Luận văn thạc sỹ một số liên kết hình học đặc biệt trong tam giác và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ CÚC MỘT SỐ LIÊN KẾT HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2022 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phịng Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo Hợp tác quốc tế, Khoa Toán Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học Khóa 13 (2020 - 2022) thuộc Trường đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu thời gian học tập tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 20 Người viết Luận văn Trần Thị Cúc Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 Hình Ma tam giác Dựng hình Ma θ góc Ca O BC O, Ha , A′′ ∈ (ABa Ca ) Ba đường tròn (ABa Ca ), (BCb Ab ), (CAb Ab ) qua O Oa cách điểm O H Oa , Ob , Oc nằm trung trực d OH Minh họa cho điểm Gergaune Pa giao điểm đường thẳng BPa,b CPa,c Mô tả khác điểm Nagel 10 12 13 15 16 17 21 24 29 2.1 2.2 2.3 2.4 ∆ABC phối cảnh ∆XY Z, ∆Xa Ya Za , ∆Xc Yc Zc ∆ABC phối cảnh ∆Xa Yb Zc , ∆XYc Zb , ∆Xc Y Za , ∆Xb Ya Z Điểm Feuerbach tam giác liên hợp Ia′ , Ib′ , Ic′ điểm liên hợp Naa , Nab , Nac Na 33 35 37 42 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Điểm Torricelli-Fermat F A + F B + F C cực tiểu Ba đường thẳng ka , kb , kc đồng quy Định lý Napoleon Điểm Fermat F + , F − , Điểm Napoleon N + , N − Tam giác Na+ Nb+ Nc+ phối cảnh với tam giác ABC Cấu hình Fermat-Napoleon F + ∈ (Na− Nb− Nc− ); F − ∈ (Na+ Nb+ Nc+ ) Quỹ tích tam giác tạo đường Ce’va 48 50 52 54 56 58 59 60 62 Mục lục Cấu hình chữ M tam giác 1.1 Định nghĩa ký hiệu 1.2 Một số tính chất cấu hình M 12 1.3 Ứng dụng 18 Cấu hình tam giác liên hợp đối liên hợp 31 2.1 Điểm liên hợp tam giác liên hợp 32 2.2 Tam giác đối liên hợp 36 Cấu hình Fermat- Napoleon 3.1 Điểm Torricelli - Fermat điểm Napoleon 3.1.1 Điểm Torricelli- Fermat 3.1.2 Điểm Napoleon 3.2 Cấu hình Fermat-Napoleon 3.2.1 Các tính chất 3.2.2 Tam giác tạo đường Ce’va Tài liệu tham khảo 47 47 47 53 59 59 61 64 MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt ’4 10 11 12 13 14 15 16 Ký hiệu I, O O9 I a , Ib , Ic M X( ) F Ge Na N Ma , Mb , Mc M′ ∆Fa+ Fb+ Fc+ ∆Fa− Fb− Fc− ∆Na+ Nb+ Nc+ ∆Na− Nb− Nc− ∆A′ B ′ C ′ Nội dung ký hiệu Trang Tâm nội tiếp tâm ngoại tiếp ∆ABC ?? Tâm đường trịn chín điểm (Euler) ?? Tâm đường trịn bàng tiếp ?? Cấu hình chữ M ?? Số Kimberling [5] ?? Điểm Feuerbach tam giác ?? Điểm Gergonne tam giác ?? Điểm Nagel tam giác ?? Điểm Napoleon tam giác ?? điểm liên hợp M ∆ABC ?? điểm đối liên hợp M ∆ABC ?? Tam giác Feuerbach thứ ?? Tam giác Feuerbach thứ hai ?? Tam giác Napoleon thứ ?? Tam giác Napoleon thứ hai ?? Tam giác đối liên hợp tam giác ABC ?? Giới thiệu luận văn Mục đích đề tài luận văn Trong Hình học Euclide có nhiều cấu hình đặc biệt thể mối liên hệ điểm, tam giác đường tròn Mỗi cấu hình có đặc trưng hình học chứng minh nhờ Định lý Hình học có đơn giản, có phức tạp Khái niệm tọa độ barycentric sử dụng khéo léo cho kết bất ngờ Trình bày cách giải vấn đề lý để chọn đề tài "Một số liên kết hình học đặc biệt tam giác ứng dụng" Mục đích đề tài là: - Trình bày ba cấu hình đặc biệt tam giác với đặc trưng hình học chúng - Mối quan hệ đối tượng hình học như: điểm (các tâm tam giác), tam giác, đường tròn thể nghiên cứu cách dựng cấu hình, chứng minh tính chất cấu hình - Làm rõ kết hợp phương pháp hình học truyền thống phương pháp tọa độ mang lại kết hình học phong phú Luận văn tham khảo tài liệu [1], [2], [6] Nhiệm vụ tác giả luận văn chứng minh chi tiết kết mà báo nói đề cập tới Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Cấu hình chữ M tam giác Chương giới thiệu cấu hình đặc biệt liên quan đến tam giác cân dựng cạnh tam giác cho trước Từ tính chất cấu hình ta đưa cách dựng đơn giản tốn hình học ứng dụng định lý Hình học sơ cấp Nội dung bao gồm mục sau (tham khảo, tổng hợp từ báo [4], [5], [6]): 1.1 Định nghĩa ký hiệu 1.2 Một số tính chất cấu hình M 1.3 Ánh xạ tâm Chương Cấu hình tam giác liên hợp đối liên hợp Nội dung chương nói điểm liên hợp, tam giác liên hợp tam giác đối liên hợp Kết thu được: Với điểm cho trước có điểm liên quan đến gồm điểm liên hợp điểm đối liên hợp Các ví dụ cho thấy mối quan hệ liên hợp thể khái niệm: tâm nội tiếp tâm bàng tiếp, Từ làm phong phú thêm ý nghĩa Định lý Feuerbach tiếng Chương có mục sau: 2.1 Điểm liên hợp tam giác liên hợp 2.2 Tam giác đối liên hợp Chương Cấu hình Fermat-Napoleon Chương xét điểm đặc biệt: điểm Torricelli-Fermat, điểm Napoleon Từ xây dựng cấu hình Fermat-Napoleon tính chất đặc biệt cấu hình Chương tham khảo báo [2] Nội dung chương chia thành mục: 3.1 Điểm Torricelli-Fermat điểm Napoleon 3.2 Cấu hình Fermat-Napoleon Chương Cấu hình chữ M tam giác Chương nói cấu hình đơn giản tam giác, tiện ta đặt tên cấu hình chữ M tam giác đối tượng hình giống chữ M Nội dung chương gồm: Giới thiệu cách dựng đơn giản điểm Aa , Ba , Ca cạnh tam giác ABC cho hình Ma gồm đoạn thẳng BCa Aa Ba C , ứng với BC Sau ta xét cấu hình gồm ba chữ Ma , Mb , Mc tam giác tính chất cấu hình liên quan đến tâm ngoại tiếp ∆Aa Ba Ca , ∆Ab Bb Cb , ∆Ac Bc Cc , [6] 1.1 Định nghĩa ký hiệu Cho tam giác ABC Xét điểm Aa tia [BC), Ba tia [CA) Ca tia [BA) cho BCa = Ca Aa = Aa Ba = Ba C Đường gấp khúc BCa Aa Ba C ký hiệu Ma (vì nhìn giống chữ M ∆ABC tam giác nhọn), xem Hình 1.1 a Khi ∆ABC tam giác tù ta có biểu diễn đường gấp khúc Hình 1.1b Tương tự ta có ký hiệu Mb , Mc Định nghĩa 1.1 Các hình Ma , Mb , Mc gọi cấu hình chữ M tam giác ABC Nếu dựa trực tiếp vào định nghĩa để dựng hình chữ M mô tả việc làm không đơn giản Vì trước tiên xét số đặc trưng cấu hình chữ M, mục đích để tìm cách dựng cấu hình (bằng compa thước kẻ) Hình 1.1: Hình Ma tam giác Mệnh đề 1.1 [6] Cho tam giác ABC hình Ma Khi đường thẳng AAa , BBa , CCa đồng quy điểm Ký hiệu điểm đồng quy ξa ξa có tọa độ barycentric nhất: ! 1 : : ξa = cos A cos B cos C Chứng minh Ta chứng minh cách sử dụng Định lý Ce’va ❼ Đặt ma = BCa = Ca Aa = Aa Ba = Ba C Ta có BAa = 2ma cos B Aa C = 2ma cos C , vậy: BAa : Aa C = cos B : cos C Tương tự: CBb : Bb A = cos C : cos A ACc : Cc B = cos A : cos B (1.1) Áp dụng định lý Ce’va vào tam giác ABC cát tuyến AAa , BBa , CCa : ! ! ! cos B cos C cos A Aa B B a C C a A = − − − = −1 cos C cos A cos B Aa C Ba A Ca B Ta suy đường thẳng AAa , BBa , CCa đồng quy ❼ Trong tọa độ barycentric Định lý Ce’va có dạng :"Nếu X, Y, Z điểm BC, CA, AB tương ứng cho" BX : XC = µ : ν Y C : AY = ν : λ AZ : ZB = λ : µ 1 + + ̸= đường thẳng AX, BY, CZ cắt điểm: λ µ ν ! 1 : : = (µν : λν : λµ) λ µ ν với ABC tam giác sở." Như theo (1.1), tọa độ điểm ξa ! 1 : : cos A cos B cos C Chú ý: - Điểm đồng quy ξa có số Kimberling X(92) [5] - Vì 2ma cos B + 2ma cos C = a = 2R sin A nên A a R sin A ma = = = (1.2) B − C 2(cos B + cos C) cos B + cos C cos Để sử dụng phần tả biểu diễn tọa độ barycentric Aa , Ba , Ca theo ma : 2ma Aa = (cos C.B + cos B.C) = (0 : 2ma cos C : 2ma cos B), a a

Ba = ma A + (b − ma ).C = ma : : b − ma b b

Ca = ma A + (c − ma ).B = ma : c − ma : c c (1.3) Hồn tồn tương tự hình Mb , Mc , ta có R cos Hệ 1.1.1 Trong tam giác ABC với hình Mb , Mc , tương ứng ! có: 1 : : (i) AAb , BBb , CCb đồng quy ξb = cos B cos C cos A ! 1 (ii) AAc , BBc , CCc đồng quy ξc = : : cos C cos A cos B g(B)m g(B)(c − m ) 2m a a a 2ma + + a cosC cosB c c a Khai triển định thức ta ! (1.5) 2cx cos B − ag(B)z = • Tương tự, phương trình đường CPa,c (1.6) 2b cos C.x − ag(C)y = Giải hệ phương trình (1.5), (1.6) thu g(B)g(C)m2a Pa = : ca : 2g(C)m2a cos B ab  = ag(B)g(C) : 2bg(B) cos C : 2cg(C) cos B  ag(B)g(C) bg(B) cg(C)  : : = cos B cos C cos B cos C  bc 2g(B)m2a