Một số định lý ánh xạ co trong không gian metric suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 846 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Trần Quốc Bình HÀ NỘI, 2018 Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa 1.2 Một số định lý ánh xạ co 1.2.1 Mối quan hệ dạng ánh xạ co 1.2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ co 1.3 Ánh xạ co địa phương Chương Một số định lí ánh xạ co tồn cục khơng gian metric suy rộng 12 2.1 Định lý điểm bất động ánh xạ co Boyd-Wong 13 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ co Rakotch 17 2.3 Không gian metric suy rộng bổ sung tính Hausdorff cảm sinh tôpô 17 2.4 Không gian metric suy rộng khơng có tính Hausdorff 19 2.5 Không gian metric suy rộng định lý Caristi 24 Chương Ánh xạ co địa phương không gian metric suy rộng 25 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Quốc Bình Thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tôi, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Qua đây, tơi xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo phòng Sau đại học, thầy giáo khoa Tốn thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K20 chun ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt q trình học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Phương Thanh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Trần Quốc Bình, luận văn thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài "Một số định lý ánh xạ co khơng gian metric suy rộng" hồn thành nhận thức thân tơi Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Phương Thanh Mở đầu Lý chọn đề tài Ánh xạ co Banach phần lớn mở rộng phát biểu cho khơng gian metric, bất đẳng thức tam giác d(x, y) d(x, z) + d(z, y) đóng vai trò then chốt Những năm gần đây, số nhà toán học mở rộng định lý ánh xạ co Banach cho không gian metric suy rộng, không gian mà bất đẳng thức tam giác thay bất đẳng thức sau đây: d(x, y) d(x, z) + d(z, w) + d(w, y) Rõ ràng không gian metric metric suy rộng điều ngược lại không Giống không gian metric thông thường, người ta nghiên cứu ánh xạ co địa phương khơng gian metric suy rộng Ngồi việc nêu lại số kết lý thuyết ánh xạ co khơng gian metric, luận văn dịch số định lý ánh xạ co ánh xạ co địa phương không gian metric suy rộng Được hướng dẫn TS Trần Quốc Bình, tơi chọn đề tài: “ Một số định lý ánh xạ co không gian metric suy rộng” Đề tài tập trung tìm hiểu ánh xạ co tồn cục ánh xạ co địa phương không gian metric suy rộng Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa kết nghiên cứu điểm bất động ánh xạ co toàn cục ánh xạ co địa phương không gian metric suy rộng Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu số định lý ánh xạ co tồn cục khơng gian metric suy rộng • Nghiên cứu ánh xạ co địa phương không gian metric suy rộng Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ co điểm bất động ánh xạ co • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu không gian metric suy