Một số định lí điểm bất động trong không gian nón metric

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Nguyn Cụng Anh MT S NH L IM BT NG TRONG KHễNG GIAN NểN-METRIC LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh - 2012 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Nguyn Cụng Anh MT S NH L IM BT NG TRONG KHễNG GIAN NểN-METRIC Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS.TS NGUYN BCH HUY Thnh ph H Chớ Minh - 2012 Li cm n Tụi xin dnh nhng dũng u tiờn ca lun by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc n PGS.TS Nguyn Bớch Huy, l ngi Thy ó ch dy tn tõm v nhit tỡnh vic nghiờn cu khoa hc, l ngi Cha luụn ng viờn, giỳp tụi cú nim tin v ngh lc hon thnh lun ny Bờn cnh ú, tụi xin gi li cm n chõn thnh ti tt c cỏc Thy, Cụ ang ging dy Khoa Toỏn Tin hc, Trng i Hc S Phm Thnh Ph H Chớ Minh ó tn tỡnh giỳp , truyn t nhng kin thc b ớch cho tụi sut khúa hc Tụi xin cm n ban lónh o v chuyờn viờn phũng khoa hc cụng ngh sau i hc, ban ch nhim khoa Toỏn -Tin trng HSP TPHCM ó to thun li cho chỳng tụi c khúa hc Tụi cng rt cm n cỏc bn, cỏc anh ch hc viờn khúa 19, 20, 21 ó cựng tụi chia s bun vui, nhng khú khn sut quỏ trỡnh hc Cui cựng tụi xin dnh trn tm lũng bit n ca mỡnh i vi nhng ngi thng yờu gia ỡnh nh b m, cỏc anh, cỏc em Nhng ngi ó luụn ng viờn tinh thn v l ch da cho tụi v mi mt Tp.HCM, Ngy 30 thỏng 03 nm 2012 Hc viờn Nguyn Cụng Anh Mc lc Mc lc Li m u im bt ng khụng gian nún mờtric 1.1 Khụng gian nún mờtric 1.2 im bt ng ca ỏnh x dng co 16 1.3 im bt ng chung 22 1.3.1 im bt ng chung ca ỏnh x dng co 22 1.3.2 im bt ng chung cho cỏc ỏnh x tng thớch yu 26 1.3.3 im bt ng chung ca nhng ỏnh x gión khụng gian nún mờtric 31 1.4 im bt ng ca mt s ỏnh x khụng gión 42 1.4.1 nhxc-khụng gión 42 1.4.2 Mt s nh lý ỏnh x co m rng 45 1.5 nh lý Kirk-Caristi 53 im bt ng khụng gian nún -chun 59 2.1 Mt nh lý im bt ng kiu Krasnoselskii khụng gian nún chun 59 2.2 o phi compac vi giỏ tr nún v ng dng 63 Ti liu tham kho 67 Danh sỏch cỏi ti liu 68 Li m u Lý thuyt im bt ng i t nhng nm 1920 v c phỏt trin mnh m cho n tn hụm Nú l cụng c chớnh chng minh s tn ti v nht nghim ca nhiu lp phng trỡnh xut phỏt t Toỏn hc v khoa hc Cỏc nh lý im bt ng khụng gian vi mờtric l mt ỏnh x nhn giỏ tr mt nún ca khụng gian vect c bt u nghiờn cu t nhng nm 1950 phc v vic nghiờn cu cỏc phng trỡnh vi phõn v quỏ trỡnh tớnh toỏn gn ỳng Nhng nm gn õy vic nghiờn cu cỏc im bt ng khụng gian nún mờtric c quan tõm tr li vi hng chc bi bỏo v ti ny c cụng b Rt nhiu nh lý v im bt ng ca ỏnh x khụng gian mờtric thụng thng ó c m rng cho