Một số định lý ánh xạ mở đa trị và ứng dụng

Bài viết trình bày một số kết quả liên quan đến nguyên lý ánh xạ mở và ánh xạ ngược của ánh xạ đa trị. Các kết quả được ứng dụng nghiên cứu tính điều khiển được của hệ điều khiển hữu hạn chiều.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ MỞ ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG Phùng Xuân Lễ* Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi trình bày số kết liên quan đến nguyên lý ánh xạ mở ánh xạ ngược ánh xạ đa trị Các kết ứng dụng nghiên cứu tính điều khiển hệ điều khiển hữu hạn chiều Các kết đưa Frankowska [2], nhiên hầu hết chứng minh vắn tắt khơng chứng minh Ở đây, chúng tơi trình bày với chứng minh chặt chẽ chi tiết Từ khóa: Định lý ánh xạ mở, định lý ánh xạ ngược cấp một, tính điều khiển được, tính tối ưu Giới thiệu Một vấn đề trung tâm giải tích biến phân nghiên cứu tính ổn định nghiệm tập nghiệm phương trình y  G  x  y  G  x  trường hợp tổng quát G : X  2Y ánh xạ đa trị, y G bị nhiễu Một công cụ quan trọng để nghiên cứu vấn đề định lý ánh xạ mở Quay lại nguyên lý ánh xạ mở cổ điển tiếng Banach (1930) giải tích hàm nói tốn tử tuyến tính liên tục, tồn ánh từ không gian Banach X lên không gian Banach Y biến tập mở X thành tập mở Y Như biết, nguyên lý ánh xạ mở Banach cho ánh xạ tuyến tính nguyên lý tảng Giải tích hàm Nguyên lý sau tổng quát cho ánh xạ phi tuyến Lyusternik Graves… Những năm gần đây, với phát triển Giải tích Đa trị Giải tích Biến phân, nhằm mục đích ứng dụng vào toán biến phân xuất thực tiễn, nhiều dạng định lý ánh xạ mở cho ánh xạ đa trị số lớp không gian khác xem xét nhiều tác giả, đạt nhiều ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực toán học, chẳng hạn Lý thuyết Tối ưu Lý thuyết Điều khiển Các khái niệm định lý Các khái niệm liên quan đến phần mà không nhắc đến báo, xem [1], [2] Định nghĩa 2.1 Cho X , Y hai tập hợp Ánh xạ G : X  2Y cho tương ứng x  X , G  x  tập hợp Y gọi ánh xạ đa trị từ X vào Y Định nghĩa 2.2 Đồ thị G ( Graph  G  ) xác định Graph  G  :   x, y   X  Y : y  G  x  Miền hữu hiệu G  dom  G   xác định dom  G  : x  X : G  x    * ThS, Trường Đại học Phú Yên TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 14 * 2017 Miền ảnh G  range  G   xác định range  G  :  y Y : x  X cho y  G  x  Định nghĩa 2.3 Ánh xạ ngược G 1 : Y  X ánh xạ đa trị G : X  2Y xác định công thức G1  y  : x  X : y  G  x , với y  Y Định nghĩa 2.4 Với x  X , h  ta kí hiệu o Bh  x  hình cầu mở tâm x, bán kính h; Bh  x  hình cầu đóng tâm x, bán kính h Định nghĩa 2.5 a) Cho X không gian metric với metric d Ta định nghĩa khoảng cách từ điểm x  X đến tập A  X số d  x, A : inf d  x, y  yA b) Ta gọi khoảng cách Hausdorff hai tập A, B X số   d H  A, B  : max sup d  x, A ; sup d  x, B  xB xA Định lý 2.1 ( Nguyên lý biến phân Ekeland) Giả sử  X , d  không gian metric đầy đủ hàm  : X    hàm nửa liên tục bị chặn X Giả sử x  dom thỏa mãn   x   inf   x    , với   xX Khi đó, với   số thực cho trước, tồn xˆ  X cho i)   xˆ     x  ; ii) d  xˆ, x   ; iii) Với x  X \  xˆ ,   xˆ     x    d  x, xˆ   Định nghĩa 2.6 (Giới hạn theo Painlevé –Kuratowski) Cho T không gian metric, { A } T họ tập hợp phụ thuộc vào tham số   T , A  Y với  , Y không gian định chuẩn Giới hạn giới hạn theo Painlevé –Kuratowski họ { A } T    xác định   limsup A  v  Y : liminf d  v, A   ,       liminf A  v  Y : lim d  v, A       Định nghĩa 2.7 Cho G : X  2Y ánh xạ đa trị từ X vào Y , X không gian metric Y không gian Banach Giả sử  x, y   Graph  G  , k>0 TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN i) Biến phân tiếp xúc G  x, y  tập đóng Y xác định G 1  x, y  : limsup G  Bh  x    h h h  0 ii) Biến phân cấp k G  x, y  tập đóng Y xác định G  Bh  x    y G k  x, y  : liminf  x, yG  x , y  hk h 0 Nhận xét 2.1 i) Với G kí hiệu hội tụ Graph  G  ; ii) v  G 1  x, y   tồn hi  0 , vi  v dãy cho  y  hi vi  G Bhi  x  ; Tương tự, v  G k  x, y  hi  0 ,  xi , yi  G  x, y  , tồn dãy vi  v   cho yi  hik vi  G Bhi  xi  Định lý sau cho mối liên hệ nguyên lý ánh xạ mở tính quy ánh xạ ngược G 1 Định lý 2.2 Giả sử X không gian metric đầy đủ Y không gian metric Xét ánh xạ đa trị G : X  2Y có đồ thị đóng y0  G  x0  Nếu tồn k  0,   0,   0,    cho với mọi h0 thỏa  x, y   Graph G   B  x0   B  y0  với h  0,   , thỏa sup d  b, G  Bh  x      hk , bB  hk Thì với  y  x1 , y1   Graph  G   B  x0   B  y0  , với   h   max  ,  hk   với y2  B hk  y1  , ta có k 1    d  x1 , G 1  y2    tương đương với  x1 , y1   Graph  G   B  k     thỏa d  y1 , y2    ,      k 2 4  1  h k  x0   B  y0  với   , ta có k d  x1 , G 1  y2    1  k  d  y1, y2  k k y2  Y TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 14 * 2017 h Chứng minh Cố định     cho Thì với 1  k   x, y   Graph G   B  x0   B  y0  với h   0,   , ta có sup d  b, G  Bh  x      h k bB  hk (2.1)  y Giả sử x1 , y1 , y2 , h kết luận định lý Xét trường hợp h  Ta tìm  x2  G1  y1  thỏa d  x1 , x2   h /   k  Ta xây dựng giới hạn dãy sau Đặt u0  x1 Từ (2.1), tồn  u1 , v1   Graph  G  cho d  u0 , u1   d  x1 , u1   h, d  v1 , y2    hk ui , vi   Graph G  với i  1, , n d  ui 1 , ui    i 1/ k h, Giả sử xây dựng   cho (2.2) k d  vi , y2    i hk    k h i (2.3) Thì i i 1 j 1 j 0 d  x1 , ui    d  u j 1 , u j   h j / k  h   1/ k  2.4 d  x0 , ui   d  x0 , x1   d  x1 , ui     h   1/ k d  y0 , vi   d  y0 , y1   d  y1 , y2   d  y2 , vi     ,   h k   i h k   Do đó, từ (2.1) (2.3) áp dụng cho  un ,  , tồn  un1 , vn1   Graph(G) cho d  un , un1    n / k h, d  vn1 , y2    n1hk Từ (2.2), suy ui  dãy Cauchy từ (2.3) suy lim vi  y2 Giả sử x2 giới i  hạn ui  Vì Graph(G ) đóng,  x2 , y2   Graph  G  x2  G 1  y2  Hơn nữa, từ (2.4), ta có d  x1 , x2   h   1/ k d  x1 , G 1  y2    1   1/ k h Vì     , 1 chọn tùy ý Vậy định lý chứng minh Định lý định lý hàm ngược đa trị dựa vào biến phân cấp Định lý 2.3 Giả sử X không gian metric đầy đủ Y không gian Banach Xét ánh xạ đa trị G : X  2Y có đồ thị đóng Giả sử chuẩn Y khả vi Gâteaux điểm TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN 10 khác xét y0  G  x0  Nếu tồn   0,   0, M  0, cho B   x , y Graph G   x , y B  x0  B  y0  với  x1, y1   Graph  G    co G 1  x, y  MB , (2.5) B  x0   B  y0  , y2  Y thỏa     y2  y1   ,  , ta có d x1 , G 1  y2   y y  8    Chứng minh Từ định lý 2.2, ta cần chứng minh   0,  x, y   Graph  G  B  x0   B  y0  , , h ,  t; z    x; y  giả sử tồn y  z  Đặt    với 2   1  B 0h   G  Bh  x    y h , 0h  với định Cố h B, y  G  Bh  x   1  z  y 1    K : Graph G  Bh t   Y Áp dụng nguyên lý h biến phân Ekeland cho hàm liên tục  x, y   y  y