rộng Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tổng hợp báo,cơng trình nghiên cứu ngồi nước Đóng góp luận văn Luận văn tài liệu tổng quan lĩnh vực nghiên cứu điểm bất động dạng co không gian metric suy rộng Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho X tập hợp, ánh xạ d : X × X → R+ thỏa mãn điều kiện sau với ∀x, y, z ∈ X: i) d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = ⇔ x = y ii) d (x, y) = d (y, x) iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) gọi mêtric X Tập X với mêtric d gọi không gian mêtric (X, d) Định nghĩa 1.2 Trong không gian mêtric (X, d), dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X d (xn , x) → n → ∞ Khi x gọi giới hạn dãy {xn } Định nghĩa 1.3 Trong không gian mêtric (X, d), dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim d (xn , xm ) = 0, tức là: m,n→∞ (∀ε > 0) (∃N ) (∀m, n > N ) , d (xm , xn ) < ε Định nghĩa 1.4 Không gian mêtric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy dãy hội tụ Định nghĩa 1.5 Cho T ánh xạ từ X vào Khi T gọi có điểm bất động tồn x∗ ∈ X cho T x∗ = x∗ Định nghĩa 1.6 Ánh xạ T từ khơng gian mêtric (X, d) vào gọi ánh xạ co tồn số k ∈ [0, 1) cho: d (T x, T y) k.d (x, y), ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.7 Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào gọi ánh xạ co yếu x = y thì: d (T x, T y) < d (x, y), ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.8 Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào gọi tựa co tồn số α ∈ [0, 1) thỏa mãn: d (T x, T y) ≤ α max {d (x, y) , d (x, T x) , d (y, T y) , d (x, T y) , d (y, T x)} Định nghĩa 1.9 Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào gọi φ−co với x, y ∈ X, t > thỏa mãn < φ(t) < 1, φ(t) < t d(T x, T y) ≤ φ(d(x, y)) Định nghĩa 1.10 Không gian mêtric X gọi T-quỹ đạo đầy đủ dãy Cauchy O (x, ∞) = x, T x, T x, hội tụ điểm nằm X Định nghĩa 1.11 Với tập A nằm không gian mêtric X, đường kính tập A kí hiệu δ (A) xác định sau: δ (A) = sup {d (a, b) : a, b ∈ A} Định nghĩa 1.12 Cho (X, d) không gian mêtric Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi hàm nửa liên tục x0 ∈ X : f (x0 ) lim sup f (x) x→x0 Và gọi hàm nửa liên tục x0 ∈ X nếu: f (x0 ) lim inf f (x) x→x0 Trong đó: lim sup f (x) = sup inf {f (x) : x ∈ X, d (x, x0 ) x→x0 lim inf f (x) = inf sup {f (x) : x ∈ X, d (x, x0 ) x→x0 η} , η>0 η>0 η} 1.2 Một số định lý ánh xạ co 1.2.1 Mối quan hệ dạng ánh xạ co Định nghĩa 1.13 Cho (X,d) không gian mêtric đầy đủ T ánh xạ co X Khi T ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.14 Giả sử T ánh xạ liên tục từ không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào thỏa mãn: d (T x, T y) ≤ λ (x, y) d (x, y) Ở λ (x, y) = λ (d (x, y)) hàm đơn điệu giảm phụ thuộc vào d (x, y) ≤ λ (d) < với d > Khi T ánh xạ co Rakotch Định nghĩa 1.15 Giả sử T ánh xạ liên tục từ khơng gian mêtric đầy đủ (X, d) vào thỏa mãn: d (T x, T y) ≤ k (a, b) d (x, y) (4) Mỗi hình cầu mở tập mở (5) Mỗi dãy hội tụ dãy Cauchy Do