PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM

Bùi Công Sơn PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bùi Công Sơn

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN

CỦA NGHIỆM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

Bùi Công Sơn

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA

NGHIỆM

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THÀNH LONG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Giải Tích, khoa Toán – Tin trường ðại học Sư Phạm và ðại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh ñã giúp tác giả nâng cao trình ñộ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học

Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau ñại học ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này

Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các ñồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thượng Hiền ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học

Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao ñổi góp ý

và ñộng viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn

TP HCM tháng 8 năm 2008

MỤC LỤC

Trang

Lời cám ơn 1

Mục lục 2

MỞ ðẦU 3

Chương 1 : CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 7

1.1 Các kí hiệu về không gian hàm 7

1.2 Các công cụ thường sử dụng 7

Chương 2 : THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 10

2.1 Giới thiệu 10

2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 10

2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 25

Chương 3 : THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI 32

Chương 4 : KHAI TRIỂN TIỆM CẬN 48

Chương 5 : KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ 64

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

MỞ ðẦU

Các bài toán phi tuyến xuất hiện trong khoa học rất ña dạng, là nguồn ñề tài mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong luận văn này chúng tôi muốn sử dụng các công cụ của giải tích phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và ñơn ñiệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với nguyên lý ánh xạ co, phương pháp khai triển tiệm cận…nhằm khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với ñiều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban ñầu sau

utt−µ(t)uxx +λut =f (x, t,u), x Ω, 0 t∈ < < T, (0.1)

u (0, t) h u(0, t)x − 0 =u (1, t) h u(1, t)x + 1 = 0, (0.2) u(x,0)=u (x), u (x,0)0 t =u (x),1 (0.3) trong ñó λ, h , h0 1 là các hằng số không âm cho trước; u , u , µ0 1 và số hạng phi tuyến f cũng là hàm cho trước thỏa mãn một số ñiều kiện mà ta chỉ ra sau Trong [5], Ficken và Fleishman ñã chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của phương trình

xx tt 1 t 2

u −u −2α u −α u=εu + , với ε 0b > bé (0.4) Rabinowitz [14] ñã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình

uxx−utt+2α u1 t =f (x,t,u ,u ),x t (0.5) trong ñó ε là một tham số bé và f là một hàm tuần hoàn theo thời gian

Trong [2], Caughey và Ellison ñã hợp nhất các xấp xỉ trong các trường hợp trước ñây ñể bàn sự tồn tại, duy nhất và tính ổn ñịnh tiệm cận của nghiệm

cổ ñiển cho một lớp các hệ ñộng lực phi tuyến liên tục

Trong [3], Alain Phạm ñã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng ñiệu tiệm cận khi ε→ của nghiệm yếu của bài toán (0.1), (0.3) liên kết với ñiều 0kiện biên Dirichlet thuần nhất

t x

0

u (0, t)=hu(0,t) g(t)+ −∫ k(t s)u(0,s)ds, u(1,t)− =0 (0.11) Trong [9], Long và Diễm ñã nghiên cứu bài toán (0.1), (0.3) với ñiều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

u (0, t) h u(0, t)x − 0 =u (1, t) h u(1, t)x + 1 = 0, (0.12) trong ñó h0, h1 là các hằng số không âm cho trước với h0 + h1 > 0 và các số hạng phi tuyến vế phải có dạng

f =f (x, t,u,u ,u ) εf (x, t,u,u ,u ).x t + 1 x t (0.13)

Trong trường hợp 2( 3) 1( 3)

1

f C [0,1] [0, )∈ × ∞ ×ℝ ,f ∈C [0,1] [0, )× ∞ ×ℝcác tác giả ñã thu ñược một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu uε ñến cấp hai theo ε, với ε ñủ nhỏ

