Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên α mixing và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGƠ TRÍ HẢI SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN α-MIXING VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất thống kê Toán học Mã số : 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS LÊ VĂN THÀNH NGHỆ AN, 2015 MỤC LỤC Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 1.2 Dãy 1.3 Sự phụ thuộc mixing dãy biến ngẫu nhiên 5 10 11 Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên α-mixing ứng dụng 17 2.1 Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên α-mixing 17 2.2 Ứng dụng cho mơ hình hồi quy phi tham số 29 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong lý thuyết xác suất thống kê tốn học, tính độc lập biến ngẫu xem tính chất mạnh Hiện nay, kết xác suất luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm, luật loga lặp chứng minh chặt chẽ với điều kiện độc lập Tuy nhiên, sống hầu hết tượng ngẫu nhiên xẩy lại thường phụ thuộc theo quy luật đó, chẳng hạn phụ thuộc Markov, phụ thuộc martingale, m-phụ thuộc Trong kiểu phụ thuộc biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing nhà toán học quan tâm nghiên cứu Vào năm 1956, Rosenblatt đưa định nghĩa cho kiểu phụ thuộc α- mixing Tiếp đó, nhà nghiên cứu đưa kiểu phụ thuộc khác ϕ-mixing[ Ibragimov -1959] ψ-mixing [Blum -1963], ρ-mixing [Kolmogorov -1960] Từ đến nhiều hướng nghiên cứu khác biến ngẫu nhiên thỏa mãn kiểu phụ thuộc Định lý giới hạn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên α- mixing có vai trị quan trọng điều khiển, ngẫu nhiên thống kê tốn học (Ví dụ toán quan sát trạng thái, phương pháp ước lượng bình phương tối thiểu, tốn ước lượng hàm hồi quy phi tham số, ) hướng thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Theo hướng phát triển chọn đề tài luận văn là: “Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên α-mixing ứng dụng” Chúng nghiên cứu bất đẳng thức cực đại cho biến ngẫu nhiên α-mixing Từ đó, chúng tơi nghiên cứu hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên α-mixing đưa ứng dụng mơ hình hồi quy phi tham số Luận văn chia làm hai chương Chương trình bày kiến thức phụ thuộc mixing, hội tụ hầu chắn hội tụ đầy đủ Trong chương hai chúng tơi trình bày hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên α-mixing ứng dụng cho mơ hình hồi quy phi tham số Luận văn thực hoàn thành trường Đại hoc Vinh, hướng dẫn khoa học thầy giáo PGS.TS Lê Văn Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn nhiệt tình suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời biết ơn tới GS.TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thị Thế, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Võ Thị Hồng Vân, thầy cô giáo tổ xác suất thống kê Khoa Toán Đồng thời, tác giả xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè quan tâm, góp ý, tạo điều kiện giúp tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng song lực hạn chế nên luận văn chắn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu Thầy, Cô giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 09 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn luận văn, ta giả sử biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P ) Trong chương này, chúng tơi trình bày dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing 1.1 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Mục trình bày giới hạn dãy biến cố, bổ đề Borel-Cantelli Sau chúng tơi giới thiệu dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình, hội tụ hầu chắn, Định nghĩa sau trình bày khái niệm lim sup lim inf dãy tập hợp Các định nghĩa có ý nghĩa thực tập hợp xét thuộc σ-đại số Định nghĩa 1.1.1 Giả sử A1 , A2 , dãy biến cố Khi ta định nghĩa ∞ ∞ lim sup An := Ak n=1 k=n = {ω ∈ Ω : ∀ n ∃ k ≥ n cho ω ∈ Ak } = {ω ∈ Ω : ω thuộc vô hạn biến cố An }, ∞ ∞ lim inf An := Ak n=1 k=n = {ω ∈ Ω : ∃ n cho ∀ k ≥ n, ω ∈ Ak } = {ω ∈ Ω : ω thuộc vào tất trừ số hữu hạn An } Ta thường chúng ký hiệu lim sup An = (An i.o.), với chữ i.o viết tắt “infinite often”, với ý nghĩa lim sup An xảy có vơ hạn biến cố An xảy Tiếp theo trình bày khái niệm giới hạn dãy tập hợp Định nghĩa 1.1.2 Nếu lim sup An = lim inf An = A, ta nói dãy (An ) hội tụ tới A viết lim An = A hay An → A Chúng ta trình bày ví dụ đơn giản lim sup lim inf dãy tập hợp Ví dụ 1.1.3 Giả sử A1 = A3 = A5 = · · · = A A2 = A4 = A6 = · · · = B với B tập thực A Khi lim sup An = A lim inf An = B Khái niệm lim sup lim inf Định nghĩa 1.1.1 khái niệm tương đối khó Thơng thường, quan tâm đến dãy tập hợp tăng giảm Định nghĩa 1.1.4 Dãy biến cố A1 , A2 , gọi giảm A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ · · · Trong trường hợp này, ta viết An Tương tự, Dãy biến cố A1 , A2 , gọi tăng A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ · · · Trong trường hợp này, ta viết An Định lý sau trình bày giới hạn dãy biến cố tăng (giảm) Phép chứng minh tương đối dễ dàng Mệnh đề 1.1.5 Nếu An , (An ) hội tụ, ∞ lim An = An = A n=1 Nếu An , (An ) hội tụ, ∞ lim An = An = B n=1 Tiếp theo trình bày bổ đề Borel-Cantelli Nó cho ta điều kiện đơn giản để biết xác suất biến cố lim sup An hay Định lý 1.1.6 (Bổ đề Borel-Cantelli) Giả sử A1 , A2 , biến cố Nếu n P (An ) < ∞ P (An i.o.) = Nếu A1 , A2 , độc lập n P (An ) = ∞ P (An i.o.) = Tiếp theo, trình bày dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.7 (Hội tụ theo xác suất) Một dãy biến ngẫu nhiên X1 , X2 , gọi hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X với ε > P (|Xn − X| > ε) → n → ∞ P Khi ta viết Xn → X Sự hội tụ theo xác suất khẳng định với ε bé tùy ý, xác suất để Xn lệch khỏi X khoảng ε không đáng kể n lớn, xác suất hội tụ Sau ta giới thiệu khái niệm hội tụ mạnh hơn, hội tụ Lp (p > 0), hay hội tụ theo trung bình cấp p Định nghĩa 1.1.8 (Hội tụ theo trung bình p) Giả sử p > Một dãy biến ngẫu nhiên X1 , X2 , gọi hội tụ Lp hay hội tụ theo trung bình cấp p đến biến ngẫu nhiên X Xn − X p → n → ∞, tức E|Xn − X|p → n → ∞ Lp Khi ta viết Xn → X Mệnh đề sau giải thích hội tụ theo trung bình cấp p lại mạnh hội tụ theo xác suất