Luận văn thạc sĩ toán học bất phương trình hàm sinh bởi các đại lượng trung bình bậc tùy ý và các dạng toán liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THU CÚC BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH BẬC TÙY Ý VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC T[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THU CÚC BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH BẬC TÙY Ý VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THU CÚC BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH BẬC TÙY Ý VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2019 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới quý thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học Toán K11, bạn học viên, bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tác giả suốt trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Thu Cúc ii Mục lục Mở đầu Chương Phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình 1.1 Một số tính chất tập hợp hàm số sơ cấp 1.2 Hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình cộng 1.3 Nhận xét lớp hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình khác 11 1.4 Phương trình hàm Lobachevsky 17 1.5 Mối liên hệ phương trình hàm Lobashevsky phương trình hàm cổ điển 23 Chương Bất phương trình hàm sinh đại lượng trung bình 33 2.1 Bất phương trình hàm chuyển tiếp từ trung bình cộng 34 2.2 Bất phương trình hàm chuyển tiếp từ trung bình nhân 37 2.3 Bất phương trình hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình điều hịa 40 2.4 Bất phương trình hàm chuyển tiếp từ trung bình bậc hai 45 2.5 Bất phương trình hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình bậc tùy ý 48 Chương Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm qua kỳ thi Olympic 51 3.1 Phương pháp 51 3.2 Phương pháp sử dụng toàn ánh 56 iii 3.3 Phương pháp kết hợp 59 3.4 Một số dạng bất phương trình hàm liên quan 65 3.5 Một số dạng toán liên quan đến bất đẳng thức hàm 70 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 Mở đầu Luận văn "Bất phương trình hàm sinh đại lượng trung bình bậc tùy ý dạng tốn liên quan" nhằm cung cấp số vấn đề phương trình bất phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình, qua phân tích số dạng toán liên quan đề thi học sinh giỏi Việt Nam thi Olympic nước khu vực Trong kì thi học sinh giỏi toán cấp, Olympic Toán sinh viên, dạng tốn liên quan tới phương trình bất phương trình hàm thường xuyên đề cập Những dạng toán thường xem thuộc loại khó phần kiến thức chun đề khơng nằm chương trình thức SGK bậc trung học phổ thơng Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề phương trình bất phương trình hàm, tơi chọn đề tài luận văn "Bất phương trình hàm sinh đại lượng trung bình bậc tùy ý dạng tốn liên quan" Những năm gần có số luận văn cao học khảo sát phương trình (xem [4]) bất phương trình hàm (xem [5]) chuyển tiếp đại