đó, hầu hết nhà tốn học nghiên cứu không gian mêtric suy rộng giả sử số điều kiện bổ sung, thông thường tính Hausdorff cảm sinh tơpơ Định lí 2.3 ([8]) Cho (X, d) không gian Hausdorff mêtric suy rộng đầy đủ, T : X → X ánh xạ thỏa mãn với λ ∈ [0, 1) x, y ∈ X, d(T x, T y) ≤ λd(x, y) Khi T có điểm bất động Định lí 2.4 ([8]) Cho (X, d) không gian Hausdorff mêtric suy rộng đầy đủ, T : X → X thỏa mãn với ∀x, y ∈ X, d(T x, T y) ≤ (d(x, T x) + d(y, T y)) − φ(d(x, T x), d(y, T y)), với φ : [0, +∞) × [0, +∞) → [0, +∞) liên tục φ(a, b) = a = b = Khi T có điểm bất động Định lí 2.5 ([8]) Cho (X, d) không gian Hausdorff mêtric suy rộng đầy đủ, ϕ : [0, +∞) → [0, +∞) thỏa mãn: (ϕ1 )(ϕ(t)) < t với ∀t > ϕ(0) = 0; (ϕ2 ) lim inf tn →t ϕ(tn ) < t với ∀t > Cho S, T, F, G : X → X thỏa mãn với ∀x, y ∈ X, d(Sx, T y) ≤ ϕ(max{d(F x, Gy), d(F x, Sx), d(Gy, T y)}) Giả sử T (X) ⊆ F (X) S(X) ⊆ G(X) cặp {S, F } {T, G} tương thích Nếu F G liên tục S, T, F, G có điểm bất động chung 18 2.4 Khơng gian metric suy rộng khơng có tính Hausdorff Một dãy khơng gian mêtric suy rộng có hai giới hạn Tuy nhiên có trường hợp đặc biệt mà khơng xảy điều hữu ích cho vài chứng minh Bổ đề 2.1 ([8]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng {xn } dãy Cauchy X cho xm = xn với m = n Khi dãy {xn } hội tụ đến nhiều điểm Chứng minh Giả sử ngược lại, lim xn = x, lim xn = y x = y n→∞ n→∞ Do xm , xn phân biệt, x y, rõ ràng tồn l ∈ N cho x y khác xn với n > l Với m, n > l, bất đẳng thức tứ giác đưa đến: d(x, y) ≤ d(x, xm ) + d(xm , xn ) + d(xn , y) Khi m, n → ∞ d(x, y) = 0, nghĩa x = y Trái với giả thiết Bổ đề 2.2 ([8]),([9]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng {xn } dãy X mà vừa dãy Cauchy, vừa hội tụ Khi giới hạn x {xn } Bổ đề 2.3 ([8]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng {yn } dãy X với phần tử phân biệt (yn = ym với n = m) Giả sử d(yn , yn+1 ) d(yn , yn+2 ) tiến đến n → ∞ {yn } khơng dãy Cauchy Khi ∃ε > hai dãy {mk } {nk } nguyên dương cho nk > mk > k bốn dãy sau tiến tới ε k → ∞: d(ymk , ynk ), d(ymk , ynk +1 ), d(ymk −1 , ynk ), d(ymk −1 , ynk +1 ) 19 (2.9) Chứng minh Do {yn } không dãy Cauchy, ∃ε > hai dãy {mk } {nk } nguyên dương cho nk > mk > k, d(ymk , ynk ) ≥ ε nk số nguyên dương nhỏ thỏa mãn bất đẳng thức này, nghĩa d(ymk , yl ) < ε với mk < l < nk Ta cần chứng minh dãy (2.9) tiến tới ε k → ∞ Theo giả thiết, d(ymk , ymk +1 ) → d(ymk , ymk +2 ) → k → ∞ Do đó, khơng thể có nk = mk + nk = mk + ( hai trường hợp khơng thể có d(ymk , ynk ) ≥ ε) Vì vậy, áp dụng bất đẳng thức tứ giác ta được: ε ≤ d(ymk , ynk ) ≤ d(ymk , ynk −2 ) + d(ynk −2 , ynk −1 ) + d(ynk −1 , ynk ) ≤ ε + d(ynk −2 , ynk −1 ) + d(ynk −1 , ynk ) → ε, k → ∞, tức d(ymk , ynk ) → ε k → ∞ Để chứng minh dãy thứ hai (2.9) tiến tới ε k → ∞, ta xét hai bất đẳng thức tứ giác sau: d(ymk , ynk +1 ) ≤ d(ymk , ynk ) + d(ynk , ynk −1 ) + d(ynk −1 , ynk +1 ) d(ymk , ynk ) ≤ d(ymk , ynk +1 ) + d(ynk +1 , ynk −1 ) + d(ynk −1 , ynk ), với d(ymk , ynk ) → ε