một số định lý duy nhất trong lý thuyết nevanlina

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————- DƯƠNG THANH MI MỘT SỐ ĐỊNH LÝ DUY NHẤT TRONG LÝ THUYẾT NEVANLINA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————- DƯƠNG THANH MI MỘT SỐ ĐỊNH LÝ DUY NHẤT TRONG LÝ THUYẾT NEVANLINA Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Đình Sang, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - ĐHQGHN. Hà Nội - 2012 2 LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô đã và đang công tác tại khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, đặc biệt là T.S Ninh Văn Thu, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức để thực hiện luận văn này. Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn tới thầy giáo hướng dẫn là PGS. TS. Nguyễn Đình Sang, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, cổ vũ động viên và đóng góp cho tôi nhiều ý kiến quý báu trong cuộc sống, công việc và học tập nói chung cũng như trong quá trình thực hiện luận văn này. Xin chúc mọi người sức khỏe, đạt được nhiều thành tích cao trong công tác, học tập và nghiên cứu khoa học và gặt hái thêm nhiều thành công trong cuộc sống. Học viên: Dương Thanh Mi 3 Mục lục LỜI CẢM ƠN 4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 6 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 1.1 Một số khái niệm trong giải tích phức . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Một số định lý về xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Định lý Montel về tính chỉnh hình của hàm giới hạn đều . . 16 2 Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình 18 2.1 Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Định lý Cartan về tính chỉnh hình của giới hạn của dãy các tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • Hol(Ω): vành các hàm chỉnh hình trên miền Ω. • C k (Ω): không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên Ω. • H(ω, Ω) (hoặc Hol(ω, Ω)): tập các ánh xạ chỉnh hình từ ω vào Ω. • ∆ := {z ∈ C : |z| < 1}: đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức. 5 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu các tính chất của hàm giới hạn của dãy các hàm xác định trên một tập hợp nào đó trong R n đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu mở rộng từ miền trong không gian một chiều đến không gian nhiều chiều. Trong giải tích phức, các nhà toán học quan tâm đến tính chỉnh hình của hàm giới hạn (điểm hoặc đều) của dãy các hàm chỉnh hình. Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả Montel, H. Cartan, W. F. Osgood [7], K. R. Davidson [2], S. Krantz [4], về chủ đề này. Bố cục của luận văn bao gồm hai chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị. Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích phức. Các khái niệm cơ bản như khái niệm hàm chỉnh hình, sự hội tụ điểm, sự hội tụ đều, Đồng thời, chúng tôi cũng giới thiệu các kết quả cổ điểm của Montel, Ascoli-Arzela, Runge, Stone-Weierstrass, về tính chỉnh hình của hàm giới hạn và các tiêu chuẩn cho sự hội tụ đều. Những kiến thức này sẽ là cơ sở cho việc nghiên cứu ở chương sau. 6 Chương II : Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các kết quả của W. F. Osgood, S. Krantz, về tính chỉnh hình của hàm giới hạn. Kết quả chính là chỉ ra rằng hàm giới hạn điểm của dãy các hàm chỉnh hình là chỉnh hình trong một tập con mở trù mật của miền xác định. Các ví dụ cụ thể về tính chỉnh hình của hàm giới hạn cũng được trình bày để minh họa. Ngoài ra, chúng tôi cũng giới thiệu định lý Cartan về giới hạn đều của dãy các tự đẳng cấu. Kết Luận : Luận văn đã làm được những vấn đề sau đây 1. Chứng minh tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình một biến bị chặn điểm bởi một hàm khả tích nào đó và chứng minh tính chỉnh hình trên tập mở trù mật của hàm giới hạn của một dãy hàm chỉnh hình nhiều biến hội tụ điểm. 2. Đưa ra một số ví dụ về dãy hàm hội tụ điểm thì giới hạn của nó có thể không chỉnh hình. 3. Chứng minh định lý mở rộng Cartan cho miền không bị chặn. Vì điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý của Thầy Cô và bạn bè. 