Các dạng toán liên quan đến cực trị của hàm số vũ ngọc huyền

I.II Cự ị của hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị A... Kh ng đ nh nào sau đây là đúng A... Trích đ thi th THPT chuyên Nguy n Quang Diêu.

I.II Cự ị của hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị

A Lý thuyết về cực trị của hàm số

ph n I.I ta v a h c cách s d ng đ o hàm đ tìm kho ng đ n đi u c a hàm

s , kho ng đ ng bi n, kho ng ngh ch bi n c a hàm s ph n này ta s xác

Trong các bài tr c nghi m th ng có các câu h i đ a ra đ đánh l a thí sinh khi ph i phân bi t gi a đi m

Khi f '   x đ i d u t âm sang d ng qua x c  thì x c  đ c g i là đi m c c

c a đ th hàm s )

N u x c là đi m c c tr c a hàm y f x  thì f c '  0 ho c f c'  không xác

đ nh nh ng n u f c '  0 thì ch a ch c x c đã là đi m c c tr c a hàm s

4 Quy t c đ tìm c c tr Quy t c 1

3 Tính f ''   x và f ''   x i

4 D a vào d u c a f ''   x suy ra tính ch t c c tr c a đi m i xi

Ví d 2: Cho hàm s y  x Tìm m nh đ đúng trong các m nh đ sau:

'

y không xác đ nh t i x  0 đ o hàm c a hàm s đ i d u khi qua x  Nên 0 hàm s đ t c c tr t i x  0

Ph n này đã đ c gi i thi u sau ph n đ nh nghĩa V i hàm liên t c thì hàm

s s đ t c c tr t i đi m làm cho ' 0 y  ho c ' y không xác đ nh

A V i m i tham s m, hàm s đã cho luôn ch có duy nh t m t c c đ i

B V i m i tham s m, hàm s đã cho luôn ch có duy nh t m t c c ti u

C V i m i tham s m, hàm s đã cho luôn có m t đi m c c đ i và m t đi m

Do v y ph ng trình luôn có hai nghi m phân bi t x1 x2 M t khác ta có m o

xét d u tam th c b c hai trong khác ngoài cùng do v y đ o hàm c a hàm s

Đây là d ng toán c b n nh t v c c tr , tuy nhiên xu t hi n r t nhi u trong các

đ thi th d ng toán này ta ch áp d ng các tính ch t đã đ c nêu ph n A Tuy nhiên ta đi xét các ví d đ rút ra các k t qu quan tr ng

Ví d 1 : Hàm s nào sau đây không có c c tr ?

V i B: Đây là hàm phân th c b c nh t trên b c nh t nên không có c c tr Do đó

Đ i v i hàm b c b n trùng ph ng d ng 4 2

0

y ax   bx  c a 

Ta có

 





3

0

2

x

a

S đi m c c tr ph thu c vào nghi m c a ph ng trình 2ax2 b 0

a N u   0

2

b

a t c là a, b cùng d u ho c b 0 thì ph ng trình vô nghi m ho c

có nghi m x 0 Khi đó hàm s ch có m t đi m c c tr là x 0 b.N u 

 0 2

b

a t c là a, b trái d u thì ph ng trình có hai nghi m phân bi t là

   2

b x

a Nghĩa là hàm s có ba đi m c c tr là 0;   

2

b

x x

a

Đ n đây ta có th suy ra, n u h s c a a, b khác d u thì hàm s b c b n trùng

ph ng có ba c c tr , do v y ta ch n luôn đ c B

Ti p t c là m t bài toán áp d ng k t qu v a thu đ c

Ví d 3: Cho hàm s 4 2

2 1.

y    x x  M nh đ nào d i đây đúng

A Hàm s có m t c c đ i và hai c c ti u

B Hàm s có hai c c đ i và m t c c ti u

C Hàm s có m t c c đ i và không có c c ti u

D Hàm s có m t c c đ i và m t c c ti u

Trích đ thi th THPT Phan Đình Phùng Hà N i)

Đáp án B

L i gi i

Áp d ng k t qu v a thu đ c ta có k t lu n hàm s luôn có ba đi m c c tr do

hai h s a, b trái d u

M t khác h s    a 1 0 nên đ th hàm s có d ng ch M (m o nh ), do v y hàm s có hai đi m c c đ i và m t c c ti u

Đ n đây ta ti p t c thu đ c k t lu n ph n STUDY TIP

Ví d 4: Cho hàm s y  f x ( ) xác đ nh, liên t c trên \ 2 và có b ng bi n   thiên phía d i:

Kh ng đ nh nào sau đây là kh ng đ nh đúng ?

