Luận văn thạc sỹ một số kết quả mới về định lí con bướm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HOÀNG THỊ CHINH MỘT SỐ KẾT QUẢ MỚI VỀ ĐỊNH LÍ CON BƯỚM Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên - 2022 i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tổng quan định lý bướm 1.2 Một số cách chứng minh định lý bướm 1.3 Một số khái niệm 13 Một số kết định lý bướm ứng dụng 2.1 2.2 2.3 14 Một dạng định lý bướm 14 2.1.1 Khái quát định lý bướm [2] 14 2.1.2 Tổng quát định lý bướm [2] 15 2.1.3 Định lý bầy bướm [2] 18 2.1.4 Điểm bướm tứ giác mạnh [3] 21 2.1.5 Tâm điểm bướm [3] 25 Mở rộng định lý bướm tứ giác [4] 32 2.2.1 Định lý bướm tứ giác nội tiếp 32 2.2.2 Định lý bướm tứ giác 32 Ứng dụng định lý bướm vào giải số tốn hình học [1] 39 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Mở đầu Định lý bướm (Butterfly Theorem) định lý hình học Euclid phát biểu tốn đẹp hình học phẳng chứng minh với nhiều cách đặc sắc khác Định lý bướm định lý có ứng dụng lớn vào tốn hình học khó lớp chuyên toán toán đề thi vơ địch tốn số quốc gia Định lý bướm có nhiều cách phát biểu khác với nội dung mở rộng đa dạng phong phú tạo nên thu hút chủ đề tốn học Một số chun đề có đề cập tới Định lý bướm như: chuyên đề "Định lý bướm" Hoàng Minh Quân - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội; Chuyên đề "Tứ giác nội tiếp toán thi Olympic" Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tuy nhiên với phạm vi rộng, chuyên đề tập trung khai thác vài khía cạnh, phạm vi cụ thể bỏ ngỏ nhiều vấn đề thú vị liên quan đến Định lý bướm Với mong muốn tìm hiểu Định lý bướm số kết Định lý để làm tài liệu cho việc giảng dạy thân làm tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi tự học, chọn chủ đề: Một số kết Định lý bướm làm chủ đề cho luận văn thạc sĩ Luận văn dự kiến gồm hai chương với nội dung sau Mục tiêu luận văn là: ❼ Tìm hiểu Định lý bướm cách chứng minh Định lý bướm ❼ Trình bày số kết Định lý bướm: dạng Định lý bướm, mở rộng Định lý bướm tứ giác ❼ Trình bày lời giải số tốn hình học sở vận dụng Định lý bướm để giải quyết, cố gắng đưa lời giải tường minh toán, đề thi mà tài liệu tham khảo có lời giải vắn tắt định hướng lời giải Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương, cụ thể: Chương Kiến thức chuẩn bị: Nội dung chương dành để trình bày Định lý bướm phương pháp chứng minh Định lý bướm Chương Một số kết Định lý bướm ứng dụng: Nội dung chương trình bày số kết Định lý bướm ứng dụng Định lý bướm giải số tốn hình học Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nỗ lực học hỏi thân, tác giả nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS TS Trịnh Thanh Hải, giảng viên Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân tác giả điều thầy dành cho tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Tốn Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học K14, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tác giả hồn thành khóa học Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường trung học phổ thơng Bình Gia, tỉnh Lạng Sơn tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2022 Tác giả luận văn Hoàng Thị Chinh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tổng quan định lý