lượng trung bình Luận văn nhằm mục tiêu hồn thiện chun đề bất phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình bậc tùy ý nhằm giúp giáo viên học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông Tiếp theo, luận văn khảo sát số lớp tốn phương trình bất phương trình hàm từ đề thi học sinh giỏi Quốc gia Olympic nước năm gần Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình 2 Chương Bất phương trình hàm sinh đại lượng trung bình Chương Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm qua kỳ thi Olympic 3 Chương Phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức tập hợp hàm số sơ cấp Đồng thời, ta xét lớp hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình cộng, lớp hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình khác, phương trình hàm Lobachevsky, mối liến hệ phương trình hàm Lobachevsky phương trình hàm cổ điển 1.1 Một số tính chất tập hợp hàm số sơ cấp Trong mục này, ta nhắc lại số kiến thức tập hợp cần thiết sử dụng để giải phương trình hàm liên quan Định nghĩa 1.1 (xem [2],[3]) a) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn (cộng tính) chu kỳ a, (a > 0) M M ⊂ D(f )  ∀x ∈ M x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M b) Cho f (x) hàm tuần hoàn M Khi T (T > 0) gọi chu kỳ cở f (x) f (x) tuần hồn với chu kỳ T mà khơng hàm tuần hoàn với chu kỳ bé T Bài toán 1.1 (xem [2], [3]) Tồn hay không tồn hàm số f (x) 6≡ số, tuần hồn R khơng có chu kỳ sở Lời giải Xét hàm Dirichlet  0, x ∈ Q f (x) = 1, x ∈ / Q Khi f (x) hàm tuần hoàn R chu kỳ a ∈ Q∗ tuỳ ý Vì Q∗ khơng có số nhỏ nên hàm f (x) khơng có chu kỳ sở Bài tốn 1.2 (xem [2], [3]) Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hồn M có chu kỳ a b với a/b ∈ Q Chứng minh F (x) := f (x) + g(x) G(x) := f (x)g(x) hàm tuần hoàn M Lời giải Theo giả thiết ∃m, n ∈ N+ , (m, n) = cho a/b = m/n Đặt T = na = mb Ta có  F (x + T ) = f (x + na) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), G(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M ∀x ∈ M Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M x ± T ∈ M Vậy F (x), G(x) hàm tuần hoàn M Tiếp theo, ta xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R tập giá trị R(f ) ⊂ R Định nghĩa 1.2 (xem [2],[3]) a) f (x) gọi hàm số chẵn M, M ∈ D(f ) (gọi tắt hàm chẵn M ) ∀x ∈ M − x ∈ M f (−x) = f (x), ∀x ∈ M b) f (x) gọi hàm số lẻ M (gọi tắt hàm lẻ M ) ∀x ∈ M − x ∈ M f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M Bài toán 1.3 Cho x0 ∈ R Xác định tất hàm số f (x) cho f (x0 − x) = f (x), ∀x ∈ R (1.1) Lời giải Đặt x = x0 x0 − t suy t = − x Khi 2 x0 +t x0 − x = (1.1) có dạng f Đặt g(t) = f x x  x  +t =f − t , ∀t ∈ R 2 (1.2)  + t x x0  g(−t) = f − t , f (t) = g t − 2   Khi (1.2) có dạng g(−t) = g(t), ∀t ∈ R Vậy g(t) hàm chẵn R Kết luận  x0  , f (x) = g x − g(x) hàm chẵn tuỳ ý R Bài toán 1.4 Cho a, b ∈ R Xác định tất hàm số f (x) cho f (a − x) + f (x) = b, ∀x ∈ R Lời giải Đặt (1.3) a − x = t, a a x = − t; a − x = + t 2 Khi (1.3) có dạng a  a  f + t +f − t = b 2 Đặt a  b f + t − = g(t) 2 Khi viết (1.4) dạng g(−t) + g(t) = 0, ∀t ∈ R g(−t) = −g(t), ∀t ∈ R Vậy g(t) hàm số lẻ R (1.4) Kết luận  a b + , f (x) = g x − 2 g(x) hàm lẻ tuỳ ý R Trong phần mục này, ta xét đại lượng trung bình đặc trưng hàm liên quan Các kiến thức phần đươc lấy từ tài liệu [6] J Aczel Trong tài liệu này, J Aczel đưa phương pháp tổng quát giải phương trình hàm cấp, ví dụ: ϕ(x + y) = F [ϕ(x), ϕ(y)], x + y  ϕ = F [ϕ(x), ϕ(y)], ϕ(ax + by + c) = F [ϕ(x), ϕ(y)], (1.5) G[ϕ(x + y), ϕ(x − y), ϕ(x), ϕ(y), x, y] = (1.8) (1.6) (1.7) Đồng thời, J Aczel đưa tiêu chí tồn tính nghiệm Kể từ đó, phương pháp tổng qt ơng học trị tìm Trong luận văn này, ngồi đại lượng trung bình đối số, ta xét đại lượng trung bình bậc tùy ý tổng quát: x+y ; x, y ∈ R √ Trung bình nhân đối số xy; x, y ∈ R+ Trung bình cộng đối số 2xy ; x, y ∈ R+ x+y r x2 + y Trung bình bình phương đối số ; x, y ∈ R+  xp + y p  p1 Trung bình bậc p (p > 1) đối số ; x, y ∈ R+ Trung bình điều hịa đối số đại lượng trung bình hàm số: f (x) + f (y) p Trung bình nhân hàm số f (x)f (y) Trung bình cộng hàm số Trung bình điều hòa hàm số 2f (x)f (y) f (x) + f (y) s [f (x)]2 + [f (y)]2 Trung bình bình phương hàm số  [f (x)]p + [f (y)]p  p1 Trung bình bậc p (p > 1) hàm số xét toán xác định hàm số chuyển tiếp đại lượng từ trung bình đối số sang đại lượng trung bình hàm số Cuối cùng, ta xét đại lượng trung bình đặc trưng hàm hàm sơ cấp liên quan Tính chất 1.1 (Hàm bậc nhất) f (x) = ax + b, a; b 6= có tính chất x + y  f = {f (x) + f (y)}, ∀x, y ∈ R 2 Tính chất 1.2 (Hàm tuyến tính) f (x) = ax, a 6= có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Tính chất 1.3 (Hàm mũ) f (x) = ax , a > 0, a 6= có tính chất f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Tính chất 1.4 (Hàm Logarit) f (x) = loga |x| (a > 0, a 6= 1) có tính chất f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\{0} Tính chất 1.5 (Hàm Lũy thừa) f (x) = |x|a có tính chất f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\{0} Tính chất 1.6 (Hàm lượng giác) Hàm f (x) = sin x có tính chất f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R Hàm f (x) = cos x có tính chất f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, ∀x ∈ R Hàm f (x) = tan x có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y) (2k + 1)π , với x, y, x + y 6= , k ∈ Z − f (x)f (y) Hàm f (x) = cot x có tính chất f (x + y) = f (x)f (y) − , với x, y, x + y 6= kπ, k ∈ Z f (x) + f (y) Tính chất 1.7 (Hàm lượng giác ngược) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất p p f (x) + f (y) = f (x − y + y − x2 ), ∀x, y ∈ [−1, 1] Hàm g(x) = arccos x có tính chất p p g(x) + g(y) = g(xy − − x2 − y ), ∀x, y ∈ [−1, 1] Hàm h(x) = arctan x có tính chất  x+y  h(x) + h(y) = h , ∀x, y : xy 6= 1 − xy Hàm p(x) = arccot x có tính