Luận văn thạc sỹ một số kết quả liên quan đến hai đường đẳng giác trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ MAI THANH MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG ĐẲNG GIÁC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Lời nói đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Các kết hai đường đẳng giác 1.2 Các kết hai điểm đẳng giác 17 Chương Ứng dụng tính chất hai đường đẳng giác – hai điểm đẳng giác hình học phẳng 2.1 24 Khai thác tính chất hai đường đẳng giác – hai điểm đẳng giác vào số toán liên quan đến tam giác 24 2.2 Khai thác tính chất hai đường đẳng giác – hai điểm đẳng giác vào số toán liên quan đến tứ giác 2.3 38 Khai thác tính chất hai đường đẳng giác – hai điểm đẳng giác vào số tốn liên quan đến quỹ tích 50 Tài liệu tham khảo 58 Lời nói đầu Khái niệm hai đường đẳng giác đề cập chương trình dành cho học sinh khối chun tốn, tập liên quan đến hai đường đẳng giác tương đối khó, thú vị Với mong muốn giúp học sinh nắm khái niệm hai đường đẳng giác giải tốn liên quan đến hai đường đẳng giác, có số giáo viên dạy chuyên toán chẳng hạn như: Nguyễn Duy Khương, Trần Quang Hùng, Phạm Huy Hoàng, Nguyễn Minh Hà giới thiệu khái niệm đường đẳng giác gắn với tam giác giới thiệu số tốn tam giác vận dụng tính chất hai đường đẳng giác để giải tạp chí nước quốc tế Tuy nhiên nghiên cứu hai đường đẳng giác thường dẫn ta đến khái niệm hai điểm đẳng giác ứng dụng khơng dừng tốn tam giác mà phát triển số toán tứ giác vài tốn quỹ tích – Đây nội dung chưa đề cập nhiều tạp chí nước Mục tiêu luận văn là: Trên sở nghiên cứu hai đường đẳng giác, lựa chọn trình bày số tốn tam giác, tứ giác, quỹ tích minh họa cho việc khai thác khái niệm, tính chất hai đường đẳng giác q trình tìm lời giải Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2 chương, cụ thể: Chương Kiến thức sở Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức liên quan đến hai đường đẳng giác, hai điểm đẳng giác Chương Ứng dụng tính chất hai đường đẳng giác – hai điểm đẳng giác hình học phẳng Chương 2, chúng tơi trình bày việc vận dụng tính chất hai đường đẳng giác – hai điểm đẳng giác hình học phẳng để giải số tốn hình học phẳng liên quan Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Trịnh Thanh Hải Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy, người dành thời gian tận tình hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy Cô khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên truyền đạt kiến thức giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập Trường q trình hồn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Cao Lộc, Lạng sơn toàn thể anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè giúp đỡ động viên tơi thời gian