03 bài giảng số 3 ma trận trực giao và các dạng toán liên quan

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide Bài giảng số Ma trận trực giao – Ma trận đối xứng I Tóm lược lý thuyết Định nghĩa 3.1: Một ma trận vuông A với hệ số thực thoả mãn điều kiện: A1  At gọi ma trận trực giao Mệnh đề 3.2: Nếu A ma trận trực giao với hệ số thực A1 ma trận trực giao det( A)  1 Mệnh đề 3.3: Giả sử b  u1 , u2 ,, un  c  v1 , v2 ,,  hai sở trực chuẩn không gian véc tơ Euclide E , ma trận chuyển P từ sở c sở b ma trận trực giao Mệnh đề 3.4: Cho A ma trận vuông cấp n với hệ số thực i) A ma trận trực giao hệ véc tơ cột A lập thành sở trực chuẩn  n với tích vô hướng chuẩn tắc  n ii) A ma trận trực giao hệ véc tơ dòng A lập thành sở trực chuẩn  n với tích vô hướng chuẩn tắc  n Mệnh đề 3.5: Giả sử A ma trận cấp n với hệ số thực Trên không gian véc tơ Euclide  n với tích vô hướng chuẩn tắc, ta có mệnh đề sau tương đương: i) A ma trận trực giao ii) Với x   n , ta có Ax  x iii) Với u , v   n , ta có  Au, Av  u, v  Định nghĩa 3.6: Một ma trận A vuông cấp n với hệ số thực gọi chéo hoá trực giao tồn ma trận trực giao P với hệ số thực cho P 1 AP  Pt AP ma trận chéo với hệ số thực Mệnh đề 3.7: Nếu A ma trận vuông với hệ số thực, chéo hoá trực giao A ma trận đối xứng Mệnh đề 3.8: Cho A ma trận vuông cấp n với hệ số thực A chéo hoá trực giao A đối xứng Mệnh đề 3.9: Nếu A ma trận đối xứng với hệ số thực tất giá trị riêng A thực Mệnh đề 3.10: Nếu u1, u2 véc tơ riêng ma trận đối xứng A tương ứng với hai giá trị riêng khác  u1 , u2   Nói cách khác véc tơ riêng ma trận đối xứng tương ứng với giá trị riêng khác trực giao Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide Mệnh đề 3.11: Cho A ma trận đối xứng cấp n với hệ số thực Khi với véc tơ v   n , ta có  Av, v  Quá trình chéo hoá trực giao Giả sử A ma trận đối xứng cấp n với hệ số thực Bước 1: Xác định n nghiệm thực 1 , 2 , , n đa thức đặc trưng det ( A   I ) , tìm n véc tơ riêng độc lập tuyến tính u1 , u2 ,, u n  A tương ứng với giá trị riêng trình chéo hoá ma trận Bước 2: Áp dụng trình trực giao hoá Gram-schmidt hệ véc tơ riêng u1 , u2 ,, un  để hệ véc tơ trực giao v1 , v2 ,,  A Bước 3: Trực chuẩn hoá hệ véc tơ trực giao v1 , v2 ,,  A để hệ véc tơ trực chuẩn w1 , w2 ,, wn  A Đây sở trực chuẩn  n Thêm nữa, viết:  1     ,  ,    giá trị riêng A P  ( w1 w2  wn ) D    n    n   w1 , w2 , , wn   n véc tơ riêng trực chuẩn hoá, P t AP  D II Các ví dụ minh hoạ a  b b  a Ví dụ 1: Cho ma trận A    (a, b ) Tìm a, b để A ma trận trực giao a  b b  a   Giải: Gọi v1, v2 véc tơ cột ma trận A Ma trận A trực giao :  v1  v2  (a  b)  (b  a )2  1   a  b2   (a  b)(b  a )  (a  b)(b  a)   v1 , v2  Ví dụ 2: Chứng minh với giá trị a ma trận sau 2 a  1  A 2a  2a 2   2a  2a  2a 2a   2a  ma trận trực giao Hãy tìm A1  Giải: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide Xét hệ véc tơ cột ma trận A gồm véc tơ:  2a   2a      2a    2a    2a        2a   2a  2a     v1  ,v  ,v  }   2a    2a    2a         2a     2a    2a    2a    2a      { dễ thấy {v1, v2, v3} sở 3 tích vô hướng chuẩn tắc, ta có:  v1 , v2  v2 , v3  v3 , v1     v1  v2  v3  Vậy véc tơ {v1, v2, v3} sở trực chuẩn 3 nên A ma trận trực giao 2a  1  Ta có: A1  At  2 a  a 2   2a  2 a  2a Ví dụ 3: Xét ma trận: 2a   2a     3   A   2       1) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng tương ứng ma trận A 2) Tìm sở trực chuẩn 3 gồm véc tơ riêng A 3) Tìm ma trận P cho Pt AP ma trận chéo Giải 1) Các giá trị riêng ma trận A nghiệm đa thức đặc trưng sau: 1   A  I    2 0 3     2   (  4) (  2)      (boi ) Với   2 , toạ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide  x1  x2  3x3    x1   x3  A  I  x    x1  x2  x3     x2   x3  x  x  x    3   Chọn x3  1, véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 2 v1           Với   , toạ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ:  3 x1  x2  x3   A  I x      x1  x2  x3   x3  x1  x2   x1  x2  x3    Nghiệm tổng quát hệ có dạng: a, b, 3a  2b  a (1, 0, 3)  b(0,1, 2)       Vậy véc tơ riêng ứng với giá trị riêng : v2    , v3    3     2) Nếu v1 v2 hai véc tơ riêng A ứng với hai giá trị riêng     2 v1  v2  ( 6, 4, 2) véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  Vậy hệ véc tơ {v1 , v2 , v1  v2 } hệ sở trực giao Ta trực chuẩn hoá cách đặt  v1 v v  v  , u2  , u3   , ta thu hệ véc tơ u1  v2 v2 v1  v2    1   1                   1  {u1   , u    , u3   } sở trực chuẩn 3 gồm véc tơ   3                    6  12  riêng A Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide     3) Lập ma trận: P  (u1 u2 u3 )       1 2 1 1         12   2 0  Dễ thấy P ma trận trực giao nên Pt  P 1 P t AP     0 4   Ví dụ 4: Hãy chéo hoá trực giao ma trận sau:  7 24 0   24 0   A  0 7 24     0 24  Giải: Giá trị riêng ma trận A nghiệm phương trình đặc trưng: 7   24 0 A  I   7  ( 7   ) 0 7 0 24 0 0 0 7   24 24 7 24 7   24  24 24 7 0 7   24  24 7  (  7)(  7)[(  7)(  7)  242 ]  24 2[(  7)(  7)  242 ]   [(  7)(  7)  242 ]2      25 Với   25 , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ:  32 x1  24 x2   x1  3a  24 x  18 x    x1  x2    x2  a   ( a, b   )   32 x  24 x  x  x  x  b     24 x3  18 x4   x4  4b Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide 3 0  4 0 Vậy hai véc tơ riêng tương ứng giá trị riêng 25 : u1    , u2    0 3      0 4 Với   25 , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ: 18 x1  24 x2   x1  4c  24 x  32 x   3 x1  x2    x2  3c   (c , d   )  18 x  24 x  x  x  x  d     24 x3  32 x4   x4  3d  4 0  3  0   Vậy hai véc tơ riêng tương ứng giá trị riêng 25 là: u3  , u   0  4     0  3  Dễ thấy u1 , u2 , u3 , u4  hệ véc tơ trực giao Bằng cách đặt: 3 0     5 0             u1   u2   u3  3  u4   v1   , v2   , v3   , v4   , u1   u2   u3   u4   0         4   3 0         5    5 ta nhận hệ trực chuẩn {v1, v2, v3, v4} véc tơ riêng A Đặt: 3 5  4 5 P  (v1 v2 v3 v4 )   0   0  0 5 3 0        3    Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide P ma trận trực giao ta có 0   25  25  1 t  P AP  P AP    0 25    25  0 Ví dụ 5: Cho a, b, c số thực thoả mãn điều kiện a  b  c  Chứng minh ma trận sau ma trận trực giao: ab  c ac  b   a2   A   ab  c b2 bc  a   ac  b bc  a c   Giải: Xét hệ véc tơ gồm véc tơ cột ma trận A sau:  a2   ab  c   ac  b      {v1   ab  c  , v2   b  , v3   bc  a }  bc  a   c2   ac  b        Dễ thấy {v1, v2, v3} sở  Ta có: v1  a  (ab  c )2  (ac  b)2  a  a 2b  2abc  c  a 2c  2abc  b  a (a  b  c )  