Luật số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - TRẦN THỊ HƯƠNG LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC CỘNG TÍNH TRÊN ÂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - TRẦN THỊ HƯƠNG LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC CỘNG TÍNH TRÊN ÂM Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS Lê Văn Thành Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến cố xác suất 1.2 Biến ngẫu nhiên tính chất liên quan 1.3 Các dạng hội tụ, luật số lớn số bất đẳng thức Luật số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm 2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm 2.2 Luật yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm 2.3 Luật mạnh số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm 6 10 16 16 18 22 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 LỜI NÓI ĐẦU Trong khoa học đời sống ngày thường gặp tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên quy luật ngẫu nhiên Ngày nay, lý thuyết xác suất trở thành ngành toán học quan trọng phương diện lý thuyết ứng dụng Luật số lớn định lý giới hạn quan trọng lý thuyết xác suất Luật số lớn rằng, kích thước mẫu lớn trung bình biến ngẫu nhiên gần với giá trị kỳ vọng Chẳng hạn, tung xúc xắc nhiều lần, trung bình cộng tổng số nốt xuất tiến đến 3, Khái niệm dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm giới thiệu Alam Saxena [3] năm 1981 Năm 2000, Hu [6] giới thiệu khái niệm dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm, mở rộng thực khái niệm liên kết âm Gần đây, tác giả Aiting Shen nghiên cứu luật mạnh số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm cơng bố Tạp chí Korean Math Soc (năm 2016) Trên sở nghiên cứu tài liệu định chọn đề tài luận văn “Luật số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm” Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức sở liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể biến cố xác suất, biến ngẫu nhiên, phương sai, kỳ vọng, số dạng hội tụ luật số lớn Chương Luật số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Chương nội dung luận văn Trong chương 2, nghiên cứu luật số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Cụ thể định nghĩa, số tính chất định lý luật số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, nghiêm túc Thầy giáo PGS TS Lê Văn Thành Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy khoa Sư phạm Tốn học, đặc biệt thầy cô môn Xác suất thống kê Toán ứng dụng giảng dạy bảo suốt thời gian nghiên cứu Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 22 chuyên ngành Lý thuyết xác suất Thống kê toán học động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng lực cịn hạn chế nên luận văn chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2016 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, luật số lớn số kiến thức liên quan Trong tồn luận văn khơng nói thêm, giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ B(R) ký hiệu σ-đại số tập Borel R Các kiến thức chương chủ yếu trích từ tài liệu tham khảo [1] 1.1 Biến cố xác suất Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω tập tùy ý khác rỗng Một họ F tập Ω gọi σ-đại số thỏa mãn ba điều kiện sau (i) Ω ∈ F; (ii) Nếu A ∈ F, AC = Ω \ A ∈ F; ∞ (iii) Nếu An ∈ F với n = 1, 2, , An ∈ F n=1 Khi cặp (Ω, F) gọi không gian đo Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω tập tùy ý khác rỗng F σ-đại số tập Ω Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F thỏa mãn ba điều kiện sau (i) P(A) ≥ với A ∈ F (tính khơng âm); (ii) P(Ω) = (tính chuẩn hóa); (iii) Nếu An ∈ F với n = 1, 2, , Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i = j), ∞ P( n=1 ∞ An ) = P(An ) (tính cộng tính đếm được) n=1 Định nghĩa 1.1.3 Cho Ω tập tùy ý khác rỗng F σ-đại số tập Ω P độ đo xác suất F Khi ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất, tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp, σ-đại số F gọi σ-đại số biến cố Mỗi A ∈ F gọi biến cố, biến cố A = Ω \ A ∈ F gọi biến cố đối lập biến cố A Nếu AB = ∅ A, B gọi biến cố xung khắc Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất khơng biến cố Tính chất 1.1.4 Giả sử A, B, C, biến cố Khi đó, xác suất chúng có tính chất sau P(∅) = Nếu AB = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A) = − P(A) Nếu A ⊂ B P(B \ A) = P(B) − P(A) P(A) ≤ P(B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) ∞ P( n=1 ∞ An ) P(An ) n=1 (Tính liên tục xác suất) (i) Nếu {An , n ≥ 1} ⊂ F dãy đơn điệu tăng, nghĩa A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ An ⊂ , ∞ lim P(An ) = P( n−→∞ An ) n=1 (ii) Nếu {An , n ≥ 1} ⊂ F dãy đơn điệu giảm, nghĩa A1 ⊃ A2 ⊃ ⊃ An ⊃ , ∞ lim P(An ) = P( n−→∞ 1.2 An ) n=1 Biến ngẫu nhiên tính chất liên quan Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian xác suất (Ω, F, P) Ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên X ánh xạ đo được, tức với a ∈ R {ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F Bây chúng tơi trình bày khái niệm độc lập, khái niệm đóng vai trị quan trọng lý thuyết xác suất Định nghĩa 1.2.2 Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi F(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)} gọi σ-đại số sinh X Họ hữu hạn {Fi , ≤ i ≤ n} σ-đại số F gọi độc lập, n n An P = P(Ai ), n=1 i=1 Ai ∈ Fi (1 ≤ i ≤ n) Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} σ-đại số F gọi độc lập, họ hữu hạn độc lập Họ biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} gọi độc lập, họ σ-đại số sinh chúng {F(Xi ), i ∈ I} độc lập Họ biến cố {Ai , i ∈ I} gọi độc lập, họ biến ngẫu nhiên {I(Ai ), i ∈ I} độc lập, I(A) hàm tiêu A Định nghĩa 1.2.3 Họ biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} gọi độc lập đôi một, Xi Xj độc lập với i = j với i, j ∈ I Hàm phân phối đặc trưng biến ngẫu nhiên Sau ta định nghĩa hàm phân phối Định nghĩa 1.2.4 