MỐT SỐ ĐỊNH LYA DUY NHẤT CHO HỌ CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIA XẠ ẢNH PHỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án mới, cơng bố tạp chí Tốn học nước Các kết viết chung với Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang Vũ Đức Việt đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh: Bùi Khánh Trình LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành quan tâm hướng dẫn tận tình GS.TSKH Đỗ Đức Thái Nhân dịp này, xin gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến PGS.TSKH Trần Văn Tấn, TS Sĩ Đức Quang CN Vũ Đức Việt, người giúp đỡ cho nhiều ý kiến quý báu để hồn thành tốt luận án Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn - Tin, Phịng Sau đại học Phịng Khoa Học Công Nghệ trường tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận án Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy Khoa Tốn-Tin thuộc Trường ĐHSP Hà Nội, Bộ Mơn Tốn thuộc Trường ĐH Xây Dựng, thành viên Seminar Hình học phức thuộc Khoa Tốn - Tin, bạn đồng nghiệp động viên khích lệ trao đổi hữu ích suốt q trình học tập công tác Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số quy ước kí hiệu ĐỊNH LÝ DUY NHẤT CHO CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRONG TRƯỜNG HỢP MỤC TIÊU CỐ ĐỊNH 18 1.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 19 1.2 Định lý cho ánh xạ phân hình với bội bị chặn tập đồng nhỏ 24 VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRONG TRƯỜNG HỢP MỤC TIÊU DI ĐỘNG 35 2.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 36 2.2 Bổ đề hàm bổ trợ Cartan 38 2.3 Vấn đề cho ánh xạ phân hình trường hợp mục tiêu di động mà khơng đếm bội 47 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT CHO CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ TỪ DIỆN RIEMANN COMPACT VÀO Pn (C) VỚI CÁC MỤC TIÊU SIÊU MẶT 54 3.1 Định lý thứ hai cho đường cong đại số 55 3.2 Một mở rộng định lý Ru Xu cho trường hợp siêu mặt KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 66 70 Kết luận 70 Kiến nghị nghiên cứu 71 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 72 MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong tồn luận án, ta thống số kí hiệu sau • Pn (C): khơng gian xạ ảnh phức n− chiều • z = |z1 |2 + · · · + |zm |2 1/2 với z = (z1 , , zm ) ∈ Cm • B(r) := {z ∈ Cm : z < r} hình cầu mở bán kính r Cm • S(r) := {z ∈ Cm : z = r} mặt cầu bán kính r Cm √ −1 • d = ∂ + ∂, dc := (∂ − ∂): tốn tử vi phân 4π • υ := (ddc z )m−1, σ := dc log z phân ∧ (ddclog z )m−1: dạng vi • O(1): hàm bị chặn r • O(r): vô lớn bậc với r r → +∞ • o(r): vơ bé bậc cao r r → +∞ • log+r = max{log r, 0}, x • ′′ || P ′′ : có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) nằm tập Borel E [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞ • ♯ S: lực lượng tập hợp S • Zero(F ): tập khơng điểm hàm chỉnh hình F MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nghiên