cos C ! Trong M − cấu hình xét tâm tam giác (được cho dạng cân gP hàm tâm tam giác) tam giác cân Đó 24 Hình 1.9: Pa giao điểm đường thẳng BPa,b CPa,c điểm Pb,c , Pb,a , Pc,a , Pc,b Cặp đường thẳng CPb,c , APb,a cắt Pb cặp đường thẳng CPb,c , APb,a cắt Pc Tọa độ Pb Pc viết dễ dàng từ tọa độ Pa Từ tọa độ điểm ta khẳng định tam giác Pa Pb Pc phối cảnh tam giác ABC , tâm phối cảnh điểm ! agP (A) bgp (B) cgP (C) Φ(P ) = : : cos A cos B cos C   = gP (A) tan A : gP (B) tan B : gP (C) tan C Mệnh đề 1.4 [6] Ta có đẳng thức Φ(P ∗ ) = Φ(P )∗ Chứng minh Sử dụng bổ đề 1.3.1: 25 ∗  Φ(P ) = gP ∗ (A) tan A : gP ∗ (B) tan B : gP ∗ (C) tan C ! 2 cos B cos C cos A : : = gp (A) tan A gp (B) tan B gp (C) tan C ! 2 sin A sin B sin C = : : gp (A) tan A gp (B) tan B gp (C) tan C ! 2 a b c = : : gp (A) tan A gp (B) tan B gp (C) tan C = Φ(P )∗  Đẳng thức chứng minh Một số ví dụ ứng dụng Mục đích ví dụ tìm mối liên hệ tâm tam giác thông qua ánh xạ, gọi ánh xạ tâm Ngoài việc biểu diễn mối liên hệ với nhau, ánh xạ cho phép tìm tâm tam giác chưa liệt kê Danh sách tâm tam giác Kimberling, xem [4] Ví dụ 1.3.1 Với điểm I = (a : b : c) tâm nội tiếp tam giác ABC Lời giải Ta có gI (A) = cos A, gI (B) = cos B, gI (C) = cos C nên   Φ(I) = gI (A) tan A : gI (B) tan B : gI (C) tan C   = cos A tan A : cos B tan B : cos C tan C   = sin A : sin B : sin C ! 2 a b c Điểm liên hợp đẳng giác I I ∗ = : : = (a : b : c), a b c I Theo Mệnh đề 1.4, Φ(I ∗ ) = Φ(I)∗ = I ∗ = I Ví dụ 1.3.2 Với điểm G = (1 : : 1) trọng tâm tam giác ABC Lời giải Trước tiên theo bảng 1.1,   Φ(G) = gG (A) tan A : gG (A) tan A : gG (A) tan A   = tan A : tan A : tan A   = tan A : tan A : tan A = H 26 Như biết G liên hợp đẳng giác với điểm đối trung L hay gọi điểm Lemoine, G∗ = L.Theo Mệnh đề 1.4, Φ(G∗ ) = Φ(G)∗ = H Vì tan A : tan A : tan A cịn viết thành ! 1 nên ta có: : : H= b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 a2 + b2 − c2 ! 2 a b c H∗ = : : b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 a2 + b2 − c2 Đây tọa độ điểm O, tâm ngoại tiếp tam giác ABC H= Ví dụ 1.3.3 Với điểm O tâm ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Trước tiên theo bảng 1.1,   Φ(O) = gO (A) tan A : gO (B) tan B : gO (C) tan C   = − cos 2A tan A : −2 cos 2B tan B : −2 cos 2C tan C   = cos 2A tan A : cos 2B tan B : cos 2C tan C   4 2 2 2 = a (a + b + c − 2a b − 2a c )(a − b − c ) : : = X(24) Ta có O H điểm liên hợp đẳng giác nên O∗ = H ∗ Φ(O∗ ) = Φ(O) = X(24)∗   4 2 2 2 = (a + b + c − 2a b − 2a c )(a − b − c ) : :   b + c − a2 = : : = X(68) a + b4 + c4 − 2a2 b2 − 2a2 c2 X(68) có tọa độ [4] ! 