s )ds  k (s   )v(0,  )d  53  I 2(1)  I 2(2)  I 2(3) (6.24) Đánh giá I 2(1) I (1) t  2v(0, t ) k (t  s )v(0, s )ds  v (0, t )   2   v(t ) H 1  k  t  L2 (0,T ) t t  k (t  s )ds  v (0, s)ds 2 v(s ) H ds (6.25) Đánh giá I 2(2) I (2) t t  2k (0) v (0, s )ds  k (0)  v(s ) H ds 2 (6.26) Đánh giá I 2(3) I (3) t s 0 t   v(0, s )ds   T k 0 t L2 (0,T ) t k (s   )v(0,  )d   t  k ( ) d   v (0, s )ds  v(s ) H ds (6.27) Thay kết (6.25)-(6.27) vào (6.24) ta I  I 2(1)  I 2(2)  I 2(3)   v(t ) H 1  k   L2 (0,T )  k (0)  T k  t  t  v(s ) H ds L2 (0,T )      v(t ) H  D(, k,T ) v(s ) H ds , 2 (6.28) D(, k,T )  k  L2 (0,T )  k (0)  T k  L2 (0,T ) Từ (6.22)(2) , thay vào (6.28) ta t       I2  (t )   T  D(, k,T ) T    (s )ds  0 0   (6.29) 54 t   (t )  D% (, k,T ) (s )ds , 0 (6.30)  1 D% (, k,T )  T  D(, k,T ) T    0  (6.31) t I  2 F (h )  F (v(s )  h ), v (s ) ds t   F (h )  F (v(s )  h ) v (s ) ds (6.32) Do h N L (0,T ;H )   Ui i 0 L (0,T ;H ) i *  R*(1) , nên từ (6.22)(1) , (6.32) ta suy rằng: t t I   F (h )  F (v(s )  h ) ds   v (s ) ds  K K 2 *T t s 0 t *T t  t v(s ) ds   v (s ) ds t v ( ) d    v (s ) ds  K T  1  (s ) ds ,  sds  2 *T 2 (6.33) K *T  sup F (z ) , R*(2)  R*(1)  CT (6.34) z R*(2) t I  2  v (s ) ds   t  (s)ds (6.35) t t 0 N 1 I   EN (, x , s ), v (s ) ds   C% N  v (s ) ds t N 2  TC% N2    (s )ds (6.36) Thay tích phân I k , k  1, 2, , vào (6.20), ta 1  (t )  (t )     0 0   t 2 %  D(, k ,T )  K *TT     1  (s ) ds L (0,T )   55 2N 2 TC% N2  Đặt K% T(1)   0 (6.37) L (0,T )  D% (, k,T )  K *2TT     1 , ta t  2N 2 (t )  (t )  TC% N2   K% T(1)  (s ) ds 0 Chọn   (6.38) 0 , thay vào (6.38) ta t 2N 2 (t )  2TC% N2   2K% T(1)  (s ) ds (6.39) Áp dụng bổ đề Gronwall ta suy từ (6.39) 2N 2 N 2 với   ¡,   * (t )  2TC% N2  exp 2TK% T(1)   K% T(2)  Từ đó, ta suy : v  L  v (0,T ;L ) L (0,T ;H ) N hay u   U ii i 0 N 1  C% N*  (6.40) N L (0,T ;L2 )  u  U i  i i 0 Định lý 6.3 chứng minh hồn tất L (0,T ;H ) N 1  C% N*  n 56 KẾT LUẬN Qua luận văn này, tác giả thực bắt đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tác giả học tập phương pháp nghiên cứu việc đọc tài liệu, trình bày vấn đề, thảo luận thơng qua nhóm sinh hoạt học thuật Tác giả học tập, vận dụng cơng cụ Giải tích hàm để khảo sát tồn nghiệm yếu tốn biên Cụ thể phương pháp Galerkin với kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật tính compact hội tụ yếu Trong phần này, tác giả có dịp sử dụng định lý Schauder việc chứng minh tồn nghiệm địa phương tốn biên thơng qua đó, học tập kỹ thuật sử dụng hiệu định lý điểm bất động vào khảo sát tốn cụ thể Tuy nhiên với hiểu biết hạn chế thân, tác giả mong học hỏi nhiều từ đóng góp bảo Q Thầy Cơ ngồi hội đồng 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Pháp H Brézis, Analyse fonctionnele, Théorie et Applications, Masson Paris, 1983 J L Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier Villars, Paris 1969 Tiếng Anh Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24 (1995) 1261 – 1279 Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem, On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound Value Probl 2005 (3) (2005) 337 – 358 Nguyen Thanh Long, Le Van Ut, Nguyen Thi Thao Truc, On a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 63 (2) (2005) 198 – 224 Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc, A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions: The connectivity and compactness of weak solution set, Abstract and Applied Analysis, Volume 2007, Article ID 20295, 17 pages Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc, On a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math 40 (2) (2007) 365 – 392 Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc, On nonlinear boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J Math 37 (2 – 3)(2009) 141 – 178 Le Thi Phuong Ngoc, Le Nguyen Kim Hang, Nguyen Thanh Long, On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 70 (11) (2009) 3943 – 3965 58 10 Le Thi Phuong Ngoc, Le Khanh Luan, Tran Minh Thuyet, Nguyen Thanh Long, On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11) (2009) 5799 – 5819 11 Le Xuan Truong, Le Thi Phuong Ngoc, Alain Pham Ngoc Dinh, Nguyen Thanh Long, The regularity and exponential decay of solution for a linear wave equation associated with two-point boundary conditions, Nonlinear Analysis Series B: Real World Applications (accepted for publication) [...]