2 MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ Bài Cho cấp số cộng 1 u 1u u 2u S với un số nguyên dương thoã mãn n u 2013 3; u 2014 Tính tổng: u 2013u 2014 Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh số hạng tổng quát cấp số cộng un un n Khi 1 u 1u u 2u S 1 1 3 Bài 1 u 2013u 2014 2 xn 2013 1 1006 503 2013 2014 2014 1007 Cho dãy số thực để 2014 x0 xác định xn xn với số tự nhiên n a Tìm tất giá trị n 2 xn 1 Hướng dẫn giải Giả sử Từ xn xn với n có 2 xn 2 Lại từ Suy Từ xn xn xn 2 xn 2 có xn xn 1, 1 xn n , n 1 1 2 xn 2 xn 2 xn xn 2 xn , n Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: a x0 2 x1 2 n x2 2 xn n Mà li m nên phải có Thử lại với a a 2 n Vậy a xn 0, a n giá trị cần tìm n 2 , n a Bài Cho dãy số x0 xác định xn ; x1 xn xn 30 xn , n Tìm n để xn 1.xn số phương Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi xn ta có ,x n x n x x x xn n xn x n x 2 x n 1 xn n xn n n S u y x n xn x xn xn x xn n xn n n xn xn x x n xn xn xn n xn x x n x xn n x xn x0 x2 xn n xn 500 500 xn xn 500 x x n Vậy n xn xn 500 xn 500 số phương Giả sử n số thỏa mãn xn Đặt xn Ta có a xn 500 b b , xn 501 xn xn a Vậy n = Bài xn xn 1.xn Dãy số 1 2 b a b xn xn b 12600 n n số phương xác định u1 sau: un 1 2015 k 7224 xn un 2016 ,a a ,a,b Khi ta tìm đượca = 201, b=1 Với a = 85, b =82 số phương 500 uk 2 2016 2 un Chứng un 1, n minh * Hướng dẫn giải Ta có: Do u1 un – un u n –2un u – u1 1 un – u2 u1 với n (1) Từ phép quy nạp ta suy lớn dãy đơn điệu tăng thực sự, un nhận giá trị nguyên dương un 1, , Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dạng sau đây: un –1 un –un un un – 1 Từ dẫn đến: un (2) 1 u n (u n 1) un 1 un un un 1 un , (3 ) Bây từ (3), ta có: n n u k k 1 uk k 1 uk 1 1 uk (4 ) Từ (4) suy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 2 1 n un 1 1 2 n (ở n Do nguyên dương với 2 un n un Xét n n un 1 2 n (5 ) ) Ta chứng minh (5) với 2016 1 k 2 n n Khi với n 2016 , (5) tương đương n (6) Theo (2), ta có: uk –1 uk uk 1 –1 Vì theo giả thiết quy nạp suy ra: uk uk 2 2 (2 k 2 k 1) 1) ( n k uk 2 2 2 uk 2 k k 1) k 2 k 2 k (8 ) Từ (8) suy (6) với n , , n Ta có điều phải chứng minh! 2016 Cho dãy (an )n a) Chứng minh dãy b) Chứng minh Bài k k Vì (5) 2 ta thu được: k k k 1, k 2 k Như với 2 (2 a1 : a1 an 1; an (an ) hội tụ tính a2 an lim a n n 5an n 10 n an Hướng dẫn giải a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: Đặt A xét hàm f (x) x 5x Suy 10 f '( x ) Dẫn đến a1 a2 a3 a4 x 1; a6 10 x an 10 , n x(x 5) a2k a2k x f (x) nghịch biến đoạn x a5 1 A A li m a k li m a k b c A A ;1 c b 5c Kết hợp công thức xác định dãy ta được: b c c 5b Vậy li m a n 10 b c 5 10 b b) Nhận xét: t 1; 5 t f (t ) 5 Dẫn đến a1 a2k a2 a2k a2k a2k 1 k 5 2k Như bất đẳng thức với Trường hợp a1 a2 n 1, 2k a2k ý a2k (1) a2k a2k n 2k 5 , kết hợp với (1) thu được: (2k 1) 5 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho dãy số sau un u1 u2 nun a) Chứng minh un n 3n, n * 3n un n 1 un 3, n * n b) Đặt Sn uk k Chứng minh n số nguyên tố n > Hướng dẫn giải a) Với n , u1 , u1 Giả sử uk n Chứng minh k uk 3 2 3k ; uk k 2 k k k , k * Ta có ku k 3k ku k uk 3k 2 uk k 2 k 1 k k uk k k k 3k Sn chia hết cho n Vậy uk k 2 k , * k n b) Đặt Sn uk k Chứng minh số nguyên tố n n Sn chia hết cho n n Ta có: Sn uk k Sn Với Do (n 1) n 2 Sn n Bài n 1 (n (n 1) 1) n 2 n 1 số nguyên tố lớn n n số nguyên tố n Vậy n 2 chia hết cho (n 1) n n chia hết cho n Cho dãy số un u1 u2 18 un n 5u n 6n chia hết cho un Chứng minh 6un 24 , n * Hướng dẫn giải Đặt un Khi Ta hay 12 5vn un 6vn v1 12 v2 30 n n * n có nghiệm a v1 12 2a 3b 12 a v2 30 4a 9b 30 b Suy Khi un Ta có un Mặt khác n n Từ n n 12 n n n n n nên 12 un chia hết cho số nguyên tố nên theo định lý Fermat (m o d n ) hay 3(m o d n ) un 3 Ta có b 6vn Phương trình đặc trưng Khi 12, 5vn ( 3 2 n n n n 12) (m o d n ) (m o d n ) (m o d n ) n số nguyên tố chia hết cho Suy un Với số nguyên tố n chia hết cho n Suy un n 6n x1 Bài Cho dãy số a) Chứng minh xn n b) Đặt yn k Tìm xk xn , với n 1 với xn (n, 6) n xn xn xn 16 n li m y n xn n Hướng dẫn giải a) Chứng minh x2 10 xn xn xn Suy Giả sử ta có xn xn xn n xn n 5 16 xn xn xn xn 16 n n xn với n Tìm xk n 2 xn yn k n xn Vậy theo qui nạp b) Đặt n 5 xn , với n xn n li m y n n Ta có: xn xn xn xn xn xn li m y n n Vậy xk xn xn n li m k xn xn xn xn xk 3 1 n li m y n n 1 xn n k xn 1 yn xn 1 xn 2 xn xk 1 (vì x1 xn n xn li m n xn xn ) N * Bài Cho dãy số xác định sau: (u n ) p với số nguyên tố p u1 un 3u n 2n 9n Chứng minh 9n 3, n 2014 ui chia hết cho p i Hướng dẫn giải Với n Từ có: Vậy un un + Nếu p + Nếu p ta có: n n un un n , n n un (n 1) , lại có (n 3 1) un u1 ui (3 (n 2) nên un n n u1 n (p n , 3 n : có đpcm p số nguyên tố lẻ: p ) 3 1) i 1 (3 p p 1 3) 2 p p 1 3 i p (3 3) i p i chia hết cho p i Theo Định lí Fermat nhỏ, suy 3 i p Mặt khác i 3 p i chia hết cho p p, i 1, p nên: p (3 3) 3 i p i chia hết cho p Từ chia hết cho p i p 2014 p ui 1007 (3 p 3) i i 3 p i i Vậy toán chứng minh cho trường hợp Bài 10 Cho dãy số x0 xác định xn xn ; x1 xn 30 xn , phương Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi xn ta có ,x n x n x x n 2 xn n x x n x 2 x xn n n xn xn n S u y x n xn n xn xn xn xn 1 x x xn x x xn n xn n xn n xn n xn x x n x x xn n 2 xn x0 x2 xn n xn 500 xn 500 x x n Vậy n xn xn 500 xn 500 số phương Giả sử n số thỏa mãn xn Đặt xn Ta có a xn 500 b 2 b , xn 501 a xn xn 500 b số phương a ,a,b a b ,a xn 500 b n Tìm n để xn 1.xn số Khi ta tìm Với a 5, b 82 Vậy n = Bài 11 a 1, b xn 1.xn xn xn 7224 xn xn n 12600 n số phương Bài Cho phương trình x phương trình Dãy số x số nguyên dương Gọi với xác định sau x xn Chứng