SỰ hội tụ của TỔNG có TRỌNG số các PHẦN tử NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN NPC TOÀN cục (tt)

SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHƠNG GIAN NPC TỒN CỤC Nguyễn Văn Quảng Đại học Vinh Hoàng Thị Duyên Trường Đại học Quảng Bình Tóm tắt Bài báo đưa định nghĩa tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên, sau thiết lập luật yếu số lớn luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập khơng gian NPC tồn cục Các kết mở rộng kết biết Karl - Theodor Sturm [5] tổng phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối MỞ ĐẦU Các định lý giới hạn nói chung luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng lý thuyết xác suất thống kê Luật số lớn có nhiều ứng dụng thống kê, kinh tế, y học số ngành khoa học thực nghiệm khác Chính thế, việc nghiên cứu luật số lớn khơng có ý nghĩa mặt lý thuyết mà có ý nghĩa to lớn mặt thực tiễn Từ kết Karl - Theodor Sturm tổng phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối [5], đưa định nghĩa tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian NPC tồn cục, sau thiết lập luật yếu số lớn luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập khơng gian Trước hết, xin giới thiệu khái niệm không gian NPC toàn cục theo nghĩa Alexandrov sử dụng báo [5] [7] Định nghĩa 1.1 Cho ( N , d ) không gian mêtric i) Đường cong (liên tục)  :[0,1]  N gọi trắc địa d ( ,  )  ld ( ), n 1 ld ( ) :  sup{ d ( tk ,  tk 1 ) |  t0  t1  k 0 Ta ký hiệu trắc địa t  tn  1}  t , t [0,1] ii) ( N , d ) gọi không gian trắc địa với  ,   N , tồn trắc địa nối hai điểm Định nghĩa 1.2 Khơng gian mêtric đủ ( N , d ) gọi không gian NPC (nonpositive curvature) tồn cục : i) Nó không gian trắc địa, ii) Với trắc địa t  t , t [0,1], với z  N , ta có bất đẳng thức sau d ( z,  t )  (1  t )d ( z,  )  td ( z,  )  t (1  t )d ( ,  ) (1) Khơng gian NPC tồn cục gọi khơng gian Hadamard Điều kiện (1) có nhiều ứng dụng quan trọng Một ứng dụng (1) với hai điểm  ,  khơng gian NPC tồn cục N, trắc địa  :[0,1]  N nối hai điểm Dưới số ví dụ khơng gian NPC tồn cục Ví dụ 1) Khơng gian Hilbert khơng gian NPC tồn cục Một khơng gian Banach khơng gian NPC tồn cục khơng gian Hilbert Ví dụ 2) Khơng gian L2 (M , N ,  ) gồm ánh xạ đo f : M  N từ không gian độ đo (M, M ,  ) vào không gian NPC toàn cục ( N , d ) khơng  2 gian NPC tồn cục với khoảng cách d2 ( f , g ) :    d ( f ( x), g ( x)) (dx)  M  Ví dụ 3) Khơng gian mêtric ( , d p ) với d pp (( x1 , x2 ), ( y1 , y2 ))  | x1  y1 | p  | x2  y2 | p ,  p  , p  khơng khơng gian NPC tồn cục Xét (  , f, P) không gian xác suất, g σ-đại số f ( N , d ) khơng gian NPC tồn cục Định nghĩa 1.3 i) Cho Y , Z :   N ánh xạ g-đo Ta gọi Y Z tương đương Y = Z hầu chắn ii) Đặt  d (Y , Z ) :  Ed (Y , Z )   2 :    d Y ( ), Z ( ) P( d )    d Y , Z  :  ess sup d Y ( ), Z ( )  ,  đó, ess sup f ( x) cận cốt yếu f theo nghĩa giá trị bé x số giá trị chặn (hầu khắp nơi) f Khi đó, d d mêtric khơng gian ánh xạ g-đo Kí hiệu L2 (g) tập hợp lớp tương đương ánh xạ g-đo Z :   N cho d2 ( y, Z )   , với y  N L (g) tập hợp lớp tương đương ánh xạ g- đo Z :   N cho d ( y, Z )   với y  N Như vậy, phần tử L2 (g), L (g) lớp tương đương Từ trở sau, không sợ nhầm lẫn, không phân biệt ánh xạ đo với lớp tương đương Mệnh đề 1.1 ([5, Proposition 1.6 ]) Khơng gian L2 (g) với mêtric d không gian NPC toàn cục Định nghĩa 1.4 Cho ánh xạ đo Y :   N Ta gọi VgY=inf{ Ed Y , Z  | Z :   N g - đo được} phương sai có điều kiện trung bình