Trong [12], Nguyễn Thành Long và Lê Thị Phương Ngọc cũng ñã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, sự tồn tại và hội tụ của dãy lặp cấp hai, khai triển tiệm cận của bài toán:

trong ñó B, f, u0, u1 là các hàm cho trước, h > 0 là hằng số

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm ñịa phương của bài toán (0.1) – (0.3) Chứng minh ñược dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với các ñánh giá tiên nghiệm cùng với kĩ thuật hội tụ yếu và tính compact Chúng tôi cũng nghiên cứu sự tồn tại và hội tụ của dãy lặp cấp hai {u } về nghiệm yếu u của bài toán (0.1) – (0.3) thỏa một ñánh giá msai số

trong ñó các hằng số h0, h1, λ là cố ñịnh và các hàm số u0, u1, µ, µ , f , f là cố 1 1ñịnh thỏa các giả thiết thích hợp Luận văn sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán nhiễu (P )ε theo tham số bé ε, tức là ta có thể xấp

xỉ nghiệm u bởi một ña thức theo ε

N 1 i

với tham số ε ñủ bé, hằng số CT ñộc lập với tham số ε

Luận văn ñược trình bày theo các chương sau ñây:

Phần mở ñầu: tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, ñiểm qua

các kết quả ñã có trước ñó, ñồng thời nêu bố cục của luận văn

Chương 1: nhằm giới thiệu một số kết quả chuẩn bị, các kí hiệu và các

không gian hàm thông dụng, một số kết quả về phép nhúng compact

Chương 2: chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu

của bài toán (0.1) – (0.3)

Chương 3: chúng tôi nghiên cứu thuật giải lặp cấp hai và sự hội tụ của

nó

Chương 4: chúng tôi nghiên cứu sự khai triển tiệm cận của nghiệm yếu

của bài toán nhiễu (P )ε theo một tham số bé ε

Chương 5: chúng tôi xét một bài toán cụ thể ñể minh họa phương pháp

tìm nghiệm của bài toán trên

Tiếp theo là phần kết luận của luận văn và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1.1 Các kí hiệu về không gian hàm

Chúng ta bỏ qua ñịnh nghĩa các không gian hàm thông dụng và ñể cho tiện lợi, ta kí hiệu:

Ta kí hiệu L (0,T;X), 1 pp ≤ ≤ ∞ là không gian Banach các hàm

u : (0,T)→ ño ñược sao cho X

W(0,T)= v L (0,T;X ) : v∈ ∈L (0,T;X )

Ta trang bị cho W(0,T) chuẩn

/ W(0,T) L (0,T;X ) L (0,T;X )

Khi ñó W(0,T) là một không gian Banach

Hiển nhiên W(0,T) L (0,T;X)⊂ p 0

Ta cũng có kết quả sau ñây liên quan ñến phép nhúng compact

Bổ ñề 1.1 ( Bổ ñề về tính compact của Lions) Với giả thiết (1.1), (1.2)

và n ếu 1 p< < ∞ =i , i 0,1 thì phép nhúng W(0,T)֓L (0,T;X) là compact p 0

Chứng minh bổ ñề 1.1 có thể tìm thấy trong [Lions[6], trang 57]

Bổ ñề 1.2 (Bổ ñề sau ñây liên quan ñến sự hội tụ yếu trong Lq(Q)) Cho

Q là t ập mở và bị chặn trong ℝN và G ,G L (Q), 1 qm ∈ q < < ∞ sao cho

Bổ ñề 1.3 ( Bổ ñề Gronwall) Cho f ,g :[t ,T ]0 0 → ℝ là các hàm liên tục

v ới g là hàm không giảm và có c > 0 sao cho

0

t

0 0 t

Trước hết ta thành lập các giả thiết sau:

Cho V và H là hai không gian Hilbert thực thỏa các ñiều kiện

i) Phép nhúng V ֓ H là compact, (1.3) ii) V trù mật trong H (1.4)

Cho a : V V× → ℝ là dạng song tuyến tính ñối xứng, liên tục trên

V V× và cưỡng bức trên V (1.5)

Chính xác hơn, ta gọi a là:

j) Dạng song tuyến tính nếu u֏ău, v) tuyến tính từ V vào ℝ với mọi v V∈ , và v֏ău, v) tuyến tính từ V vào ℝ với mọi u V∈

jj) ðối xứng nếu ău, v)=ăv,u), u, v V,∀ ∈

jjj) Liên tục nếu ∃ ≥M 0 : ău, v) ≤M u V v , u, v V,V ∀ ∈

4j) Cưỡng bức nếu ∃ >α 0 : ăv, v) α v , v V.≥ 2V ∀ ∈

Khi ñó ta có kết quả sau:

Bổ ñề 1.4 Với giả thiết (1.3), (1.4), (1.5) Khi ñó tồn tại một cơ sở trực

chu ẩnt {w } của H gồm các hàm riêng wj j t ương ứng với giá trị riêng λ sao j

H ơn nữa, dãy {w / λɶj j} c ũng là một cơ sở trực chuẩn của V ñối với

tích vô h ướng ặ,.)

