Định lí điểm bất động trong không gian b metric với wt khoảng cách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM SENGDAO SOULIYAVONG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN b METRIC VỚI t KHOẢNG CÁCH Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Sengdao SOULIYAVONG i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng năm 2019 Tác giả Sengdao SOULIYAVONG ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chƣơng KHÔNG GIAN b 1.1 Không gian b METRIC metric 1.2 Định lí Banach không gian b- metric……… …… …………… Chƣơng ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN b METRIC VỚI 2.1 t KHOẢNG CÁCH khoảng cách t khoảng cách khơng gian b 2.2 Một số định lí điểm bất động không gian b metric metric với t khoảng cách 10 2.3 Các lớp m hàm 21 2.4 Một số định lí điểm bất động m metric với t hàm không gian b khoảng cách 23 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 iii MỞ ĐẦU Định lí điểm bất động Banach (hay nguyên lí co Banach) Banach chứng minh vào năm 1922 Từ có nhiều người tổng quát hóa kết theo nhiều hướng khác Năm 1989, Bakhtin [2] giới thiệu khái niệm không gian b metric chứng minh Định lí điểm bất động ánh xạ co không gian b metric, tổng qt hóa ngun lí co Banach khơng gian metric Năm 1996, Kada [6] giới thiệu khoảng cách chứng minh Định lí điểm bất động Caristi Năm 2014, Hussian [4] giới thiệu khái niệm t metric tổng quát, tổng khoảng cách chứng minh định lí điểm bất động khơng qt gian b khoảng cách không gian b metric thứ tự phận cách sử dụng t khoảng cách Năm 2015, Khojasteh [7] giới thiệu khái niệm hàm mơ để tổng qt hóa ngun lí co Banach Mục đích luận văn giới thiệu khơng gian b metric, mở rộng không gian metric trình bày số kết điểm bất động không gian b metric với t khoảng cách Với mục đích đó, chúng tơi chọn đề tài: “Định lí điểm bất động khơng gian b metric với t khoảng cách” Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [8] [9], gồm 32 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Giới thiệu khái niệm vài tính chất khơng gian b metric số định lí điểm bất động khơng gian b metric Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại kết nghiên cứu gần S.K Mohanta điểm bất động không gian b metric với t khoảng cách kết C Mongkolkehaa, Y.J Chob P Kumam điểm bất động không gian b t metric m khoảng cách Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt hàm với Chƣơng KHƠNG GIAN b 1.1 Khơng gian b METRIC metric Định nghĩa 1.1.1 Cho E tập không rỗng k :E E i) ii) iii) ) gọi b [0, (s, t ) s (s, t ) (s, t ) metric E t (t, s) với s, t k( (s, r ) E (r, t )) với s, t, r Cặp (E, ) gọi không gian b Ví dụ 1.1.2 Cho E (s, t ) (0,1) (s, s ) E E metric với hệ số k :E {-1,0,1} , (t, s ) với s, t ( 1,1) số