cứu định lý ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh ứng dụng quan trọng đẹp đẽ Lý thuyết phân bố giá trị hay gọi Lý thuyết Nevanlinna Cho đến nay, định lý ánh xạ phân hình tạo thành lý thuyết với nhiều kết sâu sắc thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ngồi nước Chúng ta điểm lại số nét lịch sử phát triển gần kỷ lý thuyết Năm 1926, R Nevanlinna [33] chứng minh hai hàm phân hình khác f g mặt phẳng phức C có ảnh ngược giá trị phân biệt f = g Ngoài ra, g phép biến đổi phân tuyến tính f chúng có ảnh ngược tính bội bốn giá trị phân biệt Năm mươi năm sau kết Nevanlinna, vào năm 1975, H Fujimoto [5] tổng quát kết Nevanlinna cho trường hợp ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) Ông chứng minh hai ánh xạ phân hình f g từ Cm vào Pn (C), hai ánh xạ f g khơng suy biến tuyến tính chúng có ảnh ngược tính bội (3n + 2) siêu phẳng vị trí tổng quát Pn (C) f ≡ g Hơn nữa, hai ánh xạ phân hình f g từ Cm vào Pn (C) khác có ảnh ngược tính bội (3n + 1) siêu phẳng vị trí tổng qt Pn (C) tồn biến đổi xạ ảnh L từ Pn (C) vào thỏa mãn g = L(f ) Kể từ đó, vấn đề nghiên cứu cách mạnh mẽ, sâu sắc H Fujimoto [6],[7],[8],[9], , W Stoll [23], L Smiley [24], N Steinmezt [25], S Ji [12], M Ru [17], Z-H Tu [31], Đỗ Đức Thái [26, 27, 30], Trần Văn Tấn [28, 3, 4, 30], Sĩ Đức Quang [26, 27, 15, 16] người khác Để hình thành kết tác giả trên, đưa vào số khái niệm định nghĩa sau: Giả sử f ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) Với siêu phẳng H không gian xạ ảnh Pn (C), kí hiệu ν(f,H) (z), z ∈ Cm bội giao ảnh f với H f (z) Cho q siêu phẳng H1, · · · , Hq vị trí tổng quát không gian Pn (C) thỏa mãn: a) dim{z : ν(f,Hi ) > ν(f,Hj ) > 0} m − với ≤ i < j ≤ q Giả sử M số nguyên dương +∞ Chúng ta kí hiệu F {Hj }q , f, M) tập tất ánh xạ phân hình khơng suy biến j=1 tuyến tính g từ Cm vào Pn (C) thỏa mãn hai điều kiện: b) min{ν(g,Hj ) (z), M} = min{ν(f,Hj ) (z), M}, j ∈ {1, · · · , q} (ta nói bội ngắt M) c) g = f q {z : ν(f,Hj ) (z) > 0} j=1 Vấn đề ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) toán cần phải tìm điều kiện q M cho tập F {Hj }q , f, M) j=1 chứa ánh xạ (định lý nhất), theo nghĩa rộng nghiên cứu lực lượng tập F {Hj }q , f, M) tìm j=1 mối quan hệ ánh xạ tập hợp Có hai đối tượng quan tâm trước hết việc nghiên cứu vấn đề là: + Số lượng q siêu phẳng bé tốt + Giá trị bội bị chặn M bé tốt Năm 1983, L Smiley [24] chứng minh rằng: Định lý Nếu q ≥ 3n + 2, ♯ F {Hj }q , f, 1) = j=1 Năm 1988, S Ji [12] chứng minh định lý sau: Định lý Nếu q = 3n + 1, với ba ánh xạ f 0, f 1, f ∈ F {Hj }q , f, 1), ánh xạ F = (f 0, f 1, f 2) : Cm → Pn (C)×Pn (C)×Pn (C) j=1 suy biến đại số, tức F (Cm) chứa đa tạp thực Pn (C) × Pn (C) × Pn (C) Năm 1998, H Fujimoto [5] chứng minh định lý : Định lý Nếu q = 3n + 1, ♯ F {Hj }q , f, 2) ≤ j=1 Bằng cách tiếp cận có tính đột phá mặt kỹ thuật, năm 