Luận văn thạc sỹ một số kết quả về bất đẳng thức kiểu hermite hadamard trên tập phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THÙY LINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU HERMITE - HADAMARD TRÊN TẬP PHÂN THỨ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Mở đầu 1 Về bất đẳng thức Hermite - Hadamard 1.1 Một số khái niệm 1.2 Bất đẳng thức Hermite – Hadamard, số mở rộng vận dụng 1.2.1 Bất đẳng thức Hermite – Hadamard, số mở rộng 1.2.2 Bất đẳng thức Hermite - Hadamard hàm h-lồi 1.2.3 Một số kết vận dụng bất đẳng thức Hermite Hadamard 12 Một số kết bất đẳng thức kiểu Hermite - Hadamard tập phân thứ số vận dụng 15 2.1 Tập phân thứ số kết 15 2.2 Bất đẳng thức kiểu Hermite - Hadamard tập phân thứ 19 2.2.1 2.2.2 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard hàm lồi suy rộng số vận dụng 23 Bất đẳng thức Hermite - Hadamard hàm h-lồi 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Trong chương trình mơn Tốn trường phổ thơng, bất đẳng thức chun đề rộng, có nhiều tốn hay thú vị, có ý nghĩa quan trọng Tốn học ứng dụng Ngày việc tìm lời giải gần toán lĩnh vực, đặc biệt kinh tế, địa chất, khí tượng trở thành phổ biến nhờ có hỗ trợ mạnh mẽ máy tính Việc giải tốn đòi hỏi ta ước lượng đánh giá để thu lời giải gần cần thiết Đối toán bất đẳng thức (hay tốn so sánh) ln đánh giá nội dung tương đối khó, địi hỏi khả tư sáng tạo cao học sinh Vì kì thi chọn học sinh giỏi cấp, chủ đề bất đẳng thức thường ln khai thác nhiều khía cạnh khác Với chủ đề bất đẳng thức, có nhiều tài liệu đề cập tới nhiều tác giả khai thác khía cánh khác Tuy nhiên luận văn thạc sĩ Toán học, với mong muốn tìm hiểu bất đẳng thức đặc biệt lớp hàm lồi để giải, sáng tạo lớp bất đẳng thức vận dụng vào giải số toán liên quan đề thi học sinh giỏi cấp, để làm tài liệu cho việc giảng dạy thân, tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi, tự học chọn chủ đề: Một số kết bất đẳng thức kiểu Hermite – Hadamard tập phân thứ Nội dung đề tài luận văn ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, đề tài gồm 02 chương, cụ thể: Chương 1: Về bất đẳng thức Hermite- Hadamard Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số bất đẳng thức vận dụng phần sau luận văn đưa số ví dụ vận dụng Một số khái niệm Bất đẳng thức Hermite – Hadamard, số mở rộng vận dụng Bất đẳng thức Hermite – Hadamard hàm h- lồi Chương 2: Một số kết bất đẳng thức kiểu Hermite – Hadamard tập phân thứ số ứng dụng Trong chương 2, chúng tơi trình bày lại số kết tài liệu [4,5] số tài liệu cập nhật trình thực luận văn Tập phân thứ số kết Trong mục này, chúng tơi trình bày tập phân thứ, hàm suy rộng số bất đẳng thức lớp hàm này, đưa số ví dụ vận dụng Bất đẳng thức kiểu Hermite – Hadamard tập phân thứ Trong mục này, trình bày số dạng bất đẳng thức Hermite – Hadamard tập phân thứ hàm suy rộng số vận dụng Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc giáo viên hướng dẫn TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh, thầy tận tình hướng dẫn bảo cho tơi suốt q trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy cô giáo, phòng chức trường tạo cho tác giả điều kiện tốt trình học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, bạn học viên lớp Cao học Toán K14 động viện giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Chi Lăng, Lạng Sơn