Một số định lý cơ bản về chuỗi fourier và ứng dụng

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trần Thị Hương MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trần Thị Hương MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Anh Tú Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực khóa luận tốt nghiệp em nhận giúp đỡ, quan tâm thầy cô giáo bạn sinh viên.Em xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2, thầy cô tận tình dạy dỗ em năm vừa qua tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Anh Tú người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình cho em suốt trình thực khóa luận tốt nghệp Do hạn chế thời gian nên đề tài em không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ góp ý quý thầy cô bạn để đề tài em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 Sinh viên Trần Thị Hương Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan kết nghiên khóa luận hoàn toàn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Khóa luận tốt nghiệp công trình nghiên cứu em hướng dẫn TS Nguyễn Anh Tú Trong trình nghiên cứu thực đề tài em có tham khảo số tài liệu (đã nêu phần tài liệu tham khảo) Hà Nội, tháng năm 2016 Sinh viên Trần Thị Hương Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian topo 1.2 Không gian đo 1.3 Một số không gian hàm 1.4 1.5 1.3.1 Không gian Lp 1.3.2 Không gian lp 1.3.3 Không gian C α Một số khái niệm hôi tụ 1.4.1 Hội tụ hầu khắp nơi 1.4.2 Hội tụ theo độ đo 1.4.3 Hội tụ không gian Lp Tích chập 10 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ CHUỖI FOURIER 11 2.1 Tổng Dirichlet i Footer Page of 161 11 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương 2.2 Hội tụ điểm 15 2.3 Tổng Fejer 21 2.4 Dãy xấp xỉ đơn vị 23 Ứng dụng chuỗi Fourier 27 3.1 Ứng dụng chuỗi Fourier việc tính số chuỗi 27 3.2 Ứng dụng chuỗi Fourier để giải toán vật lý 30 3.2.1 Phương trình truyền nhiệt 30 3.2.2 Phương trình sóng 31 3.3 3.4 Ứng dụng chuỗi Fourier chứng minh định lý Weyl 32 Ứng dụng chuỗi Fourier toán đẳng chu 35 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 37 ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong toán học giải tích chiếm vị trí quan trọng Các kết giải tích không áp dụng lĩnh vực toán học mà áp dụng nhiều ngành khoa học khác như: vật lý, hóa học, thiên văn học Trong giải tích kết chuỗi Fourier ý nghĩa mặt lý thuyết mà có nhiều ứng dụng Trong thực tế có nhiều tượng có tính chất quay vòng, chu kì Các hàm số có tính chất toán học gọi hàm số tuần hoàn Một hàm số tuần hoàn đơn giản hàm lượng giác sin 2nπx cos 2nπx Trong công trình mang tính cách mạng năm 1822, Fourier đưa ý tưởng táo bạo hàm tuần hoàn chu kỳ biểu diễn dạng tổng hàm lượng giác sin 2nπx cos 2nπx, n ∈ N Mặc dù sau hàm số tính chất xây dựng, công trình Fourier tảng cho giải tích Fourier Đến nay, giải tích Fourier trở thành công