2006, Đỗ Đức Thái, Sĩ Đức Quang [27] chứng minh rằng: Định lý Nếu n ≥ 2, ♯ F {Hj }3n+1, f, 1) = j=1 Nếu n ≥ 4, ♯ F {Hj }3n−1, f, 2) ≤ j=1 Năm 2009, Z H Chen Q M Yan [2] chứng minh kết sau: Định lý Nếu q ≥ 2n + 3, ♯ F {Hj }q , f, 1) = j=1 Năm 2011, Sĩ Đức Quang [15] chứng minh kết sau: Định lý Giả sử f ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) H1, · · · , H2n+2 2n + siêu phẳng vị trí tổng quát Pn (C) thỏa mãn dim f −1(Hi ∩ Hj ) m − với ≤ i < j ≤ q Giả sử g ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) thỏa mãn: i) min{≤nν(f,Hj ) , 1} = min{≤n ν(g,Hj ) , 1} min{≥n ν(f,Hj ) , 1} = min{≥nν(g,Hj ) , 1}, j ∈ {1, · · · , q} ii) g(z) = f (z) 2n+2 f −1(Hj ) j=1 Nếu n ≥ 2, f = g Năm 2012, Phạm Hoàng Hà Sĩ Đức Quang [11] chứng minh kết sau: Định lý Giả sử f1, f2 hai ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) H1 , · · · , H2n+2 2n + siêu phẳng vị trí tổng quát Pn (C) thỏa mãn dim{z ∈ Cm : ν(f1 ,Hi ) (z) > ν(f1 ,Hj ) (z) > 0} m−2 với ≤ i < j ≤ 2n+2 Giả sử k số nguyên dương thỏa mãn k> 2n + n+1 2n + −2 n+1 10 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: a) min{ν(f1 ,Hj ) , 1} = min{ν(f2 ,Hj ) , 1}, (j ∈ {1, · · · , 2n + 2}) b) f1(z) = f2 (z) 2n+2 j=1 {z ∈ Cm : ν(f1 ,Hj ) (z) > 0}, c) min{ν(f1 ,Hj ) (z), ν(f2 ,Hj ) (z)} > n ν(f1 ,Hj ) (z) = ν(f2 ,Hj ) (z)(mod k) với z ∈ (f1, Hj )−1(0), (j ∈ {1, · · · , 2n + 2}) Khi đó, f1 = f2 Trong kết (Định lý 6,7), số mục tiêu cố định đưa số tối thiểu q = 2n + 2, điều kiện (i), không điểm hàm (f, Hj ) (g, Hj ) xem xét đến bội n Trong năm 2012, Sĩ Đức Quang [16] chứng minh kết sau: Định lý Nếu n ≥ 2, ♯ F {Hj }2n+2, f, 1) ≤ j=1 Trong tất kết vấn đề (Định lý 1-8) ánh xạ phân hình vào Pn (C) với bội bị chặn phải có điều kiện (c) : g = f q {z : ν(f,Hj ) (z) > 0}− điều kiện tập đồng j=1 Đây đòi hỏi mạnh Do đó, việc thiết lập định lý với tập đồng bé khơng có điều kiện tập đồng ln ln nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Tiếp tục luồng nghiên cứu trên, vấn đề nghiên cứu luận án định lý cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với bội bị chặn tập đồng nhỏ hơn, đặc biệt số siêu phẳng xuất điều kiện (c) (n + 1) Do điều kiện (c) (n + 1), nên sử dụng trực tiếp Định lý thứ hai cho (n + 1) siêu phẳng tương ứng Đây khó khăn 63 xn δn với (x1, x2, , xn) ∈ X Với x = (x1, x2, , xn) ∈ X, ta kí hiệu cx số siêu mặt Dj thỏa mãn ν(f,Dj ) (pl ) = x1δ1 + + xn δn Khi đó, µjl = 1≤j≤q x∈X cx (x1δ1 + x2δ2 + · · · + xn δn ) x∈X (vì x∈X cx cx ≤ N = N + f (pl ) thuộc vào N + siêu mặt {Dj }q , suy mâu thuẫn {Dj }q vị trí N − tổng quát j=1 j=1 Pn (C)) Cố định số i {1, 2, , n} Bây chứng minh ti = x∈Yi cx ≤ N − i + (∗∗) Thật vậy, giả sử ngược lại, ta có ti ≥ N − i + Nếu ν(f,Dj ) (pl ) = x1δ1 + x2 δ2 + + xnδn với x ∈ Yi , tồn siêu phẳng Hjs Dj h ≥ i thỏa mãn ν(f,Hjs ) = δh Chúng ta kí hiệu J tập tất số j ∈ {1, 2, · · · , q} cho ν(f,Dj ) (pl ) = x1δ1 + x2δ2 + + xn δn với x ∈ Yi Với j ∈ J , ta lấy siêu phẳng Hjs thỏa mãn ν(f,Hjs ) (pl ) = δh với h ≥ i Chúng ta kí hiệu Ti tập tất siêu phẳng Khi đó, |Ti| = ti ≥ N − i + (chú ý Hjsj = Hj ′ s ′ với j = j ′ , chúng tính hai j phần tử phân biệt Ti, chúng thuộc vào hai siêu mặt phân 64 biệt Dj , Dj ′ ) Bằng cách lặp lại lý luận Bước 1, thu rank(Ti) ≤ n − i + Nếu |Ti| ≥ N +1, chọn N +1 siêu phẳng Hj0 s0 , · · · , HjN sN Ti Chúng ta có rank {Hj0 s0 , · · · , HjN sN } ≤ rank Ti ≤ n − i + ≤ n Do đó, N i=0 Hji si = ∅ Điều suy mâu thuẫn, họ Hj0 s0 , · · · , HjN sN vị trí N -tổng quát Pn (C) (do (3.5)) Nếu |Ti| ≤ N, chọn tập J0 chứa N − |Ti | + phần tử {1, 2, · · · , q} \ J Với j ∈ J0, ta chọn siêu phẳng Hjt với ≤ t ≤ lj Chúng ta kí hiệu A tập tất siêu phẳng Hjt Vì |Ti | ≥ N − i + nên rank (A ∪ Ti ) ≤ (N − |Ti| + 1) + (n − i + 1) ≤ (i − 1) + (n − i + 1) = n |A ∪ Ti | = N + Điều suy mâu thuẫn với lí Như vậy, bất đẳng thức (∗∗) chứng minh Chúng ta có, với x ∈ Xk x i δi = 1≤i≤n 1≤i≤k x i δi ≤ x i δk = 1≤i≤k 1≤i≤n xi δk ≤ mδk 65 Từ suy µjl = 1≤j≤q x∈X cx (x1δ1 + x2δ2 + · · · + xnδn ) = 1≤k≤n x∈Xk ≤ cx · (x1δ1 + x2δ2 + · · · + xn δn ) cx mδk 1≤k≤n x∈Xk cx − cx δn + ( = m( x∈Yn−1 x∈Yn x∈Yn cx )δn−1 + · · · + ( x∈Y1 cx − cx )δ1) x∈Y2 = m(tn δn + (tn−1 − tn )δn−1 + · · · + (t1 − t2)δ1 ) = m(tn (δn − δn−1) + · · · + t2 (δ2 − δ1 ) + t1δ1 ) Do (∗∗), nên ta có 1≤j≤q µjl ≤m((N − n + 1)(δn − δn−1) + · · · + (N − + 1)(δ2 − δ1 ) + (N − + 1)δ1) = m((N − n + 1)δn + δn−1 + · · · + δ1 ) ≤ m(N − n + 1)(δ1 + · · · + δn) = k(δ1 + · · · + δn ) Như khẳng định (3.4) chứng minh Theo (3.2), có d( µjl lj ) = 1≤j≤q 1≤j≤q 1≤l≤r = µjl 1≤l≤r 1≤j≤q ≤ 1≤l≤r ≤k k((δ1(pl ) + · · · + δn(pl ))) theo (3.4) ( (n + − h)νh−1(pl ) + n(n + 1)) 1≤l≤r 1≤h≤n 66 Do đó, suy d( 1≤j≤q lj ) ≤ k (n + − h)σh−1 + krn(n + 1) (3.6) 1≤h≤n Mặt khác, theo Bổ đề 3.1.1, ta suy (n + − h)σh−1 = 1≤h≤n = (n + − h)(2dh−1 − dh − dh−2) + 1≤h≤n (n + − h)(2g − 2) 1≤h≤n =(n + 1)d + n(n + 1)(g − 1) (3.7) Kết hợp ( 3.6) với ( 3.7), thu dq ≤ d( lj ) 1≤j≤q ≤ k(n + 1)d + kn(n + 1)(g − 1) + krn(n + 1) Như vậy, định lý chứng minh 3.2 Một mở rộng định lý Ru Xu cho trường hợp siêu mặt Phát biểu định lý chính: Định lý 3.2.1 Giả sử S diện Riemann compact có giống g f1 , f2 : S → Pn (C) hai đường cong đại số khác Giả sử D1 , D2, , Dq siêu mặt vị trí tổng quát Pn (C) thỏa mãn f1 (S) ⊂ Di f2(S) ⊂ Di với ≤ i ≤ q Giả sử n1 (n2 tương ứng) số chiều không gian tuyến tính nhỏ chứa ảnh f1 (S)(f2(S) 67 tương ứng) Giả thiết thêm siêu mặt Di xác định đa thức có giao chuẩn tắc bậc li với ≤ i ≤ q Đặt ki = m(n−ni +1), m = max(l1, l2, , lq ) Giả sử −1 −1 (i) f1 (Di ) = f2 (Di ) với ≤ i ≤ q, (ii) f1 = f2 q −1 i=1 f1 (Di ) Khi đó, q > q0, q0 = · max ki (ni + 1)2 + i=1,2 ki (ni + 1)4 + 8ni n(ni + 1)ki(g − 1) f1 = f2 Chứng minh Giả sử ngược lại, f1 = f2 Chúng ta chứng minh tồn i ∈ {1, 2} thỏa mãn q≤ ki (ni + 1)2 + 2 ki (ni + 