thực Hàm ) xác định E [0, 0, s E ( 1, 0) Khi (E, ) khơng gian b 3, metric với k , không không gian metric ( 1,1) Ví dụ 1.1.3 Cho E (1, 0) 1 :E E (s, t ) | s ( 1, 0) thỏa mãn t |2 với s, t Khi (E, ) không gian b E metric với k không không gian metric Định nghĩa 1.1.4 Cho (E, ) không gian b metric, s dãy E Khi (i ) {sn } hội tụ đến s Kí hiệu lim sn n lim (sn , s) n s sn s n E {sn } (iii ) (E, ) đầy đủ (sn , sm ) lim (ii ) {sn } dãy Cauchy n ,m dãy Cauchy E hội tụ Định nghĩa 1.1.5 Cho (E, ) khơng gian b Ta nói f liên tục s0 n f (sn ) metric ánh xạ f : E E với dãy {sn } E , sn f (s0 ) n E s0 Nếu f liên tục điểm s0 E ta nói f liên tục E Định lí 1.1.6 ([1]) Cho (E, ) không gian b hội tụ đến s, t E , tương ứng Khi (s, t ) k2 lim inf (sn , tn ) n n Ngoài ra, với r n (s, r ) k lim inf (sn , r ) lim sup (sn, r) n t Khi s E , ta có k (s, r) n Bổ đề 1.1.7 Cho (E, ) không gian b s sn k (s, t) lim sup (sn, tn ) t lim (sn, tn) Đặc biệt, s cho sn metric, giả sử {sn } {tn } metric với hệ số k {sn } E metric với hệ số k {sk }kn t Bổ đề 1.1.8 Cho (E, ) khơng gian b Khi đó: (sn , s0 ) kn k (s0, s1) (sn 2, sn 1) kn (sn 1, sn ) Chứng minh Ta có (sn , s0 ) k[ (s0, s1) (s1, s2 )] k (s0, s1) k (s0, s1) k 2[ (s1, s2 ) (s2, sn )] k (s0, s1) k (s1, s2 ) k (s2, sn ) k (s1, sn ) … k (s0, s1) kn (sn 2, sn 1) kn (sn 1, sn ) E Bổ đề 1.1.9 Cho {tn } dãy không gian b metric (E, ) với hệ số k cho (tn , tn ) n k với (tn 1, tn ) Khi {tn } dãy Cauchy E 1.2 Định lí Banach khơng gian b -metric Định lí 1.2.1 Cho (E, ) khơng gian b f :E , k E ánh xạ cho với (fs, ft ) với s, t metric đầy đủ với hệ số k , (s, t ) E Khi f có điểm bất động r , với s0 E, dãy {f ns0 } hội tụ đến r Chứng minh Lấy s0 f ns0 Khi E kí hiệu tn (tn , tn 1) (ftn 1, ftn ) (tn 1, tn ) Với n 1,2 Bổ đề 1.1.9 kéo theo {tn } dãy Cauchy, (E, ) đầy đủ, nên r E cho tn (fr, r ) k( (fr, ftn ) k( Do đó, (fr, r ) n Nếu fr1 Khi r n (r, tn ) fr r1 , ta có (r, r1) (tn 1, r )) lim (fr, fr1) n (r, r1) (f ns, f nt ) n (s, t ) với s, t động r r1 metric đầy đủ với hệ số k Cho E ánh xạ cho với n n r Định lí 1.2.2 Cho (E, ) không gian b f :E (tn 1, r )) tồn n (0,1) cho E Khi f có điểm bất tồn n0 n : n0 Khi , n n (gs, gt ) Theo Định lí 1.2.2 f m (fr ) (s, t ), s, t r Khi f mr r , kéo theo f m Vì điểm bất động r Định lí 1.2.3 Cho (E, ) khơng gian b -metric đầy đủ với số k E thỏa mãn (f (s), f (t )) giả sử f : E : !s ( (s, t )), s, t hàm tăng thỏa mãn lim n E : f (s ) s lim f n (s ) s, s n lim (t ) t f liên tục Bây giờ, cho s ( ) 2k Đặt g m Bây chọn m Khi suy g m (s ) với m cho Khi nm ( (g(s), s) cho (sm 1, sm ) (g(u), g(sm )) với t (t ) tùy ý Chọn n (g m (gs), g m (s)) Do đó, lim (sm 1, sm ) E , 0, E f n sm (sm 1, sm ) n , E Chứng minh Trước tiên