học tập q trình hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2022 Tác giả Trần Thị Mai Thanh Chương Kiến thức sở 1.1 Các kết hai đường đẳng giác −→ −−→ Định nghĩa 1.1 Cho hai véctơ OA OB Khi góc (định hướng) −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ tạo véctơ OA với véctơ OB, ký hiệu ∠(OA; OB) hay (OA; OB) góc α + k · · · 2π, k ∈ Z Nói cách khác, góc định hướng tạo véctơ −→ −−→ −→ OA với véctơ OB miền góc thu quay véctơ OA quanh gốc −−→ O theo hướng định tới trùng với vị trí véctơ OB Định nghĩa 1.2 Cho bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy O Khi hai đường thẳng c, d gọi đẳng giác hai đường thẳng a, b điều kiện sau xảy ra: i) (a, b) ≡ −(c, d)(mod π); ii) (a, c) ≡ (d, b)(mod π); iii) (c, a) ≡ −(d, b)(mod π); iv) (c, a) ≡ (b, d)(mod π); Thay cho cách viết hai đường thẳng OM, ON đẳng giác hai đường thẳng a, b (cắt O), ta viết hai điểm M, N đẳng giác hai đường thẳng a, b Thay cho cách viết hai đường thẳng c, d đẳng giác hai đường thẳng a, b, ta viết cặp đường thẳng (c, d) đẳng giác cặp đường thẳng (a, b) Thay cho cách viết hai điểm M, N đẳng giác hai đường thẳng a, b, ta viết hai điểm M, N đẳng giác cặp đường thẳng (a, b) Ví dụ 1.1 ([1]) Cho tam giác ABC, O tâm đường tròn ngoại tiếp, D hình chiếu A BC Khi O, D đẳng giác AB, AC Chứng minh Gọi E giao điểm OA đường tròn (ABC) Ta thấy AB ⊥ BE, AD ⊥ BC, ta có (AB, AD) ≡ (BE, BC) ≡ (AE, AC) ≡ (AO, AC) (modπ) Vậy O, D đẳng giác AB, AC Ví dụ 1.2 ([1]) Cho tứ giác điều hòa ABCD, M trung điểm BD Khi C, M đẳng giác AB, AD Chứng minh Dễ thấy −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ (BA, BM ) ≡ (BA, BD) ≡ (CA, CD) (mod 2π) Theo Định lý Ptolemy tứ giác ABCD tứ giác điều hịa, ta có: AC.BM = AC.BD = (AB.CD + AD.CB) = 2AB.CD = AB.CD CA BA = Vậy tam giác ABM , ACD đồng dạng Do BM CD hướng Điều suy (AB, AM ) ≡ (AC, AD) (mod π) Hay C, M đẳng giác AB, AD Định nghĩa 1.3 (Phép biến đổi đẳng giác RP2 ) Đối với điểm P, A, B, C, D ∈ R2 , cặp đường thẳng (P A, P C), (P B, P D) gọi đẳng giác chúng có chung cặp đường phân giác Nếu P điểm thực vơ A, B, C, D thuộc R2 , có nghĩa đường thẳng ℓ cắt P A, P B, P C, P D điểm E, F, G, H ∈ R2 , độ dài có hướng EF HG Định nghĩa 1.4 (Quy ước tứ giác liên hợp đẳng giác) Các điểm P, Q gọi đường đẳng giác tứ giác ABCD (AP, AQ), (AB, AD) đẳng giác tương tự giữ cho đỉnh khác Đối với điểm X, Y , ký hiệu XY biểu thị đường thẳng XY X Y phân biệt, XY biểu thị tiếp tuyến X X ≡ Y phạm vi đường cong chứa X rõ ràng (thường lập phương đẳng giác) Kí hiệu (XY Z) biểu thị đường tròn ngoại tiếp XY Z với điều kiện X, Y, Z phân biệt Định nghĩa 1.5 Ký hiệu S ∩ T biểu thị giao tập hợp điểm S T , điểm S T đường thẳng phân biệt Khi S khối lập phương T đường thẳng