tức d(ymk , ynk +1 ) → ε k → ∞ Chứng minh cho hai dãy lại cách tương tự, sử dụng bất đẳng thức tứ giác (ymk −1 , ynk , ynk −2 , ymk ) (ymk , ynk , ymk −1 , ymk −2 ), tương ứng 20 (ymk −1 , ynk +1 , ynk , ymk ) (ymk , ynk , ymk +1 , ynk −1 ) Định lí 2.6 ([10]) Cho T giả mêtric xem ([13]) không gian mêtric suy rộng (X, d) với T quỹ đạo đầy đủ Khi đó: a) T có điểm bất động u X b) lim T n x = u với x ∈ T n→∞ qn max{d(x, T x), d(x, T x)}, với n ∈ N c) d(T x, u) ≤ 1−q n Một số kết khơng có thêm giả định Điều gồm kết chung điểm bất động sử dụng hàm khoảng cách thay đổi hàm chấp nhận kết Meir-Keeler Boyd-Wong Định lí 2.7 Cho (X, d) khơng gian mêtric suy rộng f, g : X → X thỏa mãn f (X) ⊆ g(X), hai tập X đầy đủ Nếu cho hàm khoảng cách thay đổi ψ c ∈ [0, 1) đó, ψ(d(f x, f y)) ≤ cψ(d(gx, gy)) (2.10) với ∀x, y ∈ X f g có điểm chung Ngoài ra, f g tương thích yếu chúng có điểm bất động chung Ở đây, ψ : [0, +∞) → [0, +∞) gọi hàm khoảng cách thay đổi nếu: (i) ψ tăng liên tục 21 (ii) ψ(t) = t = Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh f g khơng có q điểm chung Giả sử ngược lại, tồn w1 , w2 ∈ X cho w1 = w2 , w1 = f u1 = gu1 w2 = f u2 = gu2 với u1 , u2 ∈ X Khi (2.10) trở thành: ψ(d(w1 , w2 )) = ψ(d(f u1 , f u2 )) ≤ cψ(d(gu1 , gu2 )) < ψ(d(w1 , w2 )), điều vơ lí Để chứng minh f g có điểm chung, lấy điểm xo ∈ X tùy ý sử dụng f (X) ⊆ g(X), chọn dãy {xn } {yn } X cho yn = f xn = gxn+1 , với n = 0, 1, 2, Nếu yn0 = yn0 +1 với n0 ∈ N xno +1 điểm chung f g yn0 +1 điểm chung ( ) chúng Bây giờ, giả sử yn = yn+1 với n ∈ N Sử dụng (2.10) ta được: ψ(d(yn , yn+1 )) = ψ(d(f xn , f xn+1 )) ≤ cψ(d(gxn , gxn+1 )) = cψ(d(yn−1 , yn )) < ψ(d(yn−1 , yn )) Do {d(yn , yn+1 )} dãy giảm số thực dương hội tụ tới δ ≥ Giả sử δ > 0, đó, từ ψ(d(yn , yn+1 )) ≤ cψ(d(yn−1 , yn )) qua giới hạn n → ∞, ta ψ(δ) ≤ cψ(δ) Nhưng điều xảy δ = 0, mâu thuẫn Do đó: d(yn−1 , yn ) → n → ∞ (2.11) Tương tự, người ta chứng minh d(yn−2 , yn ) → n → ∞ 22 (2.12) Giả sử yn = ym với n > m Từ , theo cách yn chọn, yn+k = ym+k với k ∈ N Từ (2.10) suy ra: ψ(d(ym , ym+1 )) = ψ(d(yn , yn+1 )) ≤ cψ(d(yn−1 , yn )) < ψ(d(yn−1 , yn )) ≤ ≤ cψ(d(ym , ym+1 )) < d(ym , ym+1 ), điều mâu thuẫn Vì vậy, ta giả sử yn = ym với n = m Để chứng minh {yn } dãy Cauchy, giả sử điều khơng xảy ra, theo bổ đề 2.3, sử dụng (2.11), (2.12) ta kết luận ∃ε > hai dãy {mk } {nk } dãy số nguyên dương cho nk > mk > k dãy (2.9) tiến đến ε k → ∞ Sử dụng (2.10) với x = xmk y = xnk +1 , ta ψ(d(ymk , ynk +1 )) ≤ cψ(d(ymk −1 , ynk )) Khi k → ∞ ψ(ε) ≤ cψ(ε), mâu thuẫn Giả sử không gian g(X) đầy đủ (chứng minh f (X) đầy đủ tương tự) Khi {yn } dãy Cauchy, kéo theo y ∗ ∈ g(X), nghĩa y ∗ = gz với z ∈ X Để chứng minh f z = gz, ta giả sử f z = gz Khi đó, theo bổ đề 2.1 yn khác f z gz với n đủ lớn Do đó, ta áp dụng bất đẳng thức tứ giác ta được: d(f z, gz) ≤ d(f z, f xn ) + d(f xn , f xn+1 ) + d(f xn+1 , gz) ≤ cψ(d(gz, gxn )) + d(yn , yn+1 ) + d(yn+1 , gz) → 0, n → ∞ Suy f z = gz điểm chung f g Trong