... của của bài toán (3.1)-(3.2) sao cho u  L 0,T ; H 2  , ut  L 0,T ; H 1  ,   u(0, ), P  H 2 (0,T ), u(1, )  W 1, (0,T )  Chứng minh Bước 1 : Xấp xỉ Galerkin Xét một dãy w j  là một cơ sở đếm được của H 2 và trực chuẩn trong L2 Ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (3.1)-(3.2) dưới dạng : m um (t )   cmj (t )w j j 1 Trong đó, các hàm hệ số cmj (t ) thỏa mãn hệ phương trình vi phân... H 5  , F1   F2  đúng Khi đó, với mỗi T  0 , tồn tại duy nhất   một nghiệm yếu u, P của bài toán (3.1)-(3.2) sao cho : u  L 0,T ; H 1 , ut  L 0,T ; L2  ,   u(0, ), P  H 1(0,T ), u(1, )  L 0,T   Chứng minh Bước 1 : Xấp xỉ Galerkin Xét một dãy w j  là một cơ sở đếm được của H 1 , trực chuẩn trong L2 Ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (3.1)-(3.2) dưới dạng: m um (t... thỏa các điều kiện nào đó mà ta sẽ chỉ ra sau Trước tiên ta thành lập các giả thiết: H 1  u%0  H 1(0,1), u%1  L2 0,1, H 2    ¡, h  ¡ , H 3  f  L2 QT , H 4  k  H 1(0,T ), g  H 1 0,T , H 5    C 1  ¡  , (t )  0  0, F1  F  C 0 ¡  và thỏa mãn điều kiện sau: tồn tại các hằng số C 1, C 1  0 sao cho : z  F (s)ds  C z 0 1 2  C 1 , với mọi z  ¡ F2  Với mỗi M...  (c1, c2, , cm )  S Từ đó ta suy ra rằng hệ (3.4)-(3.6) có nghiệm um (t ), Pm (t ) m với um (t )   cmj (t )w j trên đoạn 0,Tm  j 1 Các đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép ta lấy Tm  T , với mọi m Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm:  (t ), lấy Thay (3.5) vào (3.4) Nhân vào phương trình thứ j của (3.4) với cmj tổng theo j, ta được: t   2 2     S m (t )   (t ) umx (t )  2 um (t ) ... thiết H 1 , H 2 , H 4 , H 5  và (3.6), tồn tại hằng số C% 0 chỉ phụ thuộc vào , g, u%0 , u%1, h sao cho: 2S m (0)  4 C 0  g(0)u 0m (0)   C% 0 với mọi m (3.60) Mặt khác, do giả thiết H 3   H 4  và phép nhúng H 1(0,T )
C 0 0,T  nên tồn tại hằng số MT(1) chỉ phụ thuộc vào T sao cho: 1 C% 0  2  g 2 (t )  g    với mọi t   0,T   2 (1)   f ( s ) ds  4  C  C TC 0... (3.39), (3.40) ta suy ra rằng tồn tại một hằng số 1 độc lập với c, t, t  sao cho: Uc(t ) Uc(t )  1 t  t  (3.41) Từ kết quả U (S )  S và đánh giá (3.41), ta suy ra tập hợp U (S ) bị chặn đều và liên tục đều theo chuẩn || ||0 trong không gian Banach Y Áp dụng định lý Azela-Ascoli ta có U (S ) là tập compact tương đối Theo định lý điểm bất động Schauder, U có một điểm bất động c  (c1, c2, , cm... j , 1  j  m (4.5)  (t ), lấy tổng theo j, ta được: Nhân 2 vế phương trình thứ j của (4.5) với cmj  (t ), umx  (t )  2 (t ) umx (t ), umx  (t ) 2 um(t ), um (t )  2(t ) umx Pm  (t )um (0, t )  2hum (1, t )um (1, t )  2 um (t ), um (t ) 2 F (um (t ))um (t ), um (t )  2 f (t ), um (t ) Hay viết một cách tương đương là : (4.6) 30   2 2 2 d d  (t )  (t ) umx...9 Chương 3: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chương này, chúng tôi trình bày định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục cho bài toán: Tìm một cặp hàm u(x , t ), P (t ) thỏa : utt  (t )uxx  ut  F (u )  f (x , t ),  (t )u (0, t )  P (t ), x   (t )ux (1, t )  hu(1, t )  0,  u(x...   M 1T (3.69) Do đó, từ giả thiết F  C 0 (¡) và (3.69) ta suy ra : F (um (x , t ))  sup F (z )  M 2T với mọi (x , t )  QT , và mọi m  ¥ (3.70) z M 1T Hay ta có F (um ) L (Q )  M 2T với mọi m  ¥ (3.71) T Bước 3: Qua giới hạn Từ (3.42), (3.66), (3.68), (3.71) ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của dãy um , Pm  mà ta vẫn kí hiệu là um , Pm  sao cho um  u trong L (0,T ; H 1 ) yếu*,... nghiệm bài toán (3.1)(3.2) với u%0 , u%1   H 2  H 1 Trước tiên, ta đưa ra các giả thiết mạnh hơn: (H 1 ) u%0  H 2, u%1  H 1 , (H 2 )   ¡, h  ¡  , (H 3 ) f , ft  L2 (QT ) , (H 4 ) k , g  H 2 0,T  , (H 5 )   C 2 (¡  ), (t )  0  0, t  ¡  , (F1 ) F  C 1(¡) và thỏa mãn F1  Khi đó, ta có định lý sau: Định lý 4.1 Giả sử (H 1 )  (H 5 ) và (F1 ) đúng Khi đó, với mọi T 