chất  xy −  p(x) + p(y) = p , ∀x, y : x + y 6= x+y Tính chất 1.8 (Các hàm hyperbolic) Hàm f (x) = sinh x := 21 (ex − e−x ) có tính chất f (3x) = 3f (x) + 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R Hàm g(x) = cosh x := 21 (ex + e−x ) có tính chất g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), x, y ∈ R Hàm h(x) = x := ex −e−x ex +e−x có tính chất h(x + y) = h(x) + h(y) − h(x)h(y) e+ e−x có tính chất q(x) = coth x = x e − e−x q(x + y) = 1.2 + q(x)q(y) q(x) + q(y) Hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình cộng Bài tốn 1.5 (Trung bình cộng vào trung bình cộng) Tìm hàm số f (x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện:  x + y  f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R (1.9) f = 2 Lời giải Đặt f (0) = b f (x) = b + g(x) Khi g(0) = Thế vào (1.9), ta có  x + y  2b + g(x) + g(y) b+g = , ∀x, y ∈ R 2  x + y  g(x) + g(y) = , ∀x, y ∈ R, (1.10) g 2 g(0) = x Thay y = vào (1.10), ta có g = g(x) 2 hay  x + y  g(x + y) g = , ∀x, y ∈ R 2 x + y  Thay vào (1.10) ta có g = g(x)+g(y) , ∀x, y ∈ R 2 g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R (1.11) Vì g(x) liên tục R nên (1.11) phương trình hàm Cauchy g(x) = ax Suy f (x) = ax + b, a, b, ∈ R Thử lại ta thấy nghiệm f (x) = ax + b thỏa mãn điệu kiện đầu Vậy hàm cần tìm là: f (x) = ax + b, a, b ∈ R tùy ý Bài tốn 1.6 (Trung bình cộng vào trung bình nhân) Tìm hàm số f (x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện: x + y  q f (1.12) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R Lời giải Với x = t, y = t, ta có q f (t) = [f (t)]2 =| f (t) |> 0, ∀t ∈ R Khi đó, xảy trường hợp sau: + Trường hợp 1: ∃x0 để f (x0 ) = Khi đó, ∀t ∈ R ta có  x + (2t − x )  q 0 f (t) = f = f (x0 ).f (2t − x0 ) = 0, ∀t ∈ R Vậy f (t) ≡ nghiệm (1.12) + Trường hợp 2: f (t) > 0, ∀t ∈ R Lấy logarit số e hai vế (1.12) ta x + y
ln f (x) + ln f (y) = ln[f (x).f (y)](1/2) = , ∀x, y ∈ R, ln f 2 10 hay g x + y  = g(x) + g(y) , ∀x, y ∈ R, (1.13) g(t) = ln f (t) Vậy (1.13) hàm số chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng nên theo Bài tốn 1.5 g(t) = at + b ln f (t) = at + b Vậy f (t) = eat+b = eb (ea )t = BAt Như vậy: f (x) = BAt , A, B > tùy ý, ∀x ∈ R Bài tốn 1.7 (Trung bình cộng vào trung bình điều hịa) Tìm hàm số f (x) : R → R+ xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện x + y  2f (x)f (y) = , ∀x, y ∈ R (1.14) f f (x) + f (y) Lời giải Theo giả thiết, ta thấy: x + y  (1.14)⇔ f = +2 , ∀x, y ∈ R, f (x) f (y) hay 1 f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R, x + y  = f nên  x + y  g(x) + g(y) g = , ∀x, y ∈ R, 2 g(t) = f (t) , ∀t ∈ R Khi g(t) > 0, ∀t ∈ R Theo kết Bài toán 1.5 ta g(t) = at+b, ∀t ∈ R f (t) = at+b Chọn a, b để f (t) có hai tính chất liên tục dương ∀t ∈ R mẫu số khác nên a = 0, b > suy f (t) = 1b Thử lại kết ta thấy hàm thỏa mãn điệu kiện đầu Vậy f (x) ≡ c, c > tùy ý Bài toán 1.8 (Trung bình cộng