cụ thiếu nhiều ngành toán học Để bước đầu tìm hiểu lý thuyết chuỗi Fourier ứng dụng nó, em chọn đề tài Một số định lý chuỗi Fourier ứng dụng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương - Trình bày số định lý chuỗi Fourier - Ứng dụng chuỗi Fourier Phạm vi nghiên cứu - Một số định lý chuỗi Fourier ứng dụng - Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu - Một số định lý chuỗi Fourier - Ứng dụng chuỗi Fourier Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận tài liệu tham khảo - Phân tích tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Những đóng góp khóa luận Khóa luận trình bày số định lý chuỗi Fourier ứng dụng toán học giải toán vật lý Cấu trúc khóa luận Luận văn gồm ba chương Chương trình bày khái niệm giải tích phục vụ cho việc phát biểu kết chương sau Chương đề cập số định lý chuỗi Fourier Chương đưa số ứng dụng minh họa cho định lý Chương Em chân thành cảm ơn TS Nguyễn Anh Tú tận tình hướng dẫn việc tìm tài liệu tập dượt nghiên cứu Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương Em chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả khóa luận Trần Thị Hương Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian topo Định nghĩa 1.1 Không gian topo cặp (X, τ ) X tập hợp τ họ tập tập hợp X, thỏa mãn điều kiện sau: • ∅ ∈ τ, X ∈ τ • Nếu A1 , A2 ∈ τ A1 ∩ A2 ∈ τ • Nếu {Ai }i∈I ⊂ τ i∈I Ai ∈ τ Tập hợp X gọi không gian, phần tử X gọi điểm không gian X Họ τ gọi topo X 1.2 Không gian đo Định nghĩa 1.2 Một họ M tập tập X gọi đại số tập tập X • X ∈ M Footer Page 10 of 161 Header Page 30 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương Ta có |φN ∗ f (x) − f (x)| ≤ |(f (x − y) − f (x))φN (y)| dy |y|≥δ |(f (x − y) − f (x))φN (y)| dy + |y|≤δ ≤ f |φN (y)| dy + ε sup φN ∞ N |y|≥δ Suy với N đủ lớn, ta có φN ∗ f − f ∞ < 2ε supN φN 1 Vì ε bé tùy ý, ta có điều phải chứng minh Giả sử f ∈ Lp (T) Khi với ε > tồn g ∈ C(T) cho f −g p < ε Khi φN ∗ f − f p ≤ φN ∗ (f − g) p + f −g p + φN ∗ g − g ≤ (1 + sup φN )ε + φN ∗ g − g N p p Ở bất đẳng thưc cuối ta sử dụng định lý Young Vì g ∈ C(T), theo mục trước φN ∗ g − g φN ∗ g − g p ∞ → N → ∞, kéo theo → N → ∞ Vậy lim sup φN ∗ f − f N →∞ p Vì ε bé tùy ý, ta có φN ∗ f − f ≤ (1 + sup φN )ε N p → N → ∞ Áp dụng định lý cho trường hợp đặc biệt nhân Fejer, ta có kết quan trọng sau Định lý 2.6 Footer Page 30 of 161 Tập hợp đa thức lượng giác trù mật 24 Header Page 31 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương C(T) Lp (T), ≤ p < ∞ Dãy e2πinx n∈Z sở trực chuẩn L2 (T) ∀f ∈ L2 (T) ta có f 2 = n∈Z |f (n)|2 ∀f, g ∈ L2 (T) ta có đẳng thức Parseval f (x)g(x)dx = T Chứng minh f (n)g(n) n∈Z Do {KN }∞ N =1 xấp xỉ đơn vị, ta có điều phải chứng minh σN f = KN ∗ f đa thức lượng giác Nhưng điều hiển nhiên N −1 σN f (x) = N Dễ dàng kiểm tra e2πinx n f (k)e2πikx n=0 k=−n n∈Z hệ trực chuẩn Ta lại có đa thức lượng giác