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm trong giải tích phức Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một miền trong mặt phẳng phức C, hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) được gọi là C - khả vi tại z 0 ∈ C nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim h→0 f(z 0 + h) − f(z 0 ) h . Giá trị giới hạn đó được gọi là đạo hàm phức của hàm f(z) tại z 0 . Hàm f(z) được gọi là C - khả vi trong Ω nếu nó C - khả vi tại mọi z 0 ∈ Ω. Định nghĩa 1.1.2. Hàm f(z) được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z 0 ∈ C nếu nó là C - khả vi tại một lân cận nào đó của z 0 . Hàm f(z) được gọi là chỉnh hình trong miền Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm z thuộc miền Ω. Tập hợp mọi hàm chỉnh hình trong miền Ω, ký hiệu là H(Ω). 8 Hàm f(z) chỉnh hình tại điểm vô cùng nếu hàm ϕ(z) = f( 1 z ) chỉnh hình tại điểm z = 0. Định nghĩa 1.1.3. Hàm f(z) chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức C được gọi là hàm nguyên. Định lý 1.1.1. Hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) chỉnh hình trên Ω nếu các hàm u(x, y) và v(x, y) là R 2 - khả vi trên Ω và trên đó các hàm u(x, y), v(x, y) thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann, tức là ∂u ∂x = ∂v ∂y , ∂u ∂y = − ∂v ∂x , ∀(x, y) ∈ Ω. Định lý 1.1.2. Giả sử f(z) là một hàm chỉnh hình trong miền hữu hạn Ω ⊂ C. Khi đó trong mỗi lân cận của mỗi điểm z 0 ∈ Ω, hàm f(z) được khai triển thành chuỗi f(z) = f(z 0 ) + (z − z 0 ) 1! f  (z 0 ) + (z − z 0 ) 2 2! f  (z 0 ) + (1.1) Hơn nữa, chuỗi trên hội tụ đều đến hàm f(z) trong hình tròn |z − z 0 | ≤ ρ tùy ý nằm trong Ω. Chuỗi (1.1) được gọi là chuỗi Taylor của hàm f(z) trong lân cận của điểm z 0 . Định nghĩa 1.1.4. Giả sử f(z) ∈ H(D). Khi đó 1) Điểm z 0 ∈ Ω được gọi là không - điểm (hay 0 - điểm) của hàm f(z) nếu f(z 0 ) = 0. 2) Điểm z 0 ∈ Ω được gọi là không - điểm bậc m > 0(hay không - điểm cấp m > 0) của hàm f(z) nếu f (n) (z 0 ) = 0, cho mọi n = 1, , m − 1 và f (m) (z 0 ) = 0. 9 Định nghĩa 1.1.5. Hàm f(z) được gọi là hàm phân hình trong Ω ⊂ C nếu f = g h trong đó g, h là các hàm chỉnh hình trong Ω và h = 0 trong Ω. Nếu D = C thì ta nói f(z) phân hình trên C hay đơn giản f(z) là hàm phân hình. Định nghĩa 1.1.6. Điểm z 0 được gọi là cực điểm cấp m > 0 của hàm f(z) nếu trong lân cận của z 0 hàm f(z) = 1 (z − z 0 ) m .h(z), trong đó h(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của z 0 và h(z 0 ) = 0. Nhận xét 1.1.1. Cho Ω là một tập mở trong C n và f là một hàm biến phức xác định trên Ω. Khi đó, f chỉnh hình trên Ω nếu và chỉ nếu với mỗi điểm a ∈ Ω tồn tại tương ứng một lân cận U và một chuỗi :  α∈N n c α (z − a) α =  α 1 , ,α n ≤0 c α 1 , ,α n (z 1 − a 1 ) α 1 (z n − a n ) α n hội tụ tới f(z) với z ∈ U. Ký hiệu tập các hàm chỉnh hình trên Ω bởi H(Ω) Định nghĩa 1.1.7. Cho Ω là một tập mở trong C n và f = (f 1 , , f m ) : Ω → C m là một ánh xạ. Chúng ta nói ánh xạ f là chỉnh hình nếu hàm f j là chỉnh hình với mỗi 1 ≤ j ≤ m . Định nghĩa 1.1.8. Giả metric Royden -Kobayashi K Ω trên miền Ω được định nghĩa bởi K Ω (p, −→ X ) := inf{ 1 r | ∃f ∈ Hol(∆, Ω) sao chof(0) = p, f  (0) = r −→ X } với p ∈ Ω và −→ X ∈ C n . 10 [...]... đưa ra một 32 định lý tương tự như định lý của H.Cartan ? Định lý là một mở rộng của định lý Cartan cho miền không bị chặn Định lý 2.4.8 Giả sử Ω là miền bị chặn trong Cn Khi đó Aut(Ω) là không compact ( với tô pô compact _mở ) nếu và chỉ nếu tồn tại p ∈ Ω và một dãy {fj }∞ ∈ Aut(Ω) sao cho dãy {fj (p)}∞ hội tụ tới một điểm j=1 j=1 nằm trên biên của Ω Chứng minh (” ⇐ ”): Nếu tồn tại p ∈ Ω và một dãy... Do đó, định lý được chứng minh bằng lập luận tương tự như lập luận trong chứng minh Định lý 2.1.1 Định lý 2.2.2 Giả sử {fj } là dãy các hàm chỉnh hình trên miền Ω ⊂ Cn Giả sử rằng {fj } hội tụ điểm đến hàm giới hạn f trên Ω Gọi L là một đường thẳng phức trong