Lp p Mệnh đề 1.1.9 Nếu Xn → X Xn → X Chứng minh Mệnh đề hệ đơn giản bất đẳng thức Markov: P (|Xn − X| > ε) ≤ P (|Xn − X|p ≥ εp ) ≤ E|Xn − X|p → εp ✷ Tiếp theo ta trình bày khái niệm hội tụ hầu chắn (almost sure convergence), dạng hội tụ mạnh hội tụ theo xác suất Trước hết, nhận xét với dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1}, tập C = {ω : Xn (ω) hội tụ} biến cố Thật vậy, dãy {Xn (ω), n ≥ 1} hội tụ dãy Cauchy R Do đó, ∞ ∞ ∞ ω : |Xm+k (ω) − Xm (ω)| ≤ C= n=1 m=1 k=1 n Định nghĩa 1.1.10 Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X n → ∞ P ω : n→∞ lim Xn (ω) = X(ω) = Khi ta viết h.c.c Xn → X h.c.c n → ∞, n→∞ lim Xn = X h.c.c, n→∞ lim Xn = X Một câu hỏi tự nhiên đặt Xn không hội tụ hầu chắn? Ta nhắc lại dãy số thực xn → x ∃ε > : |xn −x| > ε vơ hạn n Điều có nghĩa tồn dãy (xn ) cách xa x khoảng lớn ε Do đó, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.11 Xn → X h.c.c với ε > 0, P (|Xn −X| > ε i.o.) = Định lý sau so sánh hội tụ h.c.c hội tụ theo xác suất Định lý 1.1.12 (Sự hội tụ h.c.c hội tụ theo xác suất) Giả sử {X, Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên Nếu Xn → X h.c.c Xn → X theo xác suất Nếu Xn → X theo xác suất tồn dãy {Xnk } {Xn } cho Xnk → X h.c.c Chứng minh Giả sử Xn → X h.c.c ε > Do = P (|Xn − X| > ε i.o.) = P (lim sup{|Xn − X| > ε}) Theo tính chất liên tục độ đo xác suất, ta có P (lim sup{|Xn −X| > ε}) = limn→∞ P ( ∞ k=n (|Xk − X| > ε)) ≥ lim sup P (|Xn − X| > ε) Khi P (|Xn − X| > ε) → Điều có nghĩa Xn → X theo xác suất Giả sử Xn → X theo xác suất Cố định dãy εk → 0, ta chọn dãy (nk ) cho P (|Xnk − X| > εk ) < 2−k với k = 1, 2, Do k 2−k hội tụ, nên áp dụng bổ đề Borel-Cantelli ta có P (|Xnk − X| > εk i.o.) = Do đó, Xnk → X h.c.c ✷ Hệ sau nêu lên điều kiện cần đủ hội tụ theo xác suất Hệ 1.1.13 Giả sử {X, Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên Khi Xn → X theo xác suất với dãy Xn chứa dãy khác hội tụ h.c.c đến X Chứng minh • (⇒) Với dãy bất kỳ, theo định lý trên, chứa dãy khác hội tụ h.c.c • (⇐) Giả sử ngược lại Xn → X theo xác suất Khi tồn ε > dãy (nk ) cho P (|Xnk − X| > ε) > ε Do đó, dãy Xnk khơng chứa dãy hội tụ đến X theo xác suất Điều mâu thuẫn kết thúc chứng minh định lý ✷ Một câu hỏi đặt hội tụ h.c.c tương đương với hội tụ theo xác suất Hệ sau trả lời câu hỏi Hệ 1.1.14 Nếu Xn dãy đơn điệu Xn → X h.c.c Xn → X theo xác suất Chứng minh Nếu Xn → X theo xác suất, tồn dãy Xnk → X h.c.c Kết hợp với tính đơn điệu dãy Xn , ta suy Xn → X h.c.c ✷ Định nghĩa 1.1.15 Giả sử {X, Xn , n 1} họ biến ngẫu nhiên Ta nói {Xn , n 1} hội tụ đầy đủ đến X n → ∞ với ε > ∞ P (|Xn − X| > ε) < ∞ n=1 c Khi ta ký hiệu Xn → − X n → ∞ Phép chứng minh hai mệnh đề sau hoàn toàn dễ dàng c Mệnh đề 1.1.16 Nếu Xn → − X Xn → X h.c.c Mệnh đề 1.1.17 Nếu ∞ E|Xn − X|p < ∞ n=1 c − X với p > Xn → Định lý sau điều kiện để chiều ngược Mệnh đề 1.1.16 Định lý 1.1.18 Giả sử {Xn , n 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập c c − c số Nếu Xn → c h.c.c Xn → Chứng minh Giả sử ε > tùy ý Đặt An = (|Xn − c| > ε) Khi lim sup An ⊂ (Xn