Một số luật số lớn đối với dãy các ngẫu nhiên

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ THANH TÂM MỘT SỐ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN KHĨA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH TỐN HỌC - TIN HỌC ỨNG DỤNG VINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ THANH TÂM MỘT SỐ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VĂN QUẢNG VINH - 2011 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU PHẦN I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.2 Các dạng hội tụ 1.3 Tính độc lập dãy BNN 1.4 Kì vọng biến ngẫu nhiên 10 1.5 Phương sai biến ngẫu nhiên 11 PHẦN II.TÍNH PHỤ THUỘC ÂM CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC BIẾN CỐ 14 2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 14 2.2 Các biến cố phụ thuộc âm 15 PHẦN III LUẬT YẾU SỐ LỚN 19 3.1 Định nghĩa 19 3.2 Bất đẳng thức Chebyshev 20 3.3 Luật yếu số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 20 PHẦN IV LUẬT MẠNH SỐ LỚN 23 4.1 Định nghĩa 23 4.2 Các bổ đề 23 4.3 Các định lý 25 4.4 Luật số lớn cho dãy phân phối 26 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết xác suất, định lý giới hạn dạng luật số lớn đóng vai trị quan trọng gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng Chebysev, Kolomogorov, Khinchin, Marcinkiewicz… Trước nghiên cứu kết phần lớn gắn liền với tính chất độc lập biến ngẫu nhiên.Tuy nhiên tính chất quan trọng khoa học sống nên năm gần xuất nghiên cứu lớp đối tượng biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm (Negatively dependent random variables) bước đầu thu số kết quan trọng Mục đích Khóa luận nhằm trình bày số khái niệm liên quan đến khái niệm biến ngẫu nhiên độc lập đôi phụ thuộc âm, đưa định nghĩa biến cố phụ thuộc âm số tính chất chúng, đồng thời đưa số định lý luật số lớn biến ngẫu nhiên độc lập đôi phụ thuộc âm Khóa luận gồm có bốn phần Phần I: Trình bày kiến thức lý thuyết xác suất cần thiết cho chương sau Phần II: Trình bày tính phụ thuộc âm biến ngẫu nhiên biến cố Đưa khái niệm, tính chất chúng Phần III: Trình bày luật yếu số lớn Đưa số bất đẳng thức cần thiết để chứng minh định lý luật yếu số lớn Phần IV: Nghiên cứu luật mạnh số lớn biến ngẫu nhiên Phần trình bày luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên chứng minh định lý, tính chất liên quan Khóa luận hồn thành hướng dẫn PGS.TS NguyễnVăn Quảng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn tận tình cho em q trình học tập nghiên cứu để hồn thành Khóa luận Tuy nhiên, thời gian có hạn lực tác giả hạn chế, nên Khóa luận cịn có thiếu sót Tác giả mong góp ý người đọc Vinh, tháng năm 2011 Tác giả PHẦN I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa Giả sử ( không gian xác suất,  -đại số tập Borel R Khi ánh xạ  :   R gọi biến ngẫu nhiên (BNN) với B 1.1.2 Định lí Giả sử  :   R ánh xạ Khi mệnh đề sau tương đương a X biến ngẫu nhiên (BNN) b với x  R c với x  R với x, y  R, x  y d 1.1.3 Định nghĩa Hàm đo được, nghĩa Nhận xét Từ định nghĩa suy gọi hàm Borel với B hàm liên tục  hàm Borel Đặc biệt hàm x, y   x  y, x, y   xy  x, y   max  x, y  ,  x, y   min( x, y) hàm Borel biến 1.1.4 Định lí Giả sử 1 ,,  n biến ngẫu nhiên (BNN) xác định không gian xác suất  t1 ,, t n  hàm Borel nhận giá trị thực Khi    1 ,,  n  BNN Chứng minh Đặt    1  ,,  n   , X ánh xạ giá trị R n Với x1 ,, xn R ta có nhận Do với xi  R sinh Nhưng lớp tập suy với Mặt khác với C ( nên )(C) = Vậy Y BNN Hệ Giả sử X, Y ĐLNN Khi X+Y, X Y, X.Y, X Y, X Y  1     0,      0,       1 BNN 1.1.5 Định lí Giả sử  n , n  1 dãy BNN sup  n , inf  n hữu hạn Ω n n n   , X Khi sup  n , inf  n , lim sup  n , lim inf  n BNN Đặc biệt lim n  n n n n hữu hạn X BNN 1.2 Các dạng hội tụ 1.2.1 Định nghĩa.Ta nói dãy BNN  n , n  1 hội tụ đến BNN X (khi n   a Hầu chắn (h.c.c)  lim  n     n c.c Kí hiệu:  n h   b.Theo xác suất với   thì: lim   n       n P Kí hiệu:  n   c Đầy đủ   thì:     n 1 n      C Kí hiệu:  n   d Theo trung bình cấp P, (P>0) lim   n    P n L Kí hiệu:  n   P Fn ( x)  F ( x) e.Yếu (theo phân phối) lim n x  C F  Trong Fn x , F x  hàm phân phối BNN  n , C F  tập hợp điểm mà F x  liên tục D Kí hiệu:  n   Hội tụ hầu chắn (h.c.c) gọi hội tụ với xác suất 1, hội tụ theo trung bình cấp P cịn gọi hội tụ LP 1.2.2 Ví dụ c.c c.c c.c Ví dụ Cho  n h   , n h    Khi  n  n h     (khi n  )     : lim         0 1   : lim  n       Chứng minh Đặt n 2 n n Theo giả thiết,  n   h.c.c n   h.c.c nên P 1   P 2   suy   1 2   Khi ,  1 2 lim  n       n    n        lim n  Nên  n       n       Do đó:  n    n           Chứng tỏ    : lim n   n        n   lim   Nên 1  2   : lim  n   n        n  Suy ra: n n   n       c.c Vậy  n  n h      h.c.c Ví dụ Cho a  R  n BNN rời rạc nhận giá trị a với xác suất tương L P ứng 1 Khi đó:  n  0khi n    n  n n Chứng minh.Ta có với   0    n      P  n       n  a    n  a    0, n   n P Do đó: lim P  n      0,   nên  n  n L Mặt khác,   n     n  a  n   nên  n  0 n 1.3 Tính độc lập dãy BNN Giả sử , F ,  không gian xác suất cố định 1.3.1 Định nghĩa Họ  -đại số gọi độc lập , i=1,…, n có với P(A1A2…An) = P(A1)P(A2)…P(An)  -đại số Họ vô hạn gọi độc lập họ hữu hạn độc lập Họ BNN  i , i   gọi độc lập  -đại số sinh chúng độc lập Họ BNN  i , i   gọi độc lập đôi với i, j  i  j   i  j độc lập 1.3.2 Định lí Giả sử hàm Borel họ biến ngẫu nhiên độc lập : họ biến ngẫu nhiên độc lập ( ) 10 1.3.3 Tính chất c.c 1.3.3.1 Định lí  n h    với Ta có lim  sup  m       n   m  n  C c.c 1.3.3.2 Hệ Nếu  n    n h   Chứng minh Điều khẳng định rút từ bất đẳng thức   sup  m          m       m n  mn Trong trường hợp  n , n  1 dãy BNN độc lập X số điều ngược lại ta có định lý sau: h.c.c C 1.3.3.3 Định lý Nếu  n , n  1 dãy BNN độc lập n   C n  C Chứng minh Đặt Khi đó: Áp dụng bổ đề Borel-Cantelli cho dãy biến cố độc lập (An , n ) điều phải chứng minh 1.4 Kì vọng biến ngẫu nhiên 1.4.1 Định nghĩa Giả sử X: ( Lơbe BNN Khi tích phân (nếu tồn tại) gọi kì vọng X, kí hiệu EX 1.4.2 Các tính chất kì vọng Các tính chất kì vọng suy trực tiếp từ định nghĩa tính chất tích phân Lơbe a Nếu b Nếu 18 Chứng minh.Ta chứng cho trường hợp họ hữu hạn Ta chứng minh họ gồm hai -đại số phụ thuộc âm độc lập Giả sử họ (n-1) -đại số phụ thuộc âm độc lập Ta chứng minh định lý cho họ có n phần tử Thật : Với A1 P( Do , An ta có ) ) P( ) -đại số nên , Do P( 1, ) (1) A2,…, An phụ thuộc ) ) , (2) Mà P( ) = P( ) ≥ ) = P( P( ) ) (do suy từ (1)) ) (3) Từ (2) (3) suy P( ) = P( Do A1, , An nên suy Nếu , ) , họ độc lập họ hữu hạn -đại số độc lập hiển nhiên chúng phụ thuộc âm Vậy trường hợp hữu hạn định lý chứng minh Trường hợp vô hạn, suy trực tiếp từ định nghĩa chứng minh 19 PHẦN III LUẬT YẾU SỐ LỚN 3.1 Định nghĩa Cho dãy ( (i=1,2 ) Dãy ( ,n≥1) biến ngẫu nhiên có kì vọng E = ,n≥1) gọi tuân theo luật yếu số lớn ( n Dãy ( ) , n≥1) gọi tuân theo luật yếu số lớn tổng quát tồn dãy số (bn) , 0≤ bn ∞ cho ( n ) 3.2 Bất đẳng thức Chebyshev 3.2.1 Định lý Giả sử X biến ngẫu nhiên không âm, với ≥ ta có P( ≥ 3.2.2 Định lý (Bất đẳng thức Markov) Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi đó, với , với r P( ta có ) 3.2.3 Bất đẳng thức Chebyshev Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi đó, tồn DX với P( Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Markov cho biến ngẫu nhiên Y= ta P( ) = P(Y ) 0, ta có 20 3.3 Luật yếu số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 3.3.1 Bổ đề Giả sử { Xn , n 0} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi Khi ta có : D( ) Chứng minh D( ) = = 3.3.2 Định lý Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện D( ) ∞ ) dãy (Xn) tuân theo luật yếu số lớn ( n Chứng minh Đặt = suy E = Với ≤ P( ) = P{ > } = (n⟶∞) Ta suy Hay Do {Xn, n Từ định lý suy hệ quả: } tuân theo luật yếu số lớn 21 Hệ Nếu (Xn) dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi thỏa mãn điều kiện: ∞ ) dãy (Xn) tuân theo luật yếu số lớn (khi n Chứng minh Vì (Xn) dãy biễn ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi nên ( ) ∞ ) Do theo định lý dãy (Xn) (khi n tuân theo luật yếu số lớn Hệ Nếu (Xn) dãy biến ngẫu nhiên có EXiEXj với i j (Xn) tuân theo luật yếu số lớn Chứng minh.Ta có: ) = E( [ = ) ) 2 Suy ( ) = = (E ] n⟶∞ Áp dụng định lý 3.3.2 ta dãy (Xn) tuân theo luật yếu số lớn Hệ (Luật yếu số lớn Chebyshev cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm) Giả sử (Xn) dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi phân phối, có kì vọng a phương sai a ( n Chứng minh Ta có Khi (Xn ) tuân theo luật yếu số lớn ) ( ) Do theo hệ dãy (Xn) tuân theo luật yếu số lớn 22 – (khi n (khi n a (khi n Luật số lớn Chebyshev mở rộng cho trường hợp dãy biến ngẫu nhiên (Xn) độc lập có kì vọng, khơng thiết phương sai Hệ Giả sử (Xn) biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi cho EX1 = EX2 = …= EXn = a DXi c với i=1,2,… Khi ( Xn) tuân theo luật yếu số lớn a (khi n Chứng minh Ta có (khi n Do theo hệ dãy (Xn) tuân theo luật yếu số lớn Khi (khi n Suy a (khi n ) 23 PHẦN IV LUẬT MẠNH SỐ LỚN 4.1 Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) gọi tuân theo luật mạnh số lớn , Sn = X1 +…+ Xn n 4.2 Các bổ đề 4.2.1 Bổ đề Borel-Canteli Giả sử (An) dãy biến cố Khi a) Nếu ) P(lim supAn) = b) Nếu ) biến cố An độc lập P(lim supAn) = Chứng minh a) Vì lim supAn = P(lim supAn) P( nên ) ) k ∞ Suy P(lim supAn) = ) b) P(lim supAn) = ) =1 ) Ta cần chứng minh: ) = với Nếu (An) biến cố độc lập ( )= Áp dụng bất đẳng thức ln(1 ln tức x) )= k ) độc lập, )= )) x với 0≤ x ≤ ta có )) ) = với k = 24 Vậy P(lim supAn) = 4.2.2 Bổ đề Kronecker Giả sử (xn, n ≥ 1) dãy số thực (bn, n ≥ 1) dãy số dương tăng đến +∞ (0< b1< b2 0, n N, │rn│< Do │ │≤ )│rk│] ≤ ≤ )│rk│+ )+ )] )] = Do > nên │ Suy │=0 = Suy điều phải chứng minh 25 4.3 Các định lý 4.3.1 Định lý Khinchin Giả sử (Xn) (Yn) hai dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn ∞ (Xn Yn) Khi hội tụ hầu chắn (h.c.c) hội tụ hầu chắn 4.3.2 Định lý Kolmogorov-Khinchin Giả sử (Xn) dãy biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn EXn = 0, Khi chuỗi hội tụ h.c.c 4.3.4 Định lý Giả sử (Xn, n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó, ) h.c.c (khi n ∞) Hệ Nếu (Xn , n≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên độc lập ) h.c.c (khi n 4.3.5 Định lý Giả sử (Xn) DXn ∞) Khi EXn , EXiXj Chứng minh.Chọn a>1 kn = [an] Theo bất đẳng thức Chebyshev }≤c ) ≤c ≤c Với > Theo bổ đề Borel-Cantelli, n ) < EXiEXj 26 Cho k số nguyên, kn k kn+1 + Từ suy ra: Với a>1 ta có điều phải chứng minh 4.4 Luật số lớn cho dãy phân phối Giả sử (Xn, n dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối Khi E X1 E X1 Ngược lại, (Xn, n 1) dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi phân phối hội tụ hầu chắn đến số E X1 Chứng minh Giả sử E X1 , (Xn, n C = EX1 1) dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, nên đặt: : = max (Xn, 0) : = max ( Xn, 0) dãy ) độc lập đơi thỏa mãn giả thiết định , lý Đặt Yj = XjI{Xj ≤ j}, Tn = Với >1, đặt k(n) = [ Suy Với ], k(n) + ) , áp dụng bất đẳng thức Chebyshev │ := c1 E = c1 > k(n)} 27 c1 c1 ( ) Ta có { } c2i-2 Suy c3 = c4 = c4 = c4 c4 = c4 (vì ) c5 (vì ) Do h.c.c (khi n Mặt khác, n Hay ∞ nên ∞) (1) 28 Kết hợp với (1) ta h.c.c (khi n ∞) Vì h.c.c, j đủ lớn Do Nên ∞) h.c.c (khi n ∞) nên Vì (khi n Cho k(n) k(n+1) n đủ lớn 4 Do , k(n + 1) Do ( Cho ta : Ngược lại, giả sử ( ,n dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối hội tụ hầu chắn đến số C hữu hạn Do với xác suất 1, có hữu hạn biến cố ( Áp dụng Bổ đề Borel-Cantelli ta Suy ) xảy 29 C = Kết thúc chứng minh KẾT LUẬN Mục đích Khóa luận nghiên cứu số luật số lớn biến ngẫu nhiên Trình bày tính chất biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm điều kiện để tuân theo luật số lớn Khóa luận làm cơng việc sau: Trình bày kiến thức biến ngẫu nhiên như: khái niệm, tính chất cảu biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên độc lập, kì vọng, phương sai biến ngẫu nhiên Trình bày khái niệm tính chất biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm biến cố phụ thuộc âm Trình bày luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi Trình bày luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên không âm dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi 30 Kết nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu để mở rộng cho mảng hai chiều lớn hơn… 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao,Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2008 [2] Đặng Hùng Thắng, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất giáo dục, 2002 [3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Việt Yên, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất giáo dục, 2001 [4] Đào Thị Hồng Thủy, Khóa luận tốt nghiệp đại học , trường Đại học vinh, 2005 [5] ETEMADI, An elemantery proof of the strong law of large numbers Z.Wahrsch.Verw Gebiete 55 119-122, 1981 32 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU PHẦN I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.2 Các dạng hội tụ 1.3 Tính độc lập dãy BNN 1.4 Kì vọng biến ngẫu nhiên 10 1.5 Phương sai biến ngẫu nhiên 11 PHẦN II.TÍNH PHỤ THUỘC ÂM CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC BIẾN CỐ 13 2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 13 2.2 Các biến cố phụ thuộc âm 15 PHẦN III LUẬT YẾU SỐ LỚN 19 3.1 Định nghĩa 19 3.2 Bất đẳng thức Chebyshev 19 3.3 Luật yếu số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 20 PHẦN IV LUẬT MẠNH SỐ LỚN 23 4.1 Định nghĩa 23 4.2 Các bổ đề 23 4.3 Các định lý 25 4.4 Luật số lớn cho dãy phân phối 26 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 ... biến ngẫu nhiên Trình bày khái niệm tính chất biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm biến cố phụ thuộc âm Trình bày luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi Trình bày luật mạnh số lớn cho dãy. .. tuân theo luật yếu số lớn (khi n Chứng minh Vì (Xn) dãy biễn ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi nên ( ) ∞ ) Do theo định lý dãy (Xn) (khi n tuân theo luật yếu số lớn Hệ Nếu (Xn) dãy biến ngẫu nhiên có... nghĩa Cho dãy ( (i=1,2 ) Dãy ( ,n≥1) biến ngẫu nhiên có kì vọng E = ,n≥1) gọi tn theo luật yếu số lớn ( n Dãy ( ) , n≥1) gọi tuân theo luật yếu số lớn tổng quát tồn dãy số (bn) , 0≤ bn ∞ cho (