Một số kết quả liên quan đến các đại lượng trung bình

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— HÀ THỊ THU HẰNG MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN ĐẾN CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khố luận: TS Hồng Nhật Quy Đà Nẵng, 5/2023 Mục lục MỞ ĐẦU HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN 1.1 1.2 Hàm lồi số phép toán hàm lồi Hàm lồi logarit số tính chất 15 1.3 1.4 Bất đẳng thức Jensen số hệ Không gian Lp 18 19 MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN ĐẾN CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH 2.1 2.2 2.3 24 Ứng dụng đại lượng trung bình chứng minh cách khác bất đẳng thức AM - GM 25 Một số kết liên quan đến đại lượng trung bình lũy thừa với trọng 27 Một số kết liên quan đến đại lượng trung bình cho hàm không gian Lp 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới với thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng, đặc biệt thầy, khoa Tốn tạo điều kiện cho em thực khóa luận tốt nghiệp Thời gian vừa rồi, nhờ có hướng dẫn tận tình hết lịng TS Hồng Nhật Quy, em hiểu thêm nhiều kiến thức khơng xoay quanh khóa luận mà cịn vấn đề thú vị Tốn học nữa! Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn thầy! Với vốn kiến thức hạn hẹp thân thời gian hạn chế, việc hồn thành khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Nên em mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng q thầy để khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành chỉnh chu Em xin chân thành cảm ơn MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Hàm lồi đối tượng nghiên cứu tốn giải tích toán ứng dụng Một ứng dụng đẹp hàm lồi ứng dụng để chứng minh bất đẳng thức sáng tạo bất đẳng thức Một số bất đẳng thức kinh điển bất đẳng thức Young, bất đẳng thức AM GM, chứng minh đẹp hàm lồi, từ có nhiều ứng dụng khác toán học Hàm lồi vừa công cụ vừa đối tượng nghiên cứu giải tích lồi Lớp hàm cho ta công cụ hữu hiệu việc sáng tạo chứng minh nhiều bất đẳng thức toán học nhiều dạng khác Mục tiêu khóa luận sử dụng tính chất hàm lồi, bất đẳng thức Jensen trường hợp đặc biệt bất đẳng thức AM – GM để chứng minh số kết liên quan tới đại lượng trung bình Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết hàm lồi đặc biệt ứng dụng tốn hướng dẫn thầy giáo TS Hoàng Nhật Quy, em chọn đề tài nghiên cứu "Một số kết liên quan đến đại lượng trung bình" cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài chứng minh số kết liên quan tới đại lượng trung bình Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lý thuyết hàm lồi, hàm lồi logarit, bất đẳng thức Jensen đại lượng trung bình b Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực tốn giải tích Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương 1: Hàm lồi số kết Chương trình bày số khái niệm tính