Cn Khi đó, hàm giới hạn f là chỉnh hình trên một tập con mở trù mật L ∩ Ω Chứng minh Áp dụng Định lý 2.1.1 trên miền L ∩ Ω 22 Định lý 2.2.3... minh định lý Stone-Weierstrass được trình bày trong các sách cơ bản về Giải tích hàm Đối với trường hợp hàm chỉnh hình trong miền phức ta cũng có định lý xấp xỉ Runge Định lý này khẳng định rằng mỗi hàm chỉnh hình có thể xấp xỉ đầu bới các đa thức giải tích Định lý 1.2.2 (Runge) Giả sử K là tập con compact của mặt phẳng phức C với phần bù C \ K liên thông Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một lân... nhiều biến xác định trên miền trong Cn , ta cũng có kết quả như Định lý 2.1.1 Định lý 2.2.1 Giả sử {fj } là một dãy các hàm chỉnh hình xác định trên miền Ω ⊂ Cn Giả sử rằng dãy {fj } hội tụ điểm đến hàm giới hạn f xác định trên Ω Khi đó, f là chỉnh hình trên một tập con mở trù mật của Ω Hơn nữa, sự hội tụ là đều trên các tập con compact của tập mở này Chứng minh Ta chú ý rằng định lý Montel vẫn đúng... g Hiển nhiên, hàm g phải trùng với f Vì vậy, g và f phải chỉnh hình trên B Do tập U trong lập luận trên được chọn một cách tùy ý nên kết luận của định lý được khẳng định Đối với dãy các hàm điều hòa xác định trên miền phẳng ta cũng có kết quả tương tự Cụ thể, ta có định lý sau đây Định lý 2.1.2 Giả sử {fj } là một dãy các hàm điều hòa trên miền phẳng Ω Giả sử rằng dãy {fj } hội tụ điểm đến hàm giới... Thật vậy, supz∈S |fn (z) − fn (0)| = supz∈S |z|n = 1 → 0 khi n → ∞ 13 1.2 Một số định lý về xấp xỉ Đối với hàm liên tục trên đoạn [a, b] ⊂ R, một câu hỏi được đặt ra rằng liệu có thể xấp xỉ đều trên [a, b] bởi các đa thức (một biến) hay không? Định lý sau đây khẳng định rằng mỗi hàm liên tục có thể xấp xỉ đầu bởi các đa thức Định lý 1.2.1 (Stone-Weierstrass) Mỗi hàm liên tục f trên tập compact K ⊂ Rn... hàm chỉnh hình một biến Trước hết, ta biết rằng hàm giới hạn đều của dãy các hàm chỉnh hình xác định trên một miền phẳng cũng chỉnh hình Kết quả này đúng trên tập con mở trù mật của miền Cụ thể ta có định lý sau đây nói về tính chỉnh hình của hàm giới hạn điểm của dãy các hàm chỉnh hình xác định trên miền phẳng Định lý 2.1.1 Giả sử {fj } là một dãy các hàm chỉnh hình xác định trên miền Ω trong mặt phẳng... cố định Do vậy, mỗi điểm z ∈ U đều nằm trong một tập Sk nào đó Nói cách khác, ¯ U = ∪k Sk ¯ Bây giờ, ta thấy hiển nhiên rằng U là không gian metric đầy theo metric Euclid Vì thế, định lý phạm trù Baire nói rằng một tập Sk nào đó bắt ¯ ¯ buộc phải trù mật tại đâu đó trong U Điều này có nghĩa rằng Sk sẽ chứa ¯ một hình cầu (hoặc đĩa) trong U Ta kí hiệu hình cầu này là B Bây giờ, áp dụng định lý Montel... trục tọa độ trong U 25 Ví dụ 2.3.3 Gọi Kn là hợp thành của điểm {0}, đoạn [1/n, n] và tập compact Sn := {z ∈ C : |z| ≤ n và dist(z, R+ ) ≥ 1/n} Gọi gn là dãy các hàm giải tích triệt tiêu trong một lân cận của Sn và [1/n, n] và đồng nhất bằng 1 trong một hình cầu quanh {0} Gọi pn là đa thức nhận được bằng cách sử dụng định lý Runge sao cho |pn (z) − gn (z)| < 1/n với mọi z trong Kn Với mỗi z trong mặt... ánh xạ song chỉnh Định lý 2.4.7 Cho Ω là tập bị chặn trong Cn Giả thiết rằng {fi } là một dãy các ánh xạ song chỉnh hình fi : Ω → Ω và hội tụ đều trên mỗi tập con compact của Ω tới một ánh xạ f Khi đó ba khẳng định sau là tương đương: 30 (i) f là ánh xạ song chỉnh hình từ Ω lên Ω (ii) f (Ω) ⊂ ∂Ω , biên của Ω lấy trong Cn (iii) Định thức Jacobian det[f (z)] không đồng nhất bằng không trong Ω Chứng minh . MI MỘT SỐ ĐỊNH LÝ DUY NHẤT TRONG LÝ THUYẾT NEVANLINA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————- DƯƠNG THANH MI MỘT SỐ ĐỊNH LÝ. minh định lý Stone-Weierstrass được trình bày trong các sách cơ bản về Giải tích hàm. Đối với trường hợp hàm chỉnh hình trong miền phức ta cũng có định lý xấp xỉ Runge. Định lý này khẳng định. được chứng minh giống như trong chứng minh định lý trên. Định lý 2.1.3. Giả sử {f j } là một dãy các hàm chỉnh hình xác định trên miền phẳng Ω. Giả sử rằng tồn tại một hằng số M > 0 sao cho |f j (z)|