2 một số DẠNG TOÁN LIÊN QUAN đến TÍNH CHẤT của dãy số

2 MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ Bài Cho cấp số cộng 1 u 1u u 2u S với un số nguyên dương thoã mãn n u 2013 3; u 2014 Tính tổng: u 2013u 2014 Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh số hạng tổng quát cấp số cộng un un n Khi 1 u 1u u 2u S 1 1 3 Bài 1 u 2013u 2014 2 xn 2013 1 1006 503 2013 2014 2014 1007 Cho dãy số thực để 2014 x0 xác định xn xn với số tự nhiên n a Tìm tất giá trị  n 2 xn 1 Hướng dẫn giải Giả sử Từ xn xn với n  có 2 xn 2 Lại từ Suy Từ xn xn xn 2 xn 2 có xn xn 1, 1 xn  n ,  n 1 1 2 xn 2 xn 2 xn xn 2 xn ,  n Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: a x0 2 x1 2 n x2 2 xn n Mà li m nên phải có Thử lại với a a 2 n Vậy a xn 0, a n giá trị cần tìm n 2 , n  a Bài Cho dãy số x0 xác định xn ; x1 xn xn 30 xn ,  n Tìm n để xn 1.xn số phương Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi xn ta có  ,x n x n x x x xn n xn x n x 2 x n 1 xn n xn n n S u y x n xn x xn xn x xn n xn n n xn xn x x n xn xn xn n xn x x n x xn n x xn x0 x2 xn n xn 500 500 xn xn 500 x x n Vậy n xn xn 500 xn 500 số phương Giả sử n số thỏa mãn xn Đặt xn Ta có a xn 500 b b , xn 501 xn xn a Vậy n = Bài xn xn 1.xn Dãy số 1 2 b a b xn xn b 12600 n n số phương xác định u1 sau: un 1 2015 k 7224 xn un 2016  ,a a ,a,b Khi ta tìm đượca = 201, b=1 Với a = 85, b =82 số phương 500 uk 2 2016 2 un Chứng un 1, n minh  * Hướng dẫn giải Ta có: Do u1 un – un u n –2un u – u1 1 un – u2 u1 với n (1) Từ phép quy nạp ta suy lớn dãy đơn điệu tăng thực sự, un nhận giá trị nguyên dương un 1, , Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dạng sau đây: un –1 un –un un un – 1 Từ dẫn đến: un (2) 1 u n (u n 1) un 1 un un un 1 un , (3 ) Bây từ (3), ta có: n n u k k 1 uk k 1 uk 1 1 uk (4 ) Từ (4) suy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 2 1 n un 1 1 2 n (ở n Do nguyên dương với 2 un n un Xét n n un 1 2 n (5 ) ) Ta chứng minh (5) với 2016 1 k 2 n n Khi với n 2016 , (5) tương đương n (6) Theo (2), ta có: uk –1 uk uk 1 –1 Vì theo giả thiết quy nạp suy ra: uk uk 2 2 (2 k 2 k 1) 1) ( n k uk 2 2 2 uk 2 k k 1) k 2 k 2 k (8 ) Từ (8) suy (6) với n , , n Ta có điều phải chứng minh! 2016 Cho dãy (an )n a) Chứng minh dãy b) Chứng minh Bài k k Vì (5) 2 ta thu được: k k k 1, k 2 k Như với 2 (2 a1 : a1 an 1; an (an ) hội tụ tính a2 an lim a n n 5an n 10 n an Hướng dẫn giải a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: Đặt A xét hàm f (x) x 5x Suy 10 f '( x ) Dẫn đến a1 a2 a3 a4 x 1; a6 10 x an 10 , n x(x 5) a2k a2k x f (x) nghịch biến đoạn x a5 1 A A li m a k li m a k b c A A ;1 c b 5c Kết hợp công thức xác định dãy ta được: b c c 5b Vậy li m a n 10 b c 5 10 b b) Nhận xét: t 1; 5 t f (t ) 5 Dẫn đến a1 a2k a2 a2k a2k a2k 1 k 5 2k Như bất đẳng thức với Trường hợp a1 a2 n 1, 2k a2k ý