Đang tải... (xem toàn văn)
6 TRUONG DAI HQC PHU YEN MQT SÔ DÎNH L t ANH X ^ M O BA TRI VA ÛXG DyNG Phiing Xuân Le'''' Tôm tàt Trong bài bdo này, chûng tdi trinh bày m0t so két qud lien quan âên nguyen ly mh xg ma va ành xg ngugc c[.]
6 TRUONG DAI HQC PHU YEN MQT SƠ DỴNH L t ANH X ^ M O B A TRI V A Û X G D y N G Phiing Xuân Le' Tôm tàt Trong bdo này, chûng tdi trinh bày m0t so két qud lien quan âên nguyen ly mh xg ma va ành xg ngugc cùa ành xg âa tri Câc kêt quà dugc ûng dgng nghiên cùu tinh õiờu khiờn õuỗrc cỷa hỗ dieu khiờn hOu hgn chiêu Câc kit qud dd âugc âua Frankowska [2], nhiên hdu hit chûng minh van tât hogc khơng chûng minh Ơ ddy, chûng toi trinh bày vôi chûng minh ch^t chë va chi tiêt Tù khâa: Dinh If ành xg md dinh ly ành xg ngugc cap mgt, tinh âiêu khiên âugc, tinh tâi mi Giụi thiờu Mỗt nhỷng võn de trung tõm cựa giài tieh bien phân nghiên cùu tinh on dinh nghiêm cùa tỵip nghiêm cùa phuong h-inh y = G{x) hoõc y&G{x) tniụng hỗp tụng quõt G:X^2^ik nh xa da tri, y hoac cà G bi nhieu Mot eụng eu quan trỗng dộ nghiờn cựu võn de ny dinh ly ânh xa mô Quay lai nguyen ly ânh x^ mô cô dien noi tiêng cùa Banach (1930) gii tieh hõm nụi rang mỗt toõn tự tuyờn tinh lien tue, ton õnh tự mỗt khụng gian Banach X lên mot không gian Banach Y thi bien moi tõp mụ X thnh mỗt tõp mụ Y Nhu dâ biét, nguyen ly ânh xa mô Banach cho ânh XỴL tun tinh mot nguyen ly nen tàng Giâi tieh hàm Nguyen ly sau dô dà dugc tong quât cho nhûng ânh xa phi tuyén bôi Lyusternlk va Graves Nhûng nâm gàn dây, vôi sir phât trién cùa Giâi tieh Da tri va Giài tieh Bien phân, nhâm mue dich ûng dung vào nhûng toân bien phân xuât hiên thuc tien, nhiêu dang dinh ly ânh xa ma cho ânh xa da tri mot so Icrp không gian khâc dâ dugc xem xét bôi nhièu tâc già, va dat dugc nhiêu img dung quan trong nhiốu lợnh vue toõn hỗc, châng han nhu Ly thuyét Toi mi va Ly thuyét Dieu khiên Câc khâi niêm va dinh ly Câc khâi niêm lien quan dên phân ma không nhàc dên bâo, chûng ta cô thê xem [I], [2] Dinh nghỵa 2.1 Cho X, Y hai tâp hgp bât ky Ânh xa G:X ^2^ cho tuong ùng moi XG Jf, G(.r)làmôttâphgpconcùa F dugc goi ânh xa da tri tû Xvào Y Dinh nghỵa 2.2 Do thi cùa G (Graph{G)) dugc xâc djnh bôi Graph(G) : = {(x,y)€:XxY:y&G(x)} Mien hûu hiêu cùaG(tfom(G))dugc xâc dinh bôi dom(G):={xGX:G{x)^Q:>} ThS, Tmng Dai hỗc Phự Yen T^PCHẻ KHOA HQC SƠ 14 * 2017 Mien ânh cùa G(ra«ge(G)) dugc xâc dinh bôi range{G) := {>- e r : 3x e X cho y e G{x)] Djnh nghỵa 2.3 Ânh xa ngugc G"' : F -> 2^ cùa ânh xa da tri G : X -> 2^ dugc xâc djnh bơi ng thûc G"'{y):={x^X:y&G(J:)},vơi Dinh nghỵa 2.4 Vơi xsX, yeY /i>Otakihiờu Bh (x) binh eau mụ tõm x, bân kinh h; B^ {x) hinh càu dông tâm x, bân kinh h Dinh nghỵa 2.5 a) Cho X mỗt khụng gian meb-ic vụi metric d Ta dinh nghợa không câch tù mgt diém xeA'déntỵip A(^X iksod(x, A)^V!