theo giả thiết n E E fr fr điểm bất động g g nhất, nên fr , nên f m thỏa mãn (s, t ), s, t ! r : gr n n (f ns, f nt ) n0 tùy ý, g n0 Nói cách khác, với m f m 1r Vì k cho Chứng minh Lấy n ( (u, sm )) lấy u 2k n ( ) 2k B (s m; ) Khi Chứng minh Lấy u0 E tùy ý, S1 toàn ánh nên tồn u1 S1 1(u0 ) Vì S tồn ánh, nên u2 u1 Tiếp tục lập luận trên, ta tìm u2n với n Nếu n 1,2, Do u2n E : u2 S1(u2n ) u2n S2 1(u1) S1 1(u2n ) u2n 1 E cho S2(u2n ) với n S2 1(u2n ) 0,1,2 2m (2.11) ta có p(un 1, un ) p(u2m 1, u2m ) p(S2(u2m ), S1(u2m 1)) p(S2S1(u2m 1), S1(u2m 1)) min{p(S2S1(u2m 1), S1(u2m 1)), p(S1S2(u2m 1), S2(u2m 1))} r max{p(S1(u2m 1), u2m 1), p(S2(u2m 1), u2m 1)} rp(S1(u2m 1), u2m 1) Nếu n 2m p(un 1, un ) rp(u2m , u2m 1) rp(un , un 1) theo (2.11) ta có p(u2m , u2m 1) p(S1(u2m 1), S2(u2m )) p(S1S2(u2m ), S2(u2m )) min{p(S2S1(u2m ), S1(u2m )), p(S1S2(u2m ), S2(u2m ))} r max{p(S1(u2m ), u2m ), p(S2(u2m ), u2m )} rp(S2(u2m ), u2m ) rp(u2m 1, u2m ) rp(un , un 1) Như vậy, với n nguyên dương ta p(un 1, un ) rp(un , un 1) Từ suy p(un , un ) Đặt , r p(un 1, un ) r r k ( )n p(u0, u1 ) r k Khi (2.13) trở thành 18 (2.13) n p(un , un 1) Do đó, m p(un , um ) p(u0, u1) n k[p(un , un 1) kp(un , un 1) p(un 1, um )] k 2p(un 1, un ) km n [p(um 2, um 1) [k n k2 n km n m km n m [k n k2 n km n m km n (k )2 k n [1 k (k )m n ]p(u0, u1) ]p(u0, u1) (k )m n ]p(u0, u1) n k k m p(um 1, um )] p(u0, u1 ) Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), {un } dãy Cauchy E Vì E đầy đủ, nên {un } hội tụ đến điểm w Vì p(un ,.) s E Cố định n p(un , w) lim inf kp(un , um ) m nửa liên tục dưới, nên k2 n p(u0, u1) k (2.14) Giả sử w không điểm bất động chung S1 S Khi theo giả thiết ta có inf{p(s, w) min{p(S1(s), s), p(S2(s), s)} : s inf{p(un , w) min{p(S1(un ), un ), p(S2(un ), un )} : n k2 n inf p(u0, u1) k k2 n inf p(u0, u1) k S1(w) Mâu thuẫn dẫn đến w Lấy S1 S2 E} } p(un 1, un ) : n n p(u0, u1) : n S2(w) S , ta có: Hệ 2.2.8 Cho p (E, ) với số k t metric đầy đủ khoảng cách không gian b S : E E toàn ánh Giả sử 19 r k: p(S 2(s), S (s)) với s (2.15) E inf{p(s, t ) với t rp(S (s), s) E với t p(S(s), s) : s E} (2.16) S (t ) Khi S có điểm bất động E Áp dụng Hệ 2.2.8, ta có kết sau Định lí 2.2.9 Cho (E, ) khơng gian b E tồn ánh liên tục Giả sử r S : E (S 2(s), S (s)) với s E Khi z Chứng minh Xét t metric đầy đủ với số k E : S (z ) t k: r (S (s), s) z khoảng cách E Giả sử tồn t E với S (t ) inf{ (s, t ) Khi {sn } (S(s), s) : s lim{ (sn , t ) (sn , t ) (S (sn ), sn ) (S (sn ), t ) Suy lim S (sn ) n (S(sn ), sn )} 0 n Mặt khác ta có (S (sn ), sn ) n (sn, t ) t Vì S liên tục, nên S (t ) Mâu thuẫn kéo theo t S (lim sn ) n Theo Hệ 2.2.8, z lim S(sn ) n t S (t ) , từ inf{ (s, t ) E : S (z ) (S(s), s) : s E} z Định