bướm Định lý bướm định lý thú vị quan trọng hình học Euclid, định lý bướm đặt tốn William Wallace vào năm 1803 Từ đến định lý bướm chứng minh với nhiều phương pháp khác phát triển thêm kết mới, khái quát mới, mở rộng định lý hình học Định lý 1.1.1 (Định lý bướm) Cho đường tròn (O) với dây cung AB Gọi I trung điểm AB , qua I dựng hai dây cung M N P Q cho M P , N Q cắt AB E F Khi I trung điểm đoạn thẳng EF (Hình 1.1) Trong định lý bướm điểm I coi thân bướm, tam giác P IM N IQ đôi cánh bướm 1.2 Một số cách chứng minh định lý bướm Bài tốn có nhiều cách chứng minh, sau tơi trình bày cách chứng minh đơn giản, dễ hiểu, đồng thời cập nhật thêm phương pháp chứng minh tới bạn đọc Mỗi chứng minh lại đường riêng, vẻ đẹp riêng mơn hình học phẳng, mà bạn u Hình 1.1: Định lý bướm thích mơn tốn cảm nhận từ từ vẻ đẹp nghệ thuật, đan xen xử lí tinh tế hình học Chứng minh Cách 1: Hình 1.2 Vì I trung điểm AB nên ta có: OI ⊥ AB Gọi C , D trung điểm M P , N Q ta có: OC ⊥ M P, OD ⊥ N Q Vậy tứ giác IOCE , IODF tứ giác nội tiếp đường trịn Do ta có: [ = ICE [ IOE Mặt khác dễ thấy tam giác IM P đồng dạng với tam giác IQN (g.g) IC , ID hai đường trung tuyến tương ứng nên ta có: IP PM CP IC = = = ID IN NQ DN Do tam giác ICP đồng dạng với tam giác IDN nên [ = IDE [ ICE Từ ta có [ = IOF [ IOE Vậy tam giác OEF cân O, nên I trung điểm EF Chứng minh Cách 2: Hình 1.3 Gọi C , D hình chiếu vng góc E lên IP , IM K , H hình chiếu vng góc F lên IM , IQ Ta có:∆IED đồng dạng với ∆IF K nên IE ED = IF FK (1.1) ∆IEC đồng dạng với ∆IF H nên EC IE = IF FH (1.2) ∆P EC đồng dạng với ∆N F K nên PE EC = NF FK (1.3) ∆M ED đồng dạng với ∆QF H nên ED ME = QF FH Từ (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) ta có:   IE ED EC ME P E AE BE = = = IF FK FH N F QF AF BF (AI − EI)(BI + IE) AI − EI AE BE = = Mặt khác: AF BF (AI + IF )(IB − IF ) AI − IF   IE AI − EI AI Vậy: = = Do IE = IF = IF AI − IF AI Chứng minh Cách 3: (1.4) Hình 1.4 Trường hợp M P N Q song song trường hợp tầm thường nên cở xét M P N Q giao Gọi D giao điểm M P N Q Xét tam giác EF D Theo định lý Menelauyt ta có: IF M E N D IF P E QD = 1; =1 IE M D N F IE P D QF IF M E.P E.N D.QD = Vì DN.DQ = DP.DM nên ta có: ⇒ IE M DN F P D.QF IF IF M E.P E N F QF = ⇒ = IE IE N F QF M E.P E 37 Hình 2.19 Tọa độ điểm Y giao điểm hai đường trung trực cạnh AB CD:   a2 c − a2 d − ac2 + ad2 k  a2 d − b2 dk − b2 d +ad2 − b2 ck − b2 c + b2 dk      2 2 2 2  −bc + bd k + bd +b d + bc − bd k − bd   Y = ,   2ad − 2bc 2adk − 2bck       (2.15) Tọa độ điểm Z giao điểm hai đường trung trực cạnh AD BC :   −a2 b + a2 c + ab2 k + ab2  a2 b + b2 dk + b2 d −ac2 − b2 dk − b2 d + bd2 k      2 2 2 2  −bd k − bd − c d +bd + c d − cd k − cd   , Z=   2ab − 2cd 2abk − acdk       (2.16) Từ (2.14), (2.15) (2.16) ta tính tọa độ đỉnh W hình bình 38 hành XY W Z sau: (2.17) W = (f (a, b, c, d, k), g(a, b, c, d, k)) Với a3 bd − a2 bcd − ab3 dk − ab3 d +2ab2 d2 k + 2ab2 d2 − abc2 d − abd3 k −abd3 − b3 cdk − b3 cd + 2b2 cd2 k +2b2 cd2 + bc3 d − bcd3 k − bcd3 f (a, b, c, d, k) = (2.18) 2a2 bd − 2ab2 c − 2acd2 + 2bc2 d Và g(a, b, c, d, k) = a3 bc −2a2 c2 d +ab2 cdk +abc2 d +ac3 d −2b2 cd2 k − a3 bd + a3 cd − 2a2 bc2 − ab3 ck − ab3 c + ab3 dk + ab2 cd − 2ab2 d2 k − 2ab2 d2 + abcd2 k + abcd2 + abd3 k − acd3 k − acd3 + b3 cdk − 2b2 cd2 − bc3 d + bcd3 k 2a2 bdk − 2ab2 ck − 2acd2 k + 2bc2 dk + + + + + + a2 bcd ab3 d abc3 abd3 b3 cd bcd3 (2.19) Từ (2.17), (2.18) (2.19) ta có phương trình đường thẳng qua P vng góc với P W sau: y= −abdk − bcdk x abc − abd + acd − bcd (2.20) Khi giao điểm đường thẳng với đường thẳng AD BC có tọa độ sau:   −abc + abd − acd + bcd abdk + bcdk Q= , ab − cd ab − cd (2.21) Và R=  abc − abd + acd − bcd −abdk − bcdk , ab − cd ab − cd  (2.22) Từ (2.21) (2.22) ta dễ dàng nhận thấy P trung điểm QR 39 2.3 Ứng dụng định lý bướm vào giải số tốn hình học [1] Bài tốn 2.3.1 Cho đường trịn (O) có M trung điểm dây cung P Q Gọi AB, CD hai dây cung qua điểm M Gọi H, K giao điểm P Q với AC BD KB.KD HA.DC = Chứng minh rằng: HM KM Hình 2.20 Chứng minh Theo giả thiết M P = M Q Áp dụng định lý bướm ta có M H = M K Ta có HA.HC = HP.HQ = KQ.KP = KB.KD HA.HC KB.KD Do = (Vì M H = M K HA.HC = KB.KD) HM KM Bài toán 2.3.2 Cho ∆ABC , gọi (O), I tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp Đường thẳng BI, CI cắt đường tròn (O) E, F Gọi K, D giao điểm AI với EF BC Biết AB + AC = 2BC Chứng minh IK = ID 40 Hình 2.21 Chứng minh Gọi giao điểm AI đường tròn (O) điểm M khác A \ \ BAD \ = CAM \ nên đồng Xét tam ∆M AC ∆BAD có: AM C = ABD, dạng BD ID CD BD + CD BC MC = = = = = = MA BA IA CA BA + CA 2BC \ \ nên ∆M IC cân M Do M I = M C Xét ∆M IC có: M IC = ICM M I = M A ⇒ M I = IA Theo định lý bướm IK = ID Từ ta có: Bài tốn 2.3.3 ( Mongolian TST 2008) Cho tam giác nhọn ABC có CD đường cao, H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Một đường thẳng qua D, vng góc với OD cắt BC E \ = ABC \ Chứng minh rằng: DHE Chứng minh Phân tích tốn thấy đường thẳng qua D vng góc với OD dễ thấy D trung điểm dây cung đường trịn (O) qua D Từ ta thấy xuất mơ hình Định lý bướm 41 Hình 2.22 khai thác điều để chứng minh toán Sau lời giải cho toán Gọi F giao điểm đường tròn (O) CD, K giao điểm AF DE Áp dụng Định lý bướm với điểm D = CF ∩ AB ∩ EK OD ⊥ EK , có DE = DK DH = DF nên EH ∥ F A \ = DF \ \ ⇒ DHE A = CBA Bài toán 2.3.4 (Singapore 2011) Cho tam giác ABC nhọn, không cân O, H tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm tam giác ABC , AB > AC Q điểm AC , kéo dài HQ cắt BC P cho DP = DB với D chân đường cao hạ từ đỉnh A tới BC Chứng minh \ = 900 ODQ \ = 900 , chúng Chứng minh Phân tích tốn: Để chứng minh góc ODQ ta chứng minh OD ⊥ DQ Điều làm nảy sinh ý tưởng chứng minh OD vng góc với dây cung qua D hay nói cách khác chứng minh D trung điểm dây cung Cùng với giả thiết DP = DB nghĩ tới việc xây dựng mơ hình toán bướm để áp dụng Gọi G điểm đối xứng H qua BC , G thuộc đường trịn 42 Hình 2.23 (O) Gọi R giao điểm QD BG Theo giả thiết ta có: DP = DB mà DH = DG nên HP ∥ BG Do ∆HDQ = ∆GDR(g.g.g) ⇒ DQ = DR Gọi E, F giao điểm đường tròn (O) với QR Theo định lý bướm có \ = 900 DE = DF Do OD ⊥ EF hay ODQ Bài tốn 2.3.5 Cho tam giác nhọn ABC có AD đường cao, O H tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm tam giác ABC Kẻ đường thẳng qua D vng góc với OD, cắt AB K Chứng minh \ + AHC \ = 1800 DHK Chứng minh Gọi E giao điểm thứ hai AD với đường tròn (O) Ta dễ DH = DE ∆CHE cân đỉnh C nên \ = CEH \ = CEA \ (1) CHE Gọi L giao điểm KD EC Ta có AE, BC, KL đồng quy D, có DH = DE, OD ⊥ KL Theo định lý bướm DK = DL Do ∆DEL = ∆DHK (c.g.c) \ = DEL \ Suy DHK \ + AHC \ = DEL \ + AHC \ = AEC \ + AHC.