chất hàm lồi, hàm lồi logarit bất đẳng thức Jensen.Bên cạnh đó, chương cịn trình bày tính chất khơng gian Lp Các kiến thức chương bổ trợ cho phần nghiên cứu Chương Chương 2: Một số kết liên quan đến đại lượng trung bình Trình bày ứng dụng kết liên quan tới đại lượng trung bình cho hàm khơng gian • Kết luận • Tài liệu tham khảo Chương HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN Chương dành trình bày số khái niệm kết liên quan tới hàm lồi, hàm lồi logarit, bất đẳng thức Jensen Nội dung chương tham khảo tài liệu [4], [5], [?] 1.1 Hàm lồi số phép toán hàm lồi Trong mục ta giả sử tập I ⊂ R tập lồi, tức với x, y ∈ I , với λ ∈ [0, 1] ta có (1 − λ)x + λy ∈ I Định nghĩa 1.1.1 Một hàm f : I → R gọi lồi I tập lồi với x, y ∈ I , λ ∈ R, λ ∈ [0, 1], ta có: f ((1 − λ)x + λy) ⩽ (1 − λ)f (x) + λf (y) (1.1) Hàm f gọi lồi chặt bất đẳng thức (1.1) với x ̸= y , λ ∈ (0, 1) Nếu hàm −f hàm lồi (lồi chặt) f gọi hàm lõm (lõm chặt) Nếu hàm f vừa lồi vừa lõm f gọi hàm affine Ví dụ 1.1.1 • Các hàm affine có dạng mx + n, với m n số • Các hàm sau lồi: + Hàm phần dương x+ = max {x, 0} R + Hàm phần âm x− = max {−x, 0} R + Hàm giá trị tuyệt đối |x| = max {−x, x} R √ • Hàm f (x) = x lõm khoảng [0, +∞) Ý nghĩa hình học hàm lồi: Cho hàm lồi f : I → R [u, v] ⊂ I Khi đó, ta có điểm thuộc đồ thị f |[u,v] nằm phía (hoặc trên) dây cung có điểm đầu mút (u, f (u)) (v, f (v)), với u, v ∈ I cho u < v ; xem Hình 1.1 Do bất đẳng thức (1.1) tương đương f (x) ≤ f (u) + f (v) − f (u) (x − u) v−u (1.2) với x ∈ [u, v], với u, v ∈ I , u < v Hình 1.1: Hàm số lồi: Đồ thị nằm dây cung Nhận xét 1.1.2 Cho f : I → R hàm lồi Khi đó, với [u, v] ⊂ I , hàm f bị chặn [u, v] Chứng minh Với x ∈ [u, v] tồn λ ∈ [0, 1] cho: x = (1 − λ)u + λv Khi đó, ta có f (x) = f [(1 − λ)u + λv] ≤ (1 − λ)f (u) + λf (v) ≤ (1 − λ)M + λM = M, (với M = max(f (u), f (v))) Mặt khác, ta viết x = v−u u+v + t với |t| ≤ , dễ dàng 2 suy       u+v u+v u+v f (x) = f + t ≥ 2f −f −t 2   u+v ≥ 2f − M Vậy hàm f bị chặn [u, v] Định lý 1.1.3 Cho hàm f : I → R gọi lồi f liên tục điểm I , tức liên tục int(I) Chứng minh Giả sử a ∈ int(I) chọn ε > cho [a − ε, a + ε] ⊂ I Vì f hàm lồi nên ta có:   1 1 f (a) = f (a − tε) + (a + tε) ≤ f (a − tε) + f (a + tε) 2 2 Hay f (a) − f (a − tε) ≤ f (a + tε) − f (a) Vì f lồi nên ta có: f (a ± tε) = f ((1 − t) a + t (a ± ε)) ≤ (1 − t) f (a) + tf (a ± ε) , ∀t ∈ [0, 1] Từ f (a ± tε) ≤ (1 − t) f (a) + tf (a ± ε), trừ hai vế cho f (a) ta có : f (a ± tε) − f (a) ≤ (1 − t) f (a) + tf (a ± ε) − f (a) = t (f (a ± ε) − f (a)) (∗) Mặt khác, từ (∗), ta có: f (a + tε) − f (a) ≤ t (f (a + ε) − f (a)) ⇔ −t (f (a + ε)) − f (a) ≤ f (a) − f (a + tε) Mà f (a) − f (a + tε) ≤ f (a − tε) − f (a) Nên −t (f (a + ε) − f (a)) ≤ f (a − tε) − f (a) Tương tự, ta có −t (f (a − ε) − f (a)) ≤ f (a + tε) − f (a) Do đó, −t(f (a ∓ ε) − f (a)) ≤ f (a ± tε) − f (a).