lí 2.2.10 Cho (E, ) khơng gian b cho S : E E: n Suy E} metric đầy đủ với số k E toàn ánh liên tục Giả sử r 20 k: (S (s), S(t )) với s, t r min{ (s, S(s)), (S(t), t), (s, t)} E Khi z E : S (z ) t Chứng minh Xét (2.17) z khoảng cách E Thay t S (s ) (2.17), ta có (S (s), S 2(s)) với s r min{ (s, S (s)), (S 2(s), S (s)), (s, S (s))} S (s) rõ ràng S có điểm bất động Khơng tính E Nếu S (s) tổng quát, ta giả sử S (s) S 2(s) Vì r k (S 2(s), S (s)) với s (2.18) , nên từ (2.18) suy r (S (s), s) E Bằng cách tương tự chứng minh Định lí 2.2.9, ta khẳng định t S (t ) inf{ (s, t ) Từ đó, theo Hệ 2.2.8, z 2.3 Các lớp m (S(s), s) : s E : S (z ) E}> z hàm Năm 2015, Khojasteh [7] giới thiệu khái niệm hàm mô phỏng, gọi tắt m hàm, tổng quát điều kiện co Banach sau: Định nghĩa 2.3.1 ([7]) m : [0, hàm ánh xạ ) [0, ) thỏa lim sn mãn điều kiện sau: ( ) (0, 0) 0; ( ) (t, s) s t với s, t ( ) {tn } {sn } dãy số dương cho lim tn n lim sup (tn , sn ) n n Ví dụ 2.3.2 Cho i : [0, ) [0, với i ) 21 1,2, xác định (1) (t, s) (s) (t ) với t, s hai hàm liên tục cho (t ) với t (2) (t, s ) f (t, s) (3) : [0, ) f (t, s ) t với t, s g(t, s ) ) [0, ) (0, g(t, s) với (t, s) s i t : [0, ) [0, ) (t ) t (t ) (s) ) , [0, ) hai hàm liên tục theo biến cho t, s t với t, s [0, ), t ) hàm liên tục cho (t ) [0, Khi (t ) , 0; s f , g : [0, ) , [0, với i 1,2, m hàm Roldán- López-de-Hierro sửa đổi khái niệm m Định nghĩa 2.3.3 m : [0, hàm ánh xạ hàm sau: ) [0, ) thỏa mãn điều kiện sau: ( ) (0, 0) 0; ( ) (t, s) s t với s, t 0; ( ) Nếu {tn } {sn } hai dãy số dương cho lim tn n tn sn với n Lớp tất m m lim sup (tn , sn ) lim sn n 0 n hàm : [0, ) [0, kí hiệu ) hàm theo nghĩa Khojasteh [7] m hàm theo nghĩa Roldán- López-de-Hierro, ngược lại khơng ví dụ sau: Ví dụ 2.3.4 Lấy k cho k (t, s ) Khi m 2s ks 2t, s t, s hàm xác định t t hàm theo nghĩa Định nghĩa 2.3.3, thỏa mãn điều kiện ( ) Định nghĩa 2.3.1 22 không Định nghĩa 2.3.5 Cho (E, d ) không gian metric đầy đủ Ánh xạ S : E gọi - co tồn cho (d(Ss, St ), d(s, t )) với s, t (2.19) E Chú ý 2.3.6 Nếu lấy (t, s) Định nghĩa 2.3.5 s t với s, t t , hàm khơng gian b khoảng cách Trong mục này, ta xét khái niệm m hàm tồn điểm bất động cho ánh xạ không gian b t [0,1) co trở thành co Banach 2.4 Một số định lí điểm bất động m metric với E metric đầy đủ có khoảng cách Trước tiên C Mongkolkehaa, Y J Chob and P Kumam [9] cải tiến khái niệm m Định nghĩa 2.4.1 Cho : [0, ) [0, hàm sau: m số thực cho hàm ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: ) ( ) (0, 0) 0; ( ) ( t, s) s t với s, t 0; ( ) Nếu {tn } {sn } dãy số dương cho lim sup tn n lim sup sn n tn sn với n lim sup ( tn , sn ) n Ví dụ 2.4.2 Lấy , : [0, ) [0, ) xác định s ( t, s ) Rõ ràng (0, 0) Xét ánh xạ cho t, s s s t t , s t nên thỏa mãn ( ) 23 thỏa mãn ( ) Thật vậy, s, t 0, s t ( t, s ) t s ( t, s ) Tiếp theo, ta số dương cho lim sup tn thỏa mãn ( sn sn n lim sup n n lim sup n Khi m s t s s ) Nếu {tn } {sn } dãy sn với n tn lim sup sn n sn tn tn tn sn tn lim inf(1) tn 1 n hàm theo nghĩa Định nghĩa 2.4.1, ,với n n 2 lim sup (tn , sn ) sn lim sup 2 n n tn mãn điều kiện ( ) Định nghĩa 2.3.1 Thật vậy, lấy sn t tn sn tn lim sup t tn n lim sup n t s s lim sup sn n lim sup ( tn , sn ) s không thỏa , tn 2 tn n 2 lim sup( n ) n Định lí 2.4.3 Cho (E, ) tập thứ tự phận, (E, ) không gian b metric đầy đủ với số k S :E (i ) d t khoảng cách E Giả sử E ánh xạ không giảm thỏa mãn: : (kd(S (u), S 2(u)), d(u, S (u))) với (u, Su) (ii ) với u E ; E mà (u, Su) E , 24 (2.20) inf{d(u, v) với v E với v E : Sz (Su0, S 2u0 ) n, m E z Ngồi ra, Sz z d(z, z ) u0 định lí chứng minh Giả sử kết luận Chứng minh Nếu Su0 không Khi Sv E cho (u0, Su0 ) (iii ) tồn u0 Khi z d(u, Su)} E : (u0, Su0 ) u0 E Vì S khơng giảm, nên ta có X Tiếp tục trình này, ta (S nu0, S mu0 ) E với Ta chứng minh lim d(S nu0, S n 1u0 ) n Theo giả thiết (i) tính chất (2.21) , ta có (kd(S nu0, S n 1u0 ), d(S n 1u0, S nu0 )) (2.22) d(S n 1u0, S nu0 ) kd(S nu0, S n 1u0 ) với n Vì s nên từ (2.22), suy d(S nu0, S n 1u0 ) kd(S nu 0, S n 1u ) d (S n 1u 0, S nu ) (2.23) Điều có nghĩa dãy {d(S nu0, S n 1u0 )} dãy giảm số thực khơng âm nên hội tụ đến r Giả sử r Trƣờng hợp Nếu k (2.23), ta r , cho n kr r điều mâu thuẫn Trƣờng hợp Nếu k , đặt tn d(S n 1u0, S n 2u0 ) sn k(S nu0, S n 1u0 ) , dãy {ktn } {sn } có giới hạn dương Đồng thời, dãy {ktn } {sn } có giới hạn dương, tn sn với n Theo điều kiện ( ) Định nghĩa 2.4.1 ta có lim sup (kd(S n 1u0, S n 2u0 ), d(S nu0, S n 1u0 )) n 25 lim sup (ktn, sn ) n Điều mâu thuẫn Suy r , khẳng định (2.21) chứng minh Tiếp theo, ta chứng minh lim d(S nu0, S mu0 ) n ,m Giả sử điều không Khi ta tìm cho với mk dãy {mk },{nk } nk n m d(S k u0, S k u0 ) với k (2.24) (2.25) {1,2, 3, } Giả sử mk số nhỏ cho (2.21) xảy Khi n d(S k u0, S mk u0 ) (2.26) Mặt khác n m d(S k u0, S k u0 ) n k[d(S k u0, S k Cho k kd(S mk u0 ) d(S mk mk m u0, S k u0 )] m u 0, S k u ) bất đẳng thức dùng (2.21), ta có n m lim sup d(S k u0, S k u0 ) k k (2.27) Bây giờ, ta chứng minh lim sup d(S nk u 0, S n mk u0 Nếu lim sup d(S nk u 0, S k tồn {kr } mk u0 ) , cho lim sup d(S nk r r Theo giả thiết (i) tính chất u 0, S mk r , ta có 26 u0 ) (2.28) (kd(S nk u 0, S r n d(S kr u0, S mk mk u0 ) r n u0 ), d(S kr u 0, S r kd (S nk u 0, S r mk mk r r u )) (2.29) u ) Từ ta có kd(S nk u 0, S r mk n u0 ) r d(S kr u0, S mk r u0 ) , (2.30) Từ (2.27), (2.28) (2.30), ta k lim sup kd (S r mk r u 0, S n lim sup d(S kr u0, S mk r r Vì vậy, dãy {ktk r kd(S nk r u 0, S giới hạn dương tk mk mk u0 ) u0 ) k u0 )} {sk r r sk với r r r k n mk d(S kr u0, S r u0 )} có Theo tính chất ( ) , ta kết r luận lim sup (kd(S nk u 0, S r r lim sup (ktk , sk ) r r r mk r n u0 ), d(S kr u0, S mk r u0 )) Điều mâu thuẫn, (2.24) xảy Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), {S nu0 } metric đầy đủ, nên dãy {S nu0 } hội tụ đến dãy Cauchy Vì E khơng gian b phần tử z N E Từ lim d(S nu0, S mu0 ) m,n cho n suy với N kéo theo N d(S u0, S nu0 ) Vì p(x, ) k nửa liên tục dãy {S nu0 } hội tụ đến z , nên ta có N d(S u0, z ) Đặt , tồn N k2 N lim inf kd(S u0, S nu0 ) n k (2.31) nk Theo (2.31), ta có n lim d(S k u0, z ) n 27 (2.32) Bây giờ, ta chứng minh z điểm bất động S Giả sử Sz n (S k u0, S với n nk u0 ) z Vì E , nên theo giả thiết (ii), (2.21) (2.32), ta có n n inf{d(S k u0, z ) d(S k u0, S , điều mâu thuẫn Do Sz n nk u0 )} z Xét hai trường hợp phân biệt Trƣờng hợp Nếu k (d(Sz, S 2z ), d(z, Sz )) (d(z, z ), d(z, z )) d(z, z ) d(z, z ) Do (d(Sz, S 2z ), d(z, Sz )) Theo ( ) , ta d(z, z ) Trƣờng hợp Nếu k d(z, z ) kd(z, z ) [0,1] (s, t ) E xác định d(s, t ) {(s, t ) (s E E :s n S (s ) t )2 với t s, t khoảng cách d t {0} { :n 2n 1}} E ánh xạ xác định s vậy, với n | t |2 Xét tập hợp sau: với thứ tự thông thường Cho S : E với s (kd(s, s), d(s, s)) s)p(x, x ) (1 Do ta phải có d(z, z ) Ví dụ 2.4.4 Cho E E (kd(Sz, S 2z ), d(z, Sz )) Suy d(z, z ) s ,n 2n 2n E Hiển nhiên, S không giảm thỏa mãn điều kiện (ii) Thật tùy ý, ta có 2n S ( n ) Với n 28 , ta có inf d Lấy hàm : [0, 2m ) [0, 2n 1 , 2m 2m d 1 22n :m 2m xác định ) s (t, s ) t s với t, s [0, ) Tương tự, Ví dụ 2.4.2, hàm xác định m hàm theo nghĩa Định nghĩa 2.4.1 Bây ta S thỏa mãn điều kiện (i) Lấy s với ( 1 , S ( )) 2n 2n 2n E Khi ta có (2d(Ss, S 2s ), d(s, Ss )) (2d( (2 2n , 1 2n 2n , ), d( 2n 2 1 , )) 2n 2n 1 ) (22n 22n )(22n 22n 22n 22n (22n )(22n ) 22n 1 1) 2n 2 2n 22n 22n (2 1) (22n )(22n 1) 1 Do đó, giả thiết Định lí 2.4.3 thỏa mãn, s điểm bất động T Định lí 2.4.5 Cho (E, ) tập thứ tự phận (E, ) không gian b metric đầy đủ với số k Giả sử S : E d E ánh xạ không giảm tồn (kd(Ss, S 2s), d(s, Ss)) với (s, Ss ) t khoảng cách E cho E Giả sử điều kiện sau xảy ra: 29 (i ) với s E : (s, Ss ) E , inf d(s, t ) với t E mà t d(s, Ss ) St (ii ) hai dãy {sn } {Ssn } hội tụ đến z , z Sz (iii ) S liên tục E Nếu tồn s0 E cho (s0, Ss0 ) E , S có điểm bất động E Chứng minh Trường hợp S thỏa mãn điều kiện (i), kết luận chứng minh Định lí 2.4.3 Ta chứng minh (ii) Lấy t E với t (i) Giả sử điều kiện (ii) xảy St cho inf d(s, t ) d(s, Ss) : (s, Ss) Khi đó, tồn dãy {z n } cho (zn , Szn ) inf d(zn , t ) E E d(zn , Szn ) Do đó, ta có lim d(zn , t ) n Theo Bổ đề 2.1.8 , ta có lim Szn n Từ (2.33) k t Hơn nữa, lim S 2z n n (kd(Szn , S 2zn ), d(zn , Szn )) t Mặt khác d(zn , Szn ) kd(Szn , S 2z n ) (2.33) , suy lim d(Szn , S 2zn ) n Đặt sn lim d(z n , Sz n ) n lim kd(Szn , S 2zn ) n lim d(zn , Szn ) n Sz n , ta dãy {sn } {Ssn } hội tụ đến t Do đó, theo giả thiết (ii), ta có t St Vậy (ii) (i) Hiển nhiên, (iii) 30 (ii) KẾT LUẬN Luận văn trình bày: Tổng quan hệ thống vài kết không gian b số định lý điểm bất động không gian b metric metric Một số kết nghiên cứu S.K Mohanta điểm bất động không gian b metric với t khoảng cách Các kết trình bày Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.4, Định lí 2.2.5, Định lí 2.2.6, Định lí 2.2.7, Định lí 2.2.9 Định lí 2.2.10 Một số kết gần C Mongkolkehaa, Y.J Chob P Kumam điểm bất động không gian b metric m hàm với khoảng cách Các kết trình bày Định lí 2.4.3, Định lí 2.4.5 31 t TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aghajani A., Abbas M., Roshan J.R.(2012), Common Fixed Point of Generalized Weak Contractive Mappings in Partially Ordered b-Metric Spaces, Math Slovaca [2] Bakhtin A (1989), “The contraction mapping principle in quasimetric spaces”, Funct Anal Unianowsk Gos Ped Inst 30, 26–37 [3] Czerwik S (1993), “Contraction mappings in b- metric spaces”, Acta Math Inform Univ Ostrav 1, 5-11 [4] Hussian N., Saadati R and Agrawal R.P (2014), On the topology and wt-distance on metric type spaces, fixed Point Theory Appl [5] Ili ć D., Rako č evi ć V (2008), “Common fixed points for maps on metric space with [6] - distance”, Appl Math Comput., 199, 599-610 Kada O., Suzuki T and Takahashi W (1996), “Nonconvex minimization theorems and fixed point theorems in complete metric spaces”, Math Japon 44, 381-391 [7] Khojasteh F., Shukla S and Radenovic S (2015)ù, “A new approach to the study of fixed point theorems via simulation functions”, Filomat 96, 1189-1194 [8] Mohanta S.K (2015), “Some fixed point theorems using wt-distance in b-metric spaces”, Fasc Math Nr 54, 125-140 [9] Mongkolkehaa C., Chob Y.J., and Kumam P (2017), “Fixed point theorems for simulation functions in b-metric spaces via the wtdistance”, Appl Gen Topol 18, no 1, 91-105 32 ... Chƣơng KHÔNG GIAN b 1.1 Không gian b METRIC metric 1.2 Định lí Banach không gian b- metric …… …… …………… Chƣơng ĐỊNH LÍ ĐIỂM B T ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN b METRIC VỚI 2.1 t KHOẢNG CÁCH... rộng khơng gian metric trình b y số kết điểm b t động không gian b metric với t khoảng cách Với mục đích đó, chúng tơi chọn đề tài: Định lí điểm b t động khơng gian b metric với t khoảng cách Nội... khoảng cách t khoảng cách khơng gian b 2.2 Một số định lí điểm b t động không gian b metric metric với t khoảng cách 10 2.3 Các lớp m hàm 21 2.4 Một số định lí điểm b t