1)4 + 8ni n(ni + 1)ki(g − 1) Thật vậy, đặt d1 = deg(f1) d2 = deg(f2) Không tính tổng qt, giả sử d1 ≤ d2 Lặp lại lập luận Định lý 3.1.5, với ≤ j ≤ q, thu Dj = lj s=1 Hjs , Hjs siêu phẳng Trong lân cận điểm P S, xét biểu diễn thu gọn f1 , f2 f1 = (f10, f11, , f1n) f2 = (f20, f21, , f2n) −1 Theo Bổ đề 3.1.4, tồn siêu phẳng Hc thỏa mãn f1 (Hjs ) ∩ −1 −1 −1 f1 (Hc ) = ∅ f2 (Hjs ) ∩ f2 (Hc ) = ∅ với ≤ j ≤ q, ≤ s ≤ lj Với ≤ j ≤ q , ≤ s ≤ lj , hàm (f1, Hjs ) (f2, Hjs) − (f1, Hc ) (f2, Hc) 68 không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn địa phương f1 f2 Do vậy, chúng xác định hàm hữu tỷ toàn cục S Khẳng định Tồn ≤ j0 ≤ q, ≤ s0 ≤ lj0 thỏa mãn (f1, Hj0 s0 ) (f2, Hj0 s0 ) − ≡0 (f1, Hc ) (f2, Hc) Thật vậy, giả sử ngược lại, ta có (f1, Hjs ) (f2, Hjs) − ≡0 (f1, Hc ) (f2, Hc) (3.8) với ≤ j ≤ q , ≤ s ≤ lj Với ≤ j ≤ n, chọn siêu phẳng Hjsj tương ứng Lặp lại lý luận chứng minh (3.5) Định lý 3.1.5, ta có họ {Hjsj }n vị trí tổng quát Pn (C) Vì vậy, j=1 cách thay đổi tọa độ (w0 : w1 : · · · : wn) Pn (C), giả sử Hc : w0 = Hjsj : wj = (1 ≤ j ≤ n) Khi đó, (3.8) trở thành f2j f1j = f10 f20 với ≤ j ≤ n Điều kéo theo f1 ≡ f2, suy mâu thuẫn Do Khẳng định q −1 j=1 f1 (Dj ), (f1 ,Hj0 s0 ) (f2 ,Hj0 ) − (f2 ,Hcs)0 Do (f1 ,Hc ) Do f1 = f2 M = không điểm |M| ≤ deg điểm x ∈ M (f1, Hj0 s0 ) (f2, Hj0 s0 ) − (f1, Hc ) (f2, Hc) Rõ ràng, deg (f1, Hj0 s0 ) (f2, Hj0 s0 ) − (f1, Hc ) (f2, Hc) ≤ 2d2 Do |M| ≤ 2d2 Áp dụng Định lý 3.1.5, thu (q − k2 (n2 + 1))d2 ≤ k2n2 (n2 + 1)(2g − + |M|) 69 Suy (q − k2(n2 + 1))d2 ≤ k2 n2(n2 + 1)(2g − + 2d2) tức là, k2 n2(n2 + 1)(g − 1) d2 q ≤ k2 (n2 + 1)2 + (3.9) Hơn nữa, họ {Dj } vị trí tổng quát Pn (C), nên phần tử M thuộc vào nhiều n siêu mặt họ {Dj } Bởi vậy, có q ≤ n · deg (f1, Hj0 s0 ) (f2, Hj0 s0 ) − (f1, Hc) (f2, Hc ) ≤ 2nd2 tức là, q ≤ 2nd2 Kết hợp với (3.9), thu q ≤ min{2nd2, k2(n2 + 1)2 + k2 n2(n2 + 1)(g − 1)} d2 Hàm đạt giá trị lớn 2nd2 = k2 (n2 + 1)2 + k2n2 (n2 + 1)(g − 1) d2 tức là, d2 = k2 (n2 + 1)2 + Khi đó, q ≤ 2 k2 (n2 + 1)4 + 8k2n2 n(n2 + 1)(g − 1) 4n k2 (n2 + 1)2 + k2 (n2 + 1)4 + 8n2n(n2 + 1)k2(g − 1) Suy q ≤ q0 Điều mâu thuẫn với giả thiết Do đó, Định lý 3.2.1 chứng minh KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Các kết luận án: • Chứng minh định lý cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với bội bị chặn tập đồng nhỏ • Chứng minh định lý vấn đề cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với mục tiêu di động không đếm bội (tức bội bị chặn 1) • Chứng minh định lý cho đường cong đại số từ diện Riemann compact vào Pn (C) với mục tiêu siêu mặt 70 71 Kiến nghị nghiên cứu Hướng nghiên cứu có câu hỏi mở sau đây: Trong định lý vấn đề [8], [17], [26],[27], [32], siêu phẳng {Hj } giả thiết vị trí tổng quát Phương pháp tiếp cận chứng minh định lý 3.2.1 (kết chương III) đưa ý tưởng để nghiên cứu vấn đề trường hợp nhiều biến phức với mục tiêu cố định Cụ thể, họ {Hj } chia thành nhóm {Hj }j∈J1 , · · · , {Hj }j∈Jt cho họ {D1 = j∈J1 Hj , · · · , Dt = j∈Jt Hj } vị trí tổng quát Với ý tưởng này, hy vọng thu kết thú vị Định lý chương III, 3.2.1 liệu thay C trường đóng đại số k với đặc số 0? Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp nên chưa trả lời câu hỏi Chúng hy vọng câu hỏi sớm giải Danh mục công trình cơng bố liên quan đến luận án [1] B K Trinh, S D Quang and T V Tan, (2008) A uniqueness theorem for meromorphic mappings with a small set of identity, Kodai Math J., 31, 404-413 [2] T V Tan and B K Trinh, (2008) A uniqueness theorem for meromorphic mappings without counting multiplicities, Analysis, Măchen., u 28, 383-399 [3] B K Trinh and V D Viet, An extension of the unicity theorem of Ru and Xu for hypersurfaces, gửi đăng tạp chí Ukrainian Mathematical Journal từ năm 2011 72 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] Z H Chen and M Ru, A uniqueness theorem for moving targets with truncated multiplicities, Houston Journal of Mathematics, 32 (2006), 589-601 [2] Z H Chen and Q M Yan, Uniqueness theorem of meromorphic mappings into PN C sharing 2N + hyperplanes regardless of multiplicities, Int J Math, 20 (2009), 717-726 [3] G Dethloff and T V Tan, Uniqueness problem for meromorphic mappings with truncated multiplicities and few targets, Annales de la Faculté des Sciences de Toulous, 15 (2006), 217-242 [4] G Dethloff and T V Tan, Uniqueness problem for meromorphic mappings with truncated multiplicities and moving targets, Nagoya Math J., 181 (2006), 75-101 [5] H Fujimoto, The uniqueness problem of meromorphic maps into the complex projective space, Nagoya Math J., 58(1975), 1-23 [6] H Fujimoto, A unicity theorem for meromorphic maps of complete Kăhler manifolds into (C)P n , Tôhoku Math J., 38(1986), 327-341 a 73 74 [7] H Fujimoto, Finiteness of some families of meromorphic maps, Kodai Math J., 11(1988), 47-63 [8] H Fujimoto, Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nayoya Math J 152(1998), 131-152 [9] H Fujimoto, Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, II, Nayoya Math J 155(1999), 161-188 [10] P Griffiths, J Harris, Principles of Algebraic Geometry, NewYork: Wiley, 1994 [11] P H Ha and S D Quang, Unicity theorems with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for few fixed targets, preprint (2012) [12] S Ji, Uniqueness problem without multiplicities in value distribution theory, Pacific J Math 135 (1988), 323-348 [13] K Niino, General second main theorem of holomorphic curves, Trans Amer Math Soc., 289 (1985), 99-113 [14] J Noguchi and T Ochiai, Introduction to geometric function theory in several complex variables, Trans Math Monogr 80, Amer Math Soc., Providence, Rhode Island, (1990) [15] S D Quang, Unicity of meromorphic mappings sharing few hyperplanes, Ann Pol Math, 102 No (2011), 255-270 [16] S D Quang, A