Chứng minh bổ ñề này có thể tìm thấy trong [15: p.87, ðịnh lý 7.7]

Ta cũng dùng bổ ñề ñánh giá sau ñây mà chứng minh không khó khăn

Bổ ñề 1.5 Cho dãy { }ψm th ỏa mãn

Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT

2.1 Giới thiệu

Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và giá trị ñầu sau:

utt−µ(t)uxx +λut =f (x, t,u), x Ω, 0 t∈ < < T, (2.1)

u (0, t) h u(0, t)x − 0 =u (1, t) h u(1, t)x + 1 = 0, (2.2) u(x,0)=u (x), u (x,0)0 t =u (x),1 (2.3) trong ñó λ, h , h0 1 là các hằng số không âm cho trước; u , u , µ0 1 và số hạng phi tuyến f cũng là hàm cho trước thỏa mãn một số ñiều kiện mà ta chỉ ra sau Trong chương này chúng tôi trình bày thuật giải lặp ñơn:

Phần hai ñề cập ñến sự hội tụ của dãy lặp { }um về nghiệm yếu của bài toán (2.1) - (2.3)

2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính

Ta thành lập các giả thiết sau:

Trên H1 ta sử dụng một chuẩn tương ñương sau:

C

Bổ ñề 2.2 Với giả thiết (A4), dạng song tuyến tính ñối xứng xác ñịnh

b ởi (2.7) liên tục trên H1× và cưỡng bức trên HH1 1

Bổ ñề 2.3 Tồn tại một cơ sở trực chuẩn { }w j c ủa L 2 g ồm các hàm

riêng w j ứng với trị riêng λ sao cho j

H ơn nữa dãy {w / j λj} c ũng là cơ sở trực chuẩn của H 1 t ương ứng

v ới tích vô hướng ặ , )

M ặt khác, chúng ta cũng có hàm w thỏa mãn bài toán giá trị biên sau: j

w jx(0)−h w0 j(0)=w jx(1)+h w1 j(1)= 0, (2.11)

Bổ ñề 2.3 ñược chứng minh bằng cách áp dụng bổ ñề 1.4, chương 1, với

V = H1, H = L2 và a (.,.) ñược cho bởi (2.7)

0 x 1, 0 t≤ ≤ ≤ ≤T, u ≤ 2M (2.15)

F (x, t)m =f (x,t,um 1− (x, t)) (2.21)

Sự tồn tại của um cho bởi ñịnh lý sau ñây:

ðịnh lý 2.1 Giả sử (A1) – (A4) ñúng Khi ñó tồn tại các hằng số M, T > 0 sao

cho ñối với mọi u 0 ∈W (M,T)1 cho tr ước, tồn tại dãy quy nạp tuyến tính

m 1

{u } W (M,T)⊂ xác ñịnh bởi (2.19) – (2.21)

Chứng minh Gồm các bước dưới ñây:

Bước 1: Xấp xỉ Galerkin Gọi { }wj là cơ sở trực chuẩn của H1 như trong bổ ñề (2.3) (wj=w / λ j j) Dùng phương pháp Galerkin ñể xây dựng nghiệm xấp xỉ (k)

m

u (t) của (2.19) – (2.20) theo dạng

Bổ ñề 2.4 Giả sử um 1− th ỏa (2.18) Khi ñó hệ (2.26) – (2.27) có duy

nh ất nghiệm u (t) trên một khoảng (k)m (k) [ ]

Chứng minh Bỏ qua chỉ số m, k trong các cách viết, ta viết c (t), α , β j j jlần lượt thay cho (k) (k ) (k)

k j

ii) Tồn tại n∈ ℕ sao cho Hn≡H(H ) :Sn 1 − → là ánh xạ co S

Vậy toán tử H biến tập S thành chính nó

ii) Sau ñây bằng quy nạp ta sẽ chứng minh rằng với mọi n∈ ℕ với mọi ,

t t r k

• Giả sử (2.32) ñúng với mọi n 1 ≥ Ta chứng minh: (k)

n k

X

[σ T(T 1)]

c d n!