XY cho X, Y ∈ S, sử dụng ký hiệu XY ∩ S để biểu thị ❼ Nếu X Y điểm kỳ dị điểm X, Y kỳ dị; ❼ Nếu X, Y phân biệt XY khơng tiếp tuyến với S giao điểm thứ ba XY với S; ❼ Nếu X, Y phân biệt XY tiếp tuyến S điểm tiếp tuyến XY với S; ❼ Nếu X, Y không phân biệt X khơng phải điểm uốn S giao điểm tiếp tuyến thành S X với S; ❼ Nếu X, Y không phân biệt X điểm uốn điểm X Định lý 1.1 ([1]) Cho hai tam giác ABC, AB ′ C ′ đồng dạng ngược hướng điểm D, D′ theo thứ tự thuộc BC, B ′ C ′ Khi D, D′ DB D′B ′ ′ đẳng giác AB, AB = ′ ′ DC DC Chứng minh Vì hai tam giác ABC, AB ′ C ′ đồng dạng ngược hướng nên tồn đường thẳng ∆ qua A cho phép vị tự đối xứng HAk ◦ R∆ theo thứ tự biến B, C thành B ′ , C ′ (1) Điều kiện cần Giả sử D, D′ đẳng giác AB, AB ′ Dễ thấy (AD, ∆) ≡ (AD, AB) + (AB, ∆) ≡ −(AD′ , AB ′ ) − (AB ′ , ∆) ≡ −(AD′ , ∆) (mod π) Do HAk ◦ R∆ biến đường thẳng AD thành đường thẳng AD′ Từ (1) suy HAk ◦ R∆ biến đường thẳng BC thành đường thẳng B ′ C ′ Vậy HAk ◦ R∆ (D) = HAk ◦ R∆ (AD ∩ BC) = HAk ◦ R∆ (AD) ∩ HAk ◦ R∆ (BC) = AD′ ∩ B ′ C ′ = D′ DB D′B ′ = ′ ′ DC DC DB D′B ′ = ′ ′ Kết hợp với (1), suy HAk ◦ R∆ Điều kiện đủ Giả sử DC DC ′ biến D thành D Lại kết hợp với (1), suy hai tam giác ABD, AB ′ D′ Kết hợp với (1) suy đồng dạng ngược hướng Do (AB, AD) ≡ −(AB ′ , AD′ ) (mod π) Vậy D, D′ đẳng giác AB, AB ′ Định lý 1.2 ([1]) Cho ∆ABC điểm D, E đường thẳng BC Khi mệnh đề sau tương đương: (a) D, E đẳng giác AB, AC DB EB AB = (b) AC DC EC (c) Đường tròn (ADE) tiếp xúc với đường tròn (ABC) Chứng minh Qua điểm B dựng đường thẳng song song với AC thứ tự cắt AD, AE P, Q Gọi K giao điểm BC tiếp tuyến A đường tròn (ABC) Các mệnh đề sau tương đương: (1) D, E đẳng giác AB, AC (2) (AB, AD) ≡ (AE, AC) (mod π) (3) (AB, AD) ≡ (AQ, BQ) (mod π) (4) BA tiếp xúc với đường tròn (AP Q) 44 X, X ′ , phép biến đổi đẳng giác ℓ tới XX ′ ∠AXC tiếp tuyến C X Chứng minh Khi di chuyển điểm Y ∈ C với liên hợp đẳng giác Y ′ , XY XY ′ đẳng giác ∠AXC Do đó, Y tiến gần đến X ′ , Y ′ tiến gần đến X, cuối để XY ′ cắt C với bội số X Trong đó, tiếp tuyến C điểm vô cực dọc theo M N đường tiệm cận C Định lý 2.6 Các tiếp tuyến với C liên hợp đẳng giác X, X ′ cắt Y cho XX ′ cắt C Z 6= X, X ′ Khi Y, Z liên hợp đẳng giác Chứng minh Cho Z ∗ liên hợp đẳng giác Z Theo Định lý 1.12 (XZ, XZ ∗ ) đẳng giác ∠AXC (XZ, XZ ∗ ) đẳng giác ∠AX ′ C, X ∗ ≡ Y , suy điều phải chứng minh Bổ đề 2.3 Các đường phân giác ∠AZC vuông góc song song với XX ′ Hình 2.5: Tiếp tuyến với đường Cubic 45 Chứng minh Kiểm tra liên hợp đẳng giác (A, C), (X, X ′ ), điều suy từ Hệ 1.1 Định lý 2.7 Cho P Z giao với C W 6= Z Khi W X = W X ′ Hệ 2.7 Nếu ký hiệu P hình nón, W = X + X ′ phép cộng đường Cubic ([3], Mệnh đề 5.6.4) Do đó, tổng bậc ba hai liên hợp đẳng