toàn thể anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện cho tác giả thời gian học Cao học Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, khích lệ tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 09 năm 2022 Tác giả Nguyễn Thùy Linh Chương Về bất đẳng thức Hermite - Hadamard Chương trình bày lại số khái niệm bất đẳng thức HermiteHadamard số mở rộng vận dụng 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 (i) Cho hai điểm a, b ∈ R, tập tất điểm x = (1−λ)a+λb với λ gọi đoạn thẳng (đóng) a b ký hiệu [a, b] Tập I ⊂ R gọi lồi chứa đường thẳng nối hai điểm nó; nói cách khác, (1 − t)a + tb ∈ I với a, b ∈ I, λ (ii) Cho hàm f : I → [−∞, +∞] tập lồi I ⊂ R Hàm f gọi lồi với x1 , x2 ∈ I λ ∈ [0, 1] ta có f (λx1 + (1 − λ)x2 ) λ f (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) Hàm f gọi lõm I − f hàm lồi Mệnh đề 1.1.2 Cho f : I → [−∞, +∞] hàm lồi Khi đó, với tập hữu hạn x1 , , xk ∈ I số không âm λ1 , , λk thỏa mãn λ1 +λ2 +· · ·+λk = 1, ta có   n n  X X λi f (xi ) f  λi xi  i=1 i=1 Mệnh đề 1.1.3 Hàm f hàm liên tục [a, b] Khi đó, f hàm lồi (a, b) thỏa mãn  x + y  f (x) + f (y) f 2 với x, y ∈ (a, b) (1.1) Định nghĩa 1.1.4 (Định nghĩa 2.3, [5]) Cho s số thực thỏa mãn s ∈ (0, 1] Hàm f : [0, ∞) → [0, ∞) gọi s-lồi theo nghĩa thứ hai thỏa mãn f (tx + (1 − t)y) ≤ t s f (x) + (1 − t) s f (y), ∀x, y ∈ [0, ∞) and t ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.1.5 (Định nghĩa 2.4, [5]) Hàm f : I → R gọi P-hàm, f không âm với x, y ∈ I với t ∈ [0, 1], ta có f (tx + (1 − t)y) ≤ f (x) + f (y) Định nghĩa 1.1.6 (Định nghĩa 2.7, [5]) Cho h : [0, 1] → R hàm không âm Ta nói f : I → R hàm h-lồi f hàm không âm với x, y ∈ I t ∈ (0, 1), ta có f (tx + (1 − t)y) ≤ h(t) f (x) + h(1 − t) f (y) 1.2 Bất đẳng thức Hermite – Hadamard, số mở rộng vận dụng 1.2.1 Bất đẳng thức Hermite – Hadamard, số mở rộng Các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard quan trọng nhiều chủ đề toán học ứng dụng Trong mục này, chúng tơi trình bày lại kết Hari M Srivastava cộng báo [6] công bố năm 2022 Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Hermite - Hadamard) Giả sử f hàm lồi [a, b] Khi đó, f khả tích [a, b] ta có ! Z b a+b f (a) + f (b) f (x)dx f b−a a (1.2) Các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard (1.2) công cụ quan trọng lĩnh vực toán học trừu tượng ứng dụng, chẳng hạn phân tích tốn học, lý thuyết hàm, tối ưu hóa, lý thuyết điều khiển, lý thuyết phương tiện đặc biệt biến thể khác toán entropy, nội suy xấp xỉ, phương pháp số bao gồm tích phân số, lý thuyết thông tin, xác suất thống kê Các kết báo áp dụng cho bất đẳng thức tích phân cho hàm có giá trị khoảng phân số phương trình vi phân tương ứng tốn tối ưu hóa Dragomir Agarwal chứng minh bất đẳng thức sau có liên hệ với vế phải bất đẳng thức (1.2) Định lý 1.2.2 Nếu f hàm khả vi khoảng [a, b] | f ′ | hàm lồi [a, b] bất đẳng thức sau đúng: a−b a (1.3) Bổ đề 1.2.4 [Bổ để 1, [6]] Gọi f hàm liên tục khoảng [a, b] đạo hàm f ′ ∈ L1 [a, b] Khi đó, ta có " ! # Z b a+b 1 f (a) + f + f (b) − f (x) b−a a Z !  = (b − a)  x− f ′ (a + x(b − a))  ! Z  ′ f (a + x(b − a))dx x− + Định lý 1.2.5 (Định lý 3, [6]) Cho f hàm liên tục khoảng [a, b] đạo hàm f ′ ∈ L1 [a, b] Giả sử | f ′ |q lồi [a, b] với q > Khi đó, kết sau đúng: " ! # !1− q1 Z b a+b + f (b) − f (x)dx (b − a)