Bổ ựề 2.4 ựược chứng minh xong

Các ựánh giá sau ựây cho phép ta lấy (k)

m

T = với mọi m và k T

Bước 2: đánh giá tiên nghiệm

đánh giá thứ nhất: Nhân (2.23) với (k)

2 (k) (k) (k ) / (k) (k)

− ∆ sau ñó ñơn giản λj ta có:

S (t)=X (t) Y (t)+ +∫ u (s) dsɺɺ , (2.41) trong ñó

t

(k)

m m 0

2 a F (s),u (s) ds

Suy ra:

t

2 (k) (k) / (k) (k) (k)

• Tích phân thứ nhất

t

2 / (k ) (k ) (k)

0 t (k) m 0

t (k)

0 m 0

2 1

F (s) =F (0,s)+ ∇F (s) ≤K +K (1 M) + Vậy

Tích phân theo t ta ñược

3 F (s)ds

+ ∫ (2.52) Vậy

0 m 0

2 (k) (k) (k )

T=T , với mọi m, k Do ñó, ta có (k )

ðịnh lý 2.1 ñược chứng minh hoàn tất

2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

ðịnh lý 2.2 Giả sử (A1) – (A4) ñúng Khi ñó tồn tại M 0> và T 0 >

sao cho bài toán (2.1) – ( 2.3) có duy nhất nghiệm yếu u W (M,T) ∈ 1

M ặt khác, dãy quy nạp tuyến tính {u } xác ñịnh bởi (2.19), (2.20) hội tụ m

m ạnh về nghiệm yếu u trong không gian

trong ñó hằng số

/ 1

Ta chứng minh {u } là dãy Cauchy trong m W (T) 1

ðặt vm = um+1 – um Khi ñó vm thỏa bài toán biến phân sau:

/ 1

0 W (T) T

kv

1 k

≤

− , với mọi m,p∈ ℕ . (2.81)

Ta suy ra {u } là dãy Cauchy trong m W (T) Do ñó tồn tại 1 u W (T)∈ 1sao cho

u, vɺɺ +µ(t)a(u, v)+λ u,vɺ = f (x, t,u), v , v H ,∀ ∈ 1 (2.89) u(0)=u , u(0)0 ɺ =u1 (2.90) trong L (0,T)2 yếu

Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

Trong chương này chúng ta xét bài toán biên và ban ñầu (2.1) với giả thiết sau:

ðịnh lý 3.1 Giả sử (A1), (A2), (A4), (A5) ñúng Khi ñó tồn tại M 0>

và T 0> sao cho với mỗi u0∈W (M,T)1 cho tr ước, tồn tại dãy quy nạp

tuy ến tính {u } W (M,T)m ⊂ 1 xác ñịnh bởi (2.19), (2.20) và (3.2)

Chứng minh: Giống như ở ñịnh lý 2.1 ta xấp xỉ um bởi (k)

m

u (t) ñịnh bởi (2.22) – (2.26), trong ñó Fm xuất hiện trong (2.19) ñược thay bởi

j 1

=

Giả sử rằng um 1− ∈W (M,T)1 Khi ñó ta có bổ ñề sau:

Bổ ñề 3.1 Giả sử (A1), (A3), (A4), (A5) ñúng Khi ñó tồn tại M 0> và

T 0> sao cho hệ (3.4) – (3.6) có duy nhất nghiệm (k)

1

F (t), w , 1 j k,w

( ) t r

(k) (k) (k ) (k) (k)

0 0 j

0 0 j

X=C 0,T ;

  ℝ , S={c X : c∈ X ≤ρ}

Ở ñây ta dùng chuẩn trong X như sau:

( k ) m

ii) Tồn tại n∈ ℕ sao cho Hn ≡H(H ) :Sn 1 − → là ánh xạ co SThật vậy, với mọi c=(c , ,c ) S1 k ∈ , ta có cX ≤ và ρ

k j 1

k 2

0 0 j

λ c(s) ds+ ∫

iii) Sau ñây bằng quy nạp ta sẽ chứng minh rằng với mọi n∈ ℕ , với mọi c,d S∈ , với mọi (k)

n 1 n 1

1

H + c (t) H− + d (t)

[D T(T 1)]

1

n !+ <

Tức là toán tử H :Sn 0 → là ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co H có Sñiểm bất ñộng duy nhất trong S, tức là hệ (3.4) – (3.6) có duy nhất nghiệm

Bổ ñề 3.4 ñược chứng minh xong

Các ñánh giá sau ñây cho phép ta lấy (k)

2 (k) m 0

0 m m 1 1 0

1 0 1 2

2 (k) (k)

Tiếp theo ta nghiên cứu sự hội tụ bậc hai của dãy {u } về nghiệm yếu mcủa bài toán (2.1) – (2.3)

ðịnh lý 3.2 Giả sử (A1), (A3), (A5) ñúng Khi ñó:

i) T ồn tại M 0> và T 0 > sao cho bài toán (2.1) – (2.3) có nghiệm yếu

1

u W (M,T).∈

ii) M ặt khác, dãy {u } xác ñịnh bởi m (2.19), (2.20) hội tụ cấp hai về

nghi ệm u mạnh trong W1(T) theo nghĩa:

và βT =2MµT< (chú ý rằng ñiều kiện này luôn thỏa mãn khi ta lấy 1

f

v (x,λ ), v (s) dsu

−

∂+

∂

= J1 + J2 + J3 + J4

Ta có:

t /

t

1 m 1 m 0

2

2 m 1 1 m 0

m 1 W (T) m 0

W1(T) Do ñó tồn tại u W (T)∈ 1 sao cho um→ mạnh trong Wu 1(T)

Bằng cách lập luận tương tự như trong ñịnh lý 2.2, ta chỉ ra ñược rằng

1

u W (M,T)∈ là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (2.1) – (2.3)

Trong (3.39) cho p→ +∞, ta có ñịnh lý 3.2

Chương 4: KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM

Trong phần này, chúng ta giả sử rằng:

Ta xét bài toán nhiễu sau ñây, trong ñó ε là một tham số bé, ε ≤ 1

ε

(P )thỏa

ε 1

Khi ñó ta có thể chứng minh tương tự như trong ñịnh lý 2.2 rằng giới hạn u0 trong các không gian hàm thích hợp của họ { }u khi εε → là nghiệm 0yếu duy nhất của bài toán (P )ε tương ứng với ε= thỏa 0

ðịnh lý 4.1 Giả sử các giả thiết (B1) – (B4) ñúng Khi ñó tồn tại các

h ằng số M > 0, T > 0 sao cho với mọi ε, ε ≤ bài toán ( )1, P có duy nhất εnghi ệm yếu uε∈W (M,T)1 th ỏa một ñánh giá tiệm cận

2ε f (x, t,u ), v(s) ds.

+ ∫ ɺ (4.7) ðặt

C1

ðịnh lý 4.1 ñược chứng minh xong

Tiếp theo chúng tôi sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu

Lấy u0∈W (M,T)1 là một nghiệm yếu của bài toán (P0) ứng với ε= 0

Ta xét các nghiệm yếu u ,u , ,u1 2 N∈W (M,T)1 ( với M, T > 0 thích hợp ) ñược xác ñịnh bởi các bài toán sau:

u µ(t) u λu F[u ], 0 x 1, 0 t T,(Q ) u (0, t) h u (0, t) u (1, t) h u (1, t) 0,

u µ(t) u λu F[u ], 0 x 1,0 t T,(Q ) u (0, t) h u (0, t) u (1, t) h u (1, t) 0,

i i 1 i 1 i i 1 1

F[u ] µ (t) u= ∆ − +π[f ] π [f ], 2 i+ − ≤ ≤N,