giác X, X ′ cách X, X ′ Định lý 2.8 Với X ∈ C, để Y, Z 6= X phân biệt nằm C cho X, Y, Z thẳng hàng XY phân giác ∠AXC Khi Y, Z liên hợp đẳng giác Chứng minh Gọi Y ′ liên hợp đẳng giác Y ; theo Hệ 1.1, (XY, XY ′ ) (XA, XC) đẳng giác Vì XY phân giác góc ∠AXC nên XY ′ XY nằm đường thẳng, suy Y ≡ Y ′ Z ≡ Y ′ Trong trường hợp trước đây, Y phải tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp ABCD, theo Định lý 2.4 Y điểm kỳ dị Nhưng X, Y, Z thẳng hàng khác biệt đường thẳng XY Z giao với Y với bội số 2, mâu thuẫn Suy điều phải chứng minh Điều cho dựng điểm Y C cho ZY tiếp tuyến C Y , Z điểm cố định C Điều thực cách cho X liên hợp đẳng giác Z giao phân giác góc ∠AXC với C Theo trên, có tối đa bốn giao điểm X1 , X2 , X3 , X4 C ZX1 , ZX2 , ZX3 , ZX4 tiếp tuyến C X1 , X2 , X3 , X4 46 Hình 2.6: Liên hợp đẳng giác cộng tuyến với điểm cho trước Định lý 2.9 (Giao tuyến) Xét điểm trội X, Y Ký hiệu Z giao điểm phản xạ XY qua đường phân giác ∠AXC ∠AY C Khi giao điểm XY với C khác với X, Y liên hợp đẳng giác Z Hơn nữa, P XY Z xyclic Chứng minh Cho W = XY ∩ C để W có liên hợp đẳng giác W ′ Theo Hệ 1.1, XW XW ′ đẳng giác ∠AXC, đường thẳng XW ′ hình chiếu XY qua đường phân giác ∠AXC, suy W ≡ Z, chứng minh XY ∩ C thực liên hợp đẳng giác Z Để chứng minh P XY Z xyclic, gọi X ′ , Y ′ liên hợp đẳng giác ABC Theo Hệ 1.3, XY ∩ C nằm X ′ Y ′ , W ∈ X ′ Y ′ Khi đó, đảo ngược xoắn ốc, đường thẳng X ′ Y ′ W ánh xạ tới đường tròn ngoại tiếp XY Z, phải qua P , suy điều phải chứng minh Bổ đề 2.4 (Tâm đường xoắn ốc đường liên hợp đẳng giác nằm đường tròn) Đối với liên hợp đẳng giác (A, C), (B, D) 47 △XY Z, tâm xoắn ABCD nằm (XY Z) Chúng ta nhận xét điều đưa xác định giao điểm C với đường XY bất kỳ, với điều kiện X Y nằm C Tiếp theo, ta mô tả giao điểm C với đường tròn Định lý 2.10 (Giao đường tròn) Xét điểm trội E, F, G với liên hợp đẳng giác E ′ , F ′ , G′ Khi (EF G) giao C điểm khác nằm (EF ′ G′ ), (E ′ F G′ ), (E ′ F ′ G) Chứng minh Trước tiên, chứng minh H điểm C cho EF GH xyclic H nằm (E ′ F ′ G) (có nghĩa nằm (EF ′ G′ ), (E ′ F G′ ) theo phép đối xứng) Để chứng minh điều này, theo Định lý 1.12 với EGE ′ G′ , H ∈ C, ∠F ′ GE ′ = ∠EGF = ∠EHF = ∠F ′ HE ′ Tiếp theo, ta chứng minh H ≡ (EF G) ∩ Hình 2.7: Giao đường trịn (E ′ F ′ G), ∠F ′ HE ′ = ∠F ′ GE ′ = ∠EGF = ∠EHF , suy E ∈ C, suy điều phải chứng minh Định lý 2.11 Tất đường tròn cắt C mặt phẳng thực 48 nhiều điểm Chứng minh Các điểm trịn vơ cực nằm C liên hợp đẳng giác Theo kết Định lý Bezout, đường cong bậc gặp cho nhiều sáu điểm CP2 Ví dụ 2.10 ([1], tốn 5, IMO, 2004) Cho tứ giác lồi ABCD Đường cheo BD không phân giác góc ∠ABC, ∠ADC P điểm nằm tứ giác cho ∠ABD = ∠CBP, ∠ADB = ∠CDP Chứng minh ABCD nội tiếp P A = P C Chứng minh