không gian metric đầy đủ K với  d   x, y  ,  x, y    d  x, x   metric  x, y   Bh t   Bh  z  , y y  w y  M y  y , ta tìm cho    w y  d  u, x   1   M   , với  u,w   K  (2.6) Do cách chọn y , ta có y  y Do tính khả vi chuẩn Y , tồn p  Y  , p Y   cho với h j  0 , v j  v, ta có y  h j v j  y  y  y  p, h j v  ov  h j  Với lim inf ov  h j  j  hj  (2.7)  Cố định v  G 1  x, y  cho h j  0 , v j  v, cho  y  h j v j  G Bh j  x  Từ (2.6) (2.7), ta có  p, h j v      h j v j   ov  h j   hj  1   M  Cho h j  lấy giới hạn ta p, v    Do đó, với v  co G    x , y       v  1  1   M  MB , ta có p, v     Vì  x, y   B  x0   B  y0   B  co G    x, y   MB , ta có   p   B suy (2.8) 11 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 14 * 2017 p,  p     Điều này, mâu thuẫn với    Vậy định lý chứng xong Ứng dụng tối ưu điều khiển Trong phần này, giả sử U không gian metric tách được, E không gian Banach hàm f : E  U  E liên tục, khả vi Chúng ta cần giả thiết sau: a  f Lipschitz địa phương U , với x  E , tồn L    0, cho với u U , f  , u  x, x  B  x  , f  x, u   f  x, u   L x  x b  Với u U đạo hàm L -Lipschitz B  x  , tức với f  , u  liên tục x c  Với x  E tập f  x , U  bị chặn Với T  0, hàm đo (Lebesgue) u : 0, T   U gọi điều kiển chấp nhận Kí hiệu tập T T tập tất điều khiển chấp nhận 0, T  Định nghĩa metric   dT  u, v    t  0, T  u  t   v t  , với  độ đo Lebesgue Không gian E n  T , dT  không gian đầy đủ Cho , x0  E f , U   x  f  x, u  t   , u  Xét hệ điều khiển hữu hạn chiều:    x    x0 T , T 0 (3.1) Một hàm liên tục tuyệt đối x  W1,1  0, T  (không gian Sobolev) gọi quỹ đạo hệ điều khiển (3.1) x    x0 tồn u  T cho x  t   f  x  t  , u  t   Với T  0, tập tiếp cận hệ (3.1) thời điểm T xác định  R T   x T  x  W1,1  0, T  quỹ đạo (3.1) Giả sử z  W1,1  0, T  quỹ đạo u  T điều khiển tương ứng Ta xem xét điều kiện đủ để có z T   IntR T  Xét hệ điều khiển tuyến tính hóa f   w t     z t  , u t  w t   y t   x   y  t   cof  z  t  , U   f  z  t  , u  t    w     (3.2) TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN 12 định nghĩa tương ứng tập tiếp cận xác định  R L T   w T  w  W1,1  0, T  quỹ đạo (3.2) với s  0, T  , kí hiệu Su  ; s  ma trận nghiệm hệ f    Z  t    z  t  , u  t   Z  t  ; t   s, T  x  Z  s   I  với I ma trận đơn vị Thì T  R L T    Su T ; s  y  s  ds y  s   cof  z  s  , U   f  z  s  , u  s   0  Với u  T , ta kí hiệu xu nghiệm (3.1) tương ứng điều khiển u Định lý sau cho điều kiện đủ để có z T   IntR T  Định lý 3.1 Giả sử  IntR L T  (3.3) Thì z T   IntR T  tồn   0, L  cho điều khiển u  T thỏa dT  u, u    với b  B  z T   , ta tìm điều khiển uˆ  T với   xuˆ T   b,  t  0, T  uˆ  t   u t   L b  xu T  Đặc biệt, với b  B  z T   , tồn điều khiển u   T cho  xu  t   b,  t  0, T  u  t   u  t   L b  z T  t , ta giả sử T  Đặt Từ bất đẳng thức T Gronwall với   0, ánh xạ   u   xu : B  u   C  0, ; E  ánh xạ đơn trị Chứng minh Thay t Lipschitz liên tục Với u  B  u  s  0, 1, kí hiệu Su .; s  ma trận nghiệm hệ tuyến tính  f    Z  t    xu  t  , u  t   Z  t  , t   s, 1 , x  Z  s   I  Cố định u  B u , v U cho  t0  cho xu  t0   f  xu  t0  , u  t0   với h  đủ nhỏ, xét điều khiển  v, t h t t0 uh  t     u t , ngồi kí hiệu xh nghiệm (3.1) tương ứng uh Hệ (3.4) nhiễu nhỏ u (3.4) 13 