X) Áp dụng bổ đề Borel-Cantelli cho dãy biến cố độc lập {An , n phải chứng minh 1.2 1} ta điều ✷ Dãy Một dãy số thực hội tụ dãy Trong mục này, xét điều tương tự cho trường hợp dãy biến ngẫu nhiên Các kết phần trình bày với chứng minh chi tiết [1] 10 Nếu EX1 = với α ≤ E|X1 |p+δ < ∞  ∞ pα−2 n P n=1  i α < ∞, với ε > (2.5) anj Xj ≥ ε < ∞, với ε > (2.6)  max anj Xj 1≤i≤n j=1 ≥ εn  ∞ n pα−2 P sup i −α i≥n n=1  i j=1 Định lý 2.1.5 Cho α > 1/2, pα ≥ 1, δ > 0, < v < 2(p + δ)α Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên α-mixing phân phối với α(n) ≤ Cn−θ với θ > max(v/(v − 2), (q − 1)(q + δ)/δ) với q > cho v ≤ q + δ Giả sử {ani , ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng số thực thỏa mãn (2.4) Nếu EX1 = với α ≤ E|X1 |p+δ < ∞ (2.4) (2.5) Bổ đề sau bất đẳng thức dạng cực đại với biến ngẫu nhiên αmixing, chứng minh Shao [8] Bổ đề 2.1.6 Giả sử {Xi , ≤ i ≤ n} dãy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng Khi ta có bất đẳng thức j Xi | ≥ x ≤ P max | j≤n i=1 n 323 ncαk E|Xi |I(|Xi | > c) + a + x i=1 x x (2.7) với a ≥ 1, x ≥ 1, c > số nguyên k thỏa mãn điều kiện sau x 1≤k≤ , (2.8) 64ac log(x ∨ 2) với s ≥ đó, n s 2/s k E(|Xi | I(|Xi | ≤ c)) i=1 i=0 1−2/s αi x2 ≤ 32 a log(x ∨ 2) Chứng minh Đặt X i = Xi I(|Xi | ≤ c) − EXi I(|Xi | ≤ c), (2i+1)∧n Yi,1 = X j , i = 0, 1, , q1 := n − , 2k X j , i = 0, 1, , q2 := n −1 , 2k j=1+2ik 2(i+1)k∧n Yi,2 = j=1+(2i+1)k 19 (2.9) i Si = i i X j , Ti,1 = j=1 Yj,1 , Ti,2 = j=0 (2.10) Yj,2 j=0 Dễ dàng thấy n max |Si | ≤ max |S i | + i≤n i≤n n |Xi |I(|Xi | > c) + i=1 E|Xi |I(|Xi | > c) i=1 P max |Si | ≥ x ≤ P max |S i | ≥ i≤n i≤n n x + 4x−1 E|Xi |I(|Xi | > c) i=1 Vì max |S i | ≤ max |Ti,1 | + max |Ti,2 | + 2kc ≤ max |Ti,1 | + max |Ti,2 | + i≤n 0≤i≤q1 0≤i≤q2 0≤i≤q1 0≤i≤q2 x , 32 theo (2.8), ta có P max |S i | ≥ i≤n x ≤P max |Ti,1 | ≥ 0≤i≤q1 x +P max |Ti,2 | ≥ 0≤i≤q2 x := I1 + I2 Ta ước lượng I1 , I2 ước lượng tương tự Với i = 0, 1, , đặt i G−1 = σ(Ω), Gi = σ(Xj , ≤ j ≤ (2i + 1)k), ui = Yi,1 − E(Yi,1 |Gi−1 ), Ui = uj j=0 Khi   q1 x I1 ≤ P  |E(Yi,1 |Gi−1 )| ≥  + P 16 i=0 max |Ui | ≥ 0≤i≤q1 x := I3 + I4 16 (2.11) {Ui , Gi , i ≥ 0} martingale với |ui | ≤ 2kc với i ≥ Chú ý với số thực t i ≥ 1, E etui |Gi−1   (tui )l  =1+ E Gi−1  l! l=2 ∞ (|t|2kc)l 2 ≤ + t E ui |Gi−1 l! l=0 ∞ ≤ exp t2 e2|t|kc E u2i |Gi−1 ≤ exp t2 e2|t|kc E Yi,1 |Gi−1 20 , ta thấy   exp tUi − t2 e2|t|kc    i E(Yj,1 |Gj−1 ) , Gi , i ≥ 0 j=0 martingale không âm với t với y >  P   max exp tU i 0≤i≤q1  i − t2 e2|t|kc  E(Yj,1 |Gj−1 ) ≥ y  ≤ 1/y (2.12) j=0 theo bất đẳng thức cực đại Lấy t = (32a log x)/x (2.12) Theo (2.12) (2.8) ta có P max Ui ≥ 0≤i≤q1  ≤P ≤P x 16 2|t|kc  max exp tU − t i 0≤i≤q1  q1  E(Yj,1 |Gj−1 ) ≥ j=0    i E(Yj,1 |Gj−1 ) e j=0   q1 xt 2 2|t|kc  ≥ exp E(Yj,1 |Gj−1 ) −t e 16 j=0  x  4(32)2 a log x    xt t2 e2|t|kc x2  E(Yj,1 |Gj−1 ) ≥ exp  − + P  max exp tUi − t2 e2|t|kc 0≤i≤q1 16 4(32)2 a log x j=0  q1  q1 i    x2 xt t2 e2|t|kc x2     E(Yj,1 |Gj−1 ) ≥ + exp − + ≤P 4(32)2 a log x 16 4(32)2 a log x j=0 ≤P   E(Yj,1 |Gj−1 ) j=0 x2  + x−a ≥ 4(32) a log x (2.13) Sử dụng bất đẳng thức Davydov, ta thu q1  EYj,1  k 1−2/s q1 (2j+1)k Xi I(|Xi | ≤ c) ≤ 4 ≤ j=0 i=1+2jk i=0   k n  α1−2/s (i) Xi I(|Xi | i=0 i=0 j=0 ≤ α (i) ≤ c) s s x 8(32)2 a log x (2.9) Vì   x2 8(32)2 a log x q1 2   P E(Yj,1 |Gj−1 ) ≥ ≤ E|E(Yj,1 |Gj−1 ) − EYj,1 | 2 4(32) a log x x j=0 j=0 (2.14) q1 21 2 Đặt ξj = E(Yj,1 |Gj−1 ) − EYj,1 , ta thấy 2 E|ξj | = E(Yj,1 − EYj,1 ) sgn ξj ≤ 4(kc)2 α(k) (2.15) theo bất đẳng thức Davydov Kết hợp (2.14) (2.15) ta có   q1 x2 (32)3 anc2 kα(k) log x (32)2 ncα(k)   P E(Yj,1 |Gj−1 ) ≥ ≤ ≤ 4(32)2 a log x x2 x j=0 (2.16) theo (2.14) Kết hợp (2.15) (2.16) cho ta P max Ui ≥ 0≤i≤q1 x ≤ x−a + (32)2 ncx−1 α(k) 16 Tương tự, ta có P max Ui ≤ − 0≤i≤q1 x ≤ x−a + (32)2 ncx−1 α(k) 16 Do I4 ≤ 2x−a + 2(32)2 ncx−1 α(k) (2.17) Tương tự (2.12), ta có E|E(Yi,1 |Gi−1 )| = EYi,1 sgn (E(Yi,1 |Gi−1 )) ≤ 4kcα(k) I3 ≤ 64ncx−1 α(k) (2.18) Từ (2.12), (2.13) (2.14) ta thu I1 ≤ 2x−a + 3(32)2 ncx−1 α(k) Tương tự, ta có I2 ≤ 2x−a + 3(32)2 ncx−1 α(k) Kết hợp (2.1), (2.17), (2.18) (2.19) ta có (2.7) 22 (2.19) ✷ Kết Shao [8] trường hợp đặc biệt Định lý 2.1.7 ani ≡ Chúng ta lưu ý tốc độ α-mixing (2.20) bên hoàn toàn giống tốc độ α-mixing [8] Định lý 2.1.7 Giả sử η > 1/2, q > p ≥ 1/η ≥ 1, {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên α-mixing có EXn = cho supn≥1 E|Xn |q ≤ Giả sử {ani , i ≥ 1, n ≥ 1}, mảng số Giả thiết αk = O với t thỏa mãn t > k q(p−1)/(q−p) logt k Nếu n pq q−p |ani |q = O(n), (2.20) (2.21) i=1 ta có j ∞ ηp−2 n ani Xi | ≥ εnη < ∞ với ε > P max | j≤n n=1 (2.22) i=1 Chứng minh Đặt M = sup n q i=1 |ani | n n≥1 + (2.23) Theo (2.21) M < ∞ Đặt u = q(p − 1)/(q − p), chứng minh tồn số đủ lớn K độc lập với n cho j P max | j≤n ani Xi | ≥ x ≤ Knx−q(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) x (2.24) i=1 với tất n đủ lớn với x ≥ Kn1/2 log1+t/2 n Nếu Knx−q(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) x > 1, (2.24) hiển nhiên Do giả thiết Knx−q(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) x ≤ (2.25) Đặt c = 2xu/(q+u) log(t−u)/(q+u) x, a = u + 2, k = 23 x 64ac log x (2.26) Trường hợp 1: < q ≤ Trong trường hợp ta có n (k + 1) i=1 n ≤ 2k E(ani Xi I(|ani Xi | ≤ c))2 |ani |q E|Xi |q c2−q i=1 nxc1−q ≤M 32a log x x2 = 322 M 21−q nx−q(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) x 32 a log x x2 ≤ (theo (2.25)) 32 a log x (2.27) Theo (2.26) (2.27), ta áp dụng Bổ đề 2.1.6 với s = để thu j ani Xi | ≥ x ≤ C P max | j≤n i=1 n ncαk E|ani Xi |I(|ani Xi | > c) + a + x i=1 x x (2.28) Vì q > supn≥1 E|Xn |q ≤ 1, n E|ani Xi |I(|ani Xi | > c) x i=1 c1−q n ≤ |ani |q x i=1 M nc1−q ≤ (theo (2.23)) x ≤ M nx−q(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) x (theo (2.26)) (2.29) Chỉ cần tính tốn đơn giản sử dụng (2.20), ta có ncαk + ≤ Cnx−q(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) x a x x Kết luận (2.24) tuân theo (2.28), (2.16) (2.30) 24 (2.30) Trường hợp 2: q > Trong trường hợp này, ta có n E|ani Xi I(|ani Xi | ≤ c)|q 2/q k 1−2/q αi i=1 i=0 n ≤ k |ani |2 i=1 1−2/q αi i=0 n |ani |2 ≤ k 1−2/q αi n + i=0 i=1,|ani |≤1 