Ta cần có bổ đề sau Bổ đề 2.5 Cho ∆ABC, AD đường phân giác M điểm X, Y, Z theo thứ tự điểm đối xứng M qua AB, AC, AD Khi X, Y đối xứng với qua AZ Chứng minh Dễ thấy AX = AM = AY (1) Mặt khác −−−−−→ −→ −→ −→ −→ −→ −−→ (AZ, AX) ≡ (AZ, AC) + (AC, AB) + (AB, AX) (mod 2π) −→ −−→ − → −→ −−→ −→ ≡ (AB, AM ) + (Ac, AB) + (AM , AB) −→ −→ ≡ (AC, AB) (mod 2π) 49 −→ −→ −→ −→ Tương tự: (AZ, AY ) ≡ (AB, AC) (mod 2π) −→ −−→ −→ −→ Vậy (AZ, AX) ≡ −(AZ, AY ) (mod 2π) (2) Từ (1) (2) suy X, Y đối xứng với qua AZ Trở lại toán Gọi X, Y, Z, T thứ tự điểm đối xứng P qua BA, BC, DA, DC Theo bổ đề trên, Y, T theo thứ tự điểm đối xứng X, Z qua BD Do XZ = Y T Dễ thấy AX = AP = AZ, CY = CP = CT Nói cách khác A, C theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác P XZ, P Y T Từ đó, ý P X, P Y, P Z, P T theo thứ tự vuông góc với BA, BC, DA, DC suy −−→ −→ (AX, AZ) ≡ 2(P X, P Z) ≡ 2(AB, AD) (mod 2π), −−→ −→ (CY , CT ) ≡ 2(P Y, P T ) ≡ 2(CB, CD) (mod 2π) Vậy điều kiện sau tương đương: (1) P A = P C (2) AX = CY, AZ = CT 50 (3) Các tam giác AXZ, CY T (4) Các tam giác AXZ, CY T hướng −−→ −→ −−→ −→ (5) (AX, AZ) ≡ (CY , CT ) (mod 2π) (6) (AB, AD) ≡ (CB, CD) (mod π) (7) ABCD nội tiếp 2.3 Khai thác tính chất hai đường đẳng giác – hai điểm đẳng giác vào số toán liên quan đến quỹ tích Định nghĩa 2.1 Với điểm phân biệt P, A, B, C, D ∈ CP2 , ta gọi hai cặp đường thẳng (P A, P B) (P C, P D) đẳng giác ba cặp đường thẳng (P A, P B), (P C, P D), (P I, P J) bao gồm phép biến đổi, I, J điểm trịn vơ Hệ 2.8 Đối với điểm phân biệt A, B, C, D cho I, J không nằm đoạn thẳng số đường thẳng AB, BC, CD, DA, quỹ tích điểm X cho (XA, XB), (XC, XD) đẳng giác đường bậc ba (hoặc đường cong có độ nhỏ hơn) qua A, B, C, D, I, J CP2 Chứng minh Đối với bốn điểm A, B, C, D, E, F , quỹ tích điểm X cho (XA, XB), (XC, XD), (XE, XF ) bao gồm phép 51 biến đổi đường bậc ba qua A, B, C, D, E, F Đặt E, F hình trịn điểm vơ cực, suy điều phải chứng minh Do đó, gọi đường bậc ba không suy biến C "khối đẳng phương" tứ giác ABCD quỹ tích tất điểm X mà (XA, XC), (XB, XD) đẳng giác (sử dụng định nghĩa mới) Hệ 2.9 (Quỹ tích phép biến đổi đẳng giác) Nếu quỹ tích điểm X cho (XA, XC), (XB, XD) đẳng giác đường bậc ba không suy biến, I J khơng thể nằm đường thẳng số đường thẳng AB, BC, CD, DA Chứng minh Giả sử ngược lại, W LOGI ∈ AB Khi đó, điểm P đường thẳng AB, cặp (XA, XC), (XB, XD), (XI, XJ) phần phép biến đổi suy biến Do quỹ tích điểm X mà (XA, XC), (XB, XD) đẳng giác bao gồm đường thẳng AB, mâu thuẫn với mệnh đề quỹ tích đường khơng suy biến Nói cách khác, ABCD đường bậc ba đẳng giác C khơng suy biến I J không nằm AB, BC, CD, DA Định lý 2.12 (Đặc trưng tất đường đẳng giác) Gọi C bậc ba không suy biến CP2 chứa điểm trịn vơ cực