minh tồn vô hạn số tự nhiên n cho xn , xn nghiệm dương xn , n chia hết cho ,1, , 3, Hướng dẫn giải Đầu tiên ta chứng minh x xn xn xn 1 xn 1 Vậy xn xn xn (2k Chọn k x2l x0 xn xn xn (k 1) l 1 (m o d l ) , trái giả thiết l * , xn n ) (2) 2l chia hết cho , Bài 12 Cho dãy số an , suy xn xn xn xn 1 (do (1)) * l k xác định a0 an a1 2004 7an an 3978, n Ta có Đặt 7an an 10 an 3978 2014 Ta phải chứng minh an 10 2014 Ta dãy số , n 2k 1, an an 2014 xác định số phương 10 10 2014 v0 v1 vn 2, n an 10 2014 Hướng dẫn giải * Chứng minh số phương an , từ (2) ta có ) (m o d x2l xn Từ quy nạp ta có với 1) ( m o d l xn (1) Lại có xn xn suy số nguyên (do hệ số cao 1 xn xn số hữu tỉ xn xn xn xn Vậy xn xn xn ước Do 1) Do số vô tỉ Thật vậy, Thật vậy, xét dãy số Hiển nhiên dãy số xn xn xn Ta có xn xn xn xn xn xn 1 xn Ta chứng minh xn xn , Giả sử (1) đến n xn xn Thật vậy, rõ ràng với xn xn 1 xn k xn ( xn ( xn xn xn xn , xn xn ) x n x1 1, 1, xn , tức 1, k thức truy hồi dãy số vk vk xk xk Do Bài 13 2 xk xk xn 1 (2) xn , n 1, , , k vk xk 2 , giả thiết quy nạp, tính chất (2) dãy số an , ta có xn xk xn (1) Thật vậy, theo công thức truy hồi dãy số xn xn x0 x2 n xn xn 2 ) ta chứng minh (1) với n = k+2, nghĩa chứng minh vk n (1) quy nạp n 0, n n xn xn 1; x dãy số nguyên xn , xn n x0 ) xác định ( xn xk 2 (3 x k xk xk ) xk 2 2( xk xk xk xk xk ) số phương Vậy ta có điều phải chứng minh Cho dãy số ( x n ) xác định x n 2013n a 8n 1, n 1, , a số thực a))Tìm a cho dãy số có giới hạn hữu hạn b)Tìm a cho dãy số ( x n ) dãy số tăng (kể từ số hạng đó) Hướng dẫn giải a)Ta có x n 8n (8 n 1) 2n (2a (2n) 8n 3)n ayn , y n 3 8n 2n 1 4n Do tồn giới hạn hữu hạn (8 n lim x n 1) 2n 8n 4n 2013 a Khi n n b)Từ lý luận phần a) ta suy ra) a 2013 li m x n a 2013 n a 2013 Bởi điều kiện cần để tồn m N * cho xm xm xm a 2013 xn , công Ta chứng minh 2013 a điều kiện đủ để có kết luận Thật vậy: Với 2013 a xn xn 2013(n 1) a ( 8(n 2013 2013 2013 a 1) ( 8(n 8(n 1) 3 8n 1) 2013n a 8n 1) 8n 1) 2013 ( 8(n [2 1) 3 8n )] 2013 (2 8n 3 12 8(n 1) 1) Vì (2 8n 1) 2 n 8(n 1) Suy x1 6(2 n) 8n 3 8n (1 3n 8n 3n 8n n ) 1 x2 x3 Vậy dãy số ( x n ) dãy số tăng kể từ số hạng với tăng từ x1 a 2013 trường hợp ( xn ) dãy số ... Dẫn đến a1 a2k a2 a2k a2k a2k 1 k 5 2k Như bất đẳng thức với Trường hợp a1 a2 n 1, 2k a2k ý a2k (1) a2k a2k n 2k 5 , kết hợp với (1) thu được: (2k 1) 5 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho dãy. .. 20 13 20 13 a 1) ( 8(n 8(n 1) 3 8n 1) 20 13n a 8n 1) 8n 1) 20 13 ( 8(n [2 1) 3 8n )] 20 13 (2 8n 3 12 8(n 1) 1) Vì (2 8n 1) 2 n 8(n 1) Suy x1 6 (2 n) 8n 3 8n (1 3n 8n 3n 8n n ) 1 x2 x3 Vậy dãy số. .. 2 2 (2 k 2 k 1) 1) ( n k uk 2 2 2 uk 2 k k 1) k 2 k 2 k (8 ) Từ (8) suy (6) với n , , n Ta có điều phải chứng minh! 20 16 Cho dãy (an )n a) Chứng minh dãy b) Chứng minh Bài k k Vì (5) 2