vào trung bình bậc hai) Tìm hàm số f (x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện r x + y  [f (x)]2 + [f (y)]2 f = , ∀x, y ∈ R (1.15) 2 Lời giải Từ giả thiết suy f (x) > 0, ∀x ∈ R Vì 11 h  x + y i2 [f (x)]2 + [f (y)]2 = , ∀x, y ∈ R (1.15) ⇔ f 2 hay g x + y  = g(x) + g(y) , ∀x, y ∈ R, với g(x) = [f (x)]2 > Theo kết Bài tốn 1.5 g(x) = ax + b, a, b ∈ R tùy ý √ Vì g(x) > ∀x ∈ R nên a = b > Suy f (x) = b, b > Thử lại ta thấy hàm thỏa mãn điều kiện Kết luận f (t) = c, c > tùy ý 1.3 Nhận xét lớp hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình khác Trong mục này, tương tự mục trình bày trên, ta xét số dạng phương trình hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình thành thành trung bình khác Bài tốn 1.9 (Trung bình nhân thành trung bình cộng) Tìm hàm số f (t) xác định liên tục R+ thỏa mãn điều kiện f (x) + f (y) √ f ( xy) = , ∀x, y ∈ R+ (1.16) Lời giải Vì x > 0, y > nên đặt x = eu , y = ev , u, v ∈ R Thay vào (1.16) ta √ f (eu ) + f (ev ) u+v , ∀u, v ∈ R f( e ) = ⇔ f (e u+v )= f (eu ) + f (ev ) , ∀u, v ∈ R hay g(u) + g(v) , ∀u, v ∈ R, (1.17) 2 g(t) = f (et ), ∀t ∈ R Theo kết Bài toán 1.5 ta g(u) = au + b, ∀u ∈ R g u + v  = 12 Suy f (x) = a ln x + b, a, b ∈ R tùy ý Thử lại ta thấy hàm thỏa mãn điều kiện Kết luận f (t) = a ln t + b, a, b ∈ R tùy ý Bài toán 1.10 (Trung bình điều hịa thành trung bình cộng) Tìm hàm số f (t) xác định, liên tục R \ {0} thỏa mãn điều kiện  2xy  f (x) + f (y) = , ∀x, y ∈ R \ {0}, x + y 6= (1.18) f x+y 1 1 Lời giải Đặt = u, = v, f = g(u) Khi g(u) liên tục x y u R \ {0} (1.18) có dạng u+v g(u) + g(v) )= , ∀u, v, u + v 6= 2 a Theo Bài toán 1.5, g(u) = au + b Do f (x) = + b x Kết luận a f (t) = + b; a, b ∈ R tùy ý t g( Bài tốn 1.11 (Trung bình điều hịa thành trung bình bậc hai) Tìm hàm số f (t) xác định liên tục R \ {0} thỏa mãn điều kiện  2xy  f = x+y s [f (x)]2 + [f (y)]2 , ∀x, y ∈ R \ {0}, x + y 6= (1.19) Lời giải Từ giả thiết suy f (x) > 0, ∀x 6= Vậy h  2xy i2 [f (x)]2 + [f (y)]2 , ∀x, y ∈ R \ {0}, x + y 6= f = x+y " !#2 [f (x)]2 + [f (y)]2 , ∀x, y ∈ R \ {0}, x + y 6= hay ⇔ f = 1 + x y h  i2 h  i2 h  i2 f + f 1 u v f = , u = , v = , ∀u, v ∈ R \ {0}, u+v x y u + v 6= 13 Từ suy  u + v  g(u) + g(v) = , ∀u, v ∈ R \ {0}, u + v 6= g 2 h  i2 > 0, ∀u 6= g(u) = f u Theo kết Bài toán 1.5 g(u) = au + b, ∀u ∈ R \ {0} Để g(u) > 0, ∀u 6= phải chọn a = b > Vậy f (x) ≡ c, c > tùy ý Kết luận f (t) ≡ c, c > tùy ý Bài tốn 1.12 (Trung bình bậc hai thành trung bình cộng) Tìm hàm số f (t) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện s ! 