b  c  a  b  c  Vậy: v1  Tương tự, ta có: v2  v3  Mặt khác  v1 , v2   a (ab  c)  (ab  c)b  (ac  b)(bc  a )  ab(a  b  c )  ab  ab  ab  Tương tự , ta có:  v2 , v3    v3 , v1   Vậy {v1, v2, v3} sở trực chuẩn 3 nên A ma trận trực giao Ví dụ 6: Cho B ma trận cấp m  n với hệ số thực Chứng minh ma trận A  Bt B ma trận đối xứng có giá trị riêng không âm Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide Giải: Ta có At  t  B B  B B t t  A , A ma trận đối xứng Gọi  giá trị riêng A x véc tơ riêng tương ứng, ta có: Ax   x  BtBx   x  xtBtBx  x t  x hay ( Bx )t ( Bx )   x t x Vì ( Bx )t ( Bx ) xtx không âm nên  không âm Ví dụ 7: Chứng minh A ma trận đối xứng thực cấp n, có giá trị riêng d1, d2, …, dn D ma trận chéo có đường chéo giá trị riêng A tồn ma trận B cấp n cho A  B t B Giải: Vì A ma trận đối xứng nên A chéo hoá trực giao được, tồn ma trận P  d1     ma trận trực giao cho A = PDP = PDP với D =   d i  (theo ví dụ  d n   -1 t 6) Ta phân tích:  d1  D     d1  Vậy: A = P      d1     dn      d1     =    dn    d     dn     d    d n         dn  t t   t t t  P =BB = B B  dn   d1    với B  P      dn   Ví dụ 8: Cho v véc tơ đơn vị A ma trận cho Au  u   u, v  v với u  1) Chứng minh A ma trận trực giao; 2) Tính det(A) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide Giải: 1) Ta có: Au , Au  u   u , v  v, u   u , v  v  u , u  4  u , v  u , v  4  u , v   v, v   u , u , u   Vậy theo mệnh đề 3.5 ta có A ma trận trực giao 2) Vì A ma trận trực giao nên AtA = A-1A = I Vậy det(At)det(A) = Mặt khác det(At) = det(A), từ suy det(A)2 = 1, hay det A =  III Bài tập tự giải Bài 1: Áp dụng trình chéo hoá trực giao ma trận sau: 5    A  11 1)   6  2    4  2) B   4 2   2 2    1 1 3) C   0  0 0 2      0 4) D    3 0 0 4     2   0 0 Bài 2: Hãy tìm ma trận trực giao cấp hai M 22 () tìm giá trị riêng, véc tơ riêng ma trận trực giao 0  1  Bài 3: Chứng minh ma trận: A   cos  sin   ma trận trực giao tìm  sin  cos    giá trị riêng véc tơ riêng A Bài 4: Hãy chứng minh tương đương phát biểu mệnh đề 3.5 Bài 5: Chứng minh P ma trận trực giao đối xứng P2 = I t  t2 1 t   t   Bài 6: Chứng minh với t, ma trận sau: 1 t t t  t2   1 t  t  t  t  t 1 t ma trận trực giao Hãy tìm sở 3 gồm véc tơ riêng ma trận Bài 7: Giả sử A B hai ma trận trực giao, chứng minh AB ma trận trực giao Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide Bài 8: Chứng minh A ma trận trực giao có det(A) = A có giá trị riêng Bài 9: Chứng minh A ma trận vuông trực giao cấp n Tr(A)  n Bài 10: Chứng minh hai véc tơ riêng ứng với hai giá trị riêng phân biệt ma trận đối xứng trực giao Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục ... 1 t  t  t  t  t 1 t ma trận trực giao Hãy tìm sở 3 gồm véc tơ riêng ma trận Bài 7: Giả sử A B hai ma trận trực giao, chứng minh AB ma trận trực giao Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com... 0 Bài 2: Hãy tìm ma trận trực giao cấp hai M 22 () tìm giá trị riêng, véc tơ riêng ma trận trực giao 0  1  Bài 3: Chứng minh ma trận: A   cos  sin   ma trận trực giao tìm  sin ... AP  D II Các ví dụ minh hoạ a  b b  a Ví dụ 1: Cho ma trận A    (a, b ) Tìm a, b để A ma trận trực giao a  b b  a   Giải: Gọi v1, v2 véc tơ cột ma trận A Ma trận A trực giao : 