k ≤ (1 + M )n |ani |q i=1,|ani |>1 1−2/q k 1−2/q αi i=0 (theo (2.23)) αi (2.31) i=0 k ≤ (1 + M )n + C i−u(1−2/q) log−t(1−2/q) i i=1 1+t(1−2/q) ≤ Cn log x2 ≤ 32 a log x k + k 1−u(1−2/q) log−t(1−2/q) k Theo (2.26) (2.31), ta áp dụng lại Bổ đề 2.1.6 với s = q để thu (2.28) Tương tự với trường hợp < q ≤ 2, (2.24) Bây ta chứng minh (2.22) Đặt ε > Vì η > 1/2, ta có số C cho, εnη ≥ Cn1/2 log1+t/2 n với n Theo (2.24) ta có j ∞ ηp−2 n j≤n n=1 ∞ ≤K n=1 ∞ =K ani Xi | ≥ εnη P max | i=1 nηp−2 n1−ηq(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) n n−1 log−1−β n n=1 β = − (q − 1)(u − t) t(q − p) −1 = − p > Do đó, suy (2.22) q+u q ✷ Chú ý 2.1.8 Rõ ràng điều kiện supn≥1 E|Xn |q ≤ thay bằng: sup E|Xn |q ≤ C < ∞ n≥1 Chú ý 2.1.9 Năm 2013, Zhou Lin [11] kiểm tra tính hội tụ đầy đủ trình α-mixing Chúng ta so sánh kết họ với Định lý 2.1.7 25 (i) Định lý 1.3 [11] yêu cầu αk = O q(q + δ) , δ > 0, q > với θ thỏa mãn θ > θ k 2δ (2.32) Trong Định lý 2.1.7 luận văn , cách đặt δ = (q − p)/2 > 0, (2.20) trở thành q(q − 2δ) αk = O q(q−2δ−1)/(2δ) t với t > (2.33) 2δ k log k Chúng ta thấy tốc độ α- mixing (2.32) giảm nhanh tốc độ (2.33) Định lý 1.3 [11] bắt buộc dãy {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phân phối với E|X1 |p+δ < ∞ Trong Định lý 2.1.7, không cần điều kiện dãy {Xn , n ≥ 1} phân phối, ta cần điều kiện moment mạnh chút supn≥1 E|Xn |p+2δ < ∞ (ii) Trong Định lý 2.1.7, cách đặt δ = q − p > 0, (2.20) trở thành αk = O k q(q−δ−1)/δ logt k với t > q(q − δ) δ (2.34) Nếu q ≤ + 3δ tương đương với 2q ≥ 3p − 2, (2.35) Sau phép tính bản, ta có q(q−δ−1)/δ ≤ q(q+δ)/(2δ) Tức là, tốc độ α-mixing tốt tốc độ α-mixing có Định lý 1.3 [11] Điều kiện trọng số ni=1 |ani |q = ni=1 |ani |p+δ = O(n), yếu điều kiện ni=1 |ani |p+δ = O(nt ) với t thỏa mãn < t < 1, dùng Định lý 1.3 Zhou Lin [11] Lưu ý điều kiện dùng Định lý 1.3 Zhou Lin [11] không thỏa mãn ani ≡ (iii) Vì q > p, (2.35) thỏa mãn p ≤ Bằng cách đặt δ = q − p, tất giả thiết Định lý 2.1.7 yếu [11, Định lý 1.1] (iv) Trong [11], Định lý 1.2 Định lý 1.4, tác giả yêu cầu tốc độ αk phải giảm nhanh (q − 1)(q + δ) C với θ > , δ > 0, q > kθ δ (2.36) Trong Định lý 2.1.7, ta đặt δ = q − p > (ii), tốc độ hội tụ α-mixing (2.34) chậm nhiều (2.36) Do đó, Định lý 2.1.7 mở rộng 26 Định lý 1.2 1.4 [11] theo hướng: (a) Tốc độ hội tụ α-mixing giảm chậm nhiều (b) Xn không cần thỏa mãn phân phối (c) Điều kiện trọng số yếu Hệ sau đưa điều kiện đủ để đảm bảo tính hội tụ h.c.c tổng có trọng số Hệ 2.1.10 Đặt ≤ r < 2, q > 2r {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên α-mixing kỳ vọng cho supn≥1 E|Xn |q < ∞ Giả sử {ani , i ≥ 1, n ≥ 1} mảng số Giả thiết αk = O t k q(2r−1)/(q−2r) log k Nếu n với t thỏa mãn t > 2qr q − 2r |ani |q = O(n), (2.37) i=1 j ∞ ani Xi | ≥ εn1/r < ∞ với ε > 0, P max | n=1 j≤n (2.38) i=1 suy lim n→∞ n i=1 ani Xi n1/r = h.c.c (2.39) Chứng minh Đặt p = 2r η = 2/p Hệ suy từ Định lý 2.1.7 ✷ Trong Hệ 2.5, ta lấy r = 1,thì ta cần có supn≥1 E|Xn |q < ∞ với q thõa mãn q > So sánh với (2.1), có lẽ ta khơng cần có mơmen bắt buộc phải lớn