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, X : Ω → R biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số FX (x) = P(X < x) = P(ω : X(ω) < x) gọi hàm phân phối X Như FX (x) = P(X −1 (−∞; x)) = PX [(−∞; x)] Ví dụ 1.2.5 Giả sử A ∈ F, X = I(A) P(A) = p Khi  x≤0  FX (x) = − p < x ≤  x > Kỳ vọng phương sai số đặc trưng quan trọng biến ngẫu nhiên số tính chất biến ngẫu nhiên xác định thông qua số đặc trưng Định nghĩa 1.2.6 Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) biến ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X kí hiệu EX Vậy EX = XdP Ω Nếu tồn E|X|p < ∞ (p > 0) ta nói X khả tích bậc p, đặc biệt E|X| < ∞ X gọi biến ngẫu nhiên khả tích Tính chất 1.2.7 (Một số tính chất kỳ vọng sử dụng luận văn) Nếu X ≥ EX ≥ Nếu X = C EX = C Nếu tồn EX với C ∈ R, ta có E(CX) = C EX Nếu tồn EX EY E(X ± Y ) = EX ± EY Nếu X ≥ EX = X = h.c.c Nếu X Y độc lập EXY = EX EY (Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn) Nếu |Xn | ≤ Y với n ≥ 1, EY < ∞ Xn → X X khả tích, E|Xn − X| → EXn → EX n → ∞ (Bất đẳng thức Markov) Giả sử X biến ngẫu nhiên khơng âm Khi đó, với ε > ta có P(X ≥ ε) ≤ EX ε Trong C số, hầu chắn viết gọn h.c.c Định nghĩa 1.2.8 Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi đó, giá trị độ lệch bình phương trung bình DX := E(X − EX)2 (nếu tồn tại) gọi phương sai X Tính chất 1.2.9 Phương sai có tính chất sau DX = EX − (EX)2 DX ≥ DX = X = EX = C h.c.c D(CX) = C DX (Bất đẳng thức Chebyshev) Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi tồn DX với ε > 0, ta có P(|Xn − X| ≥ ε) ≤ DX ε2 Tiếp theo chúng tơi trình bày covariance Định nghĩa 1.2.10 Giả sử X, Y biễn ngẫu nhiên Khi covariance X Y xác định Cov(X, Y )[E(X − EX)(Y − EY )] 10 Tính chất 1.2.11 Covariance có tính chất sau Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) (Tính đối xứng) Cov(X, Y ) = EXY − EX EY Nếu X Y độc lập Cov(X, Y ) = 1.3 Các dạng hội tụ, luật số lớn số bất đẳng thức Bây giờ, giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P) Chúng nhắc lại số khái niệm dạng hội tụ, luật số lớn nhắc lại kết Jajte [7] dùng chương sau Định nghĩa 1.3.1 (Hội tụ theo xác suất) Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X n → ∞ với ε > lim P(|Xn − X| > ε) = n→∞ P Kí hiệu Xn −→ X Sự hội tụ theo xác suất khẳng định với ε bé tùy ý, xác suất để Xn lệch khỏi X khoảng ε, n đủ lớn không đáng kể Xác suất hội tụ Sau ta giới thiệu khái niệm hội tụ mạnh hơn, hội tụ Lp hay hội tụ theo trung bình cấp p Định nghĩa 1.3.2 (Hội tụ theo trung bình cấp p) Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi hội tụ theo trung bình cấp p (p > 0) đến biến ngẫu nhiên X n → ∞ lim E|Xn − X|p = n→∞ Lp Kí hiệu Xn −→ X Mệnh đề sau giải thích hội tụ theo trung bình cấp p lại mạnh hội tụ theo xác suất Lp P Mệnh đề 1.3.3 Nếu Xn −→ X Xn −→ X Chứng minh Mệnh đề hệ đơn giản bất đẳng thức Markov: E|Xn − X|p p p P(|Xn − X| > ε) ≤ P(|Xn − X| ≥ ε ) ≤ → εp 17 Định nghĩa 2.1.4 Một dãy {Xn , n ≥ 1} biến ngẫu nhiên gọi phụ thuộc cộng tính âm (X1 , X2 , , Xn ) phụ thuộc cộng tính âm với n ≥ Khái niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm giới thiệu Hu [6], khái niệm xây dựng lớp hàm cộng tính Hu cho ví dụ minh họa phụ thuộc cộng tính âm không suy liên kết âm Hu đặt vấn đề mở: Phải liên kết âm phụ thuộc cộng tính âm Năm 2004 Christofides Vaggelatou [4] giải vấn đề biến ngẫu nhiên liên kết âm phụ thuộc cộng tính âm Ví dụ 2.1.5 Cho X = (X1 , X2 , X3 , X4 ) có phân phối bảng sau (X1 , X2 ) (X3 , X4 ) (0.0) (0,1) (1,0) (1,1) marginal (0,0) 0.0577 0.0623 0.0623 0.0577 0.24 (0,1) 0.0623 0.0677 0.0677 0.0623 0.26 (1,0) 0.0623 0.0677 0.0677 0.0634 0.26 (1,1) 0.0577 0.0623 0.0623 0.0577 0.24 marginal 0.24 0.26 0.26 0.24 Ở bảng trên, marginal ký hiệu phân phối biên Hu [6] cho biến ngẫu nhiên X = (X1 , X2 , X3 , X4 ) phụ thuộc cộng tính âm liên kết âm Nhận xét 2.1.6 (Hu [6], tính chất P1 ) Nếu xét hai biến ngẫu nhiên tính chất phụ thuộc cộng tính âm liên kết âm tương đương Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm bị chặn ngẫu nhiên Định nghĩa 2.1.7 Một dãy {Xn , n ≥ 1} biến ngẫu nhiên gọi bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X tồn số C > cho P(|Xn | > x) ≤ C P(|X| > x), (2.3) với x ≥ n ≥ Nhận xét 2.1.8 Nếu dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} phân phối bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X1 P(|Xn | > x) = P(|X1 | > x), với x ≥ n ≥ Như Định nghĩa 2.1.7 tổng quát khái niệm phân phối 18 Sau đây, tính chất biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm đưa Hu [6] Bổ đề 2.1.9 Cho {X1 , X2 , , Xn } biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Khi (i) {−X1 , −X2 , , −Xn } biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm (ii) Nếu {g1 , g2 , , gn } hàm khơng giảm, {g1 (X1 ), g2 (X2 ), , gn (Xn )} phụ thuộc cộng tính âm 2.2 Luật yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Trước hết, chúng tơi giới thiệu số bổ đề dùng để chứng minh luật yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Bổ đề Định lý Stolz, kiến thức giải tích cổ điển Bổ đề 2.2.1 (Định lý Stolz) Cho dãy số {xn , n ≥ 1} Khi đó, lim xn = 0, n→∞ x1 + x2 + + xn = n→∞ n Bổ đề bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov tổng biến ngẫu nhiên phụ thc cộng tính âm Bổ đề đề cập Hu [6] Phép chứng minh xem Shen, Zhang Volodin [11] lim Bổ đề 2.2.2 (Shen, Zhang Volodin [11]) Cho p ≥ {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm, kỳ vọng E|Xi |p < ∞ với i ≥ Khi với n ≥ 1, ta có p k E max 1≤k≤n Xi i=1 n ≤2 3−p E|Xi |p (2.4) i=1 Sau chúng tơi trình bày kết luật yếu số lớn tổng biến ngẫu nhiên độc lập Kết tìm thấy Gut [5] Sau chúng tơi trình bày mở rộng kết sang trường hợp tổng biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Định lí 2.2.3 (Gut [5, tr 279]) Cho biến ngẫu nhiên độc lập phân phối {X1 , X2 , } Đặt Yni = Xi I(|Xi | ≤ n) Khi nP (|X1 | > n)−→0, 19 