trường hợp f g tương thích yếu, kết tiếng cho thấy f g có điểm bất động chung 23 2.5 Không gian metric suy rộng định lý Caristi Gần đây, báo đặc biệt ([9]), Kirk Shahzad chứng minh định lý tiếng Caristi không gian mêtric suy rộng, khơng có thêm giả thiết Phương pháp chứng minh trường hợp không gian mêtric, sử dụng quy nạp siêu hạn Định lí 2.8 ([9]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng đầy đủ T : X −→ X ánh xạ, ϕ : X −→ [0, +∞) hàm nửa liên tục Giả sử d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x), x ∈ X Khi T có điểm bất động 24 Chương Ánh xạ co địa phương không gian metric suy rộng Đầu tiên ta đưa vào số định nghĩa sau không gian mêtric suy rộng X Định nghĩa 3.1 Không gian mêtric suy rộng X gọi ε-chuỗi với hai điểm a, b ∈ X, tồn tập hữu hạn điểm a = x0 , x1 , , xn−1 , xn = b cho d(xi−1 , xi ) ≤ ε với i = 1, 2, , n ε > Định nghĩa 3.2 Ánh xạ T : X → X gọi co địa phương ∀x ∈ X, ∃εx > λx ∈ [0, 1) cho ∀p, q ∈ {y; d(x, y) ≤ εx } d(T (p), T (q)) ≤ λx d(p, q) Định nghĩa 3.3 Ánh xạ T : X → X gọi (ε, λ) co địa phương co địa phương x ∈ X ε, λ không phụ thuộc vào x, nghĩa là: d(x, y) < ε ⇒ d(T x, T y) < λd(x, y), ∀x, y ∈ X Chú ý 3.1 Từ định nghĩa thấy rõ ràng ánh xạ co địa phương liên tục Định lí 3.1 ([4]) Nếu T (ε, λ) ánh xạ co địa phương định ε nghĩa T − đủ , − chuỗi không gian mêtric suy rộng X 25 thỏa mãn điều kiện (A) sau: ε ε ∀x, y, z ∈ X, d(x, y) < d(y, z) < kéo theo d(x, z) < ε 2 Khi T có điểm bất động X Chứng minh Ta chứng minh qua bước: ε Bước Lấy x ∈ X Từ X − chuỗi, ta chọn hữu hạn điểm x = x0 , x1 , x2 , , xn−1 , xn = T x cho ε d(xi−1 , xi ) < , ∀i = 1, n Khơng tính tổng quát, giả sử điểm x1 ; x2 ; ; xn phân biệt, ( khác x T x n > 2) Ta rằng: d(x, T x) < nε (3.1) Kết hiển nhiên n = 1, Vì xét n > Xét trường hợp sau: Trường hợp 1: n lẻ ⇒ n = 2m + với m ≥ d(x, T x) ≤ d(x, x1 ) + d(x1 , x2 ) + + d(x2m , T x) ε nε < (2m + 1) = 2 Trường hợp 2: n chẵn ⇒ n = 2m với m ≥ Khi đó: d(x, T x) ≤ d(x, x2 ) + d(x2 , x3 ) + + d(x2m−1 , T x) ε < ε + (2m − 2) (bởi (A)) nε = Từ T (ε, λ) co địa phương: d(T xi−1 , T xi ) < λd(xi−1 , xi ) < 26 λε , ∀i Do quy nạp: d(T m xi−1 , T m xi ) < λm ε , ∀m ∈ N d(T m x0 , T m x2 ) < λm ε, (sử dụng (A)) Bây giờ, tiến hành ta ra: d(T m x, T m+1 x) < λm nε , ∀m ∈ N (3.2) Lưu ý số điểm T m x0 , , T m xn kết hiển nhiên Bước Đầu tiên ta lưu ý T m x = T n x; m, n ∈ N; m > n lấy p = m − n u = T n x ta có T p u = u T kp u = u, ∀k ∈ N Bây ta biểu diễn u T u tiếp tục bước 1, ta d(T m u, T m+1 u) < λm nε , ∀m ∈ N với n ∈ N cố định Khi d(u, T u) = d(T kp u, T kp+1 u) < λkp nε → k → ∞ kéo theo T u = u Vì ta giả sử T m x = T n x, ∀m, n ∈ N Ta cần {T n x} dãy Cauchy X Đầu tiên ta lưu ý sau Ta chọn k(> 2) ∈ N cho λk < Từ (3.2) n λk nε ε < 2 k+1 λ nε ε d(T k+1 x, T k+2 x) < < 2 d(T k x, T k+1 x) < Vì từ (A) : d(T k x, T k+2 x) < ε 27 (3.3) Lấy điểm nguyên dương m > k Quay lại hai trường hợp Trường hợp 1: n lẻ ⇒ n = 2l + 1, l ≥ d(T m x, T m+n x) ≤ d(T m x, T m+1 x) + d(T