a2k (1) a2k a2k n 2k 5 , kết hợp với (1) thu được: (2k 1) 5 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho dãy số sau un u1 u2 nun a) Chứng minh un n 3n,  n * 3n un n 1 un 3, n  * n b) Đặt Sn uk k Chứng minh n số nguyên tố n > Hướng dẫn giải a) Với n , u1 , u1 Giả sử uk n Chứng minh k uk 3 2 3k ; uk k 2 k k k , k  * Ta có ku k 3k ku k uk 3k 2 uk k 2 k 1 k k uk k k k 3k Sn chia hết cho n Vậy uk k 2 k , *  k n b) Đặt Sn uk k Chứng minh số nguyên tố n n Sn chia hết cho n n Ta có: Sn uk k Sn Với Do (n 1) n 2 Sn n Bài n 1 (n (n 1) 1) n 2 n 1 số nguyên tố lớn n n số nguyên tố n Vậy n 2 chia hết cho (n 1) n n chia hết cho n Cho dãy số un u1 u2 18 un n 5u n 6n chia hết cho un Chứng minh 6un 24 ,  n * Hướng dẫn giải Đặt un Khi Ta hay 12 5vn un 6vn v1 12 v2 30 n  n * n có nghiệm a v1 12 2a 3b 12 a v2 30 4a 9b 30 b Suy Khi un Ta có un Mặt khác n n Từ n n 12 n n n n n nên 12 un chia hết cho số nguyên tố nên theo định lý Fermat (m o d n ) hay 3(m o d n ) un 3 Ta có b 6vn Phương trình đặc trưng Khi 12, 5vn ( 3 2 n n n n 12) (m o d n ) (m o d n ) (m o d n ) n số nguyên tố chia hết cho Suy un Với số nguyên tố n chia hết cho n Suy un n 6n x1 Bài Cho dãy số a) Chứng minh xn n b) Đặt yn k Tìm xk xn , với n 1 với xn (n, 6) n xn xn xn 16 n li m y n xn n Hướng dẫn giải a) Chứng minh x2 10 xn xn xn Suy Giả sử ta có xn xn xn n xn n 5 16 xn xn xn xn 16 n n xn với n Tìm xk n 2 xn yn k n xn Vậy theo qui nạp b) Đặt n 5 xn , với n xn n li m y n n Ta có: xn xn xn xn xn xn li m y n n Vậy xk xn xn n li m k xn xn xn xn xk 3 1 n li m y n n 1 xn n k xn 1 yn xn 1 xn 2 xn xk 1 (vì x1 xn n xn li m n xn xn ) N * Bài Cho dãy số xác định sau: (u n ) p với số nguyên tố p u1 un 3u n 2n 9n Chứng minh 9n 3, n 2014 ui chia hết cho p i Hướng dẫn giải Với n Từ có: Vậy un un + Nếu p + Nếu p ta có: n n un un n , n n un (n 1) , lại có (n 3 1) un u1 ui (3 (n 2) nên un n n u1 n (p n , 3 n : có đpcm p số nguyên tố lẻ: p ) 3 1) i 1 (3 p p 1 3) 2 p p 1 3 i p (3 3) i p i chia hết cho p i Theo Định lí Fermat nhỏ, suy 3 i p Mặt khác i 3 p i chia hết cho p p, i 1, p nên: p (3 3) 3 i p i chia hết cho p Từ chia hết cho p i p 2014 p ui 1007 (3 p 3) i i 3 p i i Vậy toán chứng minh cho trường hợp Bài 10 Cho dãy số x0 xác định xn xn ; x1 xn 30 xn , phương Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi xn ta có  ,x n x n x x n 2 xn n x x n x 2 x xn n n xn xn n S u y x n xn n xn xn xn xn 1 x x xn x x xn n xn n xn n xn n xn x x n x x xn n 2 xn x0 x2 xn n xn 500 xn 500 x x n Vậy n xn xn 500 xn 500 số phương Giả sử n số thỏa mãn xn Đặt xn Ta có a xn 500 b 2 b , xn 501 a xn xn 500 b số phương a ,a,b a b  ,a xn 500 b n  Tìm n để xn 1.xn số Khi ta tìm Với a 5, b 82 Vậy n = Bài 11 a 1, b xn 1.xn xn xn 7224 xn xn n 12600 n số phương Bài Cho phương trình x phương trình Dãy số x số nguyên dương Gọi với xác định