\ỵd(x,y) b) Ta ggi khồng êeh Hausdorff giûa hai tâp A, B X so df^(A, S):=/waxjsuprf(x, ^ ) ; suprf(x, B)\ Dinh ly 2.1 (Nguyen ly bien phân Ekeland) Giâsû(X, rf)làkhônggianmetrie dày dû vàhàm ^ : X ^ E U { - I - Q O } làhàmnûa liêntuc duôi va bi ehân duôi X Giâ su x e dorrup thơa mân g){x) < \nf Khi dụ, vụi A > l mỗt so thuc cho tnrôc,thi ton t^i je e X eho i) ^(x)v (X,)) Dinh ly sau dày cho moi lien giỵỵa nguyen 1;;^ ânh xa mơ dèu va tinh chinh quy cùa ânh x? ngirgc G"' Djnh ly 2.2 Già su X không gian metric dày dû va Y không gian metric Xét ânh X£t datriG:Jf->2 côdôthidông va ;^(, eG(X(,) Nêu ton tai k>0, s>0, p>0, < ^ < cho vụi [x, y)eGraph[G)r\B^{xg)xB^[yf,) va vôi moi /iG[0,£-],thôa sup d{b,G(B,{x)))'|)eGrap/ỵ(G)rifỵ max-< (^x^^xB^ (_yo),vơi m o i / Ï > t h ô a 7-, Iph'' ^< —vôi moi v, G , (y,),tacơ d{x,.G-'{y,)).„j;j)'2, /l nhu l0, p>0, M >0, cho TRirÔNG DAI HOC PHÙ YEN pBŒ fl cô(G'-J'| không gian metric dày du K vôi metric d((x, y),{x\ y'))=d(x, x') + — l l y - y | | , t a t i m duoc (x, M*' y)sB^{')x^0/,(^)- sao'cho | ] j ' - J ' | l s | w - ; | | + - ^ rf(M, x) + — f w - ; » ! , vôi moi (M,w) e AT + /t \^ Aï / (2.6) Do cõch chỗn y, ta cụ y^ y Do tinh khõ vi cùa chuân Y, ton tai p e Y", Ipj^ = cho vụi h^ ~> 0"^, v^ -> v, ta • \y+^^,-y\Hy-yHp.^^)+o.(h^) p (2-7) ' \ JI _ h^ y + h^Vj eG(fi,, (x)) Tù(2.6)và (2.7),tacụ o.(p,v).5^(v^MK||)-.(*.) Cho h^ ->1 va lõy giụi hỗn ta dugc {p,v)>-^11+||v|| Do dụ, vụi V S C Ô ( G ' ' ' ( X , yjriAffl), tacô (p, v)>-p& Vi (x,y)sB^(x,)>^B^(y„) {p.-pp)=-pi-&p minh xong va P B < = C O ( G ' ' ' ( X , >')nAffl), t a c ô -ppspB '^'^ suy Dieu này, màu thuân vôi O < < l V â y djnh 1^ duoc chùng TAP CHI KHOA HOC SÔ 14 * 2017 Ung dung téi vm va dieu khiên Trong phan này, già su U không gian metric tâch dugc, E không gian Banach va hàm fiExU^^E lien tue, khà vi Chùng ta cân nhûng già thiét sau: a) f Lipschitz dia phuong U, néu vôi moi x^E, ton tỵii L > va £: > 0, cho vôi B^{x), moi ueU,f(., x', X'-ŒB^(X}, u) i-Lipschitz \\f{x', u)~f{x", b) Vôi moi M G C/ dao hàm —f., t^p f[x tùc vôi moi u)\\ « Tû giâ thiét (a), (c) va tinh lien tue cùa / , ta cô I ]im\ d„{côV^(t), cdV^^(t))dt = Q.Wà\ d„ khoàng câch Hausdorff Vi vé phài cùa (3.6) loi, 0