m+1 x, T m+2 x) + + d(T m+2l x, T m+2l+1 x) nε < (λm + λm+1 + + λm+2l ) (bởi (3.2)) λm nε · < 1−λ Trường hợp 2: n chẵn ⇒ n = 2l, l ≥ 1, ta có: d(T m x, T m+n x) ≤ d(T m x, T m+2 x) + d(T m+2 x, T m+3 x) + + d(T m+2l−1 x, T m+2l x) λm+2 nε d(a, c) + d(b, c) = 2.0 Có thể nhận thấy T (ε, λ) ánh xạ co địa phương với λ = T có điểm bất động c 29 Kết luận Luận văn tổng hợp kết ánh xạ co ánh xạ co địa phương không gian metric không gian metric suy rộng.Từ có mối liện hệ ánh xạ co hai khơng gian Ngồi ra, luận văn dịch số định lý ánh xạ co ánh xạ co địa phương không gian metric suy rộng từ số báo khoa học Mặc dù tác giả cố gắng hết sức, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn 30 Tài liệu tham khảo [1] T Q Binh(2006), “Some results on locally contractive mappings”, Nonlinear Funct Anal Appl., 11(3), 371 - 383 [2] D W Boyd, J S W Wong(1969), “On nonlinear contraction”, Proc Amer Math Soc., 20, 458 - 464 [3] A Branciari(2000), “A fixed point theorem of Banach - Caccioppoli type on a class of generalized metric space”, Publ Math Debrecen, 57, 31 - 37 [4] P Das, L K Dey(2007), “A fixed point theorem in a generalized metric space, Soochow Journal of mathematics, 33(1), 33 - 39 [5] P Das, L K Dey(2009), “Fixed point of contractive mappings in generalized metric spaces”, Math Slovaca, 59(4), 499 - 504 [6] M Edelstein(1962), “On fixed and periodic points under contractive mappings”, J London Math Soc, 37, 74 - 79 [7] J R Jachymski(1997), “Equivalence of some contractivity properties over metrical structures”, Proc Amer Math Soc., 125(8), 2327 2335 [8] Z Kadelburg, S.Radenovi´ c(2014), “On generalized metric spaces: a survey”, TWMS J Pure Appl Math., 5(1), - 13 [9] W A Kirk, N Shahzad(2013), “Generalized Metrics and Caristi’s Theorem”, Fixed Point Theory Appl., 129p 31 [10] B K Lahiri, P Das(2002), “Fixed point of a Ljubomir Ciric’s quasicontraction mapping in generalized metric spaces”, Publ Math Debrecen, 61, 589 - 594 [11] A Meir, E Keeler(1969), “A theorem on contractive mappings”, J Math Anal Appl, 28, 326 - 329 [12] E Rakotch(1962), “A note on contractive mappings”, Proc Amer Math Soc., 13, 459 - 465 [13] B E Rhoades(1977), “A comparison of various definitions of contractive mappings”, Trans Amer Math Soc., 266, 257 - 290 [14] D H Tan(1979), “On the Math.Vietnamica, 4, 88 - 102 32 contraction principle”, Acta ... gian metric, luận văn dịch số định lý ánh xạ co ánh xạ co địa phương không gian metric suy rộng Được hướng dẫn TS Trần Quốc Bình, tơi chọn đề tài: “ Một số định lý ánh xạ co không gian metric suy. .. địa phương không gian metric suy rộng Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu số định lý ánh xạ co tồn cục khơng gian metric suy rộng • Nghiên cứu ánh xạ co địa phương không gian metric suy rộng Đối tượng... 17 2.4 Không gian metric suy rộng khơng có tính Hausdorff 19 2.5 Không gian metric suy rộng định lý Caristi 24 Chương Ánh xạ co địa phương không gian metric suy rộng