(2) \ Vậy DHK 43 Hình 2.24 Từ (1) (2) ta có: \ + AHC \ = AEC \ + AHC \ = CHE \ + AHC \ = 1800 DHK Bài toán 2.3.6 (MOP 1998) Cho hai đường trịn (C) (C ′ ) có bán kính, cắt hai điểm A, B Gọi O trung điểm AB Dây cung CD đường tròn (C) qua điểm O, Gọi P giao điểm đoạn thẳng CD cắt (C ′ ) EF dây cung (C ′ ) qua O đoạn thẳng EF cắt (C ′ ) Q Chứng minh rằng: AB, CQ, EP đồng quy Chứng minh Phân tích: Bài toán với việc giả thiết cho O trung điểm AB , mơ hình tốn bướm dễ xây dựng Chúng ta gọi giao điểm CQ, EP với AB S , S ′ Công việc chúng chứng minh S trùng S ′ Khi tốn chứng minh Gọi H giao điểm thứ hai CD (C ′ ), K giao điểm thứ hai EF (C) Gọi S , S ′ giao điểm CQ, EP với AB Gọi M giao điểm KD AB Trong đường tròn (C) tâm J từ giả thiết O trung điểm AB , theo Định lý bướm với điểm C, Q, D, K ta có O trung điểm M S 44 Hình 2.25 Mặt khác hai đường trịn (C) (C ′ ) có bán kính nên O trung điểm AB O trùng điểm P D, EK nên tứ giác P DEK hình bình hành Từ ta có ∆KOM = ∆EOS ′ (g.c.g) Suy OM = OS ′ hay O trung điểm M S ′ Vậy S trùng S ′ Do AB, CQ, EP đồng quy S Bài toán 2.3.7 (Moldova TST 2010) Cho tam giác nhọn ABC có H trực tâm M trung điểm BC Kẻ đường thẳng qua H vuông góc với HM cắt AB, AC P Q Chứng minh rằng: M P = M Q Chứng minh Gọi D, K chân đường cao hạ từ đỉnh B, C xuống AC, AB Ta có tứ giác BCDK nội tiếp đường trịn (C) tâm M , bán kính BC Kéo dài P Q cắt đường tròn (C) hai điểm E, F Vì M H vng góc EF H nên H trung điểm EF Ta có: CK ∩ EF = H, BD ∩ EF = H, BK ∩ EF = P, CD ∩ EF = Q mà H trung điểm EF nên theo Định lý bướm ta có: HP = HQ Vậy tam giác M P Q cân đỉnh M (Vì N H vừa đường cao vừa đường trung tuyến) nên M P = M Q Bài toán 2.3.8 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M giao điểm AC BD P điểm cạnh BC thỏa mãn P M vng góc M O Gọi S giao điểm thứ hai DP đường trịn (O) 45 Hình 2.26 Q điểm thuộc đường trịn (O) cho DQ vng góc OM Gọi R giao điểm hai đường phân giác góc ABS góc AQS Các tiếp tuyến B Q đường tròn (O) cắt L Chứng minh A, R, S, L thẳng hàng Hình 2.27 Chứng minh Gọi F giao điểm P M AD Theo Định lý bướm 46 ta có M trung điểm P F Ta có: DQ ⊥ OM, P F ⊥ OM nên DQ ∥ P F Ta có D(P F M Q) = −1 Lại có LB, LQ hai tiếp tuyến đường tròn B, Q Do D(P F M Q) = −1 nên suy QABS tứ giác điều hịa, từ suy LB, LQ AS đồng quy hay L, A, S thẳng hàng \ = AQB, \ BDS \ = BQS [ SDQ \ = SQL [ Ta có ADB Do Q(S, A, B, L) − D(S, A, B, Q) điều hịa Từ BA.QS = QA.BS ta BA QA có = theo tính chất đường phân giác phân giác BS QS [ = QAS [ cắt điểm SA R nằm góc ABS SA Do ta có L, R, S, A thẳng hàng Bài toán 2.3.9 (Trần Bảo Trung - Mở rộng IOM 2009) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm nằm tam giác Giả sử AM, BM, CM cắt BC, CA, AB A1 , B1 , C1 Gọi A2 , B2 , C2 , theo thứ tự trung điểm AA1 , BB1 , CC1 ; X, Y, Z tương ứng hình chiếu O lên C1 B1 , B1 A1 , A1 C1 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác XB2 C2 , Y C2 A2 , ZA2 B2 qua điểm Hình 2.28 47 Chứng minh Trước hết chứng minh bổ đề sau Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng d cắt hai cạnh AB, AC