2 x +y f (x) + f (y) f = , ∀x, y ∈ R (1.20) 2 Lời giải Từ giả thiết suy f (x) = f (|x|), ∀x ∈ R √ √ Đặt |x| = u, |y| = v (u, v > 0) Khi r u + v  f (√u) + f (√v) , ∀u, v > (1.20) ⇔ f = 2 √ Đặt f ( u) = g(u), u > ta  u + v  g(u) + g(v) g = , ∀u, v > 2 Theo Bài tốn 1.5 g(u) = au + b √ Do f ( u) = au + b, u > f (u) = au2 + b, u > Suy f (x) = f (|x|) = ax2 + b, ∀a, b ∈ R Thử lại ta thấy hàm thỏa mãn điều kiện toán đặt Kết luận f (t) = at2 + b; ∀a, b ∈ R tùy ý Bài toán 1.13 (Từ trung bình bậc hai thành trung bình bậc hai) Tìm hàm số f (t) xác định liên tục R+ thỏa mãn điều kiện s ! s x2 + y [f (x)]2 + [f (y)]2 f = , ∀x, y ∈ R+ (1.21) 2 14 Lời giải Theo giả thiết f (x) > 0, x ∈ R+ Suy s h  x2 + y i2 [f (x)]2 + [f (y)]2 = , ∀x, y ∈ R+ (1.21) ⇔ f 2 hay √ √ g( u) + g( v) g = , ∀u, v > 0, 2 g(u) = [f (u)]2 > 0, ∀u > Từ suy  u + v  h(u) + h(v) = , ∀u, v > 0, h 2 √ h(u) = g( u) Theo Bài tốn 1.5 h(u) = au + b, ∀u > Do g(x) = ax2 + b Để g(x) > 0, ∀x > cần phải chọn a > b > Kết luận √ f (t) = at2 + b với a, b > tùy ý r u + v  Bài tốn 1.14 (Trung bình bậc tùy ý thành trung bình cộng) Tìm hàm số f (t) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện r xp + y p  f (x) + f (y) p f , ∀x, y ∈ R (1.22) = 2 Lời giải Từ giả thiết suy f (x) = f (|x|), ∀x ∈ R √ √ Đặt |x| = p u, |y| = p v (u, v > 0) Khi √ r u + v  f (√ p u) + f ( p v) p (1.22) ⇔ f = , ∀u, v > 2 √ Đặt f ( p u) = g(u), u > ta  u + v  g(u) + g(v) g = , ∀u, v > 2 Theo Bài tốn 1.5 g(u) = au + b √ Do f ( p u) = au + b, u > f (u) = aup + b, u > Suy f (x) = f (|x|) = axp + b, ∀a, b ∈ R Thử lại ta thấy hàm thỏa mãn điều kiện toán đặt Kết luận f (t) = atp + b; ∀a, b ∈ Rtùy ý 15 Bài tốn 1.15 (Trung bình bậc tùy ý thành trung bình nhân) Tìm hàm số f (t) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện  r xp + y p  q p f = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (1.23) Lời giải Từ giả thiết suy f (x) > 0, ∀x > Nếu tồn x0 cho f (x0 ) = r  xp + y p  q p = f (x0 )f (y) = 0, ∀y ∈ R+ , f nên f (x) ≡ 0, ∀x > |x0 | Đổi vai trò x0 √ sử dụng phương pháp quy nạp, ta  |x |  f √ , ∀n ∈ N ( 2)n Vì f (x) liên tục x = nên  |x |  lim f √ = f (0) = p n→∞ ( 2)n Do f  r p  |x |  xp0 +  =f √ = 2 q f (x0 )f (0) = 0, ∀x > Vậy f (x) ≡ 0, ∀x > Mặt khác, từ (1.23), ta có s q  x2 + x2  f = f (|x|) = [f (x)]2 = |f (x)|, ∀x > 0, nên f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R Giả sử f (x) 6= 0, ∀x ∈ R Nếu tồn x1 để f (x1 ) < theo (1.23), ta có r  xp + y p  q p f = f (x1 )f (y) = 0, ∀y ∈ R, dẫn đến f (y) < 0, ∀y ∈ R, trái với giả thiết Do f (x) > 0, ∀x ∈ R √ r xp + y p  ln[f (√ p x)] + ln[f ( p y)] p (1.23) ⇔ ln f = , ∀x, y ∈ R 2 ... 76 Mở đầu Luận văn "Bất phương trình hàm sinh đại lượng trung bình bậc tùy ý dạng toán liên quan" nhằm cung cấp số vấn đề phương trình bất phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình, qua... phương trình bất phương trình hàm, tơi chọn đề tài luận văn "Bất phương trình hàm sinh đại lượng trung bình bậc tùy ý dạng toán liên quan" Những năm gần có số luận văn cao học khảo sát phương trình. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THU CÚC BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH BẬC TÙY Ý VÀ CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN Chun ngành: Phương