trù mật L2 (T) nên tập e2πinx n∈Z sở trực chuẩn L2 Ta có f (n) = −2πinx dx T f (x)e = f, e2πinx Theo bất đẳng thức Bessel ta có f (n) ≤ f 2 n∈Z Mà e2πinx n∈Z sở trực chuẩn L2 nên f (n) = f n∈Z Footer Page 31 of 161 25 2 Header Page 32 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương Ta có f (x)g(x)dx = f (x), g(x) L2 T = = n f (x), e2πinx e2πinx , g(x) n f (n)g(n) Mệnh đề 2.6 Nếu f ∈ L1 (T) f (n) = với n ∈ Z f = Chứng minh Vì f (n) = nên dễ thấy σN f = Mà σN f = KN ∗ f dãy sấp xỉ đơn vị theo định lý 2.5 ta có KN f − f → N → ∞ với ∀f ∈ L1 (T) ⇒ f (x) = với ∀x ∈ T Footer Page 32 of 161 26 Header Page 33 of 161 Chương Ứng dụng chuỗi Fourier 3.1 Ứng dụng chuỗi Fourier việc tính số chuỗi Trong phần ta áp dụng kết Chương để tính số chuỗi thú vị Ví dụ 3.1 Từ chuỗi Fourier hàm f (x) = x, tính ∞ n=1 n2 Hiển nhiên f (0) = Với n = 1/2 f (n) = xe−2nπix −2nπix xe dx = −2nπi −1/2 = − Footer Page 33 of 161 e−nπi − e−2nπix 2nπi (2nπi) 27 −1 2 −1 = + 2nπi (−1)n+1 2nπi −1 e−2nπix dx Header Page 34 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương Do chuỗi Fourier hàm f (x) n=0 Ta có f L2 (−1)n+1 2nπix e 2nπi 2 x3 = x dx = − 21 = −1 f l2 = n=0 1 = 4n2 π 2π ∞ n=1 12 n2 Áp dụng định lý Parseval ta suy ∞ n=1 π2 = n2 Ví dụ 3.2 Từ chuỗi Fourier f (x) = sign(x), tính 1− 1 + − + ··· Hiển nhiên f (0) = Nếu n = −e−2nπix dx + f (n) = −1 e−2nπix dx e−2nπix = 2nπi − 21 e−2nπix − 2nπi + (−1)n+1 = nπi Do chuỗi Fourier hàm f (x) = sign(x) n=0 Footer Page 34 of 161 (3.1) + (−1)n+1 2nπix e nπi 28 (3.2) Header Page 35 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương Vì f hàm khả vi khúc liên tục 14 , chuỗi Fourier f hội tụ đến f ( 14 ) theo Định lý 2.3 Từ ta có 1− 1 π + − + = Ví dụ 3.3 Từ chuỗi Fourier f (x) = e2πx + e−2πx , tính ∞ n=0 n2 +1 Hệ số Fourier hàm f (x) = e2πx + e−2πx f (n) = −2πinx f (x)e dx = − 12 = (e2πx + e−2πx )e−2πinx dx − 12 (e2πx(1−ni) + e−2πx(1+ni) )dx − 12 e2πx(1−ni) = 2π(1 − ni) − 12 e−2πx(1+ni) − 2π(1 + ni) = − 12 (−1)n (eπ − e−π ) π(n2 + 1) Vậy chuỗi Fourier hàm f ∞ (−1)n (eπ − e−π ) 2πinx e + 1) π(n n=−∞ Do hàm f khả vi khúc liên tục x = 12 , theo Định lý 2.3, chuỗi Fourier f ∞ n=0 Footer Page 35 of 161 hội tụ f ( 12 ) Từ ta có: π(eπ + e−π ) = + n2 + 2(eπ − e−π ) 29 Header Page 36 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2 Trần Thị Hương Ứng dụng chuỗi Fourier để giải toán vật lý 3.2.1 Phương trình truyền nhiệt Xét đồng chất có chiều dài L mặt bên cách nhiệt hai đầu giữ với nhiệt độ không đổi 0, nguồn nhiệt Biết nhiệt độ ban đầu u0 (x), x ∈ [0, L], ta muốn tìm nhiệt độ u(x, t) thời điểm t, x ∈ [0, L] Phương trình vật lý mô tả thay đổi nhiệt độ ut (x, t) − αuxx (x, t) = 0, α số phân tán nhiệt Trong trường hợp ta, điều kiện biên ∀t u(0, t) = u(L, t) = Bài toán giải phương pháp tách biến Ta nhận xét điều kiện ban đầu có dạng: u0 (x) = sin kπx L nghiệm toán