D, E Giả sử H, K, G trung điểm đoạn thẳng BE, CD, DE N hình chiếu vng góc O lên DE Chứng minh bốn điểm H, K, G, N thuộc đường tròn Bây chứng minh bổ đề Gọi giao điểm AN, CN, BN với đường tròn (O) theo thứ tự M, P, Q X, Y giao điểm đường thẳng DE với M P, M Q Áp dụng Định lý đảo Pascal cho ba điểm thẳng hàng X, N, Y có giao điểm L BX CY nằm đường tròn (O) Theo giả thiết ON ⊥ XE áp dụng định lý bướm cho bốn điểm A, P, M, C ta có N trung điểm XE Do tam giác EBX theo Định lý đường trung bình có HN ∥ BX Tương tự có KN ∥ CY Vì vậy: (N H, N K) = (BX, CY ) mod π = (LB, LC) mod π = (AB, AC) mod π (do L ∈ (O)) = (HG, GK) mod π Do GH ∥ AB, GK ∥ AC Vậy N, H, K, G đồng viên Bổ đề chứng minh Bây trở lại toán ban đầu Gọi A3 , B3 , C3 theo thứ tự trung điểm B1 C1 , C1 A1 , A1 B1 Áp dụng bổ đề ta có bốn điểm sau đồng viên (X, B2 , C2 , A3 ), (Y, C2 , A2 , B3 ), (Z, A2 , B2 , C3 ) Do tốn chứng minh chứng minh ba đường tròn ngoại tiêp tam giác A3 B2 C2 , B2 C2 A2 , C3 A2 B2 Thật gọi Q giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2 C2 , B3 C2 A2 Chúng ta có: (QB2 , QC2 ) = (QB2 , QA2 ) + (QA2 , QC2 ) mod π = (C3 B2 , C3 A2 ) + (B3 A2 , B3 C2 ) mod π = (CB, CA) + (BA, BC) mod π 48 Hình 2.29 = (AB, AC) mod π = (A2 B2 , A3 C2 ) mod π Vậy Q, A3 , B2 , C2 đồng viên 49 Kết luận Định lý bướm định lý xuất từ lâu có nhiều nghiên cứu phương pháp chứng minh mở rộng định lý thú vị Luận văn với đề tài “Một số kết định lý bướm" đạt kết quả: (1) Đã hệ thống hóa, chọn lọc vấn đề: + Khái quát định lý bướm đưa nhiều cách chứng minh khác nhau, cập nhật số phương pháp chứng minh (theo tài liệu [6], [7]) + Tìm hiểu quỹ tích điểm bướm mở rộng định lý bướm tứ giác (theo tài liệu [2], [3], [4], [5]) (2) Đã trình bày có chọn lọc số ví dụ minh họa cho định lý bướm (theo tài liệu tham khảo [1]) Do toán liên quan đến định lý com bướm vô phong phú Mặc dù cố gắng thời gian tài liệu tham khảo tiếng Anh nên kết luận văn chưa có nhiều tốn để nêu bật liên hệ, ứng dụng điểm vào toán hình học Tuy nhiên hướng mở cho hướng nghiên cứu luận văn Em mong nhận bảo, hướng dẫn Thầy, Cơ để hồn thiện luận văn có tài liệu cho cơng việc giảng dạy chun đề cho học sinh khá, giỏi 50 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Tiếng Anh [2] Ana Sliep⑩cevi➫ (2002), A New Generalization of the Butterfly Theorem , Journal for Geometry and Graphics Volume (2002), No.1, 61–68 [3] Zvonko Cerin and Gian Mario Gianella (2006) On improvoments of the butterfly theorem, Far East Journal of Mathematical Sciences ➲ January 2006, Vol 20, Issue 1, pp 69 - 85 [4] Tran Quang Hung And Luis Gonzalez (2020), Two generalizations of the butterfly theorem, arXiv.org (13/12/2020) [5] Nikolaos Dergiades and Sung Hyun Lim (2012), The Butterfly Theorem Revisited , Forum Geometricorum, Volume 12 (2012), 301-304 [6] Martin Celli (2016) A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings, Forum Geometricorum Volume 16 (2016) 337–338 [7] Dasari Naga vijay Krishna (2017) Another New Proof of the Butterfly Theorem, International Journal of Mathematics And its Applications Volume 5, Issue 1–A (2017), 55–57 51 [8] Dasari Naga Vijay Krishna, The New Proof of Ptolemy’s Theorem, Journal of Classical Geometry, 4(2015), 1-7