n n P (Xi − EYni ) −→ i=1 Định lý sau thiết lập luật yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Định lí 2.2.4 Giả sử {Xi , i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phân phối phụ thuộc cộng tính âm Với n ≥ 1, đặt Yni = −nI(Xi < −n) + Xi I(|Xi | ≤ n) + nI(Xi > n) Giả sử {ani , n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng số thực thỏa mãn n a2ni ≤ Cn, i=1 C số dương Khi đó, nP(|X1 | > n)−→0, n (2.5) n P ani (Xi − EYni ) −→ (2.6) i=1 Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả sử ani > với n ≥ với i ≥ Trước hết ta chứng minh n n P ani (Xi − Yni ) −→ i=1 Lấy ε > tùy ý, kết hợp với giả thiết (2.5) ta có P n n n ani (Xi − Yni ) > ε ≤P i=1 ani (Xi − Yni ) = i=1 n ≤P (Xi = Yni ) i=1 n ≤ P(Xi = Yni ) i=1 n P(|Xi | > n) = i=1 = nP(|X1 | > n) → (2.7) 20 Vậy (2.7) chứng minh, ta cần chứng minh n n P ani (Yni − EYni ) −→ (2.8) i=1 Theo Bổ đề 2.1.9 dễ thấy {Yni − EYni } dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Từ áp Bất đẳng thức Chebyshev Bổ đề 2.2.2 ta có n ani (Yni − EYni ) > nε P i=1 ≤ ≤ = + C n2 ε2 C n2 ε2 C n2 ε2 C n2 ε2 n ≤ 2E nε ani (Yni − EYni ) i=1 n a2ni E(Yni − EYni )2 i=1 n a2ni EYni2 i=1 n a2ni n2 P(|Xi | > n) i=1 n a2ni EXi2 I(|Xi | ≤ n) (2.9) i=1 Để đánh giá (2.9) ta đặt C R1 = 2 nε C R2 = 2 nε n a2ni n2 P(|Xi | > n) i=1 n a2ni EXi2 I(|Xi | ≤ n) i=1 Khi ta có C R1 = P(|X1 | > n) ε ≤ n a2ni i=1 C nP(|X1 | > n) → ε2 (2.10) 21 Bây ta chứng minh R2 → Để làm điều này, ta đánh sau C R2 ≤ 2 εn n n a2ni i=1 xP(|X1 | > x)dx n ≤ C ε2 n xP(|X1 | > x)dx C = εn C ≤ εn n−1 k+1 xP(|X1 | > x)dx k=0 k k+1 n P(|X1 | > k) k=0 xdx k C = εn n−1 C = εn n−1 C ≤ εn C k P(|X1 | > k) + 2ε n k=0 (k + 1)2 − k P(|X1 | > k) k=0 P(|X1 | > k) k + k=0 n−1 n P(|X1 | > k) (2.11) k=0 Theo giả thiết k P(|X1 | > k) → Áp dụng Định lý Stolz ta có C ε2 n n−1 k P(|X1 | > k) → (2.12) k=0 Hơn kết hợp (2.12) ta lại có C 2ε2 n n C P(|X1 | > k) = 2ε n k=0 ≤ n−1 P(|X1 | > 0) + C C + 2ε2 n ε2 n P(|X1 | > k) k=1 n−1 k P(|X1 | > k) → (2.13) k=0 Từ (2.12) (2.13) ta chứng minh (2.11) Từ (2.10) (2.11) ta chứng minh (2.8) Từ (2.7) (2.8) ta chứng minh (2.6) 22 Hệ sau mở rộng phần Định lý 2.2.3 Nó suy trực tiếp từ Định lý 2.2.4 ta cho ani ≡ Hệ 2.2.5 Giả sử {Xi , i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phân phối phụ thuộc cộng tính âm Với n ≥ 1, ≤ i ≤ n, đặt Yni = −nI(Xi < −n) + Xi I(|Xi | ≤ n) + nI(Xi > n) Khi đó, nP(|X1 | > n)−→0, n 2.3 n P (Xi − EYni ) −→ i=1 Luật mạnh số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Bây giờ, chuyển sang giới thiệu luật mạnh số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Trước hết, chúng tơi trình bày số bổ đề quan trọng dùng để chứng minh Định lý 2.3.4, 2.3.5 Hu [6] đưa so sánh moment biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm biến ngẫu nhiên độc lập Ông bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm (Bổ đề 2.2.2) Bằng cách sử dụng bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov, Hu chứng tỏ định lý hội tụ Khintchine-Kolmogorov định lý ba chuỗi Kolmogorov cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Bổ đề 2.3.1 (Định lý hội tụ dạng Khintchine-Kolmogorov) Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Giả sử ∞ DXn < ∞ n=1 Khi đó, chuỗi ∞ (Xn − EXn ) hội tụ h.c.c n=1 Bổ đề sau định lý ba chuỗi Kolmogorov Nó suy trực tiếp từ Bổ đề 2.3.1 23 Bổ đề 2.3.2 (Định lý ba chuỗi Kolmogorov) Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Ký hiệu Xn(c) = cI(Xn < −c) + Xn I(| Xn |≤ c) + cI(Xn > c), c số dương Khi ba điều kiện sau thỏa mãn ∞ (i) P(|Xn | > c) < ∞, n=1 ∞ (c) EXn hội tụ, (ii) n=1 ∞ (c) DXn < ∞, (iii) n=1 ∞ Xn hội tụ h.c.c n=1 Theo định nghĩa bị chặn ngẫu nhiên tích phân phần, có bất đẳng thức sau Bổ đề 2.3.3 Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Đối với α > b > 0, ta có E|Xn |α I (|Xn | ≤ b) ≤ C1 [E|X|α I(|X| ≤ b) + bα P(|X| > b)] , E|Xn |α I (|Xn | > b) ≤ C2 E|X|α I(|X| > b), (2.14) (2.15) C1 , C2 số dương Do đó, E|Xn |α ≤ C E|X|α Trong phần tiếp theo, giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X mi = EXi I (|Xi | ≤ φ(i)), φ xác định Định lý 2.3.4 φ−1 hàm ngược hàm φ Ký hiệu C biểu thị số dương không phụ thuộc vào n mà không thiết phải giống lần xuất hiện, [x] biểu thị phần nguyên x Sau mở rộng Định lý 1.3.13 cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Định lí 2.3.4 Cho g(y) h(y) hàm số thực dương xác định (0, ∞) cho φ(y) ≡ g(y)h(y) thỏa mãn điều kiện (i) (iii) Định lý 1.3.13 Nếu E[φ−1 (|X|)] < ∞, ∞ n=1 Xn − mn hội tụ h.c.c φ(n) (2.16) 24 Nếu giả sử thêm g(x) tăng miền xác định lim g(x) = x→∞ ∞, g(n) n i=1 Xi − mi → h.c.c, n → ∞ h(i) (2.17) Chứng minh Với n ≥ 1, đặt Yn = −φ(n)I(Xn < −φ(n)) + Xn I(|Xn | ≤ φ(n)) + φ(n)I(Xn > φ(n)) Theo Định nghĩa 2.1.7 điều kiện E[φ−1 (|X|)] < ∞, thấy ∞ ∞ P(|Xn | > φ(n)) P(Xn = Yn ) = n=1 n=1 ∞ ≤C P(|X| > φ(n)) n=1 ∞ =C P(φ−1 (|X|) > n) n=1 −1 ≤ C E[φ (|X|)] < ∞ (2.18) Kết hợp (2.18) bổ đề Borel-Cantelli có P((Xn = Yn ), i.o) = (2.19) EYn2 Tiếp theo xem xét chuỗi Từ bất đẳng thức Cr , Định n=1 φ (n) nghĩa 2.1.7, Bổ đề 2.3.3 (2.18) nhận định n ∞ n=1 ∞ EYn2 ≤ C EXn2 I(|Xn | ≤ φ(n)) + φ2 (n)P(|Xn |) ≥ φ(n)) 2 φ (n) φ (n) n=1 ∞ ∞ ≤C n=1 EX I(|X| ≤ φ(n)) +C P(|X| ≥ φ(n)) φ2 (n) n=1 ∞ ≤ CE n=1 X I(|X| ≤ φ(n)) + C φ2 (n) (2.20) Ta có E[φ−1 (|X|)] < ∞, suy φ−1 (|X|) < ∞ h.c.c φ(φ−1 (|X|)) = |X| 25 Do đó, kết hợp điều kiện (iii) Định lý 1.3.13 ta ∞ n=1 X I(|X| ≤ φ(n)) φ2 (n) [φ−1 (|X|)]+1 = n=1 X I(|X| ≤ φ(n)) + φ2 (n) ∞ −1 ≤ φ (|X|) + + n=[φ−1 (|X|)]+2 ∞ n=[φ−1 (|X|)]+2 X I(|X| ≤ φ(n)) φ2 (n) X2 φ2 (n) (2.21) ∞ ≤ φ−1 (|X|) + + X dx φ2 (x) φ−1 (|X|) ≤ (1 + a)φ−1 (|X|) + + b Điều kéo theo ∞ E n=1 X I(|X| ≤ φ(n)) ≤ (1 + a)E[φ−1 (|X|)] + + b < ∞ φ (n) (2.22) Từ (2.20) (2.22) có ∞ n=1 DYn ≤ φ2 (n) ∞ n=1 EYn2 < ∞ φ2 (n) (2.23) Theo Bổ đề 2.1.9 dễ thấy {Yn /φ(n), n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Từ đó, theo (2.23) Bổ đề 2.3.1 có ∞ Yn − EYn hội tụ h.c.c (2.24) φ(n) n=1 Kết hợp (2.19) (2.24) ta ∞ n=1 Xn − EYn hội tụ h.c.c φ(n) Để hoàn thành chứng minh (2.16) ta cần chứng tỏ ∞ n=1 φ(n)P(Xn < −φ(n)) − φ(n)P(Xn > φ(n)) φ(n) 26 ∞ [P(Xn < −φ(n)) − P(Xn > φ(n))] hội tụ = (2.25) n=1 Lưu ý ∞ ∞ ∞ n=1 n=1 ∞ n=1 ∞ P(Xn < −φ(n)) , n=1 P(Xn > φ(n)) không âm n=1 ∞ ∞ P(Xn < −φ(n)) Khi P(Xn > φ(n)) < ∞ P(Xn < −φ(n)) + P(|Xn | > φ(n)) = n=1 P(Xn > φ(n)) hội tụ hay ta có (2.25) n=1 Từ suy (2.16) n Xi − m i → h.c.c g(n) i=1 h(i) Thật từ (2.16) Bổ đề 1.3.17 ta suy (2.17) Vậy định lý chứng minh xong Cuối ta cần chứng minh Nếu thêm giả thiết EXn = chúng tơi thu kết sau Kết trình bày số điều kiện đủ để chứng minh luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số (1.1) Định lí 2.3.5 Cho g(y) h(y) hàm số thực dương xác định khoảng (0, ∞) cho φ(y) ≡ g(y)h(y) thỏa mãn điều kiện (i) (iii) Định lý 1.3.13 Nếu EXn = E[φ−1 (|X|)] < ∞ ∞ n=1 Xn hội tụ h.c.c φ(n) (2.26) Nếu giả thiết thêm g(x) tăng miền xác định nó, lim g(x) = ∞ x→∞ g(n) n i=1 Xi → h.c.c, n → ∞ h(i) (2.27) Chứng minh Với n ≥ 1, đặt Zn = −I(Xn /φ(n) < −1) + = Xn φ(n) Xn I(|Xn /φ(n)| ≤ 1) + I(Xn /φ(n) > 1) φ(n) (1) Chúng ta áp dụng Bổ đề 2.3.2 cho dãy {Xn /φ(n), n ≥ 1}, c = Ở {Xn /φ(n), n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính 27 âm theo Bổ đề 2.1.9 Theo định nghĩa bị chặn ngẫu nhiên điều kiện E φ−1 (|X|) < ∞ thấy ∞ ∞ P(|Xn |/φ(n) > 1) ≤ C n=1 P(|X| > φ(n)) n=1 ∞ P(φ−1 (|X|) > n) =C n=1 ≤ C E φ−1 (|X|) < ∞ (2.28) Tương tự chứng minh (2.20) - (2.23) ta thu được: ∞ ∞ EZn2 D(Zn ) ≤ n=1 n=1 ∞ ≤C n=1 φ2 (n) EXn2 I(|Xn | ≤ φ(n)) + P(|Xn | > φ(n)) < ∞ (2.29) Cuối cùng, chứng minh ∞ EZn hội tụ (2.30) n=1 Theo (2.28) Bổ đề 1.3.18, có P({|Xn |/φ(n) > 1}, i.o.) = ∞ n=1 |Xn | I(|Xn |/φ(n) > 1) < ∞ h.c.c φ(n) Điều kéo theo ∞ E|Xn /φ(n)|I(|Xn |/φ(n) > 1) < ∞ (2.31) n=1 Vì vậy, từ EXn = kết hợp với (2.28) (2.31) ta ∞ ∞ |EZn | ≤ n=1 ∞ P(|Xn |/φ(n) > 1) + n=1 ∞ |EXn /φ(n)I(|Xn |/φ(n) ≤ 1)| n=1 ∞ P(|Xn |/φ(n) > 1) + ≤ n=1 < ∞ E|Xn /φ(n)|I(|Xn |/φ(n) > 1) n=1 (2.32) 28 Từ (2.28), (2.29), (2.32) Bổ đề 2.3.2 ta suy (2.26) Hơn nữa, từ (2.26) ta suy (2.27) Bổ đề 1.3.17 Từ chứng minh hồn thành Từ Định lý 2.3.5 nhận luật mạnh số lớn Kolmogorov luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund, cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm sau Hệ 2.3.6 Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm phân phối Nếu E|X1 |p < ∞ với ≤ p < 2, n n1/p (Xi − EX1 ) → h.c.c, n → ∞ (2.33) i=1 Chứng minh Không tính tổng quát, ta giả sử EX1 = Vì vậy, để chứng minh (2.33), cần n1/p n Xi → h.c.c n → ∞ (2.34) i=1 Ta chọn g(x) = x1/p , ≤ p < 2, x ∈ (0, ∞); h(x) = 1, x ∈ (0, ∞); φ(x) = g(x)h(x), x ∈ (0, ∞), φ(0) = Điều chứng tỏ điều kiện Định lý 2.3.5 thỏa mãn Do ta chứng minh (2.34) Nếu chọn g(x) = log x h(x) = x Định lý 2.3.5, thu trường hợp đặc biệt sau trung bình dạng logarit Hệ 2.3.7 Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng 0, phụ thuộc cộng tính âm bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Nếu E|X| < ∞, log n n k=1 Xk → h.c.c, n → ∞ k Chứng minh Ta chọn: g(x) = 1, với ≤ x ≤ g(x) = log x, với x > 3, h(x) = x, với x ≥ (2.35) 29 Ta thấy Eφ−1 (|X|) ≤ E(|X|) < ∞ Điều chứng tỏ điều kiện Định lý 2.3.5 thỏa mãn Do (2.35) chứng minh 30 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau 1) Trình bày có hệ thống khái niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm số tính chất liên quan 2) Chứng minh luật yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Đây kết luận văn 3) Trình bày chứng minh luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Đây kết báo Aiting Shen [10] Hướng phát triển luận văn Nghiên cứu luật số lớn đối với, dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm, nhận giá trị không gian Hilbert 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Quảng, Nguyễn Văn Huấn, Cơ sở xác suất đại, Nhà xuất Đại học Vinh, 2014 [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Đại học Quốc Gia, Hà Nội, 2003 Tiếng Anh [3] K Alam and K M L Saxena, Positive dependence in multivariate distributions Comm Statist A Theory Methods 10 (1981), no 12, 1183 – 1196 [4] T.C Christofides E Vaggelatou, A connection between supermodular ordering and positive/negative association, J Multivariate Anal 88 (2004), no 1, 138 – 151 [5] A Gut, Probability: a graduate course Second edition Spinger Texts in Statistics Springer, New York, 2013 [6] T Z Hu, Negatively superadditive dependent random variables with applications, Chinese J Appl Probab Statist 16 (2000), no 2, 133 – 144 [7] R Jajte, On the strong law of large numbers, Ann Probab 31 (2003), no 1, 409 - 412 [8] K Joag-Dev and F Proschan, Negative association of random variables with applications, Ann Statist 11 (1983), no 1, 286–295 [9] J H B Kemperman, On the FKG-inequalities for measures on a partially ordered space, Nederl Akad Wetensch Proc Ser A 80 (1977), no 4, 313 – 331 [10] A Shen, On the strong law of large numbers for weighted sums of negatively superadditive dependent random variables, J Korean Math Soc 53 (2016), no 1, pp 45 - 55 [11] A Shen, Y Zhang and A Volodin, Applications of the Rosenthaltype inequality for negatively superadditive dependent random variables, Metrika 78 (2015), no 3, 295 - 311 ... thuộc cộng tính âm 2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm 2.2 Luật yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm 2.3 Luật mạnh số lớn tổng có trọng. .. yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Trước hết, chúng tơi giới thiệu số bổ đề dùng để chứng minh luật yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính. .. i=1 Luật mạnh số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Bây giờ, chuyển sang giới thiệu luật mạnh số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính âm Trước hết, chúng