khụng gian nún -mờtric Vic h thng li cỏc kt qu lnh vc ny l cn thit cú mt cỏi nhỡn tng quan v cỏc kt qu ó t c Ni dung lun bao gm 02 chng: Chng 1: Trỡnh by cỏc khỏi nim ca khụng gian nún -mờtric, t ú a cỏc nh lý im bt ng khụng gian nún mờtric ca ỏnh x co, ỏnh x khụng gión ng thi trỡnh by cỏc nh lý im bt ng chung ca ỏnh x dng co, ỏnh x tng thớch yu, ỏnh x gión khụng gian nún -mờtric V cui cựng trỡnh by nh lý Kirk -Caristi Chng 2: Trỡnh by nh lý im bt ng kiu Krasnoselskii khụng gian nún chun o phi compac vi giỏ tr nún v ng dng Tuy nhiờn, thi gian v iu kin nghiờn cu cú hn, dự ó ht sc c gng nhng lun cng khụng trỏnh nhng sai sút ngoi ý mun Do ú, tụi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp, phờ bỡnh, xõy dng ca cỏc thy cụ v cỏc bn tham kho ti ny Chng im bt ng khụng gian nún mờtric 1.1 Khụng gian nún mờtric Lý thuyt im bt ng i t nhng nm 1920, phỏt trin rt mnh m v ó tr thnh trung tõm ca cỏc hot ng nghiờn cu gn õy Nú cú ng dng rng rói nhiu lnh vc khỏc nh h thng iu kin tng thớch khụng tuyn tớnh, bi toỏn c lng tham s, lnh vc tớnh toỏn v gii mó Gn õy, Huang v Zhang ó a khỏi nim khụng gian nún mờtric, thay th hp nhng s thc bng khụng gian Banach cú th t v ó thu c nhng nh lý im bt ng cho cỏc ỏnh x tha cỏc iu kin co T ú, vic nghiờn cu nh lý im bt ng khụng gian ny c nhiu nh toỏn hc quan tõm v phỏt trin m rng xem xột c th, trc tiờn ta a nh ngha khụng gian nún mờtric cng nh cỏc khỏi nim khụng gian ú 1.1.1 nh ngha: Cho E l khụng gian Banach thc v P l ca E Tp P c gi l nún nu tha: (i) P úng, khỏc rng v P {0} (ii) a, b ẻ R, a, b 0, x, y ẻ P thỡ ax + by ẻ P (iii) x ẻ P v - x ẻ P thỡ ax + by ẻ P V ta xỏc nh quan h th t sau: x Ê y v ch y - x ẻ P Ký hiu x < y nu x Ê y v x y x y nu y - x ẻ intP 1.1.2 Mnh : Gi s Ê l th t E sinh bi nún P Khi ú: x Ê y,0 Ê a Ê b thỡ ax Ê by x Ê y ị x + z Ê y + z , l x Ê l y (" z ẻ X , " l 0) ( xn Ê yn (n ẻ N * ),lim xn = x,lim yn = y ) ị x Ê y Nu {xn } l dóy tng, hi t v x thỡ xn Ê x" n ẻ N * Chng minh: 1.Hin nhiờn Hin nhiờn Suy t tớnh úng ca nún P Vỡ {xn } l dóy tng nờn xn Ê xn +m Ly gii hn m đ Ơ bờn ta cú iu phi chng minh 1.1.3 Mnh : Cho P l nún, x ẻ P, a ẻ R,0 Ê a < 1, x Ê ax thỡ x=0 Chng minh: Ta cú: Nu x Ê ax ị ax - x = (a - 1) x ẻ P Mt khỏc x ẻ P v Ê a < ị (1 - a ) > nờn (1 - a ) x ẻ P Vy theo nh ngha 1.1, ta cú iu phi chng minh 1.1.4 nh ngha: Nún P c gi l nún chun nu tn ti K > cho " x, y ẻ E : Ê x Ê y ị || x ||Ê K || y || S dng K nh nht tha iu kin trờn c gi l hng s chun ca nún P 1.1.5 Mnh Gi s Ê l th t sinh bi nún chun Khi ú: Nu u Ê v thỡ on < u , v >= : {x ẻ X : u Ê x Ê v} b chn theo chun Nu xn Ê yn Ê zn (n ẻ N * ) v lim xn = a,lim zn = a thỡ lim yn = a Nu {xn } n iu, cú dóy hi t v a thỡ lim xn = a Chng minh: " x ẻ < u , v >ị Ê x - u Ê v - u ị || x - u ||Ê K || v - u ||ị || x ||Ê|| u || +K || v - u || Ê yn - xn Ê zn - xn ị || yn - xn ||Ê K || zn - xn || Ta gi s {xn } l dóy tng v lim xnk = a Vỡ " n, xn Ê xnk ( vi k ln) nờn kđ Ơ xn Ê a Cho e > v chn k0 || xnk - a ||< e thỡ ta cú: N " n > nk0 ị a - xn Ê a - xnk ị || a - xn ||Ê k || a - xnk ||< e 0 1.1.6 nh ngha Nún K c gi l nún chớnh quy nu mi dóy tng, b chn trờn thỡ hi t Tc l nu dóy {x}n tha x1 Ê x2 Ê Ê y ẻ E thỡ tn ti x thuc E lim || xn - x ||= nđ Ơ V nh ngha ny tng ng vi nún P l nún chớnh quy nu mi dóy gim, b chn di thỡ hi t 1.1.7 Mnh Nún chớnh quy l nún chun Chng minh Gi s K l nún chớnh quy nhng khụng l nún chun Khi ú: " n ẻ N * , $ xn , yn : Ê xn Ê yn ,|| xn ||> n || yn || xn y , = n thỡ || xn || || xn || t un = Ê un Ê ,|| un ||= 1,|| ||< Ơ Vỡ || v n n =1 n2 Ơ ||< Ơ nờn tn ti v := n =1 Dóy sn := u1 + u2 + + un tng, b chn trờn (bi u) nờn hi t Suy lim un = (vụ lý) 1.1.8 Mnh Khụng cú nún chun cú hng s chun K , chn c ẻ E ,0 c v K || c ||< e Khi ú cú N, vi mi n > N , d ( xn , x) c Vỡ th " n > N ,|| d ( xn , x) ||Ê K || c ||< e , tc l d ( xn , x) đ 0(n đ Ơ ) Chiu o Gi s rng d ( xn , x) đ 0(n đ Ơ ) Ly c ẻ E ,0 c , tn ti d > m || x ||< d , tc l c - x ẻ intP Vi d > thỡ tn ti N, cho vi mi n > N ,|| d ( xn , x) ||< d Vỡ c - d ( xn , x) ẻ intP , tc l d ( xn , x) c Vỡ th xn đ x(n đ Ơ ) , 1.1.14 Mnh : Cho (X, d) l mt khụng gian nún mờtric Nu {xn } hi t X thỡ gii hn ú l nht Chng minh Vi mi c ẻ E ,0 c , tn ti N cho vi mi n > N , d ( xn , x) c, d ( xn , y ) c Ta cú: d ( x, y ) Ê d ( xn , x) + d ( xn , y ) Ê 2c Vỡ th || d ( x, y ) ||Ê K || c || Vỡ c l bt k nờn ta cú d ( x, y ) = , tc l x=y 1.1.15 Mnh Trong khụng gian nún mờtric (X,d) thỡ mi dóy hi t u l dóy Cauchy Chng minh Ly c ẻ E ,0 c , tn ti N cho vi mi: c c n, m > N , d ( xn , x) , d ( xm , x) 2 Chớnh vỡ th: d ( xn , xm ) Ê d ( xn , x) + d ( xm , x) c Suy {xn } l dóy Cauchy X 1.1.16 Mnh Cho (X,d) l khụng gian nún mờtric P l nún chun vi hng s chun K Mi dóy {xn } l Cauchy v chi d ( xn , xm ) đ 0(n, m đ Ơ ) Chng minh Chiu thun Gi s {xn } l dóy Cauchy Vi mi e > , chn c ẻ E ,0 c v K || c ||< e Khi ú, tn ti N cho vi mi n, m > N , d ( xn , xm ) c Do ú, n, m > N thỡ: || d ( xn , xm ) ||Ê K || c ||< e Vy d ( xn , xm ) đ 0(n, m đ Ơ ) Chiu o Gi s d ( xn , x) đ 0(n đ Ơ ) Ly c ẻ E ,0 c , tn ti d > m || x ||< d , tc l c - x ẻ intP Vi d > thỡ tn ti N, cho vi mi n > N ,|| d ( xn , x) ||< d Vỡ c - d ( xn , x) ẻ intP , tc l d ( xn , x) c Vỡ th xn đ x(n đ Ơ ) Vy {xn } l dóy Cauchy 1.1.17 Mnh Cho (X,d) l khụng gian nún mờtric P l nún chun vi hng s chun K Ly dóy {xn } v { yn } X m xn đ x, yn đ y (n đ Ơ ) thỡ: d ( xn , yn ) đ d ( x, y )(n đ Ơ ) Chng minh Vi mi e > , chn c ẻ E ,0 c v || c ||< e 4K + Vỡ xn đ x, yn đ y nờn tn ti N cho vi mi n > N , d ( xn , x) c, d ( yn , y ) c Ta cú: d ( xn , yn ) Ê d ( xn , x) + d ( x, y ) + d ( yn , y ) Ê d ( x, y ) + 2c d ( x, y ) Ê d ( xn , x) + d ( x, y ) + d ( yn , y ) Ê d ( xn , yn ) + 2c Suy ra: Ê d ( x, y ) + 2c - d ( xn , yn ) Ê 4c V || d ( xn , yn ) - d ( x, y ) ||Ê|| d ( x, y ) + 2c - d ( xn , yn ) || + || 2c ||Ê (4 K + 2) || c ||< e Vỡ th d ( xn , yn ) đ d ( x, y ) (n đ Ơ ) Ta cú iu phi chng minh 1.1.18 Mnh Cho (X,d) l mt khụng gian nún mờtric, {xn } l dóy X Nu {xn } hi t ti x v {xnk } l dóy ca {xn } thỡ {xnk } hi t ti x 1.1.19 Mnh : Cho (X,d) l mt khụng gian nún mờtric, {xn } l dóy X Nu {xn } l dóy Cauchy v cú dóy {xnk } hi t ti x thỡ {xn } hi t ti x Chng minh c Vi mi c ẻ E ,0 c , tn ti N1 cho vi mi k > N1 , d ( xnk , x) Mt khỏc c {xn } l dóy Cauchy nờn tn ti N cho vi mi n, m > N , d ( xn , xm ) t N = max{N1 , N } Vi mi n > N, ly k > N thỡ ta cú: c c d ( xn , x) Ê d ( xn , xnk ) + d ( xnk , x) + = c 2 Do ú {xn } hi t ti x 1.1.20 Mnh : Cho (X, d) l mt khụng gian nún mờtric, {xn } l dóy X Nu tn ti dóy {an } R, vi an > " n, an < Ơ , tha d ( xn +1 , xn ) Ê an M , " n ẻ N vi M ẻ E , M Thỡ {xn } l dóy Cauchy ( X , d) Chng minh Gi s n > m thỡ d ( xn , xm ) Ê d ( xn , xn- ) + d ( xn- , xn- ) + + d ( xm+1 , xm ) n- d ( xn , xm ) Ê (an - + an - + + am ) M = M ak k =m Ly c ẻ E ,0 c Chn e > cho c + Ne (0) P vi Ne (0) = { y ẻ E :|| y ||< e} Vỡ ồa n < Ơ nờn ta cú th ly s N ln cho n- n- k =m k =m | ak | || M ||=|| M ak ||< e n- n- k =m k =m Vi mi n > m N Cho nờn ta cú M ak ẻ Ne (0) v - M ak ẻ Ne (0) vi mi n > m N Vỡ th n- n- k =m k =m c - M ak ẻ c + Ne (0) ị c - M ak ẻ intP vi mi n > m N Do ú, n- M ak c vi mi n > m N T õy, ta cú: k =m d ( xn , xm ) c, " n > m N Vy ta ó chng minh c {xn } l dóy Cauchy (X, d) 1.1.21 nh ngha Gi s E v F l khụng gian Banach thc v P, Q ln lt l nún xỏc nh trờn E v F Gi (X, d) v (Y , r ) l khụng gian nún mờtric vi d : X X đ E v r : Y Y đ F Hm f : X đ Y c gi l liờn tc ti x0 ẻ X Nu v ch nu vi mi c ẻ F ,0 c , tn ti b ẻ E ,0 b cho r ( f ( x), f ( x0 )) c vi x ẻ X , d ( x, x0 ) b Nu f l liờn tc ti mi im ca X, thỡ nú liờn tc trờn X 1.1.22 Mnh Gi s (X, d) v (Y , r ) l khụng gian nún mờtric Khi ú, hm f : X đ Y