Luận văn thạc sỹ một số định lý về góc đa diện và khối đa diện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ HỒI LINH MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GĨC ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP BÌNH ĐỊNH - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ HỒI LINH MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GĨC ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 8460113 Người hướng dẫn: TS LÊ THANH HIẾU i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn “Một số định lí góc đa diện khối đa diện” thân thực theo logic riêng hướng dẫn TS Lê Thanh Hiếu Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc rõ ràng Bình Định, tháng năm 2021 Học viên thực Võ Hồi Linh i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến thầy TS Lê Thanh Hiếu, trường Đại học Quy Nhơn, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Bên cạnh đó, xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn Thống kê - Trường Đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trường, quý thầy cô giáo thỉnh giảng trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ trình học tập, hồn thành học phần trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Phương pháp tốn sơ cấp khóa 22, gia đình, bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Kính mong q thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn Bình Định, tháng năm 2021 Học viên thực Võ Hoài Linh ii Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kết cổ điển góc đa diện hình đa diện 1.1 Hình lồi 1.2 Góc nhị diện góc tam diện 1.3 Góc đa diện 1.4 Hình đa diện hình đa diện 12 1.5 1.4.1 Hình đa diện 12 1.4.2 Hình đa diện 14 Một số tập áp dụng 15 Một số khối đa diện thường gặp 2.1 2.2 24 Khái niệm hình đa diện phổ thơng 24 2.1.1 Hình lăng trụ, hình hộp 24 2.1.2 Hình chóp, hình chóp cụt 29 Khối tứ diện 37 2.2.1 Tứ diện 37 2.2.2 Tứ diện gần 41 2.2.3 Tứ diện trực tâm 43 2.2.4 Mặt cầu nội tiếp hình tứ diện 46 iii 2.3 Một số tập áp dụng 47 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 83 Lời mở đầu Mơn Tốn có vai trị quan trọng chương giáo dục trình phổ thơng, đó, Hình học xem trái tim Các vấn đề Hình học giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng cấp độ cao, đặc biệt Hình học khơng gian Đây thường nội dung gây nhiều khó khăn cho phần lớn học sinh phổ thông Tuy nhiên, chương trình Tốn trung học phổ thơng, học sinh phần lớn tiếp cận số tốn hình học với phương pháp giải dựa vào công thức Các tốn liên quan đến thể tích, chẳng hạn như: xác định thể tích, tỉ số thể tích tốn cực trị liên quan, , thường xuất câu khó đề thi Trung học phổ thông quốc gia đề thi Học sinh giỏi Để giải tốn học sinh cần phải có khả phân tích, suy luận áp dụng cơng cụ, kỹ thuật cao Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu, hệ thống lại phát triển kiến thức liên quan đến vấn đề nêu nhằm phục vụ đối tượng học sinh khá, giỏi Cụ thể, chúng tơi tìm hiểu số định lí góc đa diện, khối đa diện kết liên quan đến thể tích khối đa diện, đặc biệt tốn cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện Sử dụng kết xây dựng hệ thống tập liên quan Ngồi ra, chúng tơi cịn tổng qt hóa số toán từ toán số cụ thể Các kết tổng quát thu nhằm giúp người dạy dễ dàng nhiều mã đề trắc nghiệm khách quan kỳ thi Toán trường phổ thơng Ngồi Lời mở đầu, nội dung luận văn gồm hai chương: Chương Một số kết cổ điển góc đa diện hình đa diện Chương hệ thống lại số kết cổ điển hình lồi, góc đa diện, hình đa diện, hình đa diện Định lí Euler mối liên hệ số đỉnh, số mặt số cạnh hình đa diện Đồng thời, chúng tơi trình bày hệ thống tập liên quan Chương Một số khối đa diện thường gặp Trong chương này, chứng minh lại số định lí diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích số khối đa diện thường gặp số khối tứ diện đặc biệt chương trình Tốn phổ thơng Ngồi ra, chúng tơi sưu tầm tốn liên quan với đại lượng số cụ thể tổng quát hóa đại lượng số thành tham số tổng quát Điều giúp người dạy hướng đến việc hình thành ngân hàng đề thi trắc nghiệm Tốn phổ thơng Chương Một số kết cổ điển góc đa diện hình đa diện Chương trình bày khái niệm hình lồi, góc đa diện, hình đa diện số định lí góc nhị diện, góc tam diện, góc đa diện, định lí Euler Các kết tham khảo chủ yếu từ [2], [4] 1.1 Hình lồi Định nghĩa 1.1 Một hình lồi C khơng gian hình thỏa mãn: ∀X, Y ∈ C, đoạn thẳng XY ⊂ C Hình 1.1: Hình lồi Hình 1.2: Hình khơng lồi Mệnh đề 1.2 Giao họ tùy ý hình lồi hình lồi Chứng minh Giả sử Hi (i ∈ I) hình lồi Đặt H = H1 ∩ H2 ∩ · · · ∩ Hn ∩ · · · Giả sử A, B hai điểm thuộc H Khi A ∈ Hi B ∈ Hi , ∀i Do Hi hình lồi, suy đoạn AB thuộc Hi với i Từ AB ⊂ H Một ứng dụng hình lồi sử dụng khái niệm bao lồi hệ n điểm để giải toán mặt phẳng không gian Khái niệm bao lồi hệ n điểm mặt phẳng phát biểu sau: Định nghĩa 1.3 Bao lồi hệ n điểm mặt phẳng đa giác lồi cho đỉnh thuộc hệ n điểm cho, điểm lại hệ thuộc cạnh điểm đa giác Cụ thể, H1 , , Hm điểm phân biệt không gian với hệ tọa độ Descatress Oxyz bao lồi điểm biểu diễn dạng: m m X −−→ X −−→ αi = 1} conv(H1 , , Hm ) := {H | OH = αi OHi , αi ≥ 0, i=1 i=1 Ví dụ 1.4 a) Bao lồi hai điểm phân biệt A, B đoạn thẳng AB b) Bao lồi ba điểm phân biệt A, B, C hình tam giác ABC c) Bao lồi bốn điểm phân biệt A, B, C, D mặt phẳng hình bình hành ABCD d) Với bốn điểm phân biệt A, B, C, D khơng gian cho khơng có điểm thuộc mặt phẳng với điểm lại, bao lồi chúng khối tứ diện ABCD, xem Chương 1.2 Góc nhị diện góc tam diện Định nghĩa 1.5 Giả sử (P ) (Q) hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến a Đường thẳng a chia mặt phẳng (P ), (Q) thành hai nửa mặt phẳng Kí hiệu α β hai nửa mặt phẳng tương ứng thuộc (P ) (Q) Hình tạo hai nửa mặt phẳng α β gọi góc nhị diện (xem Hình 1.3) Các nửa mặt phẳng α, β mặt góc nhị diện; đường thẳng a cạnh góc nhị diện Dx = Dy = bc cos α = b2 c2 − b2 c2 cos2 α = b2 c2 sin2 α, bc cos α c2