sau x xn Chứng minh tồn vô hạn số tự nhiên n cho xn , xn nghiệm dương xn , n chia hết cho ,1, , 3, Hướng dẫn giải Đầu tiên ta chứng minh x xn xn xn 1 xn 1 Vậy xn xn xn (2k Chọn k x2l x0 xn xn xn (k 1) l 1 (m o d l ) , trái giả thiết  l * , xn n ) (2) 2l chia hết cho , Bài 12 Cho dãy số an , suy xn xn xn xn 1 (do (1))  * l k xác định a0 an a1 2004 7an an 3978,  n Ta có Đặt 7an an 10 an 3978 2014 Ta phải chứng minh an 10 2014 Ta dãy số , n 2k 1, an an 2014 xác định số phương 10 10 2014 v0 v1 vn 2, n an 10 2014 Hướng dẫn giải * Chứng minh số phương an  , từ (2) ta có ) (m o d x2l xn Từ quy nạp ta có với 1) ( m o d l xn (1) Lại có xn xn suy số nguyên (do hệ số cao 1 xn xn số hữu tỉ xn xn xn xn Vậy xn xn xn ước Do 1) Do số vô tỉ Thật vậy,  Thật vậy, xét dãy số Hiển nhiên dãy số xn xn xn Ta có xn xn xn xn xn xn 1 xn Ta chứng minh xn xn , Giả sử (1) đến n xn xn Thật vậy, rõ ràng với xn xn 1 xn k xn ( xn ( xn xn xn xn , xn xn ) x n x1 1, 1, xn , tức  1, k thức truy hồi dãy số vk vk xk xk Do Bài 13 2 xk xk xn 1 (2) xn , n 1, , , k vk xk 2 , giả thiết quy nạp, tính chất (2) dãy số an , ta có xn xk xn (1) Thật vậy, theo công thức truy hồi dãy số xn xn x0 x2  n xn xn 2 ) ta chứng minh (1) với n = k+2, nghĩa chứng minh vk  n (1) quy nạp  n 0, n n xn xn 1; x dãy số nguyên xn  , xn n x0 ) xác định ( xn xk 2 (3 x k xk xk ) xk 2 2( xk xk xk xk xk ) số phương Vậy ta có điều phải chứng minh Cho dãy số ( x n ) xác định x n 2013n a 8n 1, n 1, , a số thực a))Tìm a cho dãy số có giới hạn hữu hạn b)Tìm a cho dãy số ( x n ) dãy số tăng (kể từ số hạng đó) Hướng dẫn giải a)Ta có x n 8n (8 n 1) 2n (2a (2n) 8n 3)n ayn , y n 3 8n 2n 1 4n Do tồn giới hạn hữu hạn (8 n lim x n 1) 2n 8n 4n 2013 a Khi n n b)Từ lý luận phần a) ta suy ra) a 2013 li m x n a 2013 n a 2013 Bởi điều kiện cần để tồn m N * cho xm xm xm a 2013 xn , công Ta chứng minh 2013 a điều kiện đủ để có kết luận Thật vậy: Với 2013 a xn xn 2013(n 1) a ( 8(n 2013 2013 2013 a 1) ( 8(n 8(n 1) 3 8n 1) 2013n a 8n 1) 8n 1) 2013 ( 8(n [2 1) 3 8n )] 2013 (2 8n 3 12 8(n 1) 1) Vì (2 8n 1) 2 n 8(n 1) Suy x1 6(2 n) 8n 3 8n (1 3n 8n 3n 8n n ) 1 x2 x3 Vậy dãy số ( x n ) dãy số tăng kể từ số hạng với tăng từ x1 a 2013 trường hợp ( xn ) dãy số ... Dẫn đến a1 a2k a2 a2k a2k a2k 1 k 5 2k Như bất đẳng thức với Trường hợp a1 a2 n 1, 2k a2k ý a2k (1) a2k a2k n 2k 5 , kết hợp với (1) thu được: (2k 1) 5 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho dãy. .. 20 13 20 13 a 1) ( 8(n 8(n 1) 3 8n 1) 20 13n a 8n 1) 8n 1) 20 13 ( 8(n [2 1) 3 8n )] 20 13 (2 8n 3 12 8(n 1) 1) Vì (2 8n 1) 2 n 8(n 1) Suy x1 6 (2 n) 8n 3 8n (1 3n 8n 3n 8n n ) 1 x2 x3 Vậy dãy số. .. 2 2 (2 k 2 k 1) 1) ( n k uk 2 2 2 uk 2 k k 1) k 2 k 2 k (8 ) Từ (8) suy (6) với n , , n Ta có điều phải chứng minh! 20 16 Cho dãy (an )n a) Chứng minh dãy b) Chứng minh Bài k k Vì (5) 2