A Hàm s đ t c c đ i t i đi m x  và đ t c c ti u t i đi m 0 x  4

B Hàm s có đúng m t c c tr

C Hàm s có giá tr c c ti u b ng 1

D Hàm s có giá tr l n nh t b ng 1 và giá tr nh nh t b ng -15

Trích đ thi th THPT chuyên Lê H ng Phong Nam Đ nh)

x  0 2 4 

y  0 + + 0 

y    15

1  

Đáp án C

L i gi i

Nhìn vào b ng bi n thiên ta th y có hai giá tr c a x mà qua đó y  đ i d u đó

là  x 0 và  x 4 , do v y đây là hai đi m c c tr c a hàm s

STUDY TIP:

Đ i v i hàm b c b n trùng

ph ng có d ng

 4 2 

y ax bx c, a 0

thì n u:



ab 0 thì hàm s có m t

đi m c c tr là x 0



ab 0 thì hàm s có ba

đi m c c tr là

    b

x 0;x

2a

STUDY TIP:

Đ i v i hàm b c b n trùng

ph ng có d ng

 4 2 

y ax bx c, a 0

có ab 0 khi đó n u:

a a 0 thì x 0 là đi m

c c ti u; x   b

2a là hai đi m c c đ i c a hàm

s

b a0 thì ng c l i



x 0 là đi m c c đ i;

  b

x

2a là hai đi m c c

ti u c a hàm s

Ta th y y đ i d u t âm sang d ng khi qua  0 x , do v y  0 x là đi m c c

ti u c a hàm s ng c l i  4 x l i là đi m c c đ i c a hàm s

T đây ta lo i đ c A, B

V i D: D sai do đây là các giá tr c c tr , không gi i giá tr l n nh t, giá tr nh

nh t c a hàm s

Ta ch n C b i t i  0 x thì hàm s có giá tr c c ti u là  1 y

Ti p t c là m t bài toán nhìn b ng bi n thiên đ xác đinh tính đúng sai c a

m nh đ :

Ví d 5: Hàm s y  f x   liên t c trên và có b ng bi n thiên nh hình v bên M nh đ nào sau đây là đúng

A Hàm s đã cho có hai đi m c c tr

B Hàm s đã cho không có giá tr c c đ i

C Hàm s đã cho có đúng m t đi m c c tr

D Hàm s đã cho không có giá tr c c ti u

Đáp án A

L i gi i

Nhìn vào b ng bi n thiên ta th y có hai giá tr c a x mà khi qua đó y  đ i d u

Do v y hàm s đã cho có hai đi m c c tr đó là x  1; x  2

Chú ý: Nhi u đ c gi nghĩ r ng t i  2 x không t n t i y  thì  2 x không ph i

là đi m c c tr c a hàm s đây là m t sai l m r t l n B i hàm s v n đ t c c

tr t i đi m khi n cho đ o hàm không xác đ nh

Ví d : Hàm s  y x có đ o hàm không t n t i khi  x 0 nh ng đ t c c ti u t i

 0

x

Ví d 6 Hàm s y  f x   có đ o hàm     2 

f x  x  x  Phát bi u nào sau đây là đúng

A Hàm s có m t đi m c c đ i

B Hàm s có hai đi m c c tr

C Hàm s có đúng đi m c c tr

D Hàm s không có đi m c c tr

Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP HN l n I)

Đáp án C

L i gi i

Ta th y         



1 0

3

x

f x

x

x  1 2 

y + 0  +

y 3 

 0

STUDY TIP:

quy t c 1 ta có hàm s

đ t c c tr t i đi m khi n

cho đ o hàm b ng 0 ho c

không xác đ nh

Đ n đây có nhi u đ c gi k t lu n luôn hàm s có hai đi m c c tr , tuy nhiên

đó là k t lu n sai l m, b i khi qua  1 x thì f x không đ i d u, b i   

  2

x , x Do v y hàm s ch có đúng m t đi m c c tr là  3 x

D ng 2 Tìm đi u ki n đ hàm s có c c tr Chú ý:

Hàm s y f x  xác đ nh trên D có c c tr   x0 D th a mãn hai đi u ki n sau:

Đ n đây ta có nh n xét hàm s b c b n trùng ph ng luôn có đi m c c tr

S đi m c c tr ph thu c vào nghi m c a ph ng trình 2 ax2   b 0

a N u 

 0 2

Do đi m A 0;c luôn n m trên Oy và cách đ u hai đi m B, C Nên tam giác ABC

ph i vuông cân t i A Đi u này t ng đ ng v i ABAC(do AB AC có s n

Áp d ng công th c TXĐ D 

m m

Đ các đi m c c tr

c a đ th hàm s là

ba đ nh c a m t tam giác vuông cân thì

 

3

8

b a

3 2

8

8 1

Nh n xét: Rõ ràng vi c nh công th c và làm nhanh h n r t nhi u so v i vi c suy ra

t ng tr ng h p m t

Bài t p rèn luy n l i công th c:

1 Cho hàm s yx42mx2m22 Tìm m đ hàm s có ba đi m c c tr và các đi m

c c tr c a đ th hàm s là ba đ nh c a m t tam giác vuông?

A m1 B.m 1 C m2 D m 2

Trích đ thi th THPT Tr n H ng Đ o Nam Đ nh)

2 Cho hàm s y f x  x42 m 2 x   2m25m 5 (C ) Giá tr nào c a m đ đ th m

c a hàm s đã cho có các đi m c c đ i, c c ti u t o thành m t tam giác vuông cân thu c kho ng nào sau đây

3 Cho hàm s y x42mx22 Tìm t t c các giá tr c a m sao cho đ th hàm s có

ba đi m c c tr t o thành tam giác đ u?

a Di n tích tam giác ABC đ c tính b ng

y x 2m x 1 V i giá tr nào c a m thì đ th hàm s đã cho có

đi m c c tr đ ng th i đi m c c tr đó t o thành m t tam giác có di n tích b ng 32

a

Do v y ta ch đi tìm 3

32

b Max

Bài toán 6: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th hàm s các giá tr

th c c a tham s m đ đ th hàm s yax4bx2c, a 0 có ba đi m c c

tr t o thành tam giác có ba góc nh n

L i gi i t ng quát

Do tam giác ABC là tam giác cân nên hai góc đáy b ng nhau M t tam giác

không th có hai góc tù, do v y hai góc đáy c a tam giác ABC luôn là góc

nh n Vì th cho nên đ tam giác ABC là tam giác có ba góc nh n thì góc đ nh

8 0 8

4 1 1

8

b r

b a

Bài toán 9: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th hàm s các giá tr

c a

Do tam giác ABC cân t i A, mà A n m trên tr c Oy nên AO luôn vuông góc v i

BC Do v y đ O là tr c tâm c a tam giác ABC thì ta ch c n tìm đi u ki n đ

Đ tam giác ABC nh n tâm O làm tâm đ ng tròn ngo i ti p thì OA OB OC 

Mà ta luôn có OB OC , do v y ta ch c n tìm đi uk i n cho

Bài toán 11: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th hàm s các giá tr

AMN ABC

y  có hai nghi m phân bi t     b2  3 ac  0

Bài toán 1: Vi t ph ng trình đi qua hai đi m c c đ i, c c ti u c a đ th

Sau đây tôi xin gi i thi u m t cách b m máy tính đ tìm nhanh ph ng trình

đ ng th ng đi qua hai đi m c c tr c a đ th hàm s b c ba nh sau

Ví d 1: Ph ng trình đ ng th ng đi qua hai đi m c c tr c a đ th hàm s

Ti p theo ta có m t bài tham s

Ví d 2: Cho hàm s y x  3  3 x2  3 1   m x    1 3 m , tìm m sao cho đ th

hàm s có đi m c c đ i, c c ti u đ ng th i tìm đ ng th ng đi qua hai đi m

y y

a

Chú ý:

N u bài toán không ch a tham s thì ta ch s d ng bi n X trong máy, tuy nhiên

n u bài toán có thêm tham s , ta có th s d ng các bi n b t kì trong máy đ bi u

th cho tham s đã cho trong sách này ta quy c bi n M đ d đ nh hình

B c 3: Gán giá tr

n CALC , gán X v i i, gán M v i 100

Lúc này máy hi n k t qu , t đó tách h s và i đ đ a ra k t qu cu i cùng,

gi ng nh trong hai ví d trên

Bài toán 2: Vi t ph ng trình đi qua hai đi m c c đ i, c c ti u c a đ th

Nh n xét: Bi u th c trên đ c th a mãn b i các giá tr là c c tr c a hàm s đã cho

Do đó thay vì tính tr c ti p tung đ c a các đi m c c tr , ta ch c n thay vào bi u th c

đ n gi n h n sau khi đã l y đ o hàm c t l n m u V n d ng tính ch t này, ta gi i quy t đ c nhi u bài toán liên quan đ n đi m c c tr c a hàm phân th c

Ví d : Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua hai đi m c c tr c a đ th hàm

I Các dạng tính toán thông thường liên quan ến cực trị

Câu 1: S đi m c c đ i c a đ th hàm s 4

100

y x 

là:

(Trích đ thi th THPT chuyên Tr n Phú- H i Phòng)

Câu 2: Hàm s 4 2

2 2017

y x  x  có bao nhiêu đi m

c c tr ?

(Trích đ thi th THPT Tri u S n

Câu 3: Cho hàm s 1 3 2

3

y x  x  x có hai đi m

c c tr là x x1, 2 H i t ng x1x2 là bao nhiêu?

A x1x28 B x1x2 8

C x1x25 D x1x2 5

(Trích đ thi th THPT Tri u S n

Câu 4: Hàm s y f x  có đ o hàm

    2 

f x  x x Phát bi n nào sau đây là đúng

A. Hàm s có m t đi m c c đ i

B. Hàm s có hai đi m c c tr

C. Hàm s có đúng đi m c c tr

D. Hàm s không có đi m c c tr

(Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP HN

Câu 5: Đ th hàm s 3 2

y x  x  có đi m c c đ i là:

A I2; 3  B I 0;1

C I 0; 2 D Đáp án khác

(Trích đ thi th THPT Kim Thành H i D ng

Câu 6: Hàm s y x42x22017 có bao nhiêu đi m

c c tr ?

Trích đ thi th THPT Tri u S n

Câu 7: Cho hàm s y x 33x23x1 Kh ng đ nh

nào sau đây là đúng

A Hàm s đ t c c ti u t i đi m x 1

B. Hàm s đ ng bi n trên 1;  và ngh ch bi n

trên ;1

C Hàm s đ t c c đ i t i đi m x 1

D Hàm s đ ng bi n trên

(Trích đ thi th THPT Kim Thành H i D ng Câu 8: Cho hàm s y f x có đ th nh hình v bên, các kh ng đ nh sau kh ng đinh nào là đúng A Hàm s đ t giá tr nh nh t b ng  1 và đ t giá tr l n nh t b ng 3 B. Đ th hàm s có đi m c c ti u A   1; 1 và đi m c c đ i B 1; 3

C Hàm s có giá tr c c đ i b ng 1 D. Hàm s đ t c c ti u t i A   1; 1và c c đ i t i  1; 3 B (Trích đ thi th THPT chuyên Lam S n Thanh Hóa) Câu 9: Cho hàm s y f x  xác đ nh trên \1;1 , liên t c trên m i kho ng xác đ nh và có b ng bi n thiên sau:

x   1 0 1 

' y + + - +

y 

3 2 -3

  

H i kh ng đ nh nào d i đây là kh ng đ nh sai? A Hàm s không có đ o hàm t i x 0nh ng v n đ t c c tr t i x 0 B Hàm s đ t c c ti u t i đi m x 1 C Đ th hàm s có hai ti m c n đ ng là các đ ng th ng x  1 và x 1

D Đ th hàm s có hai ti m c n ngang là các đ ng th ng y  3 và y 3

(Trích đ thi th THPT chuyên H Long l n I)

Câu 10: Kh ng đ nh nào sau đây là kh ng đ nh đúng

A Hàm s 2 1

1

y x

x

 có hai đi m c c tr

B Hàm s y3x32016x2017có hai đi m c c tr

C Hàm s 2 1

1

x y x





 có m t đi m c c tr

O

x

y

-1

1

3

-1

Bài tập rèn luyện kỹ năng

D Hàm s y  x4 3x22 có m t đi m c c tr

(Trích đ thi th THPT Kim Liên)

Câu 11: S đi m c c tr c a hàm s 3 2

b ng:

A. 2 B. 0 C 3 D. 4

(Trích đ thi th THPT Kim Liên)

Câu 12: Hàm s y x 4 x2 1 đ t c c ti u t i:

A x  1 B. x 0

C x  2 D x 1

(Trích đ thi th THPT Kim Liên)

Câu 13: Cho hàm s y f x  xác đ nh, liên t c trên

và có b ng bi n thiên:

x  -1 0 2 

y  0 +  0 +

y  0 

-3 -3

Kh ng đ nh nào sau đây là kh ng đ nh đúng A Hàm s có đúng hai c c tr

B Hàm s có giá tr c c ti u b ng -1 ho c 1 C Hàm s có giá tr l n nh t b ng 0 và giá tr nh nh t b ng -3

D Hàm s đ t c c đ i t i x 0 (Trích đ thi th THPT chuyên V Thanh H u Giang) Câu 14: Hàm s  3 2 3 1 y x x đ t c c tr đ i t i các đi m nào sau đây A. x 2 B. x 1 C. x0;x2 D. x0;x1 Trích đ thi th THPT chuyên Nguy n Trãi H i D ng Câu 15: H th c liên h gi a giá tr c c đ i y CÐ và giá tr c c ti u y CT c a hàm s  3 2 y x x là: A. y CTy CÐ  0 B.2y CT 3y C Ð C. y CT  2y C Ð D. y CT y C Ð

Trích đ thi th THPT chuyên Vĩnh Phúc l n 3) Câu 16: Cho hàm s y f x   xác đ nh, liên t c trên và có b ng bi n thiên: x  1 0 1 

 y - 0 + 0 - 0 +

y  2 

1 1

Kh ng đ nh nào sau đây là sai A. M0; 2 đ c g i là đi m c c đ i c a hàm s B. f 1 đ c g i là giá tr c c ti u c a hàm s C. Hàm s đ ng bi n trên các kho ng 1; 0 và  1;

D. x0 1 đ c g i là đi m c c ti u c a hàm s Trích đ thi th THPT chuyên Vĩnh Phúc l n 3) Câu 17: Cho hàm s yx36x29x2 C Đ ng th ng đi qua đi m A1; 1 và vuông góc v i đ ng th ng đi qua hai đi m c c tr c a  C là: A.  1 3 2 2 y x B. 1 3 2 2 y x C. y  3x D. x2y 3 0

Câu 18: Tính kho ng cách gi a các đi m c c ti u c a đ th hàm s  4 2 2 3 1 y x x A. 2 34 B. 3 C. 2 3 D. 43 Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP l n 2) Câu 19: Tìm t t c các đi m c c đ i c a hàm s   4 2 2 1 y x x A. x 1 B. x 1 C. x 1 D. x 0 Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP l n 2) Câu 20:Hàm s y f x liên t c trên   và có b ng bi n thiên nh hình v bên M nh đ nào sau đây là đúng x  1 2 

y + 0  +

y 3 

 0

A Hàm s đã cho có hai đi m c c tr

B Hàm s đã cho không có giá tr c c đ i

C Hàm s đã cho có đúng m t đi m c c tr

D. Hàm s đã cho không có giá tr c c ti u

Trích đ thi th THPT chuyên ĐH Vinh l n 1)

Câu 21: Cho hàm s  42 3 2

3

sau đây là đúng

A. Hàm s có giá tr c c ti u là 0

B. Hàm s có hai giá tr c c ti u là 2

3 và 

5 48

C. Hàm s ch có m t giá tr c c ti u

D. Hàm s có giá tr c c ti u là 2

3 và giá tr c c

đ i là  5

48

Trích đ thi th THPT chuyên ĐH Vinh l n 1)

Câu 22: Cho hàm s     2

y x x Trung đi m

c a đo n th ng n i hai đi m c c tr c a đ th hàm s

n m trên đ ng th ng nào d i đây

A 2x y  4 0. B 2x y  4 0.

C 2x y  4 0. D 2x y  4 0.

Trích đ thi th THPT chuyên Nguy n Quang Diêu)