Y g V(Y): = inf Ed ( z, Y ) | z  N  phương sai Y Định nghĩa 1.5 Cho (Yn ), Yn :   N dãy phần tử ngẫu nhiên Dãy (Yn ) gọi hội tụ Y i) theo xác suất với   ta có lim P  d (Yn , Y )     n P Y Kí hiệu Yn    ii) hầu chắn P lim d (Yn , Y )   n  h.c.c Y Kí hiệu Yn  iii) theo trung bình cấp r, (r  0) lim Ed r (Yn , Y )  n r L Y Kí hiệu Yn  Định nghĩa 1.6 Cho (Yn ), Yn :   N dãy phần tử ngẫu nhiên Dãy (Yn ) gọi bị chặn h.c.c tồn số C  phần tử z  N cho d (Yn , z)  C, h.c.c., n  Định lý 1.1 ([5, Theorem 2.1]) Cho Y  L2 (f ) Khi i) Tồn Z  L2 (g) là điểm mà hàm Z d2  Z , Y  đạt giá trị nhỏ Ta kí hiệu Z E(Y|g) hay EgY ii) Với Z  L2 (g), ta có Ed (Z , Y )  Ed (EgY,Y)+ Ed (EgY,Z) (2) Eg d (Z , Y )  Eg d (Eg Y, Y) + d (Eg Y, Z), h.c.c CÁC KẾT QUẢ CHÍNH (3) Trong [5], Karl - Theoder Sturm định nghĩa tổng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian NPC tồn cục ( N , d ), sau thiết lập luật yếu số lớn luật mạnh số lớn cho tổng phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối Chúng mở rộng kết cho tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 2.1 i) Cho dãy phần tử ngẫu nhiên (Yn ), Yn :   N ( n ) dãy số thực dương Ta định nghĩa dãy ( Sn ) phần tử ngẫu nhiên quy nạp sau:  S1 ( ) :  Y1 ( )  n  i   n 1  i 1  Sn 1 ( ) :  n 1 Sn ( )  n 1 Yn 1 ( )  i i    i 1 i 1 vế phải kí hiệu cho điểm đường trắc địa   n1 từ Sn ( ) đến n1 i  i 1 Yn1 ( ) mà có khoảng cách từ điểm đến Sn ( )  n 1 n 1  so với chiều dài i i 1 đường trắc địa ii) Kí hiệu Sn n  Y n  i 1 i 1 i i gọi tổng có trọng số phần tử ngẫu i nhiên Y1, , Yn Định lý 2.1 Cho (Yn )  L2 (F ) dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, có kỳ vọng cho sup n n V (Yi )  C , C số ( n ) dãy số thực dương Khi n i 1 i) Sn  EY1 , n   L2 theo xác suất ii) Nếu thêm điều kiện (Yn ) bị chặn h.c.c ( n ) là dãy đơn điệu giảm h.c.c Sn   EY1 , n   Chứng minh i) Trước hết, ta chứng minh quy nạp Ed ( EY1 , Sn )  n n2 V (Y ), i n  i 1 Ta có Ed ( EY1 , S1 )  Ed ( EY1 , Y1 )  V (Y1 ) Vậy, khẳng định với n  Giả sử khẳng định với n Ta chứng minh khẳng định với n + Thật vậy, theo định nghĩa ( Sn ), Sn1 ( ) điểm thuộc trắc địa nối điểm Sn ( ) Yn1 ( ),    nên theo (1) ta có d ( EY1 , Sn 1 )  n n 1 d ( EY1 , Sn )  n 1 d ( EY1 , Yn 1 )  n (n  1) d ( Sn , Yn 1 ) Suy Ed ( EY1 , Sn 1 )  n n 1 Ed ( EY1 , Sn )  n 1 Ed ( EY1 , Yn 1 )  n (n  1) Ed ( S n , Yn 1 ) Ngoài từ (2) ta có Ed (Sn , Yn1 )  Ed ( EYn1 , Yn1 )  Ed ( EYn1 , Sn ) nên Ed ( EY1, Sn1 )  n n n Ed ( EY1, Sn )  Ed ( EY1, Yn1)  Ed ( EYn1, Sn ) Ed ( EYn 1, Yn 1 )  n 1 n 1 (n  1) (n  1)2 Vì EYn1  EY1 nên Ed ( EY1, Sn 1 )  n Ed ( EY1, Sn )  Ed ( EYn 1, Yn 1 ) n1 n1 n  Ed ( EYn1, Yn1) n Ed ( EY1, Sn ) (n1)2 (n1)   n  Ed ( EY , Y n1 n1) n1  Ed ( EY1, Sn ) (n1)     n  n 1 V (Y )     V (Yi ) n    (n1)2  n1  n2 i 1  n1V (Y )  i (n1)2 i 1 Như vậy, ta chứng minh n Ed ( EY1 , Sn )  n2 V (Y ), i n  i 1 P L  EY1 , Cho n   ta Sn   EY1 Suy Sn  n   ii) Giả sử (Yn ) bị chặn h.c.c Với   0, đặt An  (d (Sn , EY1 )   ) Vì   n 1 n 1  P( An )   P(d ( Sn2 , EY1 )   )   2    Ed n 1  n ( S n2 , EY1 )  n  V (Y )   n 1 i i 1 Do đó, theo Bổ đề Borel-Cantelli, ta có P(limsup An )  Suy P( d (Sn , EY1 )   với hữu hạn n) = Vậy h.c.c d ( Sn , EY1 )   0, n   Vì (Yn ) bị chặn h.c.c nên có z  N R n  Ta chứng minh quy nạp cho d (Yn , z)  R, h.c.c với d ( Sn , z )  R, h.c.c với n Thật vậy, khẳng định với n  d (S1 , z )  d (Y1 , z )  R, h.c.c Giả sử khẳng định với n, tức d ( Sn , z )  R, h.c.c Do hàm d (., z ) lồi