I J điểm khơng kỳ dị Khi hai điều kiện sau tương đương: (1) Tồn A, B, C, D ∈ C khác cho C đường bậc ba đẳng giác ABCD (2) Các tiếp tuyến với C I, J cắt C 52 Bổ đề 2.6 (Các đường bậc ba chứa tứ giác hoàn toàn) Cho P, Q đường bậc ba không suy biến C, xét T ∈ C cho U = P T ∩ C, V = QT ∩ C cho P, Q, T, U, V khơng kỳ dị Khi P V ∩ QU ∈ C P P ∩ QQ ∈ C Chứng minh Cho X = P P ∩ QQ, Y = P V ∩ QU Cayley-Bacharach ba đường (XP P, QT V, QU Y ), (XQQ, P T U, P V Y ) suy điều phải chứng minh Bổ đề 2.7 (Quỹ tích xoắn ốc) Xét điểm phân biệt A, B, C, D, E, F vị trí tổng quát G = AC ∩ BD, H = AD ∩ BC, I = AE ∩ BF , J = AF ∩ BE, cho không điểm số mười điểm đường trịn điểm vơ cực Khi đó, có đường bậc ba C qua mười điểm Hơn nữa, với P ∈ C, ta có (P A, P B), (P C, P D), (P E, P F ), (P G, P H), (P I, P J) phần xoắn ốc Chứng minh Theo Định lý Liên hợp kép Desargues, quỹ tích C tất điểm P mà (P A, P B), (P C, P D), (P E, P F ) phần đường xoắn ốc đơn đường bậc ba qua A, B, C, D, E, F, G, H, I, J Do đó, tồn đường bậc ba qua 10 điểm Vì A, B, C, D, E, F vị trí tổng qt nên khơng có bốn số 10 điểm xây dựng thẳng hàng Vì C qua 10 điểm cố định nên đường bậc ba qua 10 điểm phải nhất, suy điều phải chứng minh 53 Định lý 2.13 (Đặc trưng CP2 , điều kiện (2) ⇒ (1)) Cho C bậc ba không suy biến qua I, J cho I J điểm không kỳ dị II giao JJ điểm X C Khi đó, tồn điểm không kỳ dị A, B, C, D ∈ C trừ I, J cho C đường bậc ba đẳng giác ABCD Hình 2.8: Hai tứ giác đầy đủ Chứng minh Chọn điểm A ∈ C Cho B = IA ∩ C, D = JA ∩ C; theo Bổ đề 2.6, ID JB cắt điểm C C Dựng bốn điểm A′ , B ′ , C ′ , D′ ∈ C phân biệt với A, B, C, D cách tương tự, I = A′ B ′ ∩ C ′ D′ J = A′ D′ ∩ B ′ C ′ Chúng ta chọn A, A′ cho khơng có A, A′ , B, B ′ , C, C ′ , D, D′ kỳ dị Theo Bổ đề 2.7, C quỹ tích điểm P mà (P I, P J), (P A, P C), (P A, P C) phần đường xoán ốc đơn Nhưng phép biến đổi liên quan đến điểm trịn vơ cực, nên C quỹ tích (P A, P C), (P A, P C) đẳng giác Ta thực cách lấy tứ giác AA′ CC ′ 54 Định lý 2.14 (Đặc trưng CP2 , điều kiện (1) ⇒ (2)) Gọi C đường bậc ba đẳng giác không suy biến ABCD A, B, C, D không kỳ dị Giả sử I, J nằm C điểm không kỳ dị khác từ A, B, C, D Sau đó, II ∩ JJ ∈ C Chứng minh Cho X = AI ∩ CJ Y = AJ ∩ CI; X, Y khơng số Lưu ý (XA, XC) (XI, XJ) cặp đường thẳng giống nhau, (XA, XC), (XB, XD), (XI, XJ) tạo thành xoắn ốc (Nếu X điểm tương tự với A, C, I J, thay vào sử dụng tiếp tuyến C X cần thiết) Vậy theo định nghĩa, X ∈ C; tương tự, Y ∈ C Theo Bổ đề 2.6, điều suy II ∩ JJ ∈ C, suy điều phải chứng minh Ta có số tốn liên quan đến quỹ tích sau Ví dụ 2.11 Cho tam giác ABC Đường tròn thay đổi qua B C cắt đường thẳng AB AC D E Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE di chuyển đường thẳng cố định Chứng minh Ta có tam giác ADE tam giác ACB đồng dạng, suy 55 hai tam giác AID AOC đồng dạng, ∠DAI = ∠OAC Kết cho thấy AI AO hai đường đẳng giác góc A Mà đường cao AH tam giác ABC AO hai đường đẳng giác Từ suy I ∈ AH cố định Nhận xét Đây tốn dễ Ta khơng cần phải sử dụng tới khái niệm đẳng giác Tuy nhiên, qua ta có dấu để nhận biết hai đường đẳng giác: Cho hai điểm D, E thuộc đường thẳng AB AC cho ∆ADE ∼ ∆ACB Khi đường thẳng tương ứng hai tam giác ADE ABC qua A hai đường đẳng giác góc ∠BAC Cụ thể hơn: Cho tam giác ABC Nếu DE đường đối song BC trung tuyến (đường cao ) xuất phát từ A tam giác ADE tam giác ABC hai đường đẳng giác Đây ý hay để ta giải toán Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.12 Chứng minh tam giác, đường thẳng kẻ từ tâm đường trịn bàng tiếp góc, vng góc với cạnh đối diện, đồng quy điểm 56 Chứng minh Gọi Ia , Ib , Ic tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh A, B, C Dễ dàng chứng minh Ia A, Ib B, Ic C đường cao tam giác Ia Ib Ic Vì BC Ia Ib hai đường đối song song nên theo tính chất ta có đường thẳng qua A vng góc với BC đường thẳng Ia A hai đường đẳng giác ứng với góc Ia Ib Ic Áp dụng Định lý 2.14 ta có điều phải chứng minh 57 Kết luận Với mục tiêu tìm hiểu tìm hiểu vấn đề liên quan đến hai đường đẳng giác-Hai điểm đẳng giác để từ chọn lọc số tốn minh họa cho việc vận dụng tính chất hai đường đẳng giác- Hai điểm đẳng giác vào giải tốn Luận văn hồn thành nhiệm vụ sau: Tìm hiểu khái niệm, tính chất hai đường đẳng giác- Hai điểm đẳng giác vài ứng dụng chúng tạp chí Tốn học tuổi trẻ Dịch, đọc hiểu kết liên quan đến ứng dụng hai đường đẳng giác- Hai điểm đẳng giác tài liệu nước quốc tế, chủ yếu tài liệu [3], [4], [5] Trình bày tóm tắt khái niệm số tính chất, kết hai đường đẳng giác, hai điểm đẳng giác Sau tập trung trình bày việc ứng dụng tính chất hai đường đẳng giác-Hai điểm đẳng giác vào giải toán, tập trung vào toán liên quan đến tam giác, tứ giác quỹ tích 58 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [2] Nguyễn Duy Khương (2018), Tìm tịi sáng tạo số chủ đề hình học, Hà Nội Tiếng Anh [3] Tran Quang Hung and Pham Huy Hoang (2013), Generalization of a problem with isogonal conjugate points, Journal of Classical Geometry, Vol.02 [4] Chen, Evan (2016), Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads, Mathematical Association of America [5] Daniel Hu (2019), Constructions in the Locus of Isogonal conjugates in a quadrilateral, Los Altos, CA [6] https://imogeometry.blogspot.com/p/geometry-olympiads.html Sotirios E Louridas Michael Th Rassias (2013), Problem-Solving and Selected Topics in Euclidean Geometry In the Spirit of the Mathematical Olympiads York 2013 ➞ Springer Science Business Media New