(∗∗) Từ (∗) (∗∗) ta có: −t(f (a ∓ ε) − f (a)) ≤ f (a ± tε) − f (a) ≤ t(f (a ± ε) − f (a)) Suy |f (a ± tε) − f (a)| ≤ t.max {|f (a − ε) − f (a)| , |f (a + ε) − f (a)|} , với t ∈ [0, 1].Điều suy hàm f liên tục a ∈ int(I) Nhận xét 1.1.4 Xét hàm lồi f xác định đoạn [a, b] Khi đó, theo Định lý 1.3.2, hàm f liên tục khoảng (a, b) Tuy nhiên, đầu mút a, b f liên tục Ta xét ví dụ sau Ví dụ 1.1.2 Xét hàm số f : [0, 1] → R, xác định sau  0 x ∈ (0, 1) f (x) = 1 x = x = Có thể kiểm tra rằng, hàm f lồi [0, 1] gián đoạn loại điểm x = x = Mệnh đề sau giúp ta chỉnh hóa hàm lồi xác định đoạn gián đoạn đầu mút thành hàm lồi liên tục đoạn tương ứng Mệnh đề 1.1.5 Nếu f : [a, b] → R hàm lồi giới hạn f (a+) = limx↘a f (x) f (b−) = limx↗b f (x) tồn R    f (a+) x = a f˜ (x) = f (x) x ∈ (a, b)   f (b−) x = b, hàm lồi liên tục Chứng minh Xem [?] Dưới kết quan trọng: Bổ đề 1.1.6 Nếu f : I → R lồi, f đơn điệu int(I), tồn điểm ξ ∈ int(I), cho f giảm (−∞, ξ] ∩ I tăng [ξ, +∞) ∩ I Chứng minh Chọn a < b tùy ý số điểm bên I đặt m = int {f (x) : x ∈ [a, b]} Vì f liên tục [a, b], tồn điểm ξ ∈ [a, b], cho, m = f (ξ) Nếu a ≤ x < y < ξ y tổ hợp lồi x ξ , xác ξ−y y = ξ−x x + y−x ξ−x ξ Vì f lồi nên ta có, f (y) ≤ ξ−y y−x f (x) + f (ξ) ≤ f (x) ξ−x ξ−x f giảm [a, ξ] Nếu ξ < b, tương tự ta có f tăng [ξ, b] Hệ 1.1.7 (a) Mọi hàm lồi f : I → R mà không đơn điệu int(I) đạt giá trị nhỏ int(I) (b) Nếu hàm lồi f : R → R bị chặn số Định lý 1.1.8 Cho f hàm có giá trị thực xác định khoảng I Khi f lồi với đoạn [a, b] ⊂ I hàm affine L sup {(f + L)(x) : x ∈ [a, b]} f (a) + L(a) f (b) + L(b) Chứng minh •Thuận: Nếu f lồi, tổng F = f + L Vì điểm đoạn với J = [x, y] tổ hợp hàm lồi z = (1 − λ) x + λy x y , có supF (z) = sup F ((1 − λ)x + λy) z∈J λ∈[0,1] ≤ sup [(1 − λ)F (x) + λF (y)] = max {F (x), F (y)} λ∈[0,1] •Ngược: Cho khoảng compac J = [x, y] I , tồn hàm affine L (x) = mx + n mà với f hai điểm x y Khi sup [(f − L) ((1 − λ) x + λy)] = 0, λ∈[0,1] 10 X fn (x) − fn (x) ∈ Lp (E, µ) gs (x) = fn1 (x) + k+1 k k=1 ý với x cố định gs (x) không giảm theo s nên tồn lims→∞ gs (x) (hữu hạn hay vơ hạn) ta có: Z Z p lim (gs (x)) dµ ≤ lim (gs (x))p dµ = lim ∥gs ∥p E s→∞ s→∞ s→∞ E P fn − fn < ∥fn ∥ + s < ∥fn ∥ + k+1 k k=1 k=1 k p 1, nên lims→∞ ∥gs ∥ < ∞, Z lim (gs (x))p dµ < ∞ (1.6) Nhưng ∥gs ∥ ≤ ∥fn1 ∥ + Ps E s→∞ Điều chứng tỏ lims→∞ |gs (x)|p hữu hạn h.k.n., tức lims→∞ gs (x) tồn hữu hạn h.k.n Vậy chuỗi fn1 (x) + s X (fnk+1 (x) − fnk (x)) k=1 hội tụ tuyệt đối h.k.n., tức s → ∞ hầu khắp nơi tồn giới hạn hữu hạn hàm fns+1 (x) = fn1 (x) + s X (fnk+1 (x) − fnk (x)) k=1 Ta gọi giới hạn f0 (x) : fns+1 (x) → f0 (x) h.k.n Vì fns+1 (x) ≤ lims→∞ gs (x) ∈ Lp (E, µ) (theo (1.6)) nên Z Z p |f0 (x)| dµ = lim s→∞ theo định lý hội tụ chặn fn s+1 p (x) dµ, tức f0 ∈ Lp (E, µ) Lại áp dụng bổ đề Fatou lần ta có Z