1 : : Ví dụ 1.3.4 Với điểm Ge = điểm b+c−a c+a−b a+b−c Gergaune tam giác ABC : cos B cos C cos A ; gGe (B) = ; gGe (C) = Ta có gGe (A) = − cos A − cos B − cos C nên 27 ! cos B cos C cos A tan A : tan B : tan C − cos A − cos B − cos C ! sin A sin B sin C = : : : − cos A − cos B − cos C ! B C A = cot : cot : cot : 2 = (b + c − a : c + a − b : a + b − c) = Na   Ta lại có G∗e = a2 (b + c − a) : b2 (c + a − b) : c2 (a + b − c) = X(55) Φ(Ge ) = theo [4] Ngoài ra, Φ(G∗e ) = Φ(Ge )∗ = Na∗ ! 2 a b c = : : = X(56) theo [4] b+c−a c+a−b a+b−c Ví dụ 1.3.5 Với điểm Na = (s − a : s − b : s − c) điểm Nagel tam giác ABC : − cos B − cos C − cos A ; gNa (B) = ; gNa (C) = Ta có gNa (A) = cos A cos B cos C nên ! − cos B − cos C − cos A tan A : tan B : tan C Φ(Na ) = cos A cos B cos C ! (1 − cos A) sin A (1 − cos B) sin B (1 − cos C) sin C : : = cos2 A cos2 B cos2 C = x(1118) theo [4] Ta lại có Na∗ = Ngồi ra, 2 ! a b c : : = X(56) , theo [4] b+c−a c+a−b a+b−c Φ(Na∗ ) = Φ(Na∗ ) = X(1118)∗ = X(1259) theo [4]   Ví dụ 1.3.6 Với điểm M = a(b + c − a) : b(c + a − b) : c(a + b − c) =   + cos A : + cos B : + cos C điểm Mittenpunkt tam giác ABC , ký hiệu X(9); 28 Ta có gM (A) = 2(1 − cos A); gM (B) = 2(1 − cos B); gM (C) = 2(1 − cos C) nên  Φ(M ) = 2(1 − cos A) tan A : 2(1 − cos B) tan B : 2(1 − cos C) tan C   = (1 − cos A) tan A : (1 − cos B) tan B : (1 − cos C) tan C = tan A − sin A : tan B − sin B : tan C − sin C = x(34) theo [4] Ta lại có ! 2 b c a : : M∗ = a(b + c − a) b(c + a − b) c(a + b − c) ! b c a = : : (b + c − a) (c + a − b) (a + b − c) = X(34) theo [4] Ngoài ra, ! b c a : : = X(78) theo Φ(M ∗ ) = X(34)∗ = − sec A − sec B − sec C [4] Đối với điểm Spieker, SP = X(10) = (b + c : c + a : a + b), ta có ! tan A tan B tan C Φ(SP ) = : : : + cos A + cos B + cos C ! : : = a(b2 + c2 − a2 )(b2 + c2 − a2 + bc) Điểm Φ(Sp ) chưa có danh sách Kimberling, [4] Với P = X(8)− điểm Nagel điểm Pa có mơ tả khác Antreas P Hatzipolakis xét đường trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh CA AB tương ứng Y Z , từ Y, Z dựng đường vng góc xuống BC gặp lại đường tròn nội tiếp Y ′ , Z ′ , hình 1.10 Ta có B, Z, Pa,b thẳng hàng, C, Y ′ , Pa,c Như vậy, BZ ′ CY ′ cắt Pa Tọa độ Y ′ , Z ′ Y ′ = (y1 : y2 : y3 ), Z ′ = (z1 : z2 : z3 ) với: y1 = a2 (b + c − a)(c + a − b); z1 = a2 (b + c − a)(a + b − c) y2 = (a2 + b2 − c2 )2 ; z2 = (b + c)2 (c + a − b)(a + b − c) y3 = (b + c)2 (a + b − c)(c + a − b) z3 = (a2 − b2 + c2 )2  29 Hình 1.10: Mơ tả khác điểm Nagel Các đường thẳng BZ ′ CY ′ cắt Pa = a2 (b + c − a) : 2 2 2 2 (a + b − c ) (a − b + c ) : c+a−b a+b−c ! a2 (b + c − a) : : 2 2 2 2 (a − b + c ) (a + b − c ) (c + a − b)(a2 − b2 + c2 )2 ! (a + b − c)(a2 + b2 − c2 ) Kết cho Hatzipolakis xây dựng thành công tâm tam giác 30 P Φ(P ) P∗ Φ(P ∗ ) = Φ(P )∗ I sin A : sin B : sin C I I G H L O O X(24) H X(68) Ge Na X(55) X(56) Na X(1118) X(56) X(1259) = X(1118)∗ M X(34) X(57) X(78) = X(34)∗ Bảng 1.2: Thông tin ánh xạ tâm X(1118) = : : (b + c − a)(b2 + c2 − a2 )2 Tổng hợp lại ta có bảng, bảng 1.2 ! mang tên ơng 31 Chương Cấu hình tam giác liên hợp đối liên hợp Chúng giới thiệu khái niệm Hình học: điểm liên hợp tam giác liên hợp điểm với tam giác cho trước Xét tam giác sở ABC với cạnh BC = a, CA = b AB = c Ký hiệu s nửa chu vi S = SABC diện tích tam giác ABC Ta biết công thức sau: S S S S abc ; r = ; = ; rb = ; rc = 4S s s−a s−b s−c (R bán kính đường trịn ngoại tiếp; , rb ; rc bán kính đường bàng tiếp ứng với góc A, B, C ) Ta sử dụng tọa độ barycentric tuyệt đối điểm với ABC tam giác sở Mọi điểm hữu hạn P cho tọa độ barycentric (xp : yp : zp ) với xP + yP + zP = Để cho thuận tiện ta làm việc với tọa độ barycentric Như vậy, điểm P cho P = (x : y : z) với x : y : z = xP : yP : zP Để biểu diễn điểm ta sử dụng ký hiệu Conway sau: R= σ = 2SABC = absinC = bcsinA = acsinB σA = σcotA; σB = σcotB; σC = σcotC Dễ kiểm tra công thức sau, ta dùng σBC thay cho σB σC : 32 c2 + a2 − b2 a2 + b − c b + c − a2 ; σB = ; σC = , σA = 2 σB + σC = a2 ; σC + σA = b2 ; σA + σB = c2 σB − σC = c2 − b2 ; σC − σA = a2 − c2 ; σA − σB = b2 − a2 , σA2 = b2 c2 − σ ; σB2 = c2 a2 − σ ; σC2 = a2 b2 − σ σBC + σCA + σAB = σ a2 σA + b2 σB + c2 σC = 2σ , a2 σA + σBC = b2 σB + σCA = c2 σC + σAB = σ , bc + ca + ab = s2 + r2 + 4Rr, a2 + b2 + c2 = 2(s2 − r2 − 4Rr), a3 + b3 + c3 = 2s(s2 − 3r2 − 6Rr) 2.1 Điểm liên hợp tam giác liên hợp Cho tam giác ABC độ dài cạnh a, b, c Giả sử M tâm tam giác ABC f (a, b, c) hàm tâm M (được cho chẳng hạn tọa độ barycentric M ):   M = f (a, b, c) : f (b, c, a) : f (c, a, b) Định nghĩa 2.1 Các điểm   Ma = f(-a,b,c):f(b,c,-a):f(c,-a,b) ,   Mb = f(a,-b,c):f(-b,c,a):f(c,a,-b) ,   Mc = f(a,b,-c):f(b,-c,a):f(-c,a,b) gọi điểm liên hợp ∆Ma Mb Mc tam giác liên hợp điểm M tam giác sở ABC Ví dụ 2.1.1 Các điểm liên hợp với tâm nội tiếp I = (a : b : c) tâm bàng tiếp: Ia = (−a : b : c); Ib = (a : −b : c); Ic = (a : b : −c) Tam giác liên hợp tâm nội tiếp tam giác bàng tiếp Ia Ib Ic ∆ABC Giả sử X, Y, Z tiếp điểm đường nội tiếp cạnh tam