finiteness theorem for meromorphic mappings sharing few hyperplanes, preprint (2012) 75 [17] M Ru, A uniqueness theorem with moving targets without counting multiplicity, Proc Amer Soc 129 (2001), 2701-2707 [18] M Ru and W Stoll, The Cartan conjecture for movings targets, Proc Symp Pure Math., 52 (1991), 99-138 [19] M Ru and W Stoll, The Second Main Theorem for moving targets, J Geom Anal (1991), 99-138 [20] M Ru and J T-Y Wang, Truncated Second Main Theorem with moving targets, Trans Amer Math Soc.,356 (2004), 557-571 [21] A Sauer, Uniqueness theorems for holomorphic functions on compact Riemann surface, New Zealand J Math,30 (2001), 177-181 [22] W Stoll,Value Distribution Theory of Meromorphic Maps, Aspects of Mathematics E (1985), Vieweg, Braunschweig [23] W Stoll, On the propagation of dependences, Pacific J Math 139 (1989), 311-337 [24] L Smiley, Geometric conditions for unicity of holomorphic curves, Contemp Math 25 (1983), 149-154 [25] N Steinmetz, A uniqueness theorem for three meromorphic functions, Annales Acad Sci Fenn.,13 (1988), 93-110 [26] D D Thai and S D Quang, Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Inter J Math., 16 (2005), 903-939 76 [27] D D Thai and S D Quang, Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables, Inter J Math., 17 (2006), 1223-1257 [28] T V Tan, A degeneracy theorem for meromorphic mappings with moving targets, Inter J Math., 18 (2007), 235-244 [29] T V Tan and B K Trinh, A note on the uniqueness problem of non-archimedean holomorphic curves, was accepted for publication in Periodica Mathematica Hungarica (2012) [30] D D Thai and T V Tan, Meromorphic functions sharing small functions as targets, Inter J Math 16 (2005), 333-351 [31] Z-H.Tu, Uniqueness problem of meromorphic mappings in serveral complex variables for moving targets, Tôhoku Math J 54 (2002), 567-579 [32] Y Xu and M Ru, Uniqueness theorem for algebraic curves on compact Riemann surfaces, Science in China series A: Mathematics 50(2007), 683-688 Tiếng Đức [33] R Nevanlinna, Einige Eideutigkeitssătze in der Theorie der meroa morphen Funktionen, Acta Math., 48 (1926), 367-391 Tiếng Pháp 77 [34] H Cartan, Sur la croissance des fonctions méromorphes d’une ou plusiers variables complexes, C R Acad Sci Paris, 188 (1929), 1374-1376 ... gian xạ ảnh phức Vì thế, vài định lý cho ánh xạ phân hình từ diện Riemann compact vào khơng gian xạ ảnh phức Pn (C) chứng minh số nhà toán học giới Năm 2001, A Sauer [21] chứng minh kết quả: Định. .. chứa nhiều hai ánh xạ j=1 • Trong chương cuối luận án, mở rộng định lý Ru Xu cho ánh xạ phân hình từ diện Riemann compact vào khơng gian xạ ảnh Pn (C) Cụ thể, chứng minh định lý sau: Định lý C Giả... 19 1.2 Định lý cho ánh xạ phân hình với bội bị chặn tập đồng nhỏ 24 VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRONG TRƯỜNG HỢP MỤC TIÊU DI ĐỘNG 35 2.1 Một số khái niệm kết