l liờn tc ti x0 ẻ X nu v ch nu mi dóy {xn } X hi t ti x0 ẻ X thỡ dóy { f ( xn )} hụi t ti f ( x0 ) Chng minh (ị ) Gi s f l liờn tc ti x0 ẻ X v ly {xn } l dóy X hi t v x0 Chỳng ta cn chng minh rng { f ( xn )} hi t ti { f ( x0 )} Tht vy, ly c ẻ F ,0 c , vỡ f l liờn tc ti x0 nờn ta cú th ly b ẻ E ,0 b cho vi mi x ẻ X m d ( x, x0 ) b suy r ( f ( xn ), f ( x0 )) c Mt khỏc, dóy {xn } hi t ti x0 nờn tn ti N cho d ( xn , x) b vi mi n N Do ú, vi mi n N , r ( f ( xn ), f ( x0 )) c Vỡ vy lim f ( xn ) = f ( x0 ) nđ Ơ (ĩ ) Bõy gi gi s vi mi dóy {xn } X hi t ti x0 , dóy { f ( xn )} hi t ti { f ( x0 )} Chỳng ta s chng minh rng f liờn tc ti x0 Ta gi s trỏi li, ú tn ti c ẻ F ,0 c cho vi mi b ẻ E ,0 b , v x ẻ X tha d ( x, x0 ) b nhng c - r ( f ( x), f ( x0 )) ẽ intQ Ta c nh b , chỳng ta cú b vi mi n ẻ N Do ú chỳng ta tỡm c dóy {xn } X n cho d ( xn , x0 ) b nhng c - r ( f ( x), f ( x0 )) ẽ intQ vi n = 1, 2, n Mt khỏc, vỡ b đ n đ Ơ nờn dóy {xn } hi t ti x0 , nhng dóy n { f ( xn )} khụng hi t ti { f ( x0 )} (bi vỡ c - r ( f ( x), f ( x0 )) ẽ intQ ) iu ny trỏi vi gi thit nờn ta cú iu phi chng minh 1.2 im bt ng ca ỏnh x dng co Trong phn sau, chỳng ta s a v chng minh mt s nh lý im bt ng ca ỏnh x dng co khụng gian nún mờtric 1.2.1 nh lý Cho (X, d) l khụng gian nún mờtric y , nún chun P v hng s chun K Gi s ỏnh x T : X đ X tha iu kiu co d (Tx, Ty ) Ê kd ( x, y ) vi mi x, y ẻ X vi hng s k ẻ [0;1) Khi ú T cú im bt ng nht X, ghi l x0 , v lim T n x = x0 vi mi x ẻ X nđ Ơ Chng minh Chng minh tn ti Ly x ẻ X , t: x1 = Tx, x2 = Tx1 = T x, , xn+1 = Txn = T n+1 x, n ẻ N Ta cú: d ( xn +1 , xn ) = d (Txn , Txn - ) Ê k d ( xn , xn - ) Ê k d ( xn - , xn - ) Ê Ê k n d ( x1 , x) Ly n > m , ta cú: d ( xn , xm ) Ê d ( xn , xn- ) + d ( xn- , xn- ) + + d ( xm+1 , xm ) Ê (k n- +k n- km d ( x1 , x) + + k )d ( x1 , x) Ê 1- k m Suy km || d ( xn , xm ) ||Ê K || d ( x1 , x) || 1- k tc l d ( xn , xm ) đ 0(n, m đ Ơ ) Vỡ th {xn } l dóy Cauchy M X l y nờn tn ti x0 ẻ X , xn đ x0 (n đ Ơ ) Mt khỏc: d (Tx0 , x0 ) Ê d (Txn , Tx0 ) + d (Txn , x0 ) Ê kd ( xn , x0 ) + d ( xn +1 , x0 ) ị || d (Tx0 , x0 ) ||Ê K (k || d ( xn , x0 ) || + || d ( xn +1 , x0 ) ||) đ Suy ra: || d (Tx0 , x0 ) ||= , tc l Tx0 = x0 , hay x0 l im c nh ca T Chng minh nht Gi s cú y0 l im cú nh khỏc ca T Ta cú: d ( x0 , y0 ) = d (Tx0 , Ty0 ) Ê kd ( x0 , y0 ) tc l || d ( x0 , y0 ) ||= 0, x0 = y0 Vy ch cú nht im c nh nht 1.2.1.1 H qu Cho (X, d) l khụng gian nún mờtric y , nún chun P v hng s chun K Cho c ẻ E vi c v x0 ẻ X t B ( x0 , c) = {x ẻ X | d ( x0 , x) Ê c} Gi s ỏnh x T : X đ X tha iu kiu co d (Tx, Ty ) Ê kd ( x, y ) vi mi x, y ẻ B ( x0 , c) vi hng s k ẻ [0;1) v d (Tx0 , x0 ) Ê (1 - k )c Thỡ T cú im bt ng nht B ( x0 , c) Chng minh Ta ch cn chng minh rng B ( x0 , c) l y v Tx ẻ B ( x0 , c) vi mi x ẻ B ( x0 , c) Gi s {xn } l dóy Cauchy B ( x0 , c) , nờn {xn } cng l dóy Cauchy X m X l khụng gian y nờn tn ti x ẻ X xn đ x(n đ Ơ ) Ta cú: d ( x0 , x) Ê d ( xn , x0 ) + d ( xn , x) Ê d ( xn , x) + c M xn đ x, d ( xn , x) đ Suy ra: d ( x0 , x) c, x ẻ B ( x0 , c) Vy B ( x0 , c) l y  Vi mi x ẻ B ( x0 , c) , ta cú: d ( x0 , Tx) Ê d (Tx0 , x0 ) + d (Tx0 , Tx) Ê (1 - k )c + k d ( x0 , x) Ê (1 - k )c + kc = c Suy Tx ẻ B ( x0 , c) 1.2.1.2 H qu Cho (X, d) l khụng gian nún mờtric y , nún chun P v hng s chun K Gi s ỏnh x T : X đ X tha iu kiu co vi n ẻ N * : d (T n x, T n y ) Ê kd ( x, y ) vi mi x, y ẻ B ( x0 , c) vi hng s k ẻ [0;1) Thỡ T cú im bt ng nht X Chng minh Theo nh lý trờn, ta suy T n cú im bt ng nht x0 Mt khỏc: T n (Tx0 ) = T (T n x0 ) = T ( x0 ) Suy Tx0 cng l im bt ng ca T n Do tớnh nht suy T ( x0 ) = x0 hay x0 l im bt ng ca T V im bt ng ca T cng l im bt ng ca T n nờn im bt ng ca T l nht T nh lý 1.2.1 v mnh 1.1.7 thỡ ta cú nh lý sau: 1.2.2 nh lý Cho (X, d) l khụng gian nún mờtric y , P l nún chớnh quy Gi s ỏnh x T : X đ X tha iu kiu co d (Tx, Ty ) Ê kd ( x, y ) vi mi x, y ẻ X , x y vi hng s k ẻ [0;1) Khi ú T cú im bt ng nht X 1.2.3 nh lý Cho (X, d) l khụng gian nún mờtric y Gi s ỏnh x T : X đ X tha iu kiu co d (Tx, Ty ) Ê k (d (Tx, x) + d (Ty, y )) vi mi x, y ẻ X vi hng s k ẻ [0; ) Khi ú T cú im bt ng nht X, ghi l x0 , v lim T n x = x0 vi mi x ẻ X nđ Ơ Chng minh Ly x ẻ X , n t x1 = Tx v xn+1 = Txn = T n+1 x Ta cú: d ( xn +1 , xn ) = d (Txn , Txn - ) Ê k (d (Txn , xn ) + d (Txn - , xn - )) = k (d ( xn +1 , xn ) + d ( xn , xn- )) Vỡ th d ( xn +1 , xn ) Ê vi h = k d ( xn , xn- ) = hd ( xn , xn- ) 1- k k Vi n > m , 1- k d ( xn , xm ) Ê d ( xn , xn- ) + d ( xn- 1.xn- ) + + d ( xm+1 , xm ) Ê (h n- +h n- hm d ( x1 , x) + + h )d ( x1 , x) Ê 1- h m Ly c , vỡ h ẻ [0,1) nờn ta cú th chn c s N1 cho vi mi m > N1 ta cú hm d ( x1 , x) c nờn d ( xn , xm ) c vi mi n > m 1- h Suy {xn } l dóy Cauchy (X,d) m (X,d) l khụng gian nún mờtric y nờn tn ti x0 ẻ X cho xn đ x0 Lỳc ny, chn tip N cho d ( xn , xm ) c(1 - k ) c(1 - k ) v d ( xn +1 , x0 ) vi mi n > N 2k Vỡ th vi n > N thỡ ta cú: d (Tx0 , x0 ) Ê d (Txn , Tx0 ) + d (Txn , x0 ) Ê k (d (Txn , xn ) + d (Tx0 , x0 )) + d ( xn +1 , x0 ) Vỡ th d (Tx0 , x0 ) Ê (kd ( xn+1 , xn ) + d ( xn+1 , x0 )) c + c = c 1- k 2 Vỡ th d (Tx0 , x0 ) c c vi mi m Suy - d (Tx0 , x0 ) ẻ P vi mi m M m m c đ m đ Ơ v P l úng nờn - d (Tx0 , x0 ) ẻ P Mt khỏc d (Tx0 , x0 ) ẻ P m Nờn theo nh ngha thỡ d (Tx0 , x0 ) = , suy Tx0 = x0 Chng minh nht Nu cú y0 l im bt ng khỏc ca T thỡ d ( x0 , y0 ) = d (Tx0 , Ty0 ) Ê k (d (Tx0 , x0 ) + d (Ty0 , y0 )) = Suy x0 = y0 , hay im bt ng l nht 1.2.4 nh lý Cho (X, d) l khụng gian nún mờtric y Gi s ỏnh x T : X đ X tha iu kiu co d (Tx, Ty ) Ê k (d (Tx, y ) + d ( x, Ty )) vi mi x, y ẻ X vi hng s k ẻ [0; ) Khi ú T cú im bt ng nht X, ghi l x0 , v lim T n x = x0 vi mi x ẻ X nđ Ơ Chng minh Ly x ẻ X , n t x1 = Tx v xn+1 = Txn = T n+1 x Ta cú: d ( xn +1 , xn ) = d (Txn , Tn - ) Ê k (d (Txn , xn - ) + d (Txn - , xn )) Ê k (d ( xn +1 , xn ) + d ( xn , xn- )) Vỡ th d ( xn +1 , xn ) Ê vi h = k d ( xn , xn- ) = hd ( xn , xn- ) 1- k k Vi n > m , 1- k d ( xn , xm ) Ê d ( xn , xn- ) + d ( xn- 1.xn- ) + + d ( xm+1 , xm ) Ê (h n - + h n - + + h m )d ( x1 , x) Ê hm d ( x1 , x) 1- h [...]... điểm bất động của T Và điểm bất động của T cũng là điểm bất động của T n nên điểm bất động của T là duy nhất Từ định lý 1.2.1 và mệnh đề 1.1.7 thì ta có định lý sau: 1.2.2 Định lý Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, P là nón chính quy Giả sử ánh xạ T : X ® X thỏa mãn điều kiệu co d (Tx, Ty ) £ kd ( x, y ) với mọi x, y Î X , x ¹ y với hằng số k Î [0;1) Khi đó T có 1 điểm bất động duy nhất trong. .. dãy n { f ( xn )} không hội tụ tới { f ( x0 )} (bởi vì c - r ( f ( x), f ( x0 )) Ï intQ ) Điều này trái với giả thiết nên ta có điều phải chứng minh 1.2 Điểm bất động của ánh xạ dạng co Trong phần sau, chúng ta sẽ đưa ra và chứng minh một số định lý điểm bất động của ánh xạ dạng co trong không gian nón mêtric 1.2.1 Định lý Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số chuẩn K Giả... là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số chuẩn K Giả sử ánh xạ T : X ® X thỏa mãn điều kiệu co với n Î N * : d (T n x, T n y ) £ kd ( x, y ) với mọi x, y Î B ( x0 , c) với hằng số k Î [0;1) Thì T có 1 điểm bất động duy nhất trong X Chứng minh Theo định lý trên, ta suy ra T n có 1 điểm bất động duy nhất x0 Mặt khác: T n (Tx0 ) = T (T n x0 ) = T ( x0 ) Suy ra Tx0 cũng là điểm bất động. ..Khi đó d được gọi là mêtric trên X, và (X,d) được gọi là không gian nón mêtric 1.1.11 Ví dụ: Cho E = R 2 , P = {( x, y ) Î E ; x, y ³ 0} Ì R 2 , X = R và d : X ´ X ® E xác định bởi d ( x, y ) = (| x - y |, a | x - y |), a ³ 0 là 1 hằng số Thì (X,d) là không gian nón mêtric 1.1.12 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian nón mêtric, {xn } là một dãy trong X a Dãy {xn } gọi là hội tụ đều đến x Î X nếu với... d (Tx0 , x0 ) ||= 0 , tức là Tx0 = x0 , hay x0 là 1 điểm cố định của T Chứng minh duy nhất Giả sử có y0 là 1 điểm có định khác của T Ta có: d ( x0 , y0 ) = d (Tx0 , Ty0 ) £ kd ( x0 , y0 ) tức là || d ( x0 , y0 ) ||= 0, x0 = y0 Vậy chỉ có duy nhất 1 điểm cố định duy nhất 1.2.1.1 Hệ quả Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số chuẩn K Cho c Î E với 0  c và x0 Î X Đặt B ( x0... đóng nên - d (Tx0 , x0 ) Î P Mặt khác d (Tx0 , x0 ) Î P m Nên theo định nghĩa thì d (Tx0 , x0 ) = 0 , suy ra Tx0 = x0 Chứng minh duy nhất Nếu có y0 là điểm bất động khác của T thì d ( x0 , y0 ) = d (Tx0 , Ty0 ) £ k (d (Tx0 , x0 ) + d (Ty0 , y0 )) = 0 Suy ra x0 = y0 , hay điểm bất động là duy nhất 1.2.4 Định lý Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ Giả sử ánh xạ T : X ® X thỏa mãn điều kiệu co d... Mệnh đề: Cho (X, d) là một không gian nón mêtric Nếu {xn } hội tụ trong X thì giới hạn đó là duy nhất Chứng minh Với mọi c Î E ,0  c , tồn tại N sao cho với mọi n > N , d ( xn , x)  c, d ( xn , y )  c Ta có: d ( x, y ) £ d ( xn , x) + d ( xn , y ) £ 2c Vì thế || d ( x, y ) ||£ 2 K || c || Vì c là bất kỳ nên ta có d ( x, y ) = 0 , tức là x=y 1.1.15 Mệnh đề Trong không gian nón mêtric (X,d) thì... ||< e Vì thế d ( xn , yn ) ® d ( x, y ) (n ® ¥ ) Ta có điều phải chứng minh 1.1.18 Mệnh đề Cho (X,d) là một không gian nón mêtric, {xn } là dãy trong X Nếu {xn } hội tụ tới x và {xnk } là dãy con của {xn } thì {xnk } hội tụ tới x 1.1.19 Mệnh đề: Cho (X,d) là một không gian nón mêtric, {xn } là dãy trong X Nếu {xn } là dãy Cauchy và có dãy con {xnk } hội tụ tới x thì {xn } hội tụ tới x Chứng minh c Với... Cauchy trong (X, d) 1.1.21 Định nghĩa Giả sử E và F là không gian Banach thực và P, Q lần lượt là 2 nón xác định trên E và F Gọi (X, d) và (Y , r ) là không gian nón mêtric với d : X ´ X ® E và r : Y ´ Y ® F Hàm f : X ® Y được gọi là liên tục tại x0 Î X Nếu và chỉ nếu với mỗi c Î F ,0  c , tồn tại b Î E ,0  b sao cho r ( f ( x), f ( x0 ))  c với x Î X , d ( x, x0 )  b Nếu f là liên tục tại mọi điểm. .. ¥ b Dãy {xn } gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi c Î E ,0  c , tồn tại N sao cho với mọi n, m ³ N , d ( xn , xm )  c Không gian nón mêtric (X,d) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy đều hội tụ trong X 1.1.13 Mệnh đề Lấy {xn } là dãy trong không gian nón mêtric (X,d) Nón chuẩn P có hằng số chuẩn K Khi đó: xn ® x Û d ( xn , x) ® 0(n ® ¥ ) Chứng minh: • Chiều thuận Giả sử xn ® x(n ® ¥ ) Lấy e > 0 , chọn