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 14 * 2017 xh 1  xu 1 (3.5)  Su 1 ; t0  f  xu  t0  , v   f  xu  t0  , u  t0   h0 h Xét tập Vu  t   f  xu  t  , U   f  xu t  , u t   định nghĩa ánh xạ Lipschitz liên tục  lim   G : B u  E xác định G  u     u 1  xu 1  Từ (3.5), cố định u  B u , với t0  0, 1 v Vu  t0  , Su 1; t0  v  G1  u, xu 1  Giả sử M số Lipschitz G Do đó, G   u, xu 1   MB ta chứng minh với t0  0, 1 với   y  coVu  t0  ; Su 1 ; t0  y  co G 1  u, xu 1  MB Từ y  t   coVu  t0  , ta có   S 1 ; t  y  t  dt  co  G  u, x 1  1 u u  (3.6) MB Từ (3.3), tồn   0, cho (3.7) 1   B   Su 1 ; t  y  t  dt y  t   coVu  t  0  Từ bất đẳng thức Gronwall giả thiết (a), (b), ta có Su 1;  hội tụ đến Su 1;  u  u Từ giả thiết (a), (c) tính liên tục f , ta có lim  d H  coVu  t  , coVu  t   dt  Với d H khoảng cách Hausdorff u u Vì vế phải (3.6) lồi,     với u  B  u  , ta có 1  B   Su 1 ; t  y  t  dt y  t   coVu  t   co G 1 u, xu 1  MB 0     (3.8) Từ định lý 2.3 (3.6), (3.8), ta có kết luận định lý Vậy định lý chứng minh Kết luận Về mặt lý thuyết: Chúng chứng minh chặt chẽ chi tiết định lý 2.2 định lý 2.3 Định lý 2.2 cho mối liên hệ nguyên lý ánh xạ mở tính quy ánh xạ ngược G 1 Định lý 2.3 định lý hàm ngược đa trị dựa vào biến phân cấp Về mặt ứng dụng: Chúng sử dụng định lý 2.2 định lý 2.3 để chứng minh định lý 3.1 Ý nghĩa định lý 3.1 cho kết quả, điều kiện đủ để hệ điều khiển hữu hạn chiều (3.1) điều khiển thời điểm T hệ điều khiển tuyến tính hóa (3.2) điều khiển  TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN 14 [1] [2] [3] [4] [5] TÀI LIỆU THAM KHẢO Aubin J.-P., Frankowska H.,(1990) Set-valued Analysis, Birkhăauser, Boston, Basel, Berlin (seconde ´edition en pr´eparation) Frankowska H., Some inverse mapping theorems, Ann Inst Henri Poincaré, Analyse Non Linéaire, 7, 183-234, (1990) Frankowska H., (1987) An open mapping principle for set-valued maps, J of Math Analysis and Appl., 127, 172-180 Graves L M., Some mapping theorems, Duke Math J., 17, 111-114, (1950) Ngai H.V., Tron N H Thera M., Implicit multifunction theorems in metric spaces, Mathematical programming, 139 (1-2), 301-326 (2013) Abstract Some open mapping theorems for set-valued maps and application In this paper we present some results concerning with the open mapping theorem and the inverse mapping theorem for set-valued mapping These results are applied to study the controllability for finite dimensional control system They are given by Frankowska in [2], however most of them did not be proved in full detail In here we present with the detail in proof Keywords: Open mapping theorem, first order inverse mapping theorem, controllability, optimality  ... nguyên lý ánh xạ mở tính quy ánh xạ ngược G 1 Định lý 2.3 định lý hàm ngược đa trị dựa vào biến phân cấp Về mặt ứng dụng: Chúng sử dụng định lý 2.2 định lý 2.3 để chứng minh định lý 3.1 Ý nghĩa định. .. 1 chọn tùy ý Vậy định lý chứng minh Định lý định lý hàm ngược đa trị dựa vào biến phân cấp Định lý 2.3 Giả sử X không gian metric đầy đủ Y không gian Banach Xét ánh xạ đa trị G : X  2Y có đồ...    (3.8) Từ định lý 2.3 (3.6), (3.8), ta có kết luận định lý Vậy định lý chứng minh Kết luận Về mặt lý thuyết: Chúng chứng minh chặt chẽ chi tiết định lý 2.2 định lý 2.3 Định lý 2.2 cho mối