Ánh xạ đóng trong không gian mêtric suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGƠ QUANG TRƯỜNG ÁNH XẠ ĐĨNG TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Phản biện 2: PGS TSKH Trần Quốc Chiến Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 11 tháng 01 năm 2015 Có thể tìm luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ánh xạ đóng khơng gian mêtric suy rộng tốn trọng tâm tơpơ đại cương Năm 1985, L.Foged chứng minh X ảnh đóng khơng gian meetric khơng gian Fréchet-Urysohn với k - mạng, σ - bảo tồn đóng di truyền Sau đó, Z.Gao Y Hattori chứng minh X ảnh đóng Lindeloăf ca khụng gian meetric v ch nú không gian FréchetUrysohn ℵ - không gian vào năm 1986 Gần nhiều tác giả giới quan tâm đến tính chất ánh xạ đóng biên-compact, ánh xạ đóng phủ- dãy bảo tồn không gian mêtric suy rộng qua ánh xạ đóng Năm 2007, C.Liu chứng minh f : X −→ Y ánh xạ đóng X khơng gian có sở yếu đếm theo điểm f ánh xạ biên-compact Y không chứa Sω Từ đó, tác giả chứng minh khơng gian g - khả mêtric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy cho khơng gian với sở yếu σ - đếm địa phương bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy cho khơng gian với sở yếu σ - đếm địa phương đươc bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy Ngồi ra, C.Liu chứng minh f : X −→ Y ánh xạ đóng X khơng gian dãy chuẩn tắc, f ánh xạ biên-compact đếm Y không chứa Sω Hơn nữa, tác giả thu kết bảo tồn không gian với sở đếm theo điểm, ℵ - không gian, không gian sn- khả mêtric qua ánh xạ đóng phủ-dãy Với lý trên, chúng tơi chọn: "Ánh xạ đóng khơng gian mêtric suy rộng" làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Luận văn nhằm tìm hiểu làm rõ vấn đề sau: (1) Hệ thống lại số kiến thức tôpô đại cương, số kiến thức khơng gian mêtric suy rộng (2) Tìm hiểu số kết ánh xạ đóng khơng gian mêtric suy rộng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: ánh xạ đóng, ánh xạ đóng phủ-dãy, ánh xạ phủ-compact Phương pháp nghiên cứu (1) Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức (2) Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến "ánh xạ đóng khơng gian mêtric suy rộng" (3) Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài (4) Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho nghiên cứu ánh xạ đóng khơng gian mêtric suy rộng Bố cục đề tài Luận văn chia thành hai chương: Chương Cơ sở lý thuyết Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất khơng gian tơpơ nhằm để phục vụ cho việc chứng minh chương luận văn Chương Ánh xạ đóng khơng gian mêtric suy rộng Trong chương này, chứng minh mối quan hệ ánh xạ đóng với số ánh xạ có tính chất phủ, chứng minh tính chất ánh xạ đóng chứng minh điều kiện để ánh xạ đóng có biên-compact khơng gian mêtric suy rộng Mặc dù cố gắng song luận văn tránh hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để luận văn hồn chỉnh Tơi xin trân trọng cảm ơn CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất khơng gian tơpơ nhằm để phục vụ cho việc chứng minh chương luận văn 1.1 KHÔNG GIAN MÊTRIC 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X tập tùy ý khác rỗng d : X × X → R hàm X × X thỏa mãn điều kiện sau: (1) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X ; d(x, y) = x = y ; (2) d(x.y) = d(y, x) với x, y ∈ X (3) d(x.z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Khi đó, (1) d gọi mêtric X (2) Cặp (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Giả sử {xn } dãy không gian mêtric X Ta nói dãy {xn } hội tụ đến x ∈ X với tồn n0 ∈ N cho d(xn , x) < với n ≥ n0 Lúc đó, x0 gọi điểm tới hạn dãy {xn } > 0, 1.1.3 Nhận xét (1) Nếu dãy {xn } hội tụ đến x ∈ X , dãy {xnk } dãy {xn } hội tụ đến x (2) Giới hạn dãy hội tụ 1.1.4 Định nghĩa Giả sử (X, ρ) không gian mêtric, x0 ∈ X r > Khi (1) Tập hợp S(x0 , r) = {x ∈ X : ρ(x, x0 ) < r} gọi hình cầu mở tâm x0 bán kính r (2) Tập hợp S[x0 , r] = {x ∈ X : ρ(x, x0 ) ≤ r} gọi hình cầu đóng tâm x0 bán kính r 1.1.5 Định nghĩa Cho A tập hợp không gian mêtric X Khi đó, (1) U gọi lân cận x tồn r > cho x ∈ B(x, r) ⊂ U (2) A gọi tập mở X với x ∈ A, tồn lân cận U x cho x ∈ U ⊂ A 1.1.6 Định nghĩa Tập A không gian mêtric X gọi tập hợp đóng X \ A tập mở X 1.1.8 Định lí Tập A khơng gian mêtric X đóng X với dãy {xn } ⊂ A, {xn } hội tụ đến x ta có x ∈ A Như vậy, tập A đóng X A chứa tất điểm giới hạn 1.1.9 Định lí Đối với không gian mêtric X , kết sau (1) ∅, X tập hợp mở (2) Hợp tùy ý tập mở tập mở (3) Giao hữu hạn tập mở tập mở 1.1.10 Định lí Các khẳng định sau không gian mêtric X (1) ∅, X tập đóng (2) Giao tùy ý tập đóng tập đóng (3) Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng 1.2 KHƠNG GIAN TƠPƠ 1.2.1 Định nghĩa Cho X tập hợp τ họ gồm tập X thỏa mãn điều kiện sau (a) ∅, X ∈ τ (b) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ (c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , Uα ∈ τ α∈Λ Khi đó, (1) τ gọi tôpô X (2) Cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô (3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở (4) Mỗi phần tử X gọi điểm 1.2.3 Định nghĩa Tập A không gian tập tôpô (X, τ ) gọi tập hợp đóng X X\A ∈ τ 1.2.5 Định lí Giả sử D họ gồm tất tập hợp đóng khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, (1) ∅ ∈ D, X ∈ D (2) Nếu F1 ∈ D F2 ∈ D, F1 ∪ F2 ∈ D (3) Nếu {Fα }α∈Λ ⊂ D, Fα ∈ D α∈Λ 1.2.7 Định nghĩa Giả sủ A tập không gian tôpô (X, τ ) x ∈ X Khi đó, (1) x gọi điểm A tồn U ∈ τ cho x ∈ U ⊂ A (2) x gọi điểm A tồn U ∈ τ cho x ∈ U ⊂ X\A (3) x gọi điểm biên A x đồng thời không điểm không điểm A, nghĩa với U ∈ τ ta có U ∩ A = ∅, U ∩ X \ A = ∅ (4) x gọi điểm tụ A với lân cận x ta có U ∩ A \ {x} = ∅ (5) x gọi điểm cô lập X khơng điểm tụ X 1.2.9 Định nghĩa Giả sử A tập không gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, tập U X gọi lân cận tập A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U 1.2.11 Định nghĩa Giả sủ A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, tập tất điểm A gọi phần A kí hiệu IntA 1.2.12 Định lí Giả sử A, B tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, khẳng định sau (1) IntA tập mở (2) IntA tập mở lớn A (3) Int(IntA) = IntA (4) A mở A = IntA Như vậy, Int∅ = ∅, IntA = A 10 1.3.3 Định lí Giả sử B ⊂ τ Khi đó, B sở không gian tôpô (X, τ ) tập mở X hợp họ tập mở thuộc B 1.3.4 Định lí Giả sử B sở khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, khẳng định sau (1) Nếu U , V ∈ B cho x ∈ U ∩ V , tồn W ∈ B cho x ∈ W ⊂ U ∩ V (2) Với x ∈ X , tồn U ∈ B cho x ∈ U 1.3.5 Định nghĩa Giả ssử Ux họ gồm tất lân cận x Ta nói họ Bx ⊂ Ux sở lân cận x với U ∈ Ux , tồn V ∈ Bx cho x ∈ V ⊂ U 1.3.6 Định lí Giả sử x ∈ X Bx sở lân cận x Khi đó, (1) x ∈ U với U ∈ Bx Bx = ∅ với x ∈ X (2) Nếu U , V ∈ Bx , tồn W ∈ Bx cho x ∈ W ⊂ U ∩ V 1.3.7 Định nghĩa Giả sử X khơng gian tơpơ Khi đó, (1) X gọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm X có sở lân cận đếm 11 (2) X gọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai τ có sở lân cận đếm 1.3.8 Định lí Nếu X khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ 1.3.9 Định lí Nếu khơng gian tơpơ (X, τ ) thỏa mãn tiên đề đếm đượcc thứ nhất, điểm X , tồn sở lân cận giảm đếm 1.4 CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH 1.4.1 Định nghĩa Giả sử X khơng gian tơpơ Khi đó, X đuợc gọi T1 -không gian với x, y ∈ X mà x = y , tồn lân cận mở U x V y cho x∈ / V y ∈ / U 1.4.2 Định lí X T1 -không gian tập điểm {x} đóng X với x ∈ X 1.4.3 Định nghĩa Giả sử X khơng gian tơpơ Khi đó, X đuợc gọi T2 -không gian hay không gian Hausdorff với x, y ∈ X mà x = y , tồn lân cận mở U x V y cho U ∩ V = ∅ 1.4.4 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô Khi đó, X đuợc gọi khơng gian quy với tập hợp đóng F ⊂ X với x ∈ / F , tồn lân cận mở U x V F cho U ∩ V = ∅ 12 1.4.5 Định lí X khơng gian quy với x ∈ X với lân cận U x, tồn lân cận V x cho x ∈ V ⊂ V ⊂ U 1.4.6 Định nghĩa X đuợc gọi T3 -không gian T1 -khơng gian quy 1.4.7 Định lí X khơng gian chuẩn tắc với tập đóng F X với lân cận U F , tồn lân cận V F cho F ⊂ V ⊂ V ⊂ U 1.4.8 Định nghĩa X đuợc gọi không gian chuẩn tắc với E , F tập đóng X cho E ∩ F = ∅, tồn lân cận U củaa E V F cho U ∩ V = ∅ 1.4.9 Định nghĩa X đuợc gọi T4 -khơng gian T1 -khơng gian chuẩn tắc 1.4.10 Nhận xét T4 -không gian =⇒ T3 -không gian =⇒ T2 không gian =⇒ T1 -khơng gian 1.5 KHƠNG GIAN CON 1.5.1 Định nghĩa.Giả sử (X, τ ) không gian tôpô M tập X Khi đó, họ τM = {U ∩ M : U ∈ τ } 13 tơpơ M , ta nói (M, τM ) không gian tôpô hay đơn giản không gian M 1.5.2 Định lý Giả sử M không gian không gian tôpô X E ⊂ M Khi đó, (1) Tập hợp E đóng khơng gian M tồn tập F đóng X cho E =M ∩F (2) Bao đóng E M E khơng gian M bao đóng E E X liên hệ hệ thức E M = E M 1.6 KHễNG GIAN COMPACT, KHễNG GIAN LINă DELOF 1.6.1 Định nghĩa Giả sử A tập không gian tôpô X U họ gồm tập đo X Khi đó, (1) U gọi phủ A A ⊂ U (2) V gọi phủ U phủ A V ⊂ U V phủ A (3) Một phủ U A gọi phủ mở (tương ứng, phủ đóng) A phần tử U mở (tương ứng, đóng) X 14 1.6.2 Định nghĩa Giả sử U V phủ không gian tôpô X Ta nói phủ U mịn phủ V với V ∈ V , tồn U ∈ U cho U ⊂ V 1.6.3 Định nghĩa Giả sử K tập khơng gian X Khi đó, (1) K gọi tập compact X phủ mở K , tồn phủ hữu hạn Nếu K = X , ta nói X không gian compact (2) K gọi tập compact theo dãy X dãy K trích dãy hội tụ K Nếu K = X , ta nói X khơng gian compact theo dãy (3) K c gi l compact Lindelăof ca X phủ mở K , tồn phủ đếm Hơn nữa, K = X , thỡ ta núi rng X l khụng gian Lindelăof 1.6.5 Bổ đề Mỗi T2 -không gian compact không gian chuẩn tắc Do đó, khơng gian quy 1.6.6 Bổ đề Mọi tập đóng tập compact tập compact 1.7 ÁNH XẠ LIÊN TỤC 1.7.1 Định nghĩa Giả sử f : (X, τ ) −→ (Y, σ) ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào khơng gian tơpơ (Y, σ) Khi đó, (1) f gọi ánh xạ liên tục điểm x0 ∈ X với lân cận V f (x0 ) Y , tồn lân cận U x0 X cho f (x0 ∈ f (U ) ⊂ V 15 (2) f gọi liên tục X (hay liên tục) f liên tục điểm X 1.7.2 Định lí Giả sử (X, τ ), (Y, σ) hai không gian tôpô ánh xạ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) Khi đó, f liên tục điểm x0 ∈ X với lân cận W f (x0 ) Y , ta có f −1 (W ) lân cận x0 1.7.3 Định lí Giả sử f : (X, τ ) −→ (Y, σ) ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào không gian tơpơ (Y, σ) Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) f liên tục; (2) Tạo ảnh tập hợp mở Y tập hợp mở X; (3) Tạo ảnh tập hợp đóng Y tập hợp đóng X ; 1.7.4 Định lí Giả sử (X, τ ), (Y, σ) hai không gian tôpô, a ∈ Y Khi đó, ánh xạ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) cho f (x) = a với x ∈ X liên tục 1.7.5 Định lí Giả sử X , Y , Z không gian tôpô, f : X −→ Y g : Y −→ Z ánh xạ liên tục Khi đó, h = g ◦ f : X −→ Z ánh xạ liên tục 1.7.6 Định lí Giả sử f : X −→ Y ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y K tập compact X Khi đó, f (K) tập compact Y 16 1.7.7 Định lí Giả sử f : (X, τ ) −→ (Y, σ) ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ) Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) f liên tục; (2) f A ⊂ f (A) với A ⊂ X ; (3) f −1 (B) ⊂ f −1 (B) với B ⊂ Y ; (4) f −1 (IntB) ⊂ Intf −1 (B) với B ⊂ Y 17 CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG Trong chương này, chứng minh mối quan hệ ánh xạ đóng với số ánh xạ có tính chất phủ, chứng minh tính chất ánh xạ đóng chứng minh điều kiện để ánh xạ đóng có biên-compact khơng gian mêtric suy rộng 2.1 ÁNH XẠ ĐÓNG 2.1.1 Định nghĩa Giả sử f : X −→ Y ánh xạ từ không gian tôpô X vào khơng gian tơpơ Y Khi đó, (1) f gọi ánh xạ đóng f (F ) tập đóng Y với tập đóng F X (2) f gọi ánh xạ mở f (F ) tập mở Y với tập mở F X 2.1.2 Bổ đề Giả sử f : X −→ Y song ánh liên tục từ không gian tơpơ X lên khơng gian tơpơ Y Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) f ánh xạ đóng; (2) f ánh xạ mở; (3) f phép đồng phối 18 2.1.3 Mệnh đề Giả sử f : X −→ Y ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tơpơY Khi đó, f ánh xạ đóng øf (A) = f (øA) với A ⊂ X 2.1.4 Bổ đề Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ khơng gian tôpô X vào không gian tôpô Y g : Y −→ Z ánh xạ đóng từ khơng gian tôpô Y vào không gian tôpô Z Khi đó, gf : X −→ Z ánh xạ đóng từ khơng gian tơpơ X vào khơng gian tơpơ Z 2.1.5 Mệnh đề Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng liên tục từ khơng gian tôpô X vào không gian tôpô Y g : Y −→ Z ánh xạ đóng từ khơng gian tôpô Y vào không gian tôpô Z Khi đó, g|f (X) : f (X) −→ Z ánh xạ đóng 2.1.7 Định lí Giả sử f : X → Y ánh xạ từ không gian tơpơ X vào khơng gian tơpơ Y Khiđó, f ánh xạ đóng với B ∈ Y với lân cận A f −1 (B), tồn lân cận C B cho f −1 (B) ⊂ f −1 (C) ⊂ A 2.1.8 Định lí Giả sử f : X → Y ánh xạ từ không gian tôpô X vào khơng gian tơpơ Y Khiđó, f ánh xạ đóng với y ∈ Y với lân cận U f −1 (y), tồn lân cận V y cho f −1 (y) ⊂ f −1 (V ) ⊂ U 19 2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ MỘT SỐ ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ 2.2.1 Định nghĩa Giả sử P tập X Khi đó, (1) P gọi lân cận dãy x, với dãy {x} hội tụ đến x ∈ X , tồn m ∈ N cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P (2) P gọi mở theo dãy, P lân cận dãy x với x ∈ P 2.2.2 Định nghĩa Giả sử {xn } dãy nằm không gian tôpô X , x0 ∈ X A tập X Khi đó, (1) Dãy {xn } gọi hội tụ đến x0 X với lân cận mở U x0 , tồn m ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ m (2) X gọi không gian dãy với tập A ⊂ X , A tập đóng X khơng có dãy A hội tụ đến điểm nằm A 2.2.3 Nhận xét Mỗi không gian mêtric không gian dãy 2.2.5 Định nghĩa Giả sử f : X −→ Y ánh xạ từ không gian tôpô X vào khơng gian tơpơ Y Khi đó, (1) f gọi ánh xạ giả mở với y ∈ Y , tồn lân cận U f −1 (y) cho f (U ) lân cận y Y 20 (2) f gọi ánh xạ phủ-compact với tập compact K Y , tồn tập compact L X cho f (L) = K (3) f gọi ánh xạ phủ-dãy với dãy {yn } hội tụ đến y Y , tồn dãy {xn } hội tụ đến x X cho xn ∈ f −1 (yn ) với n ∈ N (4) f gọi ánh xạ giả-phủ-dãy với dãy {yn } hội tụ đến y Y , tồn tập compact K X cho {y} {yn : n ∈ N} = f (K) 2.2.6 Nhận xét Mỗi ánh xạ phủ-dãy phủ-compact ánh xạ giả-phủ-dãy 2.2.7 Định lí Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ khơng gian tơpơ X vào khơng gian tơpơ Y Khi đó, khẳng định sau (1) f ánh xạ giả mở (2) Nếu ∂f −1 (y) tập compact X với y ∈ Y , f ánh xạ giả-phủ-dãy 2.3 TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐĨNG TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG 2.3.1 Định lí Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng liên tục từ không gian dãy X vào không gian tôpô Y Khi đó, với 21 y ∈ Y , ta đặt A = x ∈ ∂f −1 (y) : tồn dãy L ⊂ X \ f −1 (y) hội tụ đến x , ta có A = ∂f −1 (y) 2.3.2 Hệ Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng liên tục từ không gian mêtric X vào không gian tơpơ Y Khi đó, với y ∈ Y , ta đặt A = x ∈ ∂f −1 (y) : tồn dãy L ⊂ X \ f −1 (y) hội tụ đến x , ta có A = ∂f −1 (y) 2.3.3 Định nghĩa Giả sử P họ gồm tập khơng gian tơpơ X Khi đó, (1) P gọi họ đếm theo điểm (point-countable), tập họp sau đếm với x ∈ X {P ∈ P : x ∈ P } (2) P gọi mạng x ( network at x) X , x ∈ P với P ∈ P với lân cận U x, tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U (3) P gọi mạng (network ) X , {P ∈ P : x ∈ P } mạng x với x ∈ X 2.3.4 Định nghĩa Giả sử P = {Px : x ∈ X} phủ không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện (a) (b) sau với x ∈ X 22 (1) Px mạng x (2) Nếu P1 , P2 ∈ Px , tồn P ∈ Px cho x ∈ P ⊂ P1 ∩ P2 Khi đó, P gọi sở yếu ( weak base) X , với tập G ⊂ X , G mở X với x ∈ G, tồn P ∈ Px cho x ∈ P ⊂ G 2.3.5 Bổ đề Giả sử P = {Px : x ∈ X} sở yếu không gian tôpô X Khi đó, với x ∈ X , {xn } dãy hội tụ đến x X P ∈ Px , tồn m ∈ N cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P 2.3.6 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ ) gọi khả mêtric tồn mêtric d X cho tôpô sinh mêtric d trùng với tôpô τ 2.3.7 Bổ đề Giả sử X không gian tôpô với sở yếu đếm theo điểm Khi đó, X khơng gian dãy tập compact X khả mêtric 2.3.8 Bổ đề Nếu X khơng gian tơpơ có mạng đếm được, khơng gian chuẩn tắc 2.3.9 Bổ đề Giả sử X khơng gian dãy Khi đó, với A ⊂ X với x ∈ øA, tồn tập đếm C ⊂ A cho x ∈ øC 2.3.10 Định nghĩa Tập hợp F không gian tôpô gọi tập rời rạc với x ∈ F , tồn lân cận U x cho U ∩ F = {x} 23 2.3.11 Bổ đề Giả sử F tập vô hạn không gian tôpô X Khi đó, tập vơ hạn F đóng, F đóng rời rạc 2.3.13 Định nghĩa Giả sử x điểm khơng gian tơpơ X Khi đó, với n ∈ N, ta đặt S = {x} {xmn : n ∈ N}, Sm dãy hội tụ đến x X , đặt Sω = {Sm : m ∈ N} Khi đó, (1) S gọi quạt dãy Sω mọii dãy L hội tụ đến x S , L giao với hữu hạn Sm , nghĩa tập hợp sau hũu hạn {m ∈ N : Sm ∩ L = ∅} (2) X gọi chứa (hoặc chứa đóng) Sω X có tập (tập đóng) đồng phơi với Sω Giả sử B tập không gian X Ta đặt S(B) = x ∈ X : x điểm giới hạn dãy B 2.3.14 Định lí Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ khơng gian tơpơ X vào khơng gian tơpơ Y X khơng gian có sở yếu đếm theo điểm Khi đó, với y ∈ Y , ∂f −1 (y) tập compact X Y không chứa Sω 2.3.15 Hệ Giả sử f : X −→ Y ánh xạ đóng từ khơng gian mêtric X vào khơng gian tơpơ Y Khi đó, với y ∈ Y , ∂f −1 (y) tập compact X Y không chứa Sω 24 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu ánh xạ đóng không gian mêtric suy rộng đạt vấn đề sau (1) Hệ thống lại số kiến thức khơng gian mêtric, khơng gian tơpơ (2) Trình bày số khái niệm tính chất ánh xạ liên tục (3) Trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số định lí ánh xạ đóng khơng gian tơpơ (4) Trình bày mối quan hệ ánh xạ đóng với số ánh xạ có tính chất phủ (5) Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất ánh xạ đóng khơng gian mêtric suy rộng (6) Chứng minh chi tiết kết điều kiện để ánh xạ đóng có biên compact ... kiến thức không gian mêtric suy rộng (2) Tìm hiểu số kết ánh xạ đóng khơng gian mêtric suy rộng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: ánh xạ đóng, ánh xạ đóng phủ-dãy, ánh xạ phủ-compact... Chương Ánh xạ đóng không gian mêtric suy rộng Trong chương này, chứng minh mối quan hệ ánh xạ đóng với số ánh xạ có tính chất phủ, chứng minh tính chất ánh xạ đóng chứng minh điều kiện để ánh xạ đóng. .. −→ Y ánh xạ đóng từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y g : Y −→ Z ánh xạ đóng từ không gian tôpô Y vào không gian tôpô Z Khi đó, gf : X −→ Z ánh xạ đóng từ khơng gian tơpơ X vào khơng gian