u(x, t) = e−αk 2 π t/L2 sin kπx L Trong trường hợp tổng quát, ta dùng chuỗi Fourier: ∞ u0 (x) = ak sin k=1 kπx , L ak = L Footer Page 36 of 161 L u0 sin 30 kπx dx L Header Page 37 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương hệ số Fourier hàm u0 Theo nguyên lý chồng chất nghiệm ta có công thức: ∞ ak e−αk u(x, t) = 2 π t/L2 sin k=1 3.2.2 kπx L Phương trình sóng Trong mặt phẳng, cho sợi dây có hai đầu cố định, mà ta giả sử không tổng quát, có tọa độ (0, 0) (L, 0) Ta muốn nghiên cứu chuyển động sợi dây ta biết vị trí vận tốc thời điểm t = Phương trình mô tả chuyển động sợi dây phương trình sóng: utt (x, t) − c2 uxx (x, t) = x ∈ [0, L], t > Điều kiện ban đầu cho bởi: u(x, 0) = u0 (x), ut (x, 0) = u1 (x), x ∈ [0, L] Bài toán giải theo phương pháp tách biến Gọi ak , bk hệ số Fourier hàm u0 (x), u1 (x)      ak = L     bk = L L L u0 sin kπx L dx u1 sin kπx L dx Khi cách xét trường hợp đặc biệt có hệ số Fourier khác không, giống mục trước ta suy nghiệm tổng Footer Page 37 of 161 31 Header Page 38 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương quát ∞ kπct kπct kπx L + bk sin ) sin L kπc L L (ak cos u(x, t) = k=0 3.3 Ứng dụng chuỗi Fourier chứng minh định lý Weyl Ta đặt x = x − [x] phần lẻ số thực x Theo kết số học sơ cấp, tập hợp { jγ }∞ j=1 trù mật [0, 1] γ số vô tỉ Định lý Weyl mở rộng thú vị kết Trước phát biểu chứng minh định lý Weyl, ta bắt đầu mệnh đề quan trọng mà chứng minh sử dụng chuỗi Fourier Mệnh đề 3.1 Số γ số vô tỉ với f ∈ C(T) n n f (jγ) → f (t)dt T j=1 n → ∞ Chứng minh Đặt Gn (f ) = n n f (jγ) − f (t)dt T j=1 Vì đa thức lượng giác trù mật C(T), với ε > tồn Footer Page 38 of 161 32 Header Page 39 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học N k=−N P (x) = Trần Thị Hương ak e2πikx cho f − P C(T) < ε Khi ∞ |Gn (f ) − Gn (P )| ≤ n |f (jγ) − P (jγ)| − |f (t) − P (t)| dt ≤ 2ε T j=1 Nếu k = Gn (e2πikx ) = Gn (1) = Nếu k = 2πikx Gn (e e2πikγ − e2πik(n+1)γ )= , n − e2πikγ kéo theo |Gn (e2πikx )| ≤ n→∞ −→ n|1 − e2πikγ | (Chú ý γ vô tỉ nên e2πikγ = với k ∈ Z.) Do N n→∞ Gn (e2πikx ) −→ Gn (P ) = ak k=−N Ta suy lim sup |Gn (f )| ≤ 2ε n→∞ Vì ε bất kì, ta có điều cần chứng minh Định lý 3.1 (Weyl) Nếu γ số vô tỉ ≤ a, b ≤ n−1 card{1 ≤ j ≤ n : a ≤ jγ ≤ b} → b − a n → ∞ Chứng minh Với ε > tồn hai hàm liên tục f+ , f− : T → [0, 1] cho: (a) f+ (t) ≥ ≥ f− (t) Footer Page 39 of 161 ∀t ∈ [a; b], 33 Header Page 40 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương ∀t ∈ / [a; b], (b) f− (t) = f+ (t)dt ≤ b − a + 2ε, T f− (t)dt ≥ b − a − 2ε T Ta có n n f+ (jγ) ≥ j=1 card{1 ≤ j ≤ n : jγ ∈ [a, b]} n Do đó, theo Mệnh đề 3.1, lim sup card{1 ≤ j ≤ n : jγ ∈ [a, b]} ≤ b − a + 2ε n→∞ n Tương tự, n n f− (jγ) ≤ j=1 Footer Page 40 of 161 card{1 ≤ j ≤ n : jγ ∈ [a, b]} n 34 Header Page 41 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương dẫn đến lim inf card{1 ≤ j ≤ n : jγ ∈ [a, b]} ≥ b − a − 2ε n→∞ n Vì ε tùy ý, ta kết luận: card{1 ≤ j ≤ n : jγ ∈ [a, b]} = b − a n 3.4 Ứng dụng chuỗi Fourier toán đẳng chu Định lý 3.2 Trong hình có biên khả tích chu vi, hình tròn hình có diện tích lớn Chứng minh Giả sử z(t) = x(t) + iy(t) : T → C tham số hóa Γ với tốc độ hằng, tức |z (t)| = const Gọi L chiều dài Γ A diện tích miền bao Γ.Ta chứng minh L2 ≥ 4πA dấu xảy Γ đường tròn Vì x y hàm thực, ta có x(n) = x(−n) y(n) = y(−n), x(n) = Footer Page 41 of 161 z(n) + z(−n) z(n) − z(−n) , y(n) = 2i 35 Header Page 42 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương Sử dụng y (n) = 2πiny(n), ta có ∞ A = n=−∞ ∞ z(n) + z(−n) z(n) − z(−n) , 2πin 2i = n=−∞ ∞ = x(n), y (n) xy dt = T πn z(n) + z(−n), z(n) − z(−n) n=−∞ Ta ý A số thực với u, v ∈ C ta có u + v¯, u − v¯ = |u|2 − |v|2 Do đó, ∞ πn z(n) + z(−n), z(n) − z(−n) n=−∞ A = ∞ = πn |z(n)|2 − |z(−n)|2 n=−∞ ∞ πn |z(n)|2 − |z(−n)|2 = n=1 Mặt khác, |z (t)| = L, ta có L2 = |z (t)| dt T ∞ = ∞ 4π n2 (|z(n)|2 + |z(−n)|2 ) z (n) = n=−∞ n=1 Từ ta dễ dàng suy L2 ≥ 4πA Dấu đạt z(n) = với n ∈ / {0, 1}, tức z(t) = z(0) + z(1)e2πit , hay Γ hình tròn Footer Page 42 of 161 36 Header Page 43 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương Kết luận Khóa luận đưa số định lý chuỗi Fourier ứng dụng Trong đưa tính chất tổng dirichlet, hội tụ điểm, tổng Fejer, dãy sấp xỉ đơn vị đưa số vi dụ minh họa cho định lý nêu chương Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Anh Tú toàn thể thầy cô khoa toán Đặc biệt thầy cô tổ giải tích tạo điều kiện cho em hoàn thiện khóa luận Footer Page 43 of 161 37 Header Page 44 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Đại Học Sư Phạm Hà Nội, 2005 [2] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB Khoa Học Kĩ Thuật Hà Nội, 2005 [3] Trần Đức Long-NGuyễn Đình Sang-Hoàng Quốc Toàn, Giáo trình giải tích 2, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội, 2006 [4] Nguyễn Thừa Hợp, Phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội, 2006 ¨ [5] Thomas Korner, Fourier Analysis, Cambridge University Press, 1988 [6] Camil Muscalu-Wilhelm Schlag, Classical and Multilinear Harmonic Analysis, Vol 1, Cambridge University Press, 2013 Footer Page 44 of 161 38 ... tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hương - Trình bày số định lý chuỗi Fourier - Ứng dụng chuỗi Fourier Phạm vi nghiên cứu - Một số định lý chuỗi Fourier ứng dụng - Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ... xấp xỉ đơn vị 23 Ứng dụng chuỗi Fourier 27 3.1 Ứng dụng chuỗi Fourier việc tính số chuỗi 27 3.2 Ứng dụng chuỗi Fourier để giải toán vật lý 30 3.2.1 Phương trình truyền nhiệt... Đến nay, giải tích Fourier trở thành công cụ thiếu nhiều ngành toán học Để bước đầu tìm hiểu lý thuyết chuỗi Fourier ứng dụng nó, em chọn đề tài Một số định lý chuỗi Fourier ứng dụng Mục đích nhiệm