Định lí điểm bất động trong không gian g metric đầy đủ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM LÊ THỊ TRANG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN G- METRIC ĐẦY ĐỦ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM LÊ THỊ TRANG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN G- METRIC ĐẦY ĐỦ Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Lê Thị Trang LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Lê Thị Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Như biết, nguyên lí điểm bất động Banach phát biểu chứng minh từ năm 1922 định lý quan trọng giải tích hàm cổ điển Nghiên cứu lý thuyết điểm bất động đóng vai trị quan trọng tìm ứng dụng nhiều lĩnh vực quan trọng phương trình vi phân, vận trù học, tốn kinh tế Trong nghiên cứu sau, tổng quát khác không gian metric đưa số nhà toán học Gahler [3] (không gian - metric) Dhage [2] (không gian D metric) Năm 2004, Mustafa Sims [6] hầu hết kết liên quan đến tính chất tơpơ D — metric khơng xác Để sửa chữa hạn chế này, họ đưa khái niệm mới, thích hợp hơn, gọi G — metric Đồng thời, Mustafa cộng ([7-8]) nghiên cứu số định lí điểm bất động ánh xạ thỏa mãn điều kiện co khác không gian G — metric Việc tổng quát hóa số kết Mustafa, thực S.K Mohanta [4] Trong tác giả chứng minh số định lí điểm bất động khơng gian G — metric đầy đủ Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài: “Định lý điểm bất động không gian G— metric đầy đủ” Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu trình bày số kết điểm bất động không gian G — metric đầy đủ Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm Bố cục luận văn Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [1], [4] [9], gồm 40trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống vài tính chấtcủaG — metric,tơpơ khơng gian G — metric, hội tụ không gian G — metric ánh xạ liên tục không gian G — metric Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại chi tiết kết nghiên cứu S.K Mohantavề điểm bất động không gian G — metric đầy đủ Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ KHÔNG GIAN G - METRIC Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm G — metric tập E số tính chất 1.1 Không gian G — Metric Năm 2004, Mustafa Sims [6] đưa khái niệm không gian G — metric, đồng thời chomột số ví dụ khơng gian G — metric số tính chất Tác giả khơng gian G — metric trang bị tôpô Hausdorff, cho phép xem xét số khái niệm tôpô dãy hội tụ, dãy Cauchy, ánh xạ liên tục, tính đầy đủ Định nghĩa 1.1.1 Một khơng gian G — metric cặp (E,G), E tập khác rỗng G : E3 :• 1R' hàm cho với r, s, t, a E E, điều kiện sau thỏa mãn: (G) G(r, s, t) = r = = t; (G2) G(r, r, s) > G) G(r, r, s) oovà sử dụng tính chất hàm G liên tục theo tất biến nó, ta có G(z, Rz, Rz) < (kỵ + 2k2 + k3 + k5 )G(z, Rz, Rz), điều mâu thuẫn < k + 2k + k + k oo, ta G(Rtn,z,z) 0, theo Mệnh đề 1.4.5, dãy{Rtn}là G — hội tụ đến z = Rz Từ theo Mệnh đề 1.4.10, R G — liên tục z Áp dụng Định lý 2.2.8, ta có kết sau Hệ 2.2.9 Cho (E, G) không gian G — metric đầy đủ, R : E —> E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau với m E N: G(Rms,RmkRmu) < 'G(s, Rms, Rms), G(t, Rmt, Rmt), G(u, Rmu, Rmu), G(s, Rmt, Rmt), ' G(k Rmu, Rmu), G(u, Rms, Rms), G(s, Rmu, Rmu), G(t, Rms, Rms), ơ(«, R t, Rmt), G(s, R t, Rmu), G(t, Rmu, Rms), G(u, Rms, Rmì), G{s,t,Rmu) ,G(t,u,Rms) ,G(u,s,Rmì) ,G(s,t,u) với s, t, u E E, OS,1>'‘U +2G(‘V‘í, + l>'‘i,.+l)} G(s „ , sn^’s„y suy G (s , s (2.15) k n" n+1 Đặt k = -——, k < 1-2A G(s < Ỵ- áp dụng liên tiêp (2.15), ta n, s^^^^^^^^^ỉk’'Gy>s1, -(2-16) Khi với n, meN,n< m, áp dụng liên tiếp bất đẳng thức hình chữ nhật (2.16) ta nhận G(s n, sm, sm ) „+l’ 5„+l) + ơ(sn+l’ 5n+2’ Sn+2) +^(5n+2,S„+3’S„+3) + ••• + < (kn + kn+1 + + km 1)Ơ(Ổ0,S1,S1) n , Khi đó, lim G(s.s ,s ) = 0, lm ——— G(sn,sA,s) = ’ n,m“TO v n, m, mĩ nm^Ỵ — k ’ k s v p 17 Với n, m, l G N, từ (G5) suy G(s n, ‘z, Sl K G(S,,’S„,’SJ + G'!'’ > suy lim ,s ,s )—> Vì vậy, {s }là dãyG — Cauchy không n ,m,G(s l^^ gian đầy đủ (E, G), nên G — hội tụ đến z e E ■ Giả sử Rz z, ta có G(sn, Rz ,Rz) < G(sn_vRz, Rz) + G(z, sn, sn) + G(z, Ămax- Rz, Rz), G(z, Rz, Rz) + G(z,Rz, Rz) + G(sn_vs^Sn), ■ • G& s„’ 5„) + G(sn_v Rz, Rz) + G(z, Rz, Rz) Lấy giới hạn n oo hàm G liên tục theo biến nó, ta có G(z, Rz, Rz )^^^z,Rz,Rz) điều mâu thuẫn < A < Do đó, z = Rz Để chứng minh tính z, ta giả sử tồn w z cho Rw= w, G(z, w, w) + ơ(w, z, z) + ơ(w, w, w), G(z, w, w) < X max - G(w, w, w) + ơ(w, w, w) + G(z, z,z), - ơ(w, z, z) + G(z, w, w) + ơ(w, w, w) Do G(z, w, w) < Ă{ơ(z, w, w) + ơ(w, z, z)} Suy G(z w w) , , < ! _ A ơ(w, z, z) Lập luận tương tự ta có G(w z z , , ) < i A G(z, w, w) Do đó, ta suy í A ì2 , G G(z,w, w) < - (z, w, w) \/ _ Suy z = w, < A < — Để chứng minh R G — liên tục z, ta lấy {t} c E dãy G — hội tụ đến z Khi ta có G(Rtn, Rz,Rz) < G(tn, Rz, Rz) + G(z, RtnìRtn) + G(z, Rz, Rz), Ằmax- G(z, Rz, Rz) + G(z, Rz,Rz) + G(tn, Rtn,Rtr), G(z, Rtn,Rtn) + G(tn,Rz, Rz) + G(z, Rz, Rz) suy G(Rtn,z,z)z,z) + G(z,Rtn,Rtn),G(tn,Rtn,Rtn)}.(2.17) Theo (G) ta có G(tn, Rtn , Rtn ) E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau với m E N: G(Rms,Rmt,Rmu) < G (s, Rmt, Rmt) + G(t, Rms, Rms) + G(u, Rmu, Rmu), Amax- G(t, Rmu, Rmu) + G(u, R t, R t) + G(s, Rms, Rms), ơ(w, Rms, Rms) + G(s, Rnu, Rmu) + G(t, Rmt, R!ít) với s, t, u E E 0