để có tốc độ hội tụ luật hội tụ mạnh số lớn Một câu hỏi thú vị đặt là: Chúng ta thay điều kiện supn≥1 E|Xn |q < ∞ Hệ 2.5 điều kiệu yếu chút sau không: sup E(|Xn |2r log(|Xn | ∨ 2)) < ∞? (2.40) n≥1 27 Ví dụ sau Hệ 2.5 sai điều kiện supn≥1 E|Xn |q < ∞ thay (2.40), (2.37) thay bởi: n E|ani |2r = O(n) (2.41) i=1 Ví dụ 2.1.11 Đặt r = xét dãy {Xn , n ≥ 1} số ngẫu nhiên độc lập có EXn = với n ≥ P {Xn = 0} = − 1/(n log(n ∨ 2)) P {Xn = −n1/2 } = P {Xn = n1/2 } = 1/(2n log(n ∨ 2)) Suy supn≥1 E|Xn |q = ∞ với q > 2r Nhưng supn≥1 E(|Xn |2r log(|Xn | ∨ 2)) = supn≥1 E(|Xn |2 log(|Xn | ∨ 2)) = 1/2 < ∞, tức (2.27) thỏa mãn Với n ≥ 1, đặt ani = với ≤ i < n ann = n1/2 Thì (2.28) thỏa mãn với n ≥ n 2r n i=1 E|ani | = i=1 E|ani | = n Tuy nhiên, với < ε ≤ thì, j ∞ ani Xi | ≥ εn1/r = P max | n=2 j≤n ∞ P n1/2 |Xn | ≥ εn = n=2 i=1 ∞ = ∞, n=2 n log n tức (2.25) sai Bằng cách áp dụng bổ đề Borel-Cantelli, kết luận (2.39) không thỏa mãn Trong Ví dụ 2.1.10, với q > 2, supn≥1 E|Xn |q = ∞ ni=1 |ani |q = nq/2 > n với n ≥ Ví dụ sau đây, ví dụ biến đổi từ Ví dụ 2.1.10, supn≥1 E|Xn |q < ∞, điều kiện (2.21) Định lý 2.1.6 thay điều kiện yếu hơn: n |ani |q = O(n1+δ ) với δ > (2.42) i=1 Ví dụ 2.1.12 Đặt p = 2η = 2, δ > 0, q = + δ xét chuỗi {Xn , n ≥ 1} biến ngẫu nhiên độc lập có EXn = thỏa mãn với n ≥ P {Xn = 0} = − 1/n vàP {Xn = −n1/(2+δ) } = P {Xn = n1/(2+δ) } = 1/(2n) 28 Điều kéo theo supn≥1 E|Xn |q = < ∞ Với n ≥ 1, đặt ani = với ≤ i < n đặt ann = n(1+δ)/(2+δ) Từ ta suy ra với n ≥ 1, n q 1+δ , nghĩa (2.29) chứng minh cịn (2.8) sai Tuy i=1 E|ani | = n nhiên, với < ε ≤ 1, ta có ∞ j nηp−2 P max | j≤n n=1 2.2 ∞ ani Xi | ≥ εnη = P n1/2 |Xn | ≥ εn = n=1 i=1 ∞ = ∞ n=1 n Ứng dụng cho mô hình hồi quy phi tham số Phần dành để nói ứng dụng thống kê Hệ 2.1.9 Chúng ta xét mơ hình hồi quy phi tham số sau Giả sử p số ngun dương A tập đóng khơng gian Rp Xét quan sát sau Yni = g(xni ) + Xni , ≤ i ≤ n, g hàm hồi quy với giá trị thực chưa biết bị chặn tập A, xni điểm cố định biết A, {Xni } dãy biến ngẫu nhiên Theo [7], giả thiết với n, có dãy {Xi , i ≥ 1}, dãy biến ngẫu nhiên α-mixing cho dãy gn (x) = ni=1 Wni (x)Yni , x ∈ A, hàm có trọng số Wni (x) phụ thuộc vào điểm xác định trước xni , ≤ i ≤ n, số quan sát n Mệnh đề sau đưa điều kiện đủ để đạt tính quán đầy đủ cho ước lượng gn (x) Mệnh đề 2.2.1 Giả sử hàm trọng số thỏa mãn n → ∞ n Wni (x) → 1, (2.43) |Wni (x)| = O(1), (2.44) |Wni (x)|I( xni − x > a) → với a > (2.45) i=1 n i=1 n i=1 Giả sử ≤ r < 2, q > 2r {Xi , i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên α-mixing có EXn = cho αk = O k q(2r−1)/(q−2r) logt k với t thỏa mãn t > 29 2qr q − 2r Nếu supi≥1 E|Xi |q < ∞ r−q sup |Wni (x)| = O(n r(q−1) ), (2.46) 1≤i≤n với điểm liên tục x thuộc tập A hàm g, ta có c gn (x) → − g(x) (2.47) Chứng minh Lưu ý ta có n |Egn (x) − g(x)| ≤ |Wni (x)||g(xni ) − g(x)| I( xni − x ≤ a) + I( xni − x > a) i=1 n Wni (x) − +|g(x)| i=1 (2.48) Do từ (2.43), (2.44), (2.45) tính liên tục bị chặn điểm x hàm g, |Egn (x) − g(x)| → n → ∞ Vì (2.49) |gn (x) − g(x)| ≤ |gn (x) − Egn (x)| + |Egn (x) − g(x)| n Wni (x)Xni + |Egn (x) − g(x)|, = (2.50) i=1 nên ta cần chứng minh n c − n → ∞ Wni (x)Xni → (2.51) i=1 Bây đặt ani = n1/r Wni (x), ≤ i ≤ n Từ (2.44) (2.46) ta có, n n |ani |q = nq/r i=1 ≤ nq/r |Wni (x)|q i=1 n sup |Wni (x)|q−1 = O(n) khin → ∞ |Wni (x)| 1≤i≤n i=1 Do đó, áp dụng Hệ 2.1.9 ta có n1/r n n Wni (x)Xi → n → ∞ ani Xi = i=1 (2.52) i=1 Vì với n ≥ 1, dãy {Xni , ≤ i ≤ n} phân phối với dãy {Xi , ≤ i ≤ n}, nên từ (2.52) ta suy (2.51) ✷ 30 KẾT LUẬN Các kết Luận văn thu kết sau: Trình bày số khái niệm phụ thuộc mixing dãy biến ngẫu nhiên Đồng thời chứng minh chi tiết mối quan hệ loại mixing Đưa số điều kiện để dãy biến ngẫu nhiên α-mixing hội tụ đầy đủ hội tụ hầu chắn Trình bày Ví dụ chứng tỏ điều kiện Định lí bị làm yếu kết luận Định lí khơng cịn Ứng dụng kết hội tụ đầy đủ tổng có trọng số vào mơ hình hồi quy phi tham số Hướng phát triển luận văn Nghiên cứu hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên điều kiện phụ thuộc mixng khác Tìm thêm ứng dụng hội tụ có trọng số thống kê Toán học 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008 [2] L.E Baum and M Katz, Convergence rates in the law of large numbers Trans Amer Math Soc 120 (1965), 108–123 [3] H C P Berbee, Convergence rates in the strong law for bounded mixing sequences Probab Theory Rel Fields, 74 (1987), 255270 [4] P Erdăos, On a theorem of Hsu and Robbins Ann Math Statist 20 (1949), 286–291 [5] A Georgiev, Consistent nonparametric multiple regression: the fixed design case J Multivariate Anal 25 (1988), no 1, 100–110 [6] P.L Hsu, H Robbins, Complete convergence and the law of large numbers Proc Nat Acad Sci U S A., 33 (1947), 25–31 [7] G G Roussas, T L Tran, and D A Ioannides, Fixed design regression for time series: asymptotic normality, J Multivariate Anal 40 (1992), no 2, 262–291 [8] Q M Shao, Complete convergence for α-mixing sequences Statist Probab Lett 16 (1993), no 4, 279–287 [9] A Shen, X Wang, X Li, and X Wang, On the rate of complete convergence for weighted sums of arrays of rowwise ϕ-mixing random variables Comm Statist Theory Methods 43 (2014), no 13, 2714–2725 [10] L V Thanh, G Yin, and L.Y Wang, State observers with random sampling times and convergence analysis of double-indexed and randomly-weighted 32 sums of mixing processes SIAM J Control Optim 49 (2011), no 1, 106– 124 [11] X C Zhou and J G Lin, On complete convergence for strong mixing sequences, Stochastics, (2013), no.2, 262–271 33 ... cứu hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc α- mixing ứng dụng Nội dung trình bày Chương luận văn 16 CHƯƠNG SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN α- MIXING. .. là: ? ?Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên α- mixing ứng dụng? ?? Chúng nghiên cứu bất đẳng thức cực đại cho biến ngẫu nhiên α- mixing Từ đó, chúng tơi nghiên cứu hội tụ đầy đủ tổng có trọng. .. 1.1 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 1.2 Dãy 1.3 Sự phụ thuộc mixing dãy biến ngẫu nhiên 5 10 11 Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên