Tổng ngẫu nhiên các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG QUANG BẢO TỔNG NGẪU NHIÊN CÁC ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG SƠN Vinh, 2010 LỜI CẢM ƠN! Luận v n c ho n th nh t i trường khoa học c a trọng v L ng i học inh s hướng dẫn n Nh n dịp n iết n s u s c tới h t c gi in t ng k nh d nh cho t c gi su t qu tr nh nghi n c u v ho n th nh uận v n Nh n t c gi in g i ời c chu n ngh nh L học inh hu ết nhi t t nh gi ng d n ch n th nh tới c c th c u tv v gi p h ng k c gi o o n ọc trường i t c gi qu tr nh học tập v th c hi n Luận v n c gi th in t c khoa au n ng iết n s u s c tới i học - i học ng nghi p trường ng nh o n kho P inh an ch nhi Ngh - i n Châu v c c t o iều ki n gi p g p c ng c c n c c th c n học vi n cao học ch n th nh cho t c gi qu tr nh học tập v nghi n c u Cu i c ng t c gi th n t o in ghi nhớ c ng ao to ớn c a gia ọi iều ki n thuận in ch n th nh c i ể t c gi n s quan t nt gi p nh v người học tập nghi n c u qu u ! rong qu tr nh th c hi n uận v n kh ng thể tr nh kh i nh ng thiếu s t k nh ong s g p c a qu th c v c c n ọc Vinh, tháng 12 năm 2010 c gi Đ MỤC LỤC Trang Lời n i u ……………………………………………………… Chư ng I ẠI CƯƠN Ề P ÂN P ỐI ỔN ỊN … …………… ịnh ngh a v c c t nh ch t c C c ịnh ngh a c a ph n ph i n ịnh………………… C c t nh ch t c a ph n ph i n ịnh…………………… c ph n ph i iến nc a i ng ngẫu nhi n i ch nh qu …………………………………… iến i ch nh qu ……………………………… i ng ngẫu nhi n iến P ỐI ỔN n c a ph n ph i n ịnh…… ịnh ngh a v c c t nh ch t c C ƯƠN II i ch nh qu …………… ỔN C C ẠI LƯ N N N I N C P ÂN 11 15 ỊN …………………………………………………… ng th ng thường c c i ng ngẫu nhi n c ph n ph i n 15 ịnh ………………………………………………………………… ng ngẫu nhi n c c i ng ngẫu nhi n c ph n ph i n 17 ịnh ………………………………………………………………… KẾ L ẬN ÀI LIỆ M K ẢO 30 31 LỜI NÓI ĐẦU Ph n ph i n ịnh thu ết ột ớp c c ph n ph i c c su t n c t nh ch t u i “heavy-tail” v nhiều t nh ch t th vị kh c Lớp c c ph n ph i n ịnh c nh ng nghi n c u c a ng t ng c c ph n ph i nh ng n trung t ịnh c c t i Pau Lev i ng ngẫu nhi n ộc ập c ng c a kỷ trước C ng với ịnh d ng t ng qu t nghi n c u c a ngh a r t quan trọng c Paul Lev ch ng nh ph n ph i n ịnh giới h n kh c c a i to n t i ch nh thu ết o hiể ể gi i thích t i ớp c c giới h n inh cơng trình c s dụng r t nhiều c c c su t vi c gi i qu ết Có hai ch ng ta c thể kể i ng ngẫu nhi n c ph n ph i n ịnh i c s dụng rộng r i th c tế v s c n thiết ph i nghi n c u ớp c c i ng ngẫu nhi n n L th nh t: t ng qu t c a Lev n i t ng chuẩn h a c c i ịnh c thể s giới h n du nh t c a ng (khi tha ph n ph i c t nh ch t u i “heav -tai ” v s ộ t ph n t ch h p o hiể ch   ) dẫn ến ph n ph i n cho c c d ph n ph i n ịnh là: trừ i u th c tế ng dụng …(xem [2, 5, 12, 13, 14]) Kh kh n thường gặp ph i nghi n c u c c i ng ngẫu nhi n c ột s trường h p ặc i t (như ph n ph i chuẩn ph n ph i Cauch v ph n ph i Lev ) n i chung h gi i t ch cụ thể ật ộ v h i ng ngẫu nhi n c ph n ph i n ịnh kh ng c u nhi n ph n ph i n ịnh c th ng qua c ng cụ h tri n c a khoa học d ng i ng ngẫu nhi n ộc ập c ng ph n ph i; lý th c c c nh v c t i ch nh ph i c a c c giới h n trung t n phân ph i n ịnh hai: từ vi c ph n ph i n ịnh t nh kh ng ịnh ặc trưng (xem [5, 7]) h ph n iểu th c t kh n a c ng với s ph t t nh c c nh v c khoa học kh c cho c c nh khoa học nghi n c u h n ph n ph i n ịnh ( e hỗ tr [8]) Như ch ng ta iết t ng h u h n c a c c s u nhi n c n o : i với t ng ngẩu nhi n t nh ch t ng Trong ph vi uận v n n , ph n ph i c a t ng th ng thường c c i ng ngẫu nhi n ộc ập c c ng ph n ph i chuẩn t h n nh t c a ph n ph i n ịnh i ng ngẫu nhi n c ph n ph i n ịnh c c ng ph n ph i n ịnh tr n kh ng ph i tr nh ặc trưng c ặc trừng i i n h gi a c c tha s iểu di n ng thời nghi n c u t ng ngẫu nhi n c c ph n t ngẫu nhi n ộc ập v c c ng ph n ph i n ịnh, ưa iều ki n ể nhiên c ph n ph i iến Luận v n g ch t c t i ch ng i ch nh qu chư ng Chư ng I n i c c kh i ni n c a ph n ph i n ịnh Chư ng II tr nh thông thường c c inh ột t ng ngẩu t nh c c kết qu t ng i ng ngẫu nhi n c ph n ph i n ịnh ặc i t ch ng ột s kết qu ph n ph i c a t ng ngẫu nhi n c c ng ngẫu nhi n c ph n ph i n ịnh nhiên c ph n ph i iến i ch nh quy i ưa c c iều ki n ể t ng ngẫu CHƢƠNG I: ĐẠI CƢƠNG VỀ PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH rong chư ng n ch ng t i giới thi u c a ph n ph i n ịnh s t nh ch t c ột s ịnh ngh a tư ng ng ưa iểu th c gi i t ch c a h n c a ớp ặc trưng i ng ngẫu nhi n c phân ph i n ịnh 1.1 Định nghĩa tính chất phân phối ổn định 1.1.1 Các định nghĩa phân phối ổn định Một t nh ch t quan trọng c a hay ph n ph i ột aussian i ng ngẫu nhi n c ph n ph i chuẩn t ng c a hai i ng ngẫu c ph n ph i chuẩn i ng ngẫu nhi n c ph n ph i chuẩn Ngh a : X ng ngẫu nhi n c ph n ph i chuẩn, X1 X2 ộc ập c c ng ph n ph i với X v c c i i ng ngẫu nhi n t kỳ s dư ng a, b u n t n t i s dư ng c d  R cho: d aX  bX  cX  d , Lớp c c (1.1) i ng ngẫu nhi n c ph n ph i n ịnh thể hi n t nh ch t ặc trưng tr n c a ph n ph i chuẩn v ch ng ta th chuẩn ph n ph i ột trường h p ặc i t c a ớp c c ph n ph i n ịnh ch ng t i giới thi u ột s ịnh ngh a ph n ph i n ịnh 1.1.1.1 Định nghĩa [5, 7] ph i n ịnh với au i ng ngẫu nhi n X c gọi c ph n ọi X1 X2 ộc ập c c ng ph n ph i với X v với t kỳ s dư ng a, b, u n t n t i s dư ng c d  R cho ( ) th a mãn X c gọi ng với d  cho t t c c ph n ph i n ịnh theo ngh a hẹp ( ) a chọn c a a b i s hai iến ngẫu nhi n X Y c gọi d c c s A  B R cho X  AX  B Khi ph n ph i chuẩn c thể c ph t iểu sau: ng d ng t n t i iến ngẫu nhi n c 1.1.1.2 Định nghĩa [5, 7] ph i n ịnh với i ng ngẫu nhi n X ph n ph i ột s trường h p ặc i t auss ph n ph i Cauch ph n ph i Levy – ều kh ng c ật ộ v h c c ph n ph i n ịnh c thể c ặc trưng iểu di n h t ph n ph i ột c ch u th ng qua c ng cụ ch ng t i ặc trưng c a V.M Zolotarev [14] 1.1.1.3 Định nghĩa [14] h c ề Samorodnitsky M.S Taqqu [9], R Weron [12, 13], V.M Zolotarev [14] Trong uận v n n iểu di n h u nhi n ớp ặc trưng c a ph n ph i n ịnh cập ến c c nghi n c u c a t iến ngẫu nhi n X c gọi  - n ịnh ặc trưng c a X c d ng:     exp(   t [  i  tan sign (t )]  it ),   1,   (t )    exp( t [1  i sign (t ) ln t ]  it ),   1,   với    2,     1,   0,   R Khi chung phụ thuộc v o tha   (0,2] ; tha s ộ n ch  [1;1] ; tha   trường h p n h ột ph n ph i n ịnh n i ịnh s s ũ ịa phư ng   tham ặc trưng X c d ng 1.1.1.4 Định nghĩa [7, 8] Nếu X l ặc trưng ng quanh g c tọa ộ O   i  (t )  e  chuẩn với s : s ịnh vị   R Ph n ph i c a X (1.2) ta viết X ~ S ( ,  ,  ,  ) Nhận ét: ịnh ngh a 1.1.1.3 cho th s t ng d ng với X iết ph n ph i n ịnh – trừ iểu th c gi i t ch cụ thể cho h h c ph n ọi X1 X2 ộc ập c c ng ph n ph i với X v với kỳ s dư ng a, b aX  bX u n Như ch ng ta c gọi  t n gi n:  i lư ng ngẫu nhiên có phân ph i ọi s dư ng c, d , t n t i a, b  R, b  0, cho d cX  dX  a  bX , hay  x x  xa FX1    FX    FX  , c d   b  với X , X , X i lư ng ngẫu nhiên ộc ập phân ph i, FX1 , FX , FX tư ng ng hàm phân ph i c a i lư ng ngẫu nhiên X1, X , X “  ” ký hi u cho tích 1.1.2 Các tính chất phân phối ổn định ịnh giới h n trung t ta c kết qu sau: 1.1.2.1 Định lý [8] Nếu X ~ S ( ,  ,  ,  ) lim x P( X  x)  C (1   )  ,  x  lim x P( X   x)  C (1   )  ,   x với 1      C    x sin( x)dx   ( ) sin ,    (x) hàm Gamma ịnh 1.2 n i n t nh ch t u i “heavy-tail” c a ph n ph i n ịnh: Khi x  , ta có F ( x)   F ( x) ~ ax  , F ( x) ~ a | x | , với a  C (1   )  , C c ịnh tr n Khi   0, ph n ph i n ịnh ch sang ph i c a ph n ph i n ịnh nặng h n u i n ph i ngh a u i ph a n trái, hay nói cách khác: P( X  x)  P( X   x), với ọi x  n Khi   1, ph n ph i n ịnh ho n to n ch sang n ph i t nh ch t ta c :   1, ph n ph i n ịnh ho n to n ph n   0, ph n ph i n ịnh ch sang c a ph n ph i n ịnh nặng h n u i n tr i ngh a n tr i u i ph a n tr i n ph i n i c ch kh c: P( X  x)  P( X   x), với Khi   0, ph n ph i n ịnh ch sang ọi x  ng quanh trục x   Các ph n ph i i ặc trưng ph n ph i chuẩn ph n ph i Lev v ph n ph i Cauch c c v dụ cụ thể cho t nh ch t tr n t nh ch t “heav -tai ” c a ph n ph i n ịnh dụ i ng ngẫu nhiên X c ph n ph i chuẩn N ( ;  ) với h ật ộ c a X c d ng: ( x   )2 f ( x)  exp{ }, x  R 2  2 i ng ngẫu nhi n c ph n ph i n ịnh với c c tha s :   2,   0,    ,    , hay X ~ S (2, 0,  ,  ) dụ i ng ngẫu nhi n X c ph n ph i Cauch C ( ;  ) với h ật ộ c a X c d ng: f ( x)      ( x   )2 , xR i ng ngẫu nhi n c ph n ph i n ịnh với c c tha s :   1,   0,   1,    , hay X ~ S (1, 0,1,  ) Ví dụ i ng ngẫu nhi n X c ph n ph i Levy(a; b) với c c tha a  0, b  R c h ật ộ: f ( x)  a a exp{ }, x  R 3/ 2 ( x  b) 2( x  b) s s :   ,   1, i ng ngẫu nhi n c ph n ph i n ịnh với c c tha   a,   b, hay X ~ S ( ,1, a, b) iết, gi s Như X , X , , X n i lư ng ngẫu nhiên ộc ập phân ph i,  j 1 X j  an n Zn  với an , bn  R, bn  Khi n  , X ph i l (1.3) bn {Z n}nN hội tụ i lư ng ngẫu nhiên X i lư ng ngẫu nhiên có phân ph i n ịnh Khi X có kỳ vọng m  EX1 phư ng sai D  DX h u h n  X j  nm  d  j 1 X , n  , n Zn D n với X ~ N (0,1) Trong toàn ộ uận v n, ta ký hi u f ( x) ~ g ( x) x  , ngh a f ( x) / g ( x)  x   1.1.2.2 Định lý [15] (Định lý giới hạn trung tâm dạng tổng quát) Giả sử X1 , X , , X n đại lượng ngẫu nhiên động lập phân phối với hàm phân phối F ( x), x  R thỏa mãn điều kiện  F ( x) ~ cx  x  , F ( x) ~ d | x | x  , với c, d  R, c  d  0,    Khi tồn dãy số an bn  0, n  1, 2, , cho dãy đại lượng ngẫu nhiên:  j 1 X j  an n Zn  bn , 19 rong K gi s : S K   X i , với K ục n i ng ngẫu nhi n kh ng i 1 nhận gi trị tr n N , { X i } ph i với c c i ng ngẫu nhi n X v Chúng ta quan t i ng ngẫu nhi n ộc ập c ng ph n ộc ập với i ng ngẫu nhi n K ến iều ki n ặt cho { X i } K ng ngẫu nhi n iến ể SK i i ch nh qu 2.2.1 Định lý Giả sử { X i } đại lượng ngẫu nhiên có phân phối  - ổn định,   (0;1), EK   P( K  x)  o( P( X  x)) x   Khi đó: P(S K  x) ~ EK P( X  x) , x   Chứng minh: t nh ộc ập c a K { X i } ta có: P( S k  x) P( S K  x)    P( K  k ) P( X  x) K 1 P( X  x) t nh  - n ịnh c a X , với   P( K  k ) k 1 Chọn bk  ck , với c  ọi k0  N ta có: ko P( S k  x)   P( K  k )k P( X  x) K 1 t kỳ EX  , c  EX Ex   iếp tục chọn   (0;1) Khi   k  k 1 P( K  k ) P( S k  x) P( X  x)    P( K  k ) k  k 1 P( S k  bk  x  bk ) P( X  x)    P( Sk  bk  x  bk )       P( K  k ) P( X  x)  k  k , k x k  k , k x   I1  I 20 gi thu ết P( K  x)  o( P( X  x)) ta có: với k  x, x  bk  k  1  c   ,  I2  Mặt kh c với   với sup y k với P( K  x)  o1 P ( X  x) ọi   ta có P( S k  bk  y )   kP( X  y ) (2.3) ọi s dư ng C ều c : lim sup I1  C x  ịnh é: c ch ng   P( K  k )k  0, k0   k  k 1 inh Nhận ét: ịnh lý 2.2.1 ta có, S K i ng ngẫu nhi n iến i s   ch nh qu với tha 2.2.2 Bổ đề Giả sử  h( x)  x   Khi tồn hàm biến đổi chậm L(x) để L(x)   L( x)h( x)  x   Chứng minh: Ch ng ta L( x)  với d ng h iến i chậ L(x) sau: Cho ọi x [0; x0 ], với x0  sup{y : h( y)  1} iếp tục ặt: L( x)  với ọi x  [ x0 ; x1 ], với x1  sup{sup{y : h( y)  22 }, x0 }, L( x)  với ọi x  [ x1 ; x2 ], với x2  sup{sup{y : h( y)  32 }, 3x1} iếp tục L(x) h d ng L(x) theo c u tr c tr n Khi iến i chậ v với d d ng ch ng ọi s c  v với x inh ớn cho cx x ều thuộc v o n a kho ng ( xk , xk 1 ] Theo cách xâ d ng tr n th rõ ràng L(x)   x   v từ th c tế rằng: 21 L( x)  với x  xk , h( x ) k dẫn ến: L( x)h( x)  x   ( ề c ch ng inh) 2.2.3 Định lý Giả sử K đại lượng ngẫu nhiên biến đổi qui với tham số   ,   th ta giả sử EK   Hơn nữa, giả sử { X i } đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối  -ổn định,    , P( X  x)  o( P( K  x)) Khi P(S K  x) ~ P( K  ( EX ) 1 x) ~ ( EX )  P( K  x) Chứng minh: gi thu ết   (0;1) ằng uật s (2.4) ớn ta c :  P( S K  x)   P( K  k ) P( S k  x) k 1  P( K  (1   )(EX ) 1 x) P(S(1 )(EX ) 1 x   x) ~ P( K  (1   )(EX )1 x) ~ (1   )  P( K  ( EX ) 1 x) Cho   từ (2.5) ta c (2.5) nh ề tư ng ng th nh t c a (2.4) ng t tr n với   (0;1) ta có: P( S K  x)  P( K  ( EX ) 1 (1   ) x)  t nh iến  P( K  k ) P(S k  x) k  ( EX ) 1 (1 ) x i ch nh qu c a K ta thu c: P( K  ( EX ) 1 (1   ) x) ~ (1   )  P( K  ( EX ) 1 x) (2.6) (2.6) m nh ề th nh t c a (2.4) ta có,   0, P( x)   P( K  k ) P(S k  x)  o( P( K  x)) k  ( EX ) 1 (1 ) x Nếu   1, ta có EK   ộc ập c ng ph n ph i (2.7) iến i s { X i' } d i ch nh qu với tha c c i ng ngẫu nhi n s  với gi thu ết: 22 P( X  x)  P( X '  x)  o( P( K  x)), x   ề 2.2.2 k ặt Sk '   X i ' i 1 P(Sk  x)  P(Sk'  x) với ọi x  (2.3) ta có: P( x)  C  P( K  k )kP( X '  x) k  ( EX ) 1 (1 ) x  C ( EK ) P( X '  x)  o( P( K  x)), với ọi s C dư ng ta c nh ề th c a (2.4) ới   Nếu   é ta c :  P( K  k ) P( S k  x)  p ( x)  k x  P( K  k ) P( S k  x) x  k  ( EX ) 1 (1 ) x : pi ( x; )  p2 ( x; ) Ch với ọi x  k  ( EX ) 1 (1   ) x, từ uật s ớn ta c P( S k  x)  P(S(1 )( EX ) 1 x   x  0, x   vậ với ọi  tr n từ t nh iến i ch nh qu c a K ta có: p2 ( x; )  o(1) P( K  x)  o( P( K  x)) n n a từ gi thu ết P( S k  x)  p1 ( x; )  EX ịnh kEX , ta có: x 1 kP( K  k )  EX  P( K  k )  x k x x k x Kara ata ta thu c 1  P( K  k ) ~   xP( K  x) ~    1 xP( K  x) k x vậ 23 lim lim sup  0 ta c ( ịnh k  nh ề th c ch ng c a (2.4) inh) Chú ý: Một trường h p   EX   chưa hẳn p1 ( x;  ) EX 1  lim   P ( K  x )  0   ịnh 2.3 kh ng nh c ến rong nh ng trường h p n trường h p kết qu c a ịnh 2.3 ng dụ: ặt d n  e n với n  X i ng ngẫu nhi n c ịnh i: P( X  d n )  C1 /(d n (log( d n ))1/ ), n  1, 2, với c1  a nhận th EX   Nếu ta ặt P( K  k )  c2 / k , k  với c2  0, ta d d ng nhận th P( X  x)  o( P( K  x)), x   Khi với k  x P(S k  x)  P( max X i  x) i 1, , k  kP( X  x)  k (k  1) ( P( X  x))2  kP( X  x)[1  xP( X  x)]  kP( X  x) ới x ớn từ gi thu ết EX   dẫn ến xP( X  x)  x   Vì vậ với x ớn ta c : P( S K  x)   P( K  k ) P( S k  x ) kx 1     kP( K  k )  P( X  x)  kx   c2 log xP( X  x), x   24 Cho x   tr n tập d1 , d ,  ta th lim sup P( S K  x) / P( K  x)   x  Ch dẫn ến nh ề c a (2.4) kh ng ng u nhi n trường h p   EX  , tha gi thu ết : P( X  x)  o( P( K  x)) i gi thu ết xP( X  x)  o( P( K  x)) th kết uận ằng c ch tha inh tư ng t ta c i (2.4) ng ột s gi thu ết v s dụng c c kỹ thuật ch ng ột kết qu tư ng t sau: 2.2.4 Định lý Giả sử K đại lượng ngẫu nhiên biến đổi qui với tham số     , giả sử EK   Hơn nữa, giả sử { X i } đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối  -ổn định,   1, cP( X  x) ~ ( P( K  x)) với c  n o Khi P(S K  x) ~ ( EK  c( EX ))P( X  x)) c c kết qu tr n ta th { X i } c c ập c c ng ph n ph i  - n ịnh với X, K ch nh qu với tha s  ,    , th a nhận gi trị N v K nhiên S K   X i (2.10) i ng ngẫu nhi n ộc i ng ngẫu nhi n iến n iều ki n c a ịnh ộc ập với X th với c c iều ki n i ng ngẫu nhi n iến i 2.1, sung t ng ngẫu i ch nh qu i 1 au ch ng ta nghi n c u v n ề ngư c i ngh a ch ng ta K i i n h gi a { X i } K iết t ng ngẫu nhi n S K   X i t i 1 i ng ngẫu nhi n iến i ch nh qu rong ph n ch ng ta gi s { X i } ộc ập c ng ph n ph i X, K tha s  ,   c c i ng ngẫu nhi n i ng ngẫu nhi n iến i ch nh qu với 25 K 2.2.5 Định lý Giả sử tổng ngẫu nhiên S K   X i đại lượng ngẫu i 1 nhiên biến đổi quy với tham số   EK1 (  )   với số   Khi X đại lượng ngẫu nhiên biến đổi quy với tham số  P(SK  x) ~ EKP( X  x) Ch ng u ti n ch ng ta ét trường h p   (0;1) inh p dụng ịnh Kamarata-Tauberian ta có: s L(1/ s) ~  Ee sS K  E[1  ( Ee sX ) K ], s  0, với L(x) ột h iến gi thu ết EK   ta có: i chậ E[1  ( Ee sX ) K ] ~ E[ K (1  Ee sX )]  EK (1  E  sX ), s  Cũng từ ịnh iến Kara ata- au erian dẫn ến i ch nh qu với tha s  Nếu   Ch ng ta ch ng P( X 12  X 22   X K2  x) ể ch ng inh h nh l 1 inh với gi thu ết iến ngẫu nhi n iến Mặt kh c với s  / ề tr n ch ng ta ch ng l 1 l 1 inh với i ng ngẫu nhi n iến s  / 2l 1  (0;1) i ch nh qu với tha i ch nh qu với tha i (2.7) t nh ch nh qu c a S K d d ng nhận th ngẫu nhi n iến cho i ch nh qu với tha  [2l ; 2l 1 ), l  0, X 12  X 22   X K2 ch nh qu với tha i ng ngẫu nhi n s  / 2l 1 X 12 vậ s  ọi   (0;1) ta có: P( X 12  X 22   X K2  x)  P(S K2  x) l 1 X1 i ng i ng 26  P( X 12  X 22   X K2  (1   ) x)    P  X i X j  x   1i  j  K  Ch ng ta ch ng t rằng:   P  X i X j  x   o( P( S K2  x))  1i  j  K  ể ch ng inh ( 11) ta c n ch ng inh với (2.11) ọi    /    E   X i X j     1i  j  K  (2.12) hật vậ    chọn  /    min(1, (   ) / 2) gi thu ết P( X  x)  P(S K  x), ta có EX1   với ọi    Chọn     ,   2 (   ) v từ c ch chọn  ta có:   /          E   X i X j   EK  E X   X i X j     1 i  j  K   1 i  j  K         /          EK  E X   X i X j        1 i  j  K   2 /   ( EX1 ) Nếu   2, tư ng t  K ( K  1)  E     /   ta chọn  /    min((   ) / 2, ) thu ết P( X  x)  P(S K  x) dẫn ến EX1   Khi từ c ch chọn  ta có:   K ( K  1)   1    E   X i X j   E  ( X i X j )     1 i  j  K   1 i  j  K   gi 27   K ( K  1)   ( EX ) E        Như vậ ng    t ẳng th c ( 12) o ta c ( 11) ( 11) ta i c : (1   ) P( S K2  (1   ) 1 x)  lim x  P( S K2  x)  /2 P( X 12   X K2  x)  lim inf x  P( S K2  x) P( X 12   X K2  x)  lim sup  P( S K2  x) x  ( ịnh c ch ng inh) 2.2.6 Định lý Giả sử S K đại lượng ngẫu nhiên biến đổi quy với tham số   0, EX   P( X  x)  o( P(S K  x)) x   Trong trường hợp   ESK  , giả sử rằng: xP( X  x)  o( P(SK  x)) x   Khi K đại lượng ngẫu nhiên biến đổi quy với tham số  P(S K  x) ~ ( EX ) P( K  x) Chứng minh: t nh ch nh qu c a S K , tư ng t lim sup x  (2.13) ịnh 2.5 ta có: P( K  x)  P( S K  x) ( EX ) rong trường h p   ESK  , ng t kỹ thuật ch ng ịnh 2.3 ta c n ch ng p( x)  inh với    thì:  P( K  k ) P(Sk  x)  o( P(Sk  x)) k  ( EX ) 1 (1  ) x Nếu ch ng ta ch ng inh c inh c a 28 lim sup x  h ịnh c ch ng P( X   )  P( K  x)  , P( S K  x) (2.14) ể ch ng minh (2.14), ta chọn   cho inh ặt Y  i 1 I X i   Khi n      2x n 2x  P( S K  x)  P K   inf P Y  P( X   )  : n   P( X   )    P( X   )      2x ~ P K  , x   P( X   )   t nh iến i ch nh qu c a S K ta suy (2.14) Cu i c ng trường h p   ES K   từ gi thu ết xP( X  x)  o( P(S K  x)), ể ch ng inh (2.13), ta c n ch ng  inh với   p( x)  P S( EX ) 1 (1 ) x   x  é:  P( X i  x), víi i  [(EX ) 1 (1   ) x])    P X i I  X i x  x    i [( EX ) 1 (1 ) x ]  : p1 ( x)  p2 ( x) Ch từ t nh ch nh qu c a S K ta có: p1 ( x)  ( EX ) 1 (1   ) xP( X  x)  o( P(S K  x)) Mặt kh c với   0, ặt   EXIX   với ọi x cho   x / ta có:  x  p2 ( x)  P Y   i , 1 i  [( EX ) (   ) x ]   với Yi  X i I X i x  x , i  1, 2, 29 Ch với x Y1 , Y2 , c c i ng ngẫu nhi n c kỳ vọng ằng 0, ớn ta c : Yi  x dụng t ẳng th c Borovkov [2] ta có:   x    p2 ( x)  exp  arcsin h  var  8 Y  i [( EX ) 1 (1 ) x ] i          gi thu ết: xP( X  x)  o( P(SK  x)) ta có:   x var Yi   o(1) x 0 P( S k  z )dz   i [( EX ) 1 (1 ) x ]   o(1) x P(S k  x), x   t nh ch t arcsin( y) ~ log( y), y  , ta chọn   é : p2 ( x)  o( P(S K  x)) ( ịnh c ch ng inh) 2.2.7 Định lý Giả sử K , X đại lượng ngẫu nhiên biến đổi quy với tham số   [0;1)   [0;1) tương ứng Khi P(S K  x) ~ P( K  [ P( X  x)]1 ) ~ P(M K  x), (2.15) với M n  max X i i 1, 2, , n Chứng minh: từ ịnh Kara ata-Tauberian ta có:  E (e  sK ) ~ s  LK (1 / s) s  P( K  x)  x   LK ( x) với LK (x) ột h iến  E (e tX ) ~ t  LX (1 / t ) t  0, i chậ tư ng t 30 với LX (x) ột h iến i chậ thì:  E (e tS K )   E (exp{K ln( E (e tX ))}) ~ [ ln( E (e tX ))]LK (1 /[ ln( E (e tX ))]) ~ [1  E (e tX )] LK (1 /[1  E (e tX )]) ~ [t  LK (1 / t )] LK ([t  LK (1 / t )]1 )  t  L(1 / t ), với L( x)  LX ( x) LK ( x / LX ( x)) dụng ịnh ột h iến i ch nh qu Kara ata-Tauberian ta có: P(S K  x) ~ x  L( x) ta c : P( K  [ P( X  x)]1 ) ~ P(M K  x) ịnh su ( 5) c ch ng Nhận xét: ịnh inh tr n kết qu rộng c a h qu 2.2.5 iếp tục p 31 KẾ L ẬN: Luận v n thu đƣợc nh ng kết sau: r nh c h th ng c c ịnh ngh a v t nh ch t c a ph n ph i n ịnh ng c c i ng ngẫu nhi n c c ng ph n ph i n ịnh ng c ph n ph i n ịnh với tha v s c ột i c ịnh c c ịnh ịnh ng ngẫu nhi n c c n ịnh với s iều ki n i ng ngẫu nhi n ộc ập c c ng ph n ph i i ng ngẫu nhi n iến sung ịnh …l i ch nh qu với ột s i ng ngẫu nhi n iến i ch nh qu Hƣ ng phát tri n luận v n: Nghi n c u uật ph n ph i c a t ng ngẫu nhi n c c i ng ngẫu nhi n c ph n ph i n ịnh với s K c c c ph n ph i kh c như: ph n ph i Poisson ph n ph i nhị th c … Nghi n c u t nh ch t u i “heav -tai ” c a t ng ngẫu nhi n c c ng ngẫu nhi n c ph n ph i n ịnh i 32 ÀI LIỆ [1] ingha N o die C M M K ẢO euge s J L ( 987) “Regu ar ariation” Cambridge University Press, Cambridge [2] Borovkov A.A (1984), “Asymptotic Methods in Queueing Theory” Wiley-Chichester [3] uck e J ( 994) “ he stud of a function relating to stable distri utions” Statist Probab Lett., (No 20), P 85-90 [4] Chambers J.M., Mallows, C.L., Stuck, B.W (1976), “A method for simulating stable random variables” J Amer Statist Assoc., (No.71) P 340-344 [5] Feller W (1967), “An Introduction to Probability Theory and Its Applications” Vol II, John Wiley & Sons [6] Finkelstein M., Tucker, H., Veer, J (1992), “Convergence of random sums with nonrandom centering” Theory Probab Appl., Vol 36, P 366-371 [7] Lukacs E., Linton B ( 960) “Characteristic Functions” Charles Griffin, London [8] Nolan J.P (2005), “Stable Distributions Model for Heavy Tailed Data” American University’s press [9] Rychlik Z., Walczynski T (2001), “Convergence in law of random sums with nonrandom centering” J Math Sci (New York),Vol 106, P 2860-2864 [10] Samorodnitsky G., M S Taqqu M.S (1994), “Stable Non–Gaussian Random Processes” Chapman & Hall [11] Shvetlov Y.B., Borkowski J (2004), “Random sum estimators and their efficiency” Technical Report, Department of Mathematical Science, Montana State University, P.1-20 33 [12] Uchaikin V.V., Zolotarev, V.M (1999), “Chance and Stability” Utrecht: VSP, Netherlands [13] Weron R ( 00 ) “Levy-stable distributions revisited: Tail index > does not exclude the Levy-stable regime” International Journal of Modern Physics.Vol 12 P 209–223 [14] Weron R (2004), “Computationally intensive Value at Risk calculations” Handbook of Computational Statistics Springer, Berlin P 911–950 [15] Zolotarev V.M (1986), “One-Dimensional Stable Distributions” Amer Math Soc press [16] Lev P ( 96 ) “Re arques sur un pro e e re atif au Stanford Univ Press, Stanford, CA, P 211–218 ois sta es” ... 2.2 Tổng ngẫu nhiên đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối ổn định rong ph n n ch ng t i nghi n c u ph n ph i c a t ng ngẫu nhi n c c i ng ngẫu nhi n c ph n ph i chuẩn ới ch ng t i ch ng t t ng ngẫu. .. ng t sau: 2.2.4 Định lý Giả sử K đại lượng ngẫu nhiên biến đổi qui với tham số     , giả sử EK   Hơn nữa, giả sử { X i } đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối  -ổn định,   1, cP(... 1.1 Định nghĩa tính chất phân phối ổn định 1.1.1 Các định nghĩa phân phối ổn định Một t nh ch t quan trọng c a hay ph n ph i ột aussian i ng ngẫu nhi n c ph n ph i chuẩn t ng c a hai i ng ngẫu