N nên n  n  Sn  Yn 1 , z   d ( Sn , z )  d (Yn 1 , z )  R, h.c.c n 1 n 1  n 1  n 1 d ( Sn 1 , z )  d  Do đó, khẳng định với n  n    i    d ( S n , S n 1 )  d  S n , ni 11 S n  n 1n 1 Yn 1    i   i   i 1 i 1     n 1n 1 d ( S n , Yn 1 )  i i 1    d (S n 1 n 1  n , z )  d ( z , Yn 1 )  i i 1   n 1 n 1  R, h.c.c i i 1 Vì với k , n cho n2  k  (n  1)2 ta có d ( S k , S n )  d ( S k , S k 1 )   d ( S n 1 , S n ) 2         k k   n n1 1  R    i    i  i 1  i 1  1     2R n 1  k 2   k  n2 n2 n 2R R, h.c.c Như vậy, d ( S k , S n2 )  Cho k  , ta n R, h.c.c., n, k  , n  k  (n  1) h.c.c d ( Sk , EY1 )   0, điều có nghĩa h.c.c Sk   EY1 , k   Định lý chứng minh Hệ 2.1 Cho (Yn )  L2 (f ) dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối ( n ) dãy số thực dương i) Khi Sn  EY1, n   L2 theo xác suất ii) Nếu thêm điều kiện Yn  L (f ) ( n ) là dãy đơn điệu giảm h.c.c Sn   EY1 , n   Chứng minh i) Vì (Yn )  L2 (f ) phân phối nên V (Y1 )   V (Yn )   Do đó, sup n n V (Y )  V (Y )   Ngồi ra, n i (Yn ) có phân phối nên có i 1 kỳ vọng Từ đây, ta có khẳng định i) ii) Vì Y1  L (f ) nên có z  N R cho d (Y1 , z)  R, h.c.c Ngoài ra, (Yn ) độc lập, phân phối nên ta có d (Yn , z )  R, h.c.c với n  1, tức (Yn ) bị chặn h.c.c Do đó, theo Định lý ta có điều phải chứng minh Trong trường hợp  n  với n , ta nhận Định lý 2.6 [5] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1 ] Ballmann, W (1995), Lectures on Spaces of Nonpositive Curvature, Birkhăauser, Berlin [2 ] Jost, J (1994), Nonpositive Curvature: geometric and analytic aspects, Lectures Math ETH Zăurich Birkhăauser, Basel [3 ] Jost, J (1997), Equilibrium maps between metric spaces, Calc Var Partial Differential Equations 173 -204 [4 ] Korevaar, N and Schoen, R (1993), Sobolev spaces and harmonic maps for metric space targets Comm Anal Geom 561 - 569 [5 ] Sturm, K.T (2002), Nonlinear martingale theory for processes with values in metric spaces of nonpositive curvature, The Annals Probability, Vol 30, No 3, 1195 -1222 [6 ] Sturm, K.T (2002), Nonlinear Markov operators, discrete heat flow, and harmonic maps between singular spaces Potential Anal 16 305-340 [7 ] Sturm, K.T (2001), Nonlinear Markov operators associated with symmetric Markov kernels and energy minimizing maps between singular spaces Calc Var Partial Differential Equations 12 317-357 CONVERGENCE OF WEIGHTED SUMS OF RANDOM ELEMENTS IN GLOBAL NPC SPACES Nguyen Van Quang Vinh University Hoang Thi Duyen Quang Binh University Abstract This paper presents the definition of weighted sums of random elements, and then establish the weak and strong law of the large number for weighted sums of independent random elements in global NPC Our result is the extension based on a result of Karl - Theodor Sturm about the sums of independent, identically distributed random elements in [5]  ... trị khơng gian NPC tồn cục ( N , d ), sau thiết lập luật yếu số lớn luật mạnh số lớn cho tổng phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối Chúng mở rộng kết cho tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc... khơng gian NPC tồn cục N, trắc địa  :[0,1]  N nối hai điểm Dưới số ví dụ khơng gian NPC tồn cục Ví dụ 1) Khơng gian Hilbert khơng gian NPC tồn cục Một khơng gian Banach khơng gian NPC tồn cục. .. 3) Không gian mêtric ( , d p ) với d pp (( x1 , x2 ), ( y1 , y2 ))  | x1  y1 | p